Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

21.9.2021

Alustavat hyvän vastauksen piirteet 21.9.2021

Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti tueksi alustavaa arvostelua varten. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastauksia. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät ole osa Ylioppilastutkintolautakunnan yleisissä määräyksissä ja ohjeissa tarkoitettua tietoa siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu yksittäisen kokelaan koesuoritukseen. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät sido Ylioppilastutkintolautakuntaa lopullisen arvostelun perusteiden laadinnassa.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

A-osa

1. Sopivia lukuja 12 p.

1.1 Mikä on lausekkeen 1-3x arvo, kun x=2? 3 p.

  • -5 (3 p.)

1.2 Jonon (a_n) yleinen termi on muotoa a_n=3\cdot 2^n, n\in \mathbb{N}. Mikä on termi a_3? 3 p.

  • 24 (3 p.)

1.3 Jono (b_n) toteuttaa ehdot b_6=6 ja b_{n+1}=b_n+4, n\in \mathbb{N}. Mikä on termi b_4? 3 p.

  • -2 (3 p.)

1.4 Polynomi (x^2+5x+1)(x+3) kerrotaan auki, jolloin muodostuu kolmannen asteen polynomi. Mikä on sen toisen asteen termin kerroin? 3 p.

  • 8 (3 p.)

2. Geometrisia pikkutehtäviä 12 p.

2.1 Paraabelit y=4x^2 ja y=x^2-1 2 p.

  • eivät leikkaa (2 p.)

2.2 Pisteiden (1,6) ja (-1,-6) välisen janan keskinormaalin kulmakertoimelle k on voimassa 2 p.

  • -1<k<0 (2 p.)

2.3 Ympyrän 9x^2+9y^2=1 säde on 2 p.

  • 1/3 (2 p.)

2.4 Tasokäyrä koostuu kaikista niistä pisteistä, jotka ovat yhtä kaukana yhdestä kiinteästä pisteestä ja yhdestä kiinteästä suorasta. Tämä tasokäyrä on 2 p.

  • paraabeli (2 p.)

2.5 Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä \cos(3x)=0\mathrm{,}5 välillä 0<x<\pi? 2 p.

  • 3 (2 p.)

2.6 Ympyrälle (x-1)^2+(y-1)^2=4 on piirretty tangentti, joka kulkee pisteen (0,-4) kautta. Tangentti 2 p.

  • voi olla laskeva tai nouseva (2 p.)

3. Integraaleja 12 p.

\int (x^2+1)\,dx = \frac{1}{3}x^3 +x+C. 4

\int_{0}^{\pi/2} \cos (2x)\,dx = \frac{1}{2} \big/_{\!0}^{\pi/2} \sin (2x) 2
=\frac{1}{2} (\sin \pi - \sin 0) 1
=0. 1

\int_{-1}^1 |x|^3\, dx = 2 \int_0^1 x^3\,dx 2
=2\big/_{\!0}^1 \frac{x^4}{4} 1
= \frac{1}{2}. 1

4. Tasokäyrä 12 p.

(\overline{i}-\overline{j})\cdot \overline{v}(3)=(\overline{i}-\overline{j})\cdot \left(3\overline{i}+\frac{1}{3^2}\overline{j}\right)=3-\frac{1}{9}=\frac{26}{9}. 3

Käytetään Pythagoraan lausetta: \sqrt{3^2+\left(\frac{1}{3^2}\right)^2}=\frac{1}{9}\sqrt{730} \ (\approx 3{,}002). 2
Pelkkä likiarvo. max 1

Minimoidaan vektorin \overline{v} pituus, eli lauseke \sqrt{t^2+\frac{1}{t^4}}. Riittää, että minimoidaan juurrettava. 1
Juurrettavan derivaatta on 2t-\frac{4}{t^5}. 2
Jos derivaatta on nolla, niin 2t-\frac{4}{t^5}=0. Tästä saadaan t^6=2, eli t=\pm \sqrt[6]{2},
joista valitaan positiivinen (koska t>0).
2
Merkkikaavio on muotoa -|+. 1
Pienin arvo saavutetaan siis pisteessä t=\sqrt[6]{2}. 1

B1-osa

5. Ilmanpaine 12 p.

Ilmanpaine 2 km:n korkeudessa on 101{,}3\left(1-\frac{0,009\,76\cdot 2\,000}{301}\right)^{3,5} 3
\approx80{,}111 (kPa) 1
ja 3 km:n korkeudessa 101{,}3\left(1-\frac{0,009\,76\cdot 3\,000}{301}\right)^{3,5} 3
\approx70{,}803 (kPa). 1
Ilmanpaine vähenee siis 80{,}111-70{,}803=9{,}308 (kPa). (2)
Se vähenee siis \frac{9,308}{80,111}\approx 11{,}6\ \%. 2

6. Yhtälöitä tasossa 12 p.

Pisteet toteuttavat ympyrän yhtälön (1)
(x+3)^2+(y-1)^2=4^2. 2
Tasokuviota ei voi antaa muodossa y=f(x), sillä tasokuvio (ympyrä) ei ole funktion kuvaaja, (1)
koska kuviossa on kaksi eri muuttujan y arvoa, kun -7 <x <1. 2
(Esimerkiksi pistettä x=-3 vastaavat arvot y=5 ja y=-3.)

Piirretty kuva ympyrästä x^2+(y-2)^2=4. (1)
Jos ympyrän keskipiste on (1,2), on ympyrän yhtälö (x-1)^2+(y-2)^2=r^2. 2
Yhtälöparilla (x-1)^2+(y-2)^2=r^2 ja x^2+(y-2)^2=4 on täsmälleen yksi ratkaisu, kun r=1 tai r=3 (vastaus päätelty esim. kuvasta). 3

7. Avaruuskappale 12 p.

Ratkaisu on tehty piirtämällä ensin kuva tilanteesta ja sen jälkeen lukemalla kuvasta Geogebran komennoin kaikki oleellinen, esimerkiksi seuraavasti:

Konstruktio. Käytetään viisikulmiotyökalua. Piirretään ympyrä kolmen kärjen kautta. Ympyrän keskipisteeseen piirretään z-akseli. Kärkipisteeseen piirretään pallo(pinta), jonka säde on viisikulmion sivu. Pallon ja z-akselin leikkaus on piste F.

Approksimaatio: Ensin on piirretty origokeskinen ympyrä xy-tasoon käyttäen toimintoa, jolle annetaan ympyrän keskipiste sekä yksi kehän piste. Tämän jälkeen saman kehän pisteen kautta on Geogebran säännöllisen monikulmion toiminnon avulla piirretty viisikulmio, joka on zoomaamalla aseteltu ympyrälle. Sitten ympyrää on skaalattu niin, että viisikulmion sivuksi on saatu 1. Tämän jälkeen viisikulmiolta on valittu kaksi vierekkäistä kärkeä, joiden kautta on piirretty kolmio, jonka kolmas kärki on z-akselilla. Kolmatta kärkeä on liu'utettu niin kauan, että kolmion kaikki sivut on saatu ykkösen mittaisiksi. Tämän jälkeen z-akselilla oleva piste on yhdistetty viisikulmion kärkiin.

4

Käytetään Geogebran kulmanmittaustoimintoa antamalla sille syötteeksi kartion huippu, yksi viisikulmion kärjistä ja viisikulmion keskipiste. 1
Kulman suuruus on noin 31{,}72 astetta. 1

Jotta saadaan tahkon ja pohjan välinen kulma, määritetään ensin viisikulmion jonkin sivun keskipiste Geogebran keskipisteen antavalla komennolla. 1
Käytetään Geogebran kulmanmittaustoimintoa antamalla sille syötteeksi kartion huippu, äsken määritetty keskipiste sekä viisikulmion keskipiste.
Kulman suuruudeksi saadaan noin 37{,}38 astetta.
1

Viisikulmion piirtämiseen käytetty käsky antoi automaattisesti myös viisikulmion pohjan alan. Se on n. 1{,}72 ja kuvion korkeus on n. 0{,}53. 1
Tämän kappaleen tilavuus on siten \frac{1}{3}\cdot 1{,}72\cdot 0{,}53 \approx 0{,}3. 1
Kartion tilavuus on pohjan ja korkeuden tulo jaettuna kolmella. Tehtävässä kartion sivut olivat a. Piirroksessa ne ovat 1, joten tilavuus on kerrottava luvulla a^3. 1
Tilavuus on siis 0{,}3a^3. 1

Approksimaatioratkaisulla voi päätyä myös hieman poikkeaviin arvioihin kulmista.

8. Raja-arvon suhteellinen virhe 12 p.

Lausekkeeseen on sijoitettu t=\frac\pi4+10^{-2} tai t=\frac\pi4+10^{-3} tai t=\frac\pi4+10^{-4}. (1)
Laskettu likiarvot 0{,}703\,559; 0{,}706\,753 ja 0{,}707\,071. 3

Kyseessä on sinifunktion erotusosamäärä kohdassa \frac\pi4. 1
Tiedetään, että D\sin x= \cos x, (1)
joten raja-arvo on \cos (\frac\pi4)=\frac1{\sqrt{2}}. 2

Laskettu ensimmäinen suhteellinen virhe -0{,}005\,017. 2
Muut suhteelliset virheet -0{,}000\,500 ja -0{,}000\,050. 1+1

9. Tilin tyhjennys 12 p.

Yhtälö on muotoa 20x+50y=370, x, y\in\mathbf{N}. 3

Yhtälön voi kirjoittaa muodossa 2x+5y=37. 1
Koska luvut x ja y ovat ei-negatiivisia päätellään, että 0\leq y\leq 7. 2
Koska 2x on parillinen, niin termin 5y täytyy olla pariton. 1
Siispä y=1, 3, 5 tai 7. 2
Tarkistetaan, että kaikki neljä ovat mahdollisia ratkaisuja. Jos y=1, niin x=16, jos y=3, niin x=11, jos y=5, niin x=6, ja jos y=7, niin x=1. 2
Vastaus: 4 eri tapaa. 1
Vaihtoehtoisesti voi tarkistaa kaikki arvot 0\leq y\leq 7 ja hylätä niistä 4 TAI Diofantoksen yhtälöllä.

B2-osa

10. Osittaisderivaatta 12 p.

f_x(x, y)=4x^3+32, 2
f_y(x, y)=2y-6. 2

f_x(x, y)=0, kun 4x^3+32=0, eli x=-2. 3
f_y(x, y)=0, kun 2y-6=0, eli y=3. 3
Pienin arvo on siis f(-2, 3)=(-2)^4+32\cdot (-2)+3^2-6\cdot 3+60=3. 2

11. Noppapeli 12 p.

Pelaaja A voittaa ensimmäisellä heitollaan todennäköisyydellä \frac{1}{3}. 2

Pelaaja A ei voita ensimmäisellä heitollaan todennäköisyydellä \frac{2}{3}, 1
ja pelaaja B voittaa omalla heittovuorollaan todennäköisyydellä \frac{1}{2}, 1
joten todennäköisyys sille, että peli päättyy pelaajan B ensimmäiseen heittovuoroon, on \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}. 2

Mikäli siirrytään n:nnelle kierrokselle, ovat pelaajien A ja B todennäköisyydet voittaa samat kuin ensimmäiselläkin kierroksella. 1
Pelissä mennään toiselle kierrokselle todennäköisyydellä 1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}. 1
Kummankin pelaajan todennäköisyys voittaa on siis \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k} 2
=\frac{1}{2}. 2
TAI
Ensimmäisellä kierroksella kummankin pelaajan todennäköisyys on sama. 1
Tämä pätee myös muilla kierroksilla. 1
Siten kummankin voittotodennäköisyys on sama, eli \frac12, 2
sillä todennäköisyys sille, että peli ei pääty, on 0. 2

12. Paraabelialueita 12 p.

Muodostettu yhtälöpari sijoittamalla pisteet yhtälöön y=ax^2+bx+c. (1)
Paraabelin yhtälö on y=ax^2-a, missä a\in \mathbf{R}\setminus\{0\}. 1

Riittää, kun tarkastellaan leikkauspistettä kohdassa x=1, sillä tilanteet ovat symmetriset. 1
Paraabelin y=ax^2-a tangentin kulmakerroin pisteessä x=1 on 2a. 1
Kaksi paraabelia y=ax^2-a ja y=bx^2-b leikkaavat siis kohtisuorassa, mikäli 2a\cdot 2b=-1 1
eli b=-\frac{1}{4a}. 2

Pinta-ala on \int_{-1}^1(bx^2-b-ax^2+a)\,dx, missä b <0 <a ja b=-\frac{1}{4a}. 1
Lasketaan integraali: \int_{-1}^1(bx^2-b-ax^2+a)\,dx=(b-a) \big/_{\!-1}^{1}(\frac{1}{3}x^3-x) 1
=-\frac{4}{3}(b-a)=\frac{4}{3}\left(a+\frac{1}{4a}\right). 1
Lausekkeen a+\frac{1}{4a} minimi saavutetaan kun a=\frac{1}{2}, 1
joten pinta-alan pienin arvo on \frac{4}{3}. 1

13. Eksponenttiyhtälö 12 p.

Tarkastellaan jatkuvan funktion f(x)=e^{ax}-\ln x nollakohtien lukumäärää. 1
Derivaatta f'(x)=ae^{ax}-\frac{1}{x}. 1
Toinen derivaatta f''(x)=a^2e^{ax}+\frac{1}{x^2}>0. 2
Toinen derivaatta on positiivinen, ensimmäinen derivaatta on siis aidosti kasvava, joten sillä on korkeintaan yksi nollakohta. Alkuperäisellä funktiolla on siten korkeintaan kaksi nollakohtaa. Leikkauspisteitä on vastaavasti korkeintaan kaksi. 3
Osoitetaan, että leikkauspisteitä voi olla täsmälleen 2:
Tarkastellaan esimerkiksi pistettä x=4. Tällöin f(4)=e^{4a}-\ln 4=0, jos e^{4a}=\ln 4, eli a=\frac{\ln \ln 4}{4}\approx 0{,}082. Valitsemalla a <\frac{\ln \ln 4}{4}, varmistetaan, että f(4) <0.
1
Tällöin saadaan täsmälleen kaksi nollakohtaa, sillä kun x\rightarrow \infty, niin f(x)>0 ja lisäksi esimerkiksi f(1)>0. 1
Osoitetaan, että leikkauspisteitä voi olla täsmälleen 0:
Koska \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f'(x)=-\infty ja \displaystyle\lim_{x\to \infty} f'(x)=\infty, on derivaatalla nollakohta.
1
Valitsemalla a=100 nähdään, että derivaatan nollakohdan täytyy olla välillä 0<x<1. Lisäksi f(x)>0, kun 0<x<1, sillä \ln x<0. Siispä funktiolla ei ole nollakohtia, kun a=100. 1
Funktion f lauseke on jatkuva myös parametrin a suhteen. Kun a vähenee luvusta 100 lukuun a=\frac{\ln \ln 4}{4}, saadaan jatkuvuuden nojalla jokin parametrin arvo, jossa on täsmälleen yksi nollakohta. 1
Se, että leikkauspisteitä voi olla täsmälleen 0, 1 tai 2 (viimeiset viisi pistettä) voi päätellä myös geometrisemmalla tavalla tarkastelemalla funktion kuvaajia parametrin a eri arvoilla.