Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

21.9.2021

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 11.11.2021

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy oikeassa sarakkeessa olevaan pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esim. derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Suluissa olevat pisteet saa automaattisesti, jos seuraava rivi on kunnossa.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty kirjoittamalla täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37{,}5 ja 40 kelpaavat.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esim. laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Teksti "Riippumaton piste" tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä. Teksti "Johtopäätös" korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esim. tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esim. x=2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esim. puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

A-osa

1. Sopivia lukuja 12 p.

1.1 Mikä on lausekkeen 1-3x arvo, kun x=2? 3 p.

  • -5 (3 p.)

1.2 Jonon (a_n) yleinen termi on muotoa a_n=3\cdot 2^n, n\in \mathbb{N}. Mikä on termi a_3? 3 p.

  • 24 (3 p.)

1.3 Jono (b_n) toteuttaa ehdot b_6=6 ja b_{n+1}=b_n+4, n\in \mathbb{N}. Mikä on termi b_4? 3 p.

  • -2 (3 p.)

1.4 Polynomi (x^2+5x+1)(x+3) kerrotaan auki, jolloin muodostuu kolmannen asteen polynomi. Mikä on sen toisen asteen termin kerroin? 3 p.

  • 8 (3 p.)

2. Geometrisia pikkutehtäviä 12 p.

2.1 Paraabelit y=4x^2 ja y=x^2-1 2 p.

  • eivät leikkaa (2 p.)

2.2 Pisteiden (1,6) ja (-1,-6) välisen janan keskinormaalin kulmakertoimelle k on voimassa 2 p.

  • -1<k<0 (2 p.)

2.3 Ympyrän 9x^2+9y^2=1 säde on 2 p.

  • 1/3 (2 p.)

2.4 Tasokäyrä koostuu kaikista niistä pisteistä, jotka ovat yhtä kaukana yhdestä kiinteästä pisteestä ja yhdestä kiinteästä suorasta. Tämä tasokäyrä on 2 p.

  • paraabeli (2 p.)

2.5 Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä \cos(3x)=0\mathrm{,}5 välillä 0<x<\pi? 2 p.

  • 3 (2 p.)

2.6 Ympyrälle (x-1)^2+(y-1)^2=4 on piirretty tangentti, joka kulkee pisteen (0,-4) kautta. Tangentti 2 p.

  • voi olla laskeva tai nouseva (2 p.)

3. Integraaleja 12 p.

\int (x^2+1)\,dx = \frac{1}{3}x^3 +x+C (1/3 1 p., x^3 1 p., x 1 p., integrointivakio C 1 p.). 4 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Vain integrointivakio oikein 0 p.
\int_{0}^{\pi/2} \cos (2x)\,dx = \frac{1}{2} \big/_{\!0}^{\pi/2} \sin (2x) 2 p.
=\frac{1}{2} (\sin \pi - \sin 0) 1 p.
=0. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Laskujen välivaiheissa väärä vakiokerroin (esim. vakiokertoimena 1) –1 p.
Laskettu "pinta-alana", jolloin tulos on 1. max 2 p.
Integraalifunktiossa suurempi virhe kuin väärä vakiokerroin 0 p.
\int_{-1}^1 |x|^3\, dx = 2 \int_0^1 x^3\,dx TAI =\int_{-1}^0 -x^3\,dx+\int_0^1 x^3\,dx 2 p.
=2\big/_{\!0}^1 \frac{x^4}{4} TAI =\big/_{\!-1}^0 -\frac{x^4}{4}+ \big/_{\!0}^1 \frac{x^4}{4} 1 p.
= \frac{1}{2}. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
\int_{-1}^1 |x^3| dx = \bigg/_{-1}^1 \frac14 |x^4| TAI \int_{-1}^1 |x|^3\, dx = \int_{-1}^1 x^3\,dx 0 p.
Väärä integraalifunktio (2+0+0) max 2 p.
Integraali jaettu osiin, mutta osiin jakamisessa merkkivirhe (1+1+0) max 2 p.

4. Tasokäyrä 12 p.

(\overline{i}-\overline{j})\cdot \overline{v}(3)=(\overline{i}-\overline{j})\cdot \left(3\overline{i}+\frac{1}{3^2}\overline{j}\right)=3-\frac{1}{9}=\frac{26}{9}. 3 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Sijoitus oikein 1 p., pistetulon laskun idea oikein 1 p., vastaus oikein 1 p.
Vähäinen laskuvirhe alussa (0+1+1) max 2 p.
Vastauksena pelkkä likiarvo max 2 p.
Käytetään vektorin pituuden määritelmää: \sqrt{3^2+\left(\frac{1}{3^2}\right)^2} 1 p.
=\frac{1}{9}\sqrt{730} \ (\approx 3{,}002) TAI =\sqrt{730/81} 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Vastauksena pelkkä likiarvo tai juuren alla sekamurtoluku (1+0). max 1 p.
Minimoidaan vektorin \overline{v} pituus, eli lauseke \sqrt{t^2+\frac{1}{t^4}}. (Riittää, että minimoidaan juurrettava.) 1 p.
Riippumaton rivi: Derivaatan idea. 1 p.
Juurrettavan derivaatta on 2t-\frac{4}{t^5}. 1 p.
Jos derivaatta on nolla, niin 2t-\frac{4}{t^5}=0. Tästä saadaan t^6=2, eli t=\pm \sqrt[6]{2},
joista valitaan positiivinen (koska t>0). 		2 p.
Pienin arvo saavutetaan siis pisteessä t=\sqrt[6]{2}. 1 p.
Tämä perusteltu: Merkkikaavio on muotoa -|+. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Juurrettavana väärä funktio t^2+\frac{1}{t^2}  (0+1+1+0+0+0) max 2 p.
Väärä funktio, joka ei ole muotoa at^2+\frac{b}{t^4}, eikä yllämainittu poikkeus  (0+1+0+0+0+0) max 1 p.
Väärä funktio, joka on muotoa at^2+\frac{b}{t^4}  (0+1+1+2+0+1) max 5 p.
Pelkkä likiarvovastaus max 5 p.

B1-osa

5. Ilmanpaine 12 p.

Ilmanpaine 2 km:n korkeudessa on 101{,}3\left(1-\frac{0,009\,76\cdot 2\,000}{301}\right)^{3,5} (kerroin, nimittäjä, osoittajan kertolasku, potenssi, kaikki termit mukana lausekkeessa 1+1+1+1+1) 5 p.
täsmälleen \approx80{,}111 (kPa) 1 p.
ja 3 km:n korkeudessa 101{,}3\left(1-\frac{0,009\,76\cdot 3\,000}{301}\right)^{3,5} (lauseke oikein) 1 p.
täsmälleen \approx70{,}803 (kPa). 1 p.
Ilmanpaine vähenee/muuttuu siis 80{,}111-70{,}803=9{,}308 (kPa). (2 p.)
Se vähenee/muuttuu siis \frac{9,308}{80,111}\approx 11{,}6\ \%. (Tarkkuus: 11{,}62 TAI 11{,}6 TAI 12 TAI 10). 2 p.
Ratkaisun yleisohjeet:
Rivien 1 ja 3 laskut voivat olla toisessakin järjestyksessä. Idea on se, että rivin 1 pisteet annetaan ensimmäisistä onnistuneista sijoituksista.
Rivien 2 ja 4 tuloksia ei tarvitse laskea auki, mutta rivin pisteet menettää automaattisesti, mikäli vastaava lauseke on väärin.
Ylimääräisiä yksikköjä lausekkeissa, ei vaikutusta laskuihin –0 p.
Paineet negatiiviset, viimeisiltä riveiltä max 1+1
Vertailun nimittäjässä paine 3 km:ssa (70{,}803), jolloin vastaus \approx 0{,}13146\dots  (5+1+1+1+2+0) max 10 p.
Alkupiste (ei additiivinen muiden pisteiden kanssa): piirretty kuvaaja 1 p.

6. Yhtälöitä tasossa 12 p.

Pisteet toteuttavat ympyrän yhtälön. (1 p.)
(x+3)^2+(y-1)^2=4^2 (ei tarvitse olla sievennetty). 2 p.
Selvästi oikea käsitys siitä, miksi tasokuviota ei voi esittää muodossa y=f(x), sillä tasokuvio (ympyrä) ei ole funktion kuvaaja, (2 p.)
koska kuviossa on kaksi eri muuttujan y arvoa (kun -7 <x <1). 1 p.
(Esimerkiksi pistettä x=-3 vastaavat arvot y=5 ja y=-3.)
Piirretty kuva ympyrästä x^2+(y-2)^2=4. (1 p.)
Hahmoteltu kuvaan kysytyt ympyrät (silmämääräisesti suurinpiirtein oikein) TAI yleinen yhtälö (x-1)^2+(y-2)^2=r^2. 1 p.
Saatu ympyröiden yhtälöt (x-1)^2+(y-2)^2=1 ja (x-1)^2+(y-2)^2=9. 1+1 p.
Perusteltu, miksi saatu yhtälö on/saadut yhtälöt ovat oikeiden ympyröiden yhtälöt (esim. koska ympyröiden keskipisteiden ja sivuamispisteiden y-koordinaatit ovat 2). 1 p.
Perusteltu, miksi ei ole muita mahdollisia ympyröitä. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Pelkät vastaukset 0 p.

7. Avaruuskappale 12 p.

Pohja näyttää oikealta ja perustelu/komennot.

2 p.

Sivutahkot näyttävät oikeilta ja perustelu/komennot.

2 p.
Osatehtävän erillisohjeet:

Perusteluksi ei riitä, että on mitattu yksittäisen sivun pituus tai kirjoitettu yksittäisen sivun pituus, vaan mikäli perustelu on tehty mittaamaalla, täytyy olla mitattuna riittävä määrä sivuja ja niiden pituudet algebraikkunassa tai muussa luotettavassa lähteessä.

Ratkaisu on tehty piirtämällä ensin kuva tilanteesta ja sen jälkeen lukemalla kuvasta GeoGebran komennoin kaikki oleellinen, esimerkiksi seuraavasti:

Konstruktio. Käytetään viisikulmiotyökalua. Piirretään ympyrä kolmen kärjen kautta. Ympyrän keskipisteeseen piirretään z-akseli. Kärkipisteeseen piirretään pallo(pinta), jonka säde on yhtä pitkä kuin viisikulmion sivu. Pallon ja z-akselin leikkaus on piste F.

Approksimaatio: Piirretty ensin origokeskinen ympyrä xy-tasoon käyttäen toimintoa, jolle annetaan ympyrän keskipiste ja yksi kehän piste. Tämän jälkeen saman kehän pisteen kautta on GeoGebran säännöllisen monikulmion toiminnon avulla piirretty viisikulmio, joka on zoomaamalla aseteltu ympyrälle. Sitten ympyrää on skaalattu niin, että viisikulmion sivuksi on saatu 1. Tämän jälkeen viisikulmiolta on valittu kaksi vierekkäistä kärkeä, joiden avulla on piirretty kolmio, jonka kolmas kärki on z-akselilla. Kolmatta kärkeä on liu'utettu niin, että kolmion kaikki sivut on saatu ykkösen mittaisiksi. Tämän jälkeen z-akselilla oleva piste on yhdistetty viisikulmion kärkiin.

Käytetään Geogebran kulmanmittaustoimintoa antamalla sille syötteeksi kartion huippu, yksi viisikulmion kärjistä ja viisikulmion keskipiste. 1 p.
Kulman suuruus on noin 31{,}72 astetta. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Oikea idea ja oikea tulos 1+1 p.
Sallittu tarkkuus 31-32
Jotta saadaan tahkon ja pohjan välinen kulma, määritetään ensin viisikulmion jonkin sivun keskipiste GeoGebran keskipisteen antavalla komennolla. 1 p.
Käytetään Geogebran kulmanmittaustoimintoa antamalla sille syötteeksi kartion huippu, äsken määritetty keskipiste sekä viisikulmion keskipiste.
Kulman suuruudeksi saadaan noin 37{,}38 astetta. 		1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Oikea idea ja oikea tulos 1+1 p.
Sallittu tarkkuus 37-38
Viisikulmion piirtämiseen käytetty käsky antoi automaattisesti myös viisikulmion pohjan alan. Se on n. 1{,}72 ja kuvion korkeus on n. 0{,}53. 1 p.
Kartion tilavuus on pohjan ja korkeuden tulo jaettuna kolmella. Tämän kappaleen tilavuus on siten \frac{1}{3}\cdot 1{,}72\cdot 0{,}53 \approx 0{,}3. 1 p.
Tehtävässä kartion sivujen pituus on a. Piirroksessa se on 1, joten tilavuus on kerrottava luvulla a^3. 1 p.
Tilavuus on siis 0{,}3a^3. 1 p.
TAI (algebrallinen ratkaisu)
Pohjan ala on n. 1,72a^2 (laskettu oikein, järkevä tarkkuus tai tarkka arvo, a mukana) 1 p.
Korkeus on n. 0,53a (laskettu oikein, järkevä tarkkuus tai tarkka arvo, a mukana) 1 p.
Tilavuus saadaan kertomalla pohjan ala korkeudella ja jakamalla kolmella. 1 p.
Tilavuus on siis n. 0,3a^3. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Tilavuus suoraan työkalulla: Komento näkyvissä ja kappale oikea + sivujen pituus 1 tai normeeraus + kertominen luvulla a^3 + vastaus  1+1+1+1 max 4 p.
Tehtävän ratkaisujen yleisohjeet:
Approksimaatioratkaisulla voi päätyä myös hieman poikkeaviin arvioihin kulmista.
Jos kuva on väärin, mutta kuitenkin viisikulmiopohjainen kartio, eivätkä saadut mitat mahdu annettujen tarkkuuksien rajoihin, alakohdista 2–4: 1/1/3
Jos kappale ei ole viisikulmiopohjainen kartio 0 p.

8. Raja-arvon suhteellinen virhe 12 p.

Lausekkeeseen on sijoitettu t=\frac\pi4+10^{-2} tai t=\frac\pi4+10^{-3} tai t=\frac\pi4+10^{-4}. (1 p.)
Laskettu likiarvot 0{,}703\,559; 0{,}706\,753 ja 0{,}707\,071. 3 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Vaadittu tarkkuus 4 desimaalia tai tarkempi
Tarkkuus 1–3 desimaalia –1 p.
Väärät sijoitukset eivät tuota pisteitä.
Laskin asteilla, väärät tulokset 1+0 max 1 p.
Kyseessä on sinifunktion erotusosamäärä kohdassa \frac\pi4. 1 p.
Tiedetään, että D\sin x= \cos x. (1 p.)
Raja-arvo on siis \cos (\frac\pi4)=\frac1{\sqrt{2}}. 2 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Laskimelta otettu raja-arvo ei riitä, vaan ratkaisussa pitää tehtävänannon mukaisesti tulkita lauseke erotusosamääränä. max 0 p.
Laskettu likiarvo/tarkka 1 p.
ja saatu ensimmäinen suhteellinen virhe -0{,}005\,017. 1 p.
Muut suhteelliset virheet -0{,}000\,500 ja -0{,}000\,050. 1+1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Vaaditaan tarkkuus, joka ei pyöristä vastausta nollaksi.
Hyväksytään negatiiviset ja positiiviset arvot.
Vastaus voi olla prosentteina.

9. Tilin tyhjennys 12 p.

Yhtälö on muotoa 20x+50y=370, (x, y\in\mathbf{N}) TAI 2x+5y=37 TAI vastaava. 3 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
x ja y väärinpäin –1 p.
Vääriä vakioita: jokaista väärää vakiota kohti –1 p.
Idea arvojen rajoittamisesta + yläraja + alaraja 1+1+1 p.
Suljettu pois arvot, jotka eivät toteuta yhtälöä tarkasteluvälillä (esim. vetoamalla pariteettiin välillä 0\leq y\leq 7 TAI taulukointi, tms.). 3 p.
Tarkistetaan, että seuraavat neljä ovat mahdollisia ratkaisuja. Jos y=1, niin x=16, jos y=3, niin x=11, jos y=5, niin x=6, ja jos y=7, niin x=1. 2 p.
Vastaus: 4 eri tapaa. 1 p.
TAI (taulukointiratkaisu tai graafinen ratkaisu)
Löydetty ja verifioitu kaikki ratkaisut 2 p.
kattavalla taulukoinnilla tai kuvasta (vähintään 0\le y\le 7 tai vast. 0\le x \le 18). 3 p.
Siispä 4 ratkaisua 1 p.
Riippumaton rivi: eksplisiittinen perustelu, ettei ole muita: esim. idea arvojen rajoittamisesta + yläraja + alaraja 1+1+1 p.
TAI (Diofantoksen yhtälön ratkaisukaavalla)
Löydetty ja verifioitu yksi ratkaisu. 1 p.
Käytetty Diofantoksen yhtälön ratkaisukaavaa oikeilla luvuilla. 2 p.
Idea arvojen rajoittamisesta + yläraja + alaraja 1+1+1 p.
Sijoitukset järkevällä välillä kaavaan. 2 p.
Siispä 4 ratkaisua 1 p.

B2-osa

10. Osittaisderivaatta 12 p.

f_x(x, y)=4x^3+32, piste per termi 2 p.
f_y(x, y)=2y-6, piste per termi 2 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Kukin väärä termi –1 p.
f_x(x, y)=0, kun 4x^3+32=0, eli x=-2. (Pisteet: yhtälö + muoto x^3=-8 tai Solve oikealle yhtälölle + x=-2) 3 p.
f_y(x, y)=0, kun 2y-6=0, eli y=3. 2 p.
Pienin arvo on siis f(-2, 3)=(-2)^4+32\cdot (-2)+3^2-6\cdot 3+60 1 p.
=3. 2 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Selvästi väärä vastaus (negatiivinen tai suurempi kuin 10): viimeiseltä riviltä ei pisteitä.
Omalla väärällä funktiolla toisesta osatehtävästä: mikäli 3. asteen muuttujan x polynomi, jolla nollasta poikkeava vakiotermi sekä lineaarinen muuttujan y funktio, jolla nollasta poikkeava vakiotermi max 8 p.
fMin + 0 p.
Tehtävän ratkaisujen yleisohjeet:
Epästandardi merkintä, joka ei aiheuta sekaannuksia. –0 p.
Selvästi virheellisiä merkintöjä, esim. vastaus muodossa (-2,3,3): koko tehtävästä –1 p.

11. Noppapeli 12 p.

Pelaaja A voittaa 1. heitollaan todennäköisyydellä \frac{2}{6}=\frac{1}{3} TAI \frac{2}{6}\approx 33{,}3 %. 2 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Pelkkä vastaus 33{,}3 % TAI \frac{1}{3} 1 p.
Pelaaja A ei voita ensimmäisellä heitollaan todennäköisyydellä \frac{2}{3}, 1 p.
ja pelaaja B voittaa omalla heittovuorollaan todennäköisyydellä \frac{1}{2}, 1 p.
joten todennäköisyys sille, että peli päättyy pelaajan B ensimmäiseen heittovuoroon, on \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}. 2 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Laskettu likiarvoilla –1 p.
Tulokaava omilla luvuilla +1 p.
Mikäli siirrytään n:nnelle kierrokselle, ovat pelaajien A ja B todennäköisyydet voittaa samat kuin ensimmäiselläkin kierroksella. 1 p.
Pelissä mennään toiselle kierrokselle todennäköisyydellä 1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}. 1 p.
(Kierroksella k voittotodennäköisyys on \frac{1}{3^k}, joten) Kummankin pelaajan todennäköisyys voittaa on siis \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k} 2 p.
=\frac{1}{2}. 2 p.
Osatehtävän ratkaisun erillisohjeet:
Yllä oleva tehty vain pelaajalle A tai B, käytetty komplementtia toiselle, eikä todettu, että peli päättyy todennäköisyydellä 1. –1 p.
Laskuvirhe rivillä 2, mutta summat loppuun saakka (1+0+2+1) max 4 p.
Laskettu 2. kierros tai enemmän tapauksia oikein, mutta ei yleistä tapausta (1+1+0+0) 2 p.
TAI (päättelyratkaisu)
Ensimmäisellä kierroksella kummankin pelaajan todennäköisyys on sama. 1 p.
Tämä pätee myös muilla kierroksilla, koska aikaisemmat kierrokset eivät vaikuta. 1+1 p.
Siten kummankin voittotodennäköisyys on sama, eli \frac12, 2 p.
sillä todennäköisyys sille, että peli ei pääty, on 0. 1 p.

12. Paraabelialueita 12 p.

Muodostettu yhtälöpari sijoittamalla pisteet yhtälöön y=ax^2+bx+c. (1 p.)
Paraabelin yhtälö on y=ax^2-a, missä a\in \mathbf{R}\setminus\{0\}. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Jälkimmäisen kohdan piste edellyttää, että a\ne 0 on mainittu.
Riippumaton rivi: Riittää, kun tarkastellaan leikkauspistettä kohdassa x=1, sillä tilanteet ovat symmetriset. 1 p.
Paraabelin y=ax^2-a tangentin kulmakerroin pisteessä x=1 on 2a (derivaatta + sijoitus). 1+1 p.
Kaksi paraabelia y=ax^2-a ja y=bx^2-b leikkaavat siis kohtisuorassa, jos 2a\cdot 2b=-1 1 p.
eli b=-\frac{1}{4a} TAI 4ab=-1 TAI ab=-\frac{1}{4}. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Laskettu paraabelilla y=ax^2+c havaitsematta missään vaiheessa a=-c, tällöin 0+2+0+0 max 2 p.
Laskettu paraabeleilla y=ax^2-a ja y=-ax^2+a, tällöin 1+2+0+0 max 3 p.
Pinta-ala on \int_{-1}^1(bx^2-b-ax^2+a)\,dx, missä b <0 <a ja b=-\frac{1}{4a}. 1 p.
Lasketaan integraali: \int_{-1}^1(bx^2-b-ax^2+a)\,dx=(b-a) \big/_{\!-1}^{1}(\frac{1}{3}x^3-x) 1 p.
=-\frac{4}{3}(b-a)=\frac{4}{3}\left(a+\frac{1}{4a}\right). 1 p.
Lausekkeen a+\frac{1}{4a} minimi saavutetaan, kun a=\frac{1}{2}, 1 p.
joten pinta-alan pienin arvo on \frac{4}{3}. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Integrointi täysin väärällä paraabelilla (esim. a=\frac{1}{2}) max 0 p.
Kohdasta 2 periytynyt laskuvirhe max 5 p.
Ratkaisun yleisohjeet:
Alkupiste: Annettu 1. osatehtävässä toimiva esimerkki paraabelista TAI mainittu mielekkäästi ehto k_1k_2=-1 1 p.

13. Eksponenttiyhtälö 12 p.

Tarkastellaan (jatkuvan) funktion f(x)=e^{ax}-\ln x nollakohtien lukumäärää. 1 p.
Derivaatta f'(x)=ae^{ax}-\frac{1}{x}. 1 p.
Riippumaton rivi: Toinen derivaatta f''(x)=a^2e^{ax}+\frac{1}{x^2}>0 2 p.
Riippumaton rivi: Toinen derivaatta on positiivinen, ensimmäinen derivaatta on siis aidosti kasvava, joten sillä on korkeintaan yksi nollakohta. Alkuperäisellä funktiolla on siten korkeintaan kaksi nollakohtaa. Leikkauspisteitä on vastaavasti korkeintaan kaksi. 3 p.
Osoitetaan, että leikkauspisteitä voi olla ainakin 2:
Tarkastellaan esimerkiksi pistettä x=4. Tällöin f(4)=e^{4a}-\ln 4=0, jos e^{4a}=\ln 4, eli a=\frac{\ln \ln 4}{4}\approx 0{,}082. Valitsemalla a <\frac{\ln \ln 4}{4}, varmistetaan, että f(4) <0. 		1 p.
Tällöin saadaan täsmälleen kaksi nollakohtaa, sillä kun x\rightarrow \infty, niin f(x)>0 ja lisäksi esimerkiksi f(1)>0. 1 p.
Osoitetaan, että leikkauspisteitä voi olla täsmälleen 0:
Koska \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f'(x)=-\infty ja \displaystyle\lim_{x\to \infty} f'(x)=\infty, on derivaatalla nollakohta. 		1 p.
Valitsemalla a=100 nähdään, että derivaatan nollakohdan täytyy olla välillä 0<x<1. Lisäksi f(x)>0, kun 0<x<1, sillä \ln x<0. Siispä funktiolla ei ole nollakohtia, kun a=100. 1 p.
Funktion f lauseke on jatkuva myös parametrin a suhteen. Kun a vähenee luvusta 100 lukuun a=\frac{\ln \ln 4}{4}, saadaan jatkuvuuden nojalla jokin parametrin arvo, jossa on täsmälleen yksi nollakohta. 1 p.
Ratkaisun yleisohjeet:
Kolmannen ja neljännen rivin pisteet voi ansaita myös tarkastelemalla 1. derivaattaa.
Sen, että leikkauspisteitä voi olla täsmälleen 0, 1 tai 2 (viimeiset viisi pistettä) voi päätellä myös geometrisemmalla tavalla tarkastelemalla funktion kuvaajia parametrin a eri arvoilla.
Pelkkä GeoGebra-tarkastelu  (0+0+0+0+0+1+0+1+1) max 3 p.
TAI
Yhtälöstä e^{ax}=\ln{x} ratkaistuna a=\frac{\ln{(\ln{x})}}{x}=g(x). 1 p.
Nyt g'(x)=\frac{\frac{1}{\ln{x}}-\ln{(\ln{x})}}{x^2}, 1 p.
ja derivaatan ainoa nollakohta on vaikkapa laskimella ratkaistuna likimain x_0 \approx 5{,}83120… 1 p.
Perusteltu, ettei muita derivaatan nollakohtia ole (solve ei riitä perusteluksi). 2 p.
Koska g’(5) > 0 ja g’(6)<0, niin funktion g maksimi on g(x_0) =0{,}0972601\ldots 2 p.
Tietyllä parametrin a arvolla ratkaisuja on korkeintaan 2, koska g koostuu kahdesta aidosti monotonisesta osasta. 2 p.
Edellisen perusteella:
Kun a>0{,}0972601\ldots, ratkaisuja ei ole. 1 p.
Kun a = 0{,}0972601\ldots, ratkaisuja on yksi. 1 p.
Kun 0<a <0{,}0972601\ldots, ratkaisuja on kaksi. 1 p.
Ratkaisun yleisohjeet:
Testausratkaisu: GeoGebran (tms.) avulla löydetty eri vaihtoehdot toteuttavat parametrin a arvot vähintään tarkkuudella 0{,}097  (0+0+0+0+0+0+1+1+1) max 3 p.