Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

21.9.2021

Alustavat hyvän vastauksen piirteet 22.9.2021

Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti tueksi alustavaa arvostelua varten. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastauksia. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät ole osa Ylioppilastutkintolautakunnan yleisissä määräyksissä ja ohjeissa tarkoitettua tietoa siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu yksittäisen kokelaan koesuoritukseen. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät sido Ylioppilastutkintolautakuntaa lopullisen arvostelun perusteiden laadinnassa.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Tehtävän 9 liitetiedosto korjattu 22.9.2021.

A-osa

1. Lausekkeita ja yhtälöitä 12 p.

1.1 Mikä on lausekkeen 2 x +8 arvo, kun x =-3? 3 p.

  • 2 (3 p.)

1.2 Aritmeettisen lukujonon (a_n yleinen termi on a_n =3 n +9 n =1, 2, 3, … Mikä on indeksin n pienin arvo, jota vastaava termi a_n on suurempi kuin 100? 3 p.

  • n =31 (3 p.)

1.3 Yhtälö x^2 -4 x =0 toteutuu 3 p.

  • arvoilla x =0 ja x =4  (3 p.)

1.4 Yhtälöparilla 3 p.

  • on täsmälleen yksi ratkaisu (3 p.)

2. Pituuksia ja pinta-aloja 12 p.

Tämä tehtävä arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, eikä opettajan tarvitse tehdä alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

2.1 Suorakulmion lävistäjän pituus on 5,0 cm ja lyhyemmän sivun pituus 2,0 cm. Määritä suorakulmion pidemmän sivun pituus millimetrin tarkkuudella. 3 p.

  • 46 (3 p.)

2.2 Suorakulmion yhden sivun pituus on 5,0 cm, ja se muodostaa 35^@ kulman suorakulmion lävistäjän kanssa. Laske suorakulmion piiri millimetrin tarkkuudella. 3 p.

  • 170 (3 p.)

2.3 Vinoneliö (eli neljäkäs) on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Vinoneliön lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuoraan ja niiden pituudet ovat 2,0 cm ja 5,0 cm. Määritä vinoneliön pinta-ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella. 3 p.

  • 5 (3 p.)

2.4 Ympyräsektorin säde on 3,00 cm ja keskuskulma 26,0^@. Määritä sektorin pinta-ala 0,01 cm^2:n tarkkuudella. 3 p.

  • 2,04 (3 p.)

3. Kukkaruukku 12 p.

Kukkaruukun yläosan säde on 20\text{ cm}, (1)
ja yläosan ympyrälieriön pohjan pinta-ala on \pi \cdot 20^2\text{ cm}^2,2
joten sen tilavuus on \pi \cdot 20^2\cdot 15\text{ cm}^3 1
\approx 18\,849{,}56\text{ cm}^3. 1
Pohjan säde on 15\text{ cm}, (1)
joten pohjan pinta-ala on \pi \cdot 15^2\text{ cm}^2.(2)
Katkaistun kartion tilavuuden kaavalla alaosan tilavuus on
\frac{20}{3}\left(\pi \cdot 20^2+\pi \cdot 15^2+\sqrt{\pi \cdot 20^2\cdot \pi \cdot 15^2}\right)\text{ cm}^3
2
\approx 19\,373{,}15\text{ cm}^3,1
joten kukkaruukun tilavuus on 19\,373{,}15\text{ cm}^3+18\,849{,}56\text{ cm}^3\approx 38\,200\text{ cm}^3.1

4. Lukujono 12 p.

a_2=2a_1-1=2\cdot 3-1=5. 2
a_3=2a_2-1=2\cdot 5-1=9. 1
a_4=2a_3-1=2\cdot 9-1=17. 1

Huomataan, että a_2-a_1=5-3=2 ja a_3-a_2=4. 1+1
Koska 2\ne 4, niin kahden peräkkäisen jäsenen erotus ei ole vakio, 1
eli jono ei ole aritmeettinen. 1
Huomataan, että \frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{3} ja \frac{a_3}{a_2}=\frac{9}{5}. 1+1
Koska \frac{9}{5}\ne\frac{5}{3}, niin kahden peräkkäisen jäsenen suhde ei ole vakio, 1
eli jono ei ole geometrinen. 1

B1-osa

5. Hampaiden harjaajat 12 p.

Virtasen isä harjaa päivässä kolmen hengen hampaat. 1
Yhden hengen hampaiden harjaaminen päivässä vie 4 minuuttia,2
joten päivässä hän harjaa 4\cdot 3=12 minuuttia hampaita. 2
Koska vuodessa on 365 päivää, niin isä harjaa 365\cdot 12=4380 minuuttia vuodessa hampaita. 2
Koska 1 tunti on 60 minuuttia, (1)
niin isä kuluttaa vuodessa \frac{4380}{60}2
=73 tuntia hampaita harjaten.2

6. Esteratsastus 12 p.

d=1{,}3\cdot 140 +20=202\approx 200\text{ (cm)}. 3

Koska etäisyys on 215, pätee 1{,}3h=215-20=195, 1
joten h=\frac{195}{1,3}=150\text{ (cm)}. 2

d=1{,}3h+20. 3

Ylläolevasta ratkaisemalla 1{,}3h=d-20, (1)
josta h=\frac{d-20}{1,3}. 2

7. Kananmunien hintamuutos 12 p.

Kananmunien hinta laski (euroissa) 3{,}5\cdot 0{,}1=0{,}35. 2
Kolmasosa tästä on \frac{0,35}{3}\approx 0{,}1167. 1
Alkutuotanto sai aiemmin 0{,}35\cdot 3{,}5= 1{,}225. 1
Alkutuotannon korvaus vähenee \frac{0,35}{3\cdot 1,225}\approx 0{,}0952\approx 10\ \%. 2
Pakkaamo sai aiemmin 0{,}25\cdot 3{,}5=0{,}875. 1
Pakkaamon korvaus vähenee \frac{0,35}{3\cdot 0,875}\approx 0{,}1333\approx 13\ \%.2
Kauppa sai aiemmin 0{,}40\cdot 3{,}5=1{,}4.1
Kaupan korvaus vähenee \frac{0,35}{3\cdot 1,4}\approx 0{,}0833\approx 8\ \%.2

8. Huippuparaabeli 12 p.

Paraabeli saavuttaa huippunsa derivaatan nollakohdassa. 1
Funktion f(x)=-x^2+bx+c derivaatta on f'(x)=-2x+b. 2
Derivaatan nollakohta: f'(x)=-2x+b=0. 1
Ehdosta seuraa f'(2)=-2\cdot 2 + b=0, 2
joten b=4. 2
Koska 1=f(2),1
pätee -2^2+4\cdot 2+c=1,1
joten c=-3.2

9. Noppatilastoja 12 p.

minimi: 10 1
maksimi: 26 1
moodi: 16 1
mediaani: 17 1
keskiarvo: 17,08 1
keskihajonta: 3,56 1
(ks. liitteenä oleva tiedosto nopat_ratkaisu.ods).

Piirretty kaavio (ks. liitteenä oleva tiedosto nopat_ratkaisu.ods). 3

Tehtävän summamuuttuja näyttää enemmän normaalijakaumalta kuin tasaiselta jakaumalta, 1
sillä luvut painottuvat keskelle ja ääripäissä on lukuja vähemmän. 2

B2-osa

10. Kasvihuonekaasujen vähentäminen 12 p.

Seuraava luku saadaan aina kertomalla edellisen vuoden luku luvulla 1-\frac{2,2}{100}=0{,}978. 1
Luvut ovat järjestyksessä 100; 97{,}8; 95{,}6; 93{,}5; 91{,}5; 89{,}5; 87{,}5; 85{,}6; 83{,}7; 81{,}9. 3
Jokainen luku on esitetty yhden desimaalin tarkkuudella, mutta seuraavan luvun laskemiseen on käytetty tarkkaa arvoa.

Päästökatto on 0{,}978^9\cdot 100 (indeksiluvuilla merkittynä), 1
joten päästöt vähenevät 1-0{,}978^9\approx 0{,}1814 \approx 18\ \%. 3

Vanhan rajan mukainen päästötavoite olisi (1-0{,}0174)^9\cdot 100. 1
Pienennysprosentti on siis \frac{(1-0,0174)^9\cdot 100-0,978^9\cdot 100}{(1-0,0174)^9\cdot 100} 2
\approx 0{,}0414\approx 4{,}1\ \%. 1

11. Viiden luvun mediaani 12 p.

Keskiarvo on \frac{(x+1)+(2x+5)+(3x-2)+(4x+1)+5x^2}{5}=\frac{5x^2+10x+5}{5}=x^2+2x+1. 2
Koska keskiarvo on yksi, saadaan yhtälö x^2+2x+1=1 1
eli x^2+2x=0. 1
Siispä x=0 tai x=-2. 2
Jos x=0, niin luvut ovat 1, 5, -2, 1, 0, 2
ja niiden mediaani on 1. 1
Jos taas x=-2, niin luvut ovat -1, 1, -8, -7, 20, 2
ja niiden mediaani on -1. 1

12. Tornin rakentaminen 12 p.

Merkitään tornin pohjan sivun pituutta kirjaimella x. 1
Tornin huipun leveys on tällöin 0{,}8x. 1
Koska tornin korkeus on 10 metriä, on tornin sivun pituus (kaltevuus huomioiden) \sqrt{10^2+(0,1x)^2}. 2
Tornin yhden seinän pinta-ala on siis \sqrt{10^2+(0,1x)^2}\cdot \frac{x+0,8x}{2}. 3
Saadaan yhtälö 4\sqrt{10^2+(0,1x)^2}\cdot \frac{x+0,8x}{2}=120, 2
joka ratkaistaan ohjelmiston solve-komennolla ja saadaan x\approx 3{,}3 (m). 3
Yhtälön voi ratkaista myös käsin laskemalla. Se sieventyy muotoon 0{,}9x\sqrt{10^2+(0,1x)^2}=30 ja edelleen muotoon 9x^2+0{,}0009(x^2)^2=100.
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla \displaystyle x^2=\frac{-9\pm \sqrt{9^2-4\cdot 0{,}0009\cdot (-100)}}{2\cdot 0{,}0009}.
Ainoastaan positiivinen ratkaisu käy: x^2\approx 11{,}0988, jolloin x\approx 3{,}3 (m).

13. Noppapeli 12 p.

Pelaajan A todennäköisyys voittaa on \frac{2}{6}=\frac{1}{3}. 3
Pelaaja B pääsee heittämään, jos peli ei pääty pelaajan A voittoon, eli todennäköisyydellä 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}. 3
Päästessään heittämään pelaaja B voittaa todennäköisyydellä \frac{3}{6}=\frac{1}{2}. 3
Pelaajan B todennäköisyys voittaa on siis \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}. 3