Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, lång lärokurs

21.9.2021

Slutgiltiga beskrivningar av goda svar 11.11.2021

Grunderna enligt vilka bedömningen gjorts framkommer i de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar. Uppgiften om hur bedömningsgrunderna tillämpats på examinandens provprestation utgörs av de poäng som examinanden fått för sin provprestation, de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar och de föreskrifter gällande bedömningen som nämnden gett i sina föreskrifter och anvisningar. De slutgiltiga beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svarsalternativ eller alla godkända detaljer i ett godkänt svar. Eventuella bedömningsmarkeringar i provprestationerna anses vara jämställbara med anteckningar och sålunda ger de, eller avsaknaden av markeringar, inte direkta uppgifter om hur bedömningsgrunderna tillämpats på provprestationen.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal i den högra kolumnen för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Poäng i parentes ges automatiskt om följande rad är i skick.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med ordet exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Texten "Oberoende poäng" betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad. Texten "Slutsats" poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
  • Terminologi
    • "Svar räcker" betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • "Startpoäng" betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • "maxN" betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • "Svaret endast som närmevärde" betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (t.ex. noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (t.ex. x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (t.ex. parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt "i kedja", m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.

Del A

1. Passande tal 12 p.

1.1 Vilket är värdet av uttrycket 1-3x, då x=2? 3 p.

  • -5 (3 p.)

1.2 Den allmänna termen i talföljden (a_n) är a_n=3\cdot 2^n, n\in \mathbb{N}. Vilken är termen a_3? 3 p.

  • 24 (3 p.)

1.3 Talföljden (b_n) uppfyller villkoren b_6=6 och b_{n+1}=b_n+4, n\in \mathbb{N}. Vilken är termen b_4? 3 p.

  • -2 (3 p.)

1.4 Vi avlägsnar genom multiplikation parenteserna i polynomet (x^2+5x+1)(x+3), genom vilket ett polynom av tredje graden bildas. Vilken är koefficienten för polynomets andragradsterm? 3 p.

  • 8 (3 p.)

2. Geometriska småuppgifter 12 p.

2.1 Parablerna y=4x^2 och y=x^2-1 2 p.

  • skär inte varandra (2 p.)

2.2 För riktningskoefficienten k för mittpunktsnormalen till den sträcka som har ändpunkterna (1,6) och (-1,-6) gäller 2 p.

  • -1<k<0 (2 p.)

2.3 Cirkeln 9x^2+9y^2=1 har radien 2 p.

  • 1/3 (2 p.)

2.4 En kurva i planet utgörs av alla de punkter som har samma avstånd till en fast punkt som till en fast rät linje. Denna kurva är en 2 p.

  • parabel (2 p.)

2.5 Hur många lösningar har ekvationen \cos(3x)=0\mathrm{,}5 i intervallet 0<x<\pi? 2 p.

  • 3 (2 p.)

2.6 Till cirkeln (x-1)^2+(y-1)^2=4 dras en tangent som går genom punkten (0,-4). Tangenten 2 p.

  • kan vara fallande eller stigande (2 p.)

3. Integraler 12 p.

\int (x^2+1)\,dx = \frac{1}{3}x^3 +x+C (1/3 1 p., x^3 1 p., x 1 p., integrationskontant C 1 p.). 4 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Endast integrationskonstanten korrekt 0 p.
\int_{0}^{\pi/2} \cos (2x)\,dx = \frac{1}{2} \big/_{\!0}^{\pi/2} \sin (2x) 2 p.
=\frac{1}{2} (\sin \pi - \sin 0) 1 p.
=0. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Fel konstant faktor i mellanstegen (exempelvis konstant faktor 1) –1 p.
Beräknat "som en area", varvid resultatet är 1. max 2 p.
Större fel än felaktig konstant faktor i integralfunktionen 0 p.
\int_{-1}^1 |x|^3\, dx = 2 \int_0^1 x^3\,dx ELLER =\int_{-1}^0 -x^3\,dx+\int_0^1 x^3\,dx 2 p.
=2\big/_{\!0}^1 \frac{x^4}{4} ELLER =\big/_{\!-1}^0 -\frac{x^4}{4}+ \big/_{\!0}^1 \frac{x^4}{4} 1 p.
= \frac{1}{2}. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
\int_{-1}^1 |x^3| dx = \bigg/_{-1}^1 \frac14 |x^4| ELLER \int_{-1}^1 |x|^3\, dx = \int_{-1}^1 x^3\,dx 0 p.
Fel integralfunktion  (2+0+0) max 2 p.
Integralen indelad i delar, men teckenfel i indelningen  (1+1+0) max 2 p.

4. En kurva i planet 12 p.

(\overline{i}-\overline{j})\cdot \overline{v}(3)=(\overline{i}-\overline{j})\cdot \left(3\overline{i}+\frac{1}{3^2}\overline{j}\right)=3-\frac{1}{9}=\frac{26}{9}. 3 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Substitutionen korrekt 1 p., korrekt ansats för hur den skalära produkten beräknas 1 p., svaret korrekt 1 p.
Mindre räknefel i början  (0+1+1). max 2 p.
Endast närmevärde som svar. max 2 p.
Definitionen för längden av en vektor används: \sqrt{3^2+\left(\frac{1}{3^2}\right)^2} 1 p.
=\frac{1}{9}\sqrt{730} \ (\approx 3{,}002) ELLER =\sqrt{730/81} 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Endast närmevärde som svar eller ett bråk i blandad form under kvadratroten  (1+0). max 1 p.
Längden av vektorn \overline{v} minimeras, dvs. uttrycket \sqrt{t^2+\frac{1}{t^4}}. (Det räcker om man minimerar uttrycket under kvadratroten.) 1 p.
Oberoende rad: en idé om användning av derivatan. 1 p.
Rotuttryckets derivata är 2t-\frac{4}{t^5}. 1 p.
Om derivatan är noll så är 2t-\frac{4}{t^5}=0. Av detta följer t^6=2, dvs. t=\pm \sqrt[6]{2},
av vilka vi väljer det positiva talet (eftersom t>0). 		2 p.
Det minsta värdet fås i punkten t=\sqrt[6]{2}. 1 p.
Motivering för detta: Teckenschemat är i formen -|+. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Fel funktion under kvadratroten t^2+\frac{1}{t^2}  (0+1+1+0+0+0) max 2 p.
Fel funktion, som inte är i formen at^2+\frac{b}{t^4}, och inte är det ovan nämnda undantaget  (0+1+0+0+0+0) max 1 p.
Fel funktion, som är i formen at^2+\frac{b}{t^4}  (0+1+1+2+0+1) max 5 p.
Endast närmevärdessvar max 5 p.

Del B1

5. Lufttryck 12 p.

Lufttrycket på 2 kilometers höjd är 101{,}3\left(1-\frac{0,009\,76\cdot 2\,000}{301}\right)^{3,5} (koefficient, nämnare, täljarens multiplikation, potensen, alla termer med i uttrycket  1+1+1+1+1) 5 p.
exakt \approx80{,}111 (kPa) 1 p.
och på 3 kilometers höjd 101{,}3\left(1-\frac{0,009\,76\cdot 3\,000}{301}\right)^{3,5} (uttrycket korrekt) 1 p.
exakt \approx70{,}803 (kPa). 1 p.
Lufttrycket minskar/förändras alltså med 80{,}111-70{,}803=9{,}308 (kPa). (2 p.)
Det minskar/förändras alltså \frac{9,308}{80,111}\approx 11{,}6\ \%. (Noggrannhet: 11{,}62 ELLER 11{,}6 ELLER 12 ELLER 10). 2 p.
Allmänna anvisningar för lösningen:
Uträkningarna för raderna 1 och 3 kan vara i en annan ordningsföljd. Principen är att den första radens poäng ges för de första lyckade substitutionerna.
Resultaten i raderna 2 och 4 behöver inte räknas ut, men radens poäng förloras automatiskt om det motsvarande uttrycket är felaktigt.
Överflödiga enheter i uttrycken, ingen inverkan på uträkningarna. –0 p.
Trycken negativa, av de sista raderna max 1+1
I förhållandets nämnare trycket på 3 kilometers höjd (70{,}803), varvid svaret blir \approx 0{,}13146\dots  (5+1+1+1+2+0) max 10 p.
Startpoäng (inte additivt med de övriga poängen): ritad graf. 1 p.

6. Ekvationer i planet 12 p.

Punkterna satisfierar ekvationen för cirkeln. (1 p.)
(x+3)^2+(y-1)^2=4^2 (behöver inte vara förenklat). 2 p.
Examinanden har en klart korrekt uppfattning om varför planfiguren inte kan framställas i formen y=f(x), etfersom planfiguren (cirkeln) inte utgör grafen av en funktion, (2 p.)
eftersom figuren har två olika värden på variabeln y (då -7 <x <1). 1 p.
(Exempelvis är de värden som motsvarar punkten x=-3 följande: y=5 och y=-3.)
En uppritad figur av cirkeln x^2+(y-2)^2=4. (1 p.)
Examinanden har i en figur skisserat de efterfrågade cirklarna (i stora drag korrekt på ögonmått) ELLER allmän ekvation (x-1)^2+(y-2)^2=r^2. 1 p.
Examinanden har fått fram ekvationerna (x-1)^2+(y-2)^2=1 och (x-1)^2+(y-2)^2=9. 1+1 p.
Examinanden har motiverat varför den ekvation/de ekvationer som tagits fram är ekvationerna för de korrekta cirklarna (exempelvis eftersom y-koordinaterna för cirklarnas medelpunkter och tangeringspunkter är 2). 1 p.
Motivering för varför det inte finns andra möjliga cirklar. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Endast svar. 0 p.

7. Rymdkropp 12 p.

Bottnen ser korrekt ut samt motivering/kommandon. 2 p.
Sidoytorna ser korrekta ut samt motivering/kommandon. 2 p.

Specifika anvisningar för deluppgiften:

Som motivering räcker inte att man har mätt längden på en enskild sida eller skrivit upp längden på en enskild sida, utan om motiveringen är gjord genom mätning så måste ett tillräckligt antal sidor vara uppmätta och deras längder finnas i algebrafönstret eller i en annan pålitlig källa.

Lösningen har gjorts genom att examinanden först ritat en figur av situationen och sedan avläst allt väsentligt genom Geogebras kommandon, exempelvis på följande sätt:

Konstruktion. Femhörningsverktyget används. En cirkel ritas genom tre hörn. I cirkelns medelpunkt ritas z-axeln upp. Med en hörnpunkt som medelpunkt ritas en sfär, vars radie är femhörningens sida. Skärningspunkten mellan sfären och z-axeln är punkten F.

Approximation: Först har examinanden ritat en origocentrerad cirkel i xy-planet genom att använda ett kommando som använder sig av cirkelns medelpunkt och en punkt på cirkeln. Efter detta har hen med hjälp av kommandot regelbunden månghörning ritat en femhörning genom samma punkt på cirkeln. Genom att zooma har femhörningen justerats till cirkeln. Därefter har cirkeln skalats upp så att femhörningens sida är 1. Därefter har examinanden valt två närliggande hörn till femhörningen genom vilka hen har ritat en triangel, vars tredje hörn ligger på z-axeln. Det tredje hörnet får glida längs axeln tills triangelns alla sidor har längden ett. Efter detta har punkten på z-axeln förbundits med femhörningens hörn.

Vinkelmätningskommandot i Geogebra används genom att man använder sig av konens topp, en av femhörningens hörn och femhörningens medelpunkt. 1 p.
Vinkelns storlek är cirka 31{,}72 grader. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Rätt idé och korrekt resultat. 1+1 p.
Tillåten noggrannhet 31-32.
För att få vinkeln mellan sidoytan och basytan bestämmer man först mittpunkten på en av femhörningens sidor med hjälp av det Geogebra-kommando som ger mittpunkten. 1 p.
Vinkelmätningskommandot i Geogebra används genom att man använder sig av konens topp, den ovan nämnda mittpunkten och femhörningens medelpunkt.
Vinkelns storlek blir cirka 37{,}38 grader. 		1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Rätt idé och korrekt resultat. 1+1 p.
Tillåten noggrannhet 37-38.
Det kommando som användes för att rita femhörningen gav automatiskt också arean av femhörningens basyta. Den är ca 1{,}72 och figurens höjd är ca 0{,}53. 1 p.
Konens volym är produkten av basytan och höjden dividerat med tre. Volymen av den här kroppen är därmed \frac{1}{3}\cdot 1{,}72\cdot 0{,}53 \approx 0{,}3. 1 p.
I uppgiften var konens sidor a. I ritningen är sidan 1, dvs. volymen ska multipliceras med talet a^3. 1 p.
Volymen är alltså 0{,}3a^3. 1 p.
ELLER (algebraisk lösning)
Arean av basytan är ca 1,72a^2 (korrekt beräknat, förnuftig noggrannhet eller exakt värde, a ingår) 1 p.
Höjden är ca 0,53a (korrekt beräknat, förnuftig noggrannhet eller exakt värde, a ingår) 1 p.
Volymen fås genom att man multiplicerar basytans area med höjden och dividerar med tre. 1 p.
Volymen är alltså ca 0,3a^3. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Volymen har beräknats direkt med ett verktyg: Kommandot är synligt och kroppen korrekt + sidornas sida 1 eller normering + multiplikation med talet a^3 + svar  1+1+1+1. max 4 p.
Allmänna anvisningar för uppgiftens lösningar:
Med en approximationslösning kan man även få lite avvikande värden på vinklarna.
Om figuren är felaktig, men ändå är en kon som har en femhörning som basyta, och de beräknade måtten inte ryms inom de givna noggrannheternas gränser, av deluppgifterna 2–4: 1/1/3.
Om kroppen inte är en kon som har en femhörning som basyta. 0 p.

8. Relativa fel i gränsvärdet 12 p.

Examinanden har satt in t=\frac\pi4+10^{-2} eller t=\frac\pi4+10^{-3} eller t=\frac\pi4+10^{-4} i uttrycket. (1 p.)
Beräknade gränsvärden 0{,}703\,559; 0{,}706\,753 och 0{,}707\,071. 3 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Den noggranhet som krävs är 4 decimaler eller noggrannare.
En noggrannhet på 1–3 decimaler. –1 p.
Felaktiga insättningar ger inga poäng.
Räknarens inställning i grader, felaktiga resultat  1+0. max 1 p.
Det är fråga om differenskvoten för sinusfunktionen i punkten \frac\pi4. 1 p.
Examinanden vet att D\sin x= \cos x. (1 p.)
Gränsvärdet är alltså \cos (\frac\pi4)=\frac1{\sqrt{2}}. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Ett gränsvärde taget med räknaren räcker inte, utan i lösningen måste man enligt uppgiften tolka uttrycket som en differenskvot. max 0 p.
Närmevärde/exakt värde har beräknats 1 p.
och man har fått det första relativa felet -0{,}005\,017. 1 p.
De övriga relativa felen -0{,}000\,500 och -0{,}000\,050. 1+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Det krävs en noggrannhet som inte avrundar svaret till noll.
Negativa och positiva värden godkänns.
Svaret kan anges i procent.

9. Tömning av ett konto 12 p.

Ekvationen är 20x+50y=370, (x, y\in\mathbf{N}) ELLER 2x+5y=37 ELLER motsvarande. 3 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
x och y felsvängda –1 p.
Felaktiga konstanter: för varje felaktig konstant –1 p.
Idé om begränsning av värden + övre gräns + nedre gräns 1+1+1 p.
Uteslutning av värden som inte uppfyller ekvationen i det granskade intervallet (exempelvis genom att hänvisa till paritet i intervallet 0\leq y\leq 7 ELLER tabell eller motsvarande). 3 p.
Examinanden granskar att följande fyra lösningar är möjliga. Om y=1, är x=16, om y=3, är x=11, om y=5, är x=6, och om y=7, är x=1. 2 p.
Svar: 4 olika sätt. 1 p.
ELLER (tabellmetod eller grafisk lösning)
Examinanden har hittat och verifierat alla lösningar 2 p.
genom en heltäckande tabellmetod eller figur (minst 0\le y\le 7 eller motsvarande 0\le x \le 18). 3 p.
Det finns alltså 4 lösningar. 1 p.
Oberoende rad: explicit motivering för att det inte finns flera lösningar: exempelvis idé om begränsning av värden + övre gräns + nedre gräns. 1+1+1 p.
ELLER (Lösningsformeln för Diofantos ekvation)
Examinanden har hittat och verifierat en lösning. 1 p.
Lösningsformeln för Diofantos ekvation har använts med korrekta tal. 2 p.
Idé om begränsning av värden + övre gräns + nedre gräns 1+1+1 p.
Förnuftiga substitutioner i formeln. 2 p.
Det finns alltså 4 lösningar. 1 p.

Del B2

10. Partiell derivata 12 p.

f_x(x, y)=4x^3+32, poäng per term 2 p.
f_y(x, y)=2y-6, poäng per term 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
För varje felaktig term –1 p.
f_x(x, y)=0, då 4x^3+32=0, dvs. x=-2. (Poäng: ekvation + formen x^3=-8 eller Solve på rätt ekvation + x=-2) 3 p.
f_y(x, y)=0, då 2y-6=0, dvs. y=3. 2 p.
Det minsta värdet är alltså f(-2, 3)=(-2)^4+32\cdot (-2)+3^2-6\cdot 3+60 1 p.
=3 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Klart fel svar (negativt eller större än 10): inga poäng för den sista raden.
Med en egen felaktig funktion i 2:a deluppgiften: om ett tredjegradspolynom uttryckt i variabeln x, som har en konstantterm olik noll, och en linjär funktion uttryckt i variabeln y, som har en konstantterm olik noll, används. max 8 p.
fMin + 0 p.
Allmänna anvisningar för uppgiften:
Beteckning som inte är standardiserad, och som inte orsakar förvirring. –0 p.
Klart felaktiga beteckningar, t.ex. svaret i formen (-2,3,3): avdrag från hela uppgiften. –1 p.

11. Tärningsspel 12 p.

Spelaren A vinner på sitt första kast med sannolikheten \frac{2}{6}=\frac{1}{3} ELLER \frac{2}{6}\approx 33{,}3 %. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Endast svar 33{,}3 % ELLER \frac{1}{3} 1 p.
Spelaren A vinner inte på sitt första kast med sannolikheten \frac{2}{3}, 1 p.
och spelaren B vinner på sin egen kasttur med sannolikheten \frac{1}{2}, 1 p.
dvs. sannolikheten för att spelet slutar vid spelaren B:s första kasttur är \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Bräknat med närmevärden. –1 p.
Produktregeln med egna tal. +1 p.
Om spelet fortgår till den n:e omgången är sannolikheterna för att spelarna A och B vinner då desamma som de är under den första omgången. 1 p.
I spelet går man till den andra omgången med sannolikheten 1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}. 1 p.
(I omgång k är vinstsannolikheten \frac{1}{3^k}, dvs.) Vardera spelarens sannolikhet för att vinna är alltså \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k} 2 p.
=\frac{1}{2}. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiftens lösning:
Det ovan nämnda endast för spelaren A eller B, komplementregeln använts för den andra, och inte konstaterat att spelet avslutas med sannolikheten 1. –1 p.
Räknefel på rad 2, men summorna gjorda till slut  (1+0+2+1) max 4 p.
Andra omgången eller flera fall har beräknats korrekt, men inte det allmänna fallet.  (1+1+0+0) 2 p.
ELLER (slutledningslösning)
I första omgången är vardera spelarens sannolikhet för vinst lika stor. 1 p.
Det här gäller också de övriga omgångarna, eftersom de tidigare omgångarna inte inverkar. 1+1 p.
Därmed är båda spelares vinstsannolikhet lika stor, dvs. \frac12, 2 p.
eftersom sannolikheten för att spelet inte avslutas är 0. 1 p.

12. Parabelområden 12 p.

Examinanden har bildat ett ekvationspar genom att sätta in punkterna i ekvationen y=ax^2+bx+c. (1 p.)
Parabelns ekvation är y=ax^2-a, där a\in \mathbf{R}\setminus\{0\}. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Det senare momentets poäng förutsätter att a\ne 0 är nämnt.
Oberoende rad: Det räcker om man granskar skärningspunkten i punkten x=1, eftersom situationerna är symmetriska. 1 p.
Tangentens riktningskoefficient för parabeln y=ax^2-a i punkten x=1 är 2a (derivatan + insättning). 1+1 p.
Två parabler y=ax^2-a och y=bx^2-b skär alltså varandra vinkelrätt ifall 2a\cdot 2b=-1 1 p.
dvs. b=-\frac{1}{4a} ELLER 4ab=-1 ELLER ab=-\frac{1}{4}. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Examinanden har gjort beräkningar med parabeln y=ax^2+c utan att hen i något skede observerat att a=-c, utdelning 0+2+0+0 poäng. max 2 p.
Om beräkningarna utförts med parablerna y=ax^2-a och y=-ax^2+a, så utdelas 1+2+0+0 poäng. max 3 p.
Arean är \int_{-1}^1(bx^2-b-ax^2+a)\,dx, där b <0 <a och b=-\frac{1}{4a}. 1 p.
Integralen beräknas: \int_{-1}^1(bx^2-b-ax^2+a)\,dx=(b-a) \big/_{\!-1}^{1}(\frac{1}{3}x^3-x) 1 p.
=-\frac{4}{3}(b-a)=\frac{4}{3}\left(a+\frac{1}{4a}\right). 1 p.
Det minsta värdet för uttrycket a+\frac{1}{4a} fås då a=\frac{1}{2}, 1 p.
dvs. areans minsta värde är \frac{4}{3}. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Integrering med helt fel parabel (t.ex. a=\frac{1}{2}). max 0 p.
Ett räknefel som härstammar från deluppgift 2. max 5 p.
Allmänna anvisningar för lösningen:
Startpoäng: Examinanden har i deluppgift 1 gett ett fungerande exempel på en parabel ELLER på ett meningsfullt sätt angett villkoret k_1k_2=-1. 1 p.

13. Exponentialekvation 12 p.

Antalet nollställen till (den kontinuerliga) funktionen f(x)=e^{ax}-\ln x undersöks. 1 p.
Derivatan f'(x)=ae^{ax}-\frac{1}{x}. 1 p.
Oberoende rad: Andra derivatan f''(x)=a^2e^{ax}+\frac{1}{x^2}>0 2 p.
Oberoende rad: Andra derivatan är positiv, den första derivatan är alltså strängt växande, dvs. den har högst ett nollställe. Den ursprungliga funktionen har därmed högst två nollställen. Antalet skärningspunkter är på motsvarande sätt högst två. 3 p.
Vi visar att antalet skärningspunkter kan vara åtminstone 2:
Vi granskar till exempel punkten x=4. Då är f(4)=e^{4a}-\ln 4=0, om e^{4a}=\ln 4, dvs. a=\frac{\ln \ln 4}{4}\approx 0{,}082. Genom att välja a <\frac{\ln \ln 4}{4}, försäkrar vi oss om att f(4) <0. 		1 p.
Därmed får vi exakt två nollställen, eftersom då x\rightarrow \infty, så är f(x)>0 och dessutom är exempelvis f(1)>0. 1 p.
Vi visar att antalet skärningspunkter kan vara exakt 0:
Eftersom \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f'(x)=-\infty och \displaystyle\lim_{x\to \infty} f'(x)=\infty, så har derivatan ett nollställe. 		1 p.
Genom att välja a=100 ser vi att derivatans nollställe måste ligga i intervallet 0<x<1. Dessutom är f(x)>0, då 0<x<1, eftersom \ln x<0. Alltså har funktionen inga nollställen då a=100. 1 p.
Funktionen f är kontinuerlig även med avseende på parametern a. Då a minskar från talet 100 till talet a=\frac{\ln \ln 4}{4}, får vi med stöd av kontinuitet något värde på parametern där vi har exakt ett nollställe. 1 p.
Allmänna anvisningar för lösningen:
Man kan också förtjäna poängen på tredje och fjärde raden genom att granska första derivatan.
Det att skärningspunkterna kan vara exakt 0, 1 eller 2 (de sista fem poängen), kan också slutledas på ett mer geometriskt sätt genom att granska funktionsgrafen för olika värden på parametern a.
Endast en GeoGebra-granskning  (0+0+0+0+0+1+0+1+1) max 3 p.
ELLER
I ekvationen e^{ax}=\ln{x} löser man ut a=\frac{\ln{(\ln{x})}}{x}=g(x). 1 p.
Nu är g'(x)=\frac{\frac{1}{\ln{x}}-\ln{(\ln{x})}}{x^2}, 1 p.
och derivatans enda nollställe är exempelvis med hjälp av räknaren x_0 \approx 5{,}83120… 1 p.
Motiverat att derivatan inte har flera nollställen (solve räcker inte som motivering). 2 p.
Eftersom g’(5) > 0 och g’(6)<0, så är det största värdet av funktionen g: g(x_0) =0{,}0972601\ldots 2 p.
För något värde på parametern a är antalet lösningar högst 2, eftersom g består av två strängt monotona delar. 2 p.
På basis av det föregående:
Då a>0{,}0972601\ldots, har ekvationen inga lösningar. 1 p.
Då a = 0{,}0972601\ldots, har ekvationen en lösning. 1 p.
Då 0<a <0{,}0972601\ldots, har ekvationen två lösningar. 1 p.
Allmänna anvisningar för lösningen:
Prövningslösning: examinanden har med hjälp av Geogebra (eller motsvarande) funnit de värden på parametern a som uppfyller de olika alternativen med en noggrannhet på minst 0{,}097  (0+0+0+0+0+0+1+1+1) max 3 p.