Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

21.9.2021

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 11.11.2021

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy oikeassa sarakkeessa olevaan pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esim. derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Suluissa olevat pisteet saa automaattisesti, jos seuraava rivi on kunnossa.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty kirjoittamalla täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37{,}5 ja 40 kelpaavat.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esim. laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Teksti "Riippumaton piste" tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä. Teksti "Johtopäätös" korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esim. tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esim. x=2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esim. puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

A-osa

1. Lausekkeita ja yhtälöitä 12 p.

1.1 Mikä on lausekkeen 2 x +8 arvo, kun x =-3? 3 p.

  • 2 (3 p.)

1.2 Aritmeettisen lukujonon (a_n yleinen termi on a_n =3 n +9 n =1, 2, 3, … Mikä on indeksin n pienin arvo, jota vastaava termi a_n on suurempi kuin 100? 3 p.

  • n =31 (3 p.)
Osatehtävän erillisohjeet:
  • n =30  (1 p.)

1.3 Yhtälö x^2 -4 x =0 toteutuu 3 p.

  • arvoilla x =0 ja x =4  (3 p.)
Osatehtävän erillisohjeet:
  • "vain arvolla x=0", "vain arvolla x=4", "arvoilla x=0 ja x=-4", "arvoilla x=4 ja x=-4"  (1 p.)

1.4 Yhtälöparilla 3 p.

  • on täsmälleen yksi ratkaisu (3 p.)

2. Pituuksia ja pinta-aloja 12 p.

2.1 Suorakulmion lävistäjän pituus on 5,0 cm ja lyhyemmän sivun pituus 2,0 cm. Määritä suorakulmion pidemmän sivun pituus millimetrin tarkkuudella. 3 p.

  • 46 (3 p.)
Väärät pisteitä tuottavat vastaukset:
  • väärä yksikkö, mutta oikea tarkkuus, esim. 460 tai 4,6:  (2 p.)
  • oikea vastaus, mutta väärä tarkkuus: 45,8 tai 50 tai vastaava:  (2 p.)
  • pyöristetty väärin: 45:  (2 p.)
  • (laskettu sqrt(50^2 +20^2)), saatu) 54:  (1 p.)
  • väärä tai vastausta vastaamaton yksikkö: (–1 p.)

2.2 Suorakulmion yhden sivun pituus on 5,0 cm, ja se muodostaa 35^@ kulman suorakulmion lävistäjän kanssa. Laske suorakulmion piiri millimetrin tarkkuudella. 3 p.

  • 170 (3 p.)
Väärät pisteitä tuottavat vastaukset:
  • väärä yksikkö, mutta oikea tarkkuus: 17{,}0 (yksikkönä cm), 1700, tms.:  (2 p.)
  • väärä tarkkuus: 200 tai 170{,}0 tai 170{,}021 tai vastaava:  (2 p.)
  • unohdettu kertoa kahdella, oikea tarkkuus ja yksikkö, eli 85:  (2 p.)
  • vain lyhyemmän sivun pituus, oikea tarkkuus ja yksikkö: 35  (2 p.)
  • radiaanit, mutta oikea tarkkuus ja yksikkö, eli 147:  (2 p.)
  • sini tai kosini, mutta oikea tarkkuus ja yksikkö, eli 157 tai 182:  (1 p.)
  • lisäksi: 17 antaa  (2 p.)

2.3 Vinoneliö (eli neljäkäs) on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Vinoneliön lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuoraan ja niiden pituudet ovat 2,0 cm ja 5,0 cm. Määritä vinoneliön pinta-ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella. 3 p.

  • 5 (3 p.)
Väärät pisteitä tuottavat vastaukset:
  • väärä tarkkuus: 5,0 tai muu vastaava:  (2 p.)
  • oikea arvo, hiukan väärä yksikkö: 0,05 tai 500:  (2 p.)
  • oikea arvo, mutta yhden desimaalin heitto: 0,5 tai 50:  (1 p.)
  • kerrottu tai jaettu kerran liikaa kahdella: 10 tai 3:  (2 p.)
  • kerrottu tai jaettu kahdesti liikaa kahdella: 20 tai 1:  (1 p.)
  • annettu yksikkö, joka on väärä (esim. cm):  (–1 p.)
  • vastauskentässä myös jotain oikeasti virheellistä:  (0 p.)

2.4 Ympyräsektorin säde on 3,00 cm ja keskuskulma 26,0^@. Määritä sektorin pinta-ala 0,01 cm^2:n tarkkuudella. 3 p.

  • 2,04 (3 p.)
Väärät pisteitä tuottavat vastaukset:
  • Oikea ala, mutta väärässä yksikössä: 204 (yksikkönä neliömillimetrit) tai 0,0204 (yksikkönä neliödesimetrit) tai vastaava:  (2 p.)
  • oikea ala, oikeassa yksikössä, mutta väärä tarkkuus, esim. 2 tai 2,042 tai 2,0, tms:  (2 p.)
  • oikea ala, oikeassa yksikössä, mutta pyöristysvirhe: 2,05:  (2 p.)

3. Kukkaruukku 12 p.

Kukkaruukun yläosan säde on 20 cm, (1 p.)
ja yläosan ympyrälieriön pohjan pinta-ala on ~p *20^2 cm^2,2 p.
joten sen tilavuus on ~p*20^2 *15 cm^3 1 p.
~~18.849,56 cm^3. 1 p.
Pohjan säde on 15 cm, (1 p.)
joten pohjan pinta-ala on ~p *15^2 cm^2.(2 p.)
Katkaistun kartion tilavuuden kaavalla alaosan tilavuus on
20/3 (~p *20^2 +~p *15^2 +sqrt(~p *20^2 *~p *15^2)) cm^3
2 p.
~~19.373,15 cm^3.1 p.
Laskettu yhteen omat tilavuudet ja pyöristetty 1, 2, tai 3 merkitsevän numeron tarkkuuteen (19.373,15 cm^3 +18.849,56 cm^3 ~~38.000 cm^3).1 p.
TAI
Kukkaruukun yläosan säde on 20 cm, (1 p.)
ja yläosan ympyrälieriön pohjan pinta-ala on ~p *20^2 cm^2, 2 p.
joten sen tilavuus on ~p *20^2 *15 cm^3 1 p.
~~18.849,56 cm^3. 1 p.
Pohjan säde on 15 cm, (1 p.)
Lähdetty liikkeelle kaavasta (~p*h)/3 (r_1^2+r_1 *r_2+r_2^2)
Termi r_1^2 oikein 20^2 ja termi r_2^2 oikein 15^21 p.
Termi r_1 *r_2 =20*15 oikein2 p.
Kerroin (20 ~p) /3 oikein 1 p.
~~19.373,15 cm^3. 1 p.
Laskettu yhteen omat tilavuudet ja pyöristetty 1, 2, tai 3 merkitsevän numeron tarkkuuteen (19.373,15 cm^3 +18.849,56 cm^3~~38.000 cm^3). 1 p.
Tämän ratkaisun erillisohje:
Summa kertomerkin sijaan: (~p*h) /3 (r_1^2+r_1+r_2+r_2^2)  1+2+1+1+1+1+0+1+1+1max 10 p.

Tehtävän yleiset ohjeet:
Säde ja halkaisija sekaisin: vähennykset 1. ja 5. riviltä. max 10 p.
Suoran ympyrälieriön tilavuuden tilalla sen vaipan ala: yläosan säde 1 p., katkaistu kartio 6 p.max 7 p.
Yksikkövirhe tai yksikkö puuttuu kokonaan vastauksesta: -1 kerran koko tehtävässä.

4. Lukujono 12 p.

Rekursion idea (tähän pisteeeseen eivät riitä luvut 5, 9, 17, eikä a_2 =2 *3-1) 1 p.
a_2 =2a_1-1 =2 *3-1 =5. 1 p.
a_3 =2a_2-1 =2 *5-1 =9. 1 p.
a_4 =2a_3-1 =2 *9-1 =17. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Pelkät lukuarvot, joista vähintään yksi väärin. 0 p.
Pelkät oikeat lukuarvot (5, 9, 17) 3 p.

Huomataan, että a_2-a_1 =5-3 =2 ja a_3-a_2 =4 TAI erotukset omilla luvuilla. 1+1 p.
Koska 2 !=4, niin kahden peräkkäisen jäsenen erotus ei ole vakio, 1 p.
Johtopäätös: joten jono ei ole aritmeettinen. 1 p.
Huomataan, että a_2/a_1 =5/3 ja a_3/a_2 =9/5 TAI suhteet omilla luvuilla. 1+1 p.
Koska 9/5 != 5/3 niin kahden peräkkäisen jäsenen suhde ei ole vakio, 1 p.
Johtopäätös: joten jono ei ole geometrinen. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Väärällä jonolla voi saada täydet pisteet, jos se ei ole aritmeettinen eikä geometrinen.

B1-osa

5. Hampaiden harjaajat 12 p.

Virtasen isä harjaa päivässä kolmen hengen hampaat. 1 p.
Yhden hengen hampaiden harjaaminen päivässä vie 4 minuuttia,2 p.
joten päivässä hän harjaa 2 *6 TAI täsmälleen 4 *3 TAI täsmälleen 12 minuuttia hampaita. 2 p.
Koska vuodessa on 365 päivää, niin isä harjaa hampaita 365 *12 =4380 minuuttia vuodessa. 2 p.
Koska 1 tunti on 60 minuuttia, (1 p.)
niin isä kuluttaa vuodessa 4380/60(2 p.)
eli 70 TAI 73 tuntia hampaita harjaten. (Vain nämä tarkkuudet.)2 p.

Tehtävän yleiset ohjeet:
Vuoden päivät 360 tai 52 *7   1+2+2+1+1+2+2max 11 p.
Vuoden päivät 7 *4 *12   1+2+2+0+1+2+2max 10 p.
Jos 12 ilmestyy tyhjästä 3. rivillä: 0+0+2+2+1+2+2 ja -1 selitysten puutteestamax 8 p.
Jos 3. rivillä ilmestyy tyhjästä 2 *6 TAI 3 *4: -1selitysten puutteestamax 11 p.
Pelkkä lasku, esim. (2 *2 *3 *365) /60 = 73.max 11 p.

6. Esteratsastus 12 p.

Termi 1,3 *140 1 p.
Termi +20 1 p.
Vastaus 200 cm tai 202 (cm) tai 2 m tai 2{,}02 m 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Pelkkä vastaus 0 p.

Riippumaton piste: saatu 195 (cm) 1 p.
Riippumaton piste: jaettu luku 195 tai 215 luvulla 1{,}3 1 p.
Vastaus 150 (cm) tai 1{,}5 m 1 p.
TAI
Yhtälö, GeoGebra tai muu ohjelmisto, ja vastaus 1+1+1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Pelkkä vastaus 0 p.
Arvattu vastaus 150 ja testattu 2 p.

Lineaarinen lauseke, jossa on 1{,}3h (esim. 1{,}3h -20). 1 p.
Lauseke oikein, mutta merkintä mahdollisesti väärin/epäselvä/selittämättä (esim. f(d) =1,3 h +20 tai f(x) =1,3 x +20 tai f(h) =1,3 h +20 1 p.
d= 1{,}3h +20 TAI d(h) = 1{,}3h + 20 TAI f on etäisyys ja f(h) = 1{,}3h+20 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Välivaiheita ei vaadita, pelkkä vastaus riittää (koska voi laskea päässä).

Lineaarinen lauseke, jossa on x/1,3 (esim. d/1,3 -20. 1 p.
Lauseke oikein, mutta merkintä mahdollisesti väärin/epäselvä/selittämättä (esim. f(h) =(d -20)/1,3 tai f(x) =(x -20)/1,3 TAI f(d) =(d -20)/1,3 1 p.
h =(d -20)/1,3 TAI h(d) =(d-20)/1,3 TAI f on korkeus ja f(d) =(d-20)/1,3 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Välivaiheita ei vaadita, pelkkä vastaus riittää (koska voi laskea päässä).

Tehtävän yleiset ohjeet:
Alakohtien 6.3 ja 6.4 vastaukset ristissä: näiden kohtien pisteistä –2 p.

7. Kananmunien hintamuutos 12 p.

Kananmunien hinta laski (euroissa) 3,5 *0,1 =0,35. 2 p.
Kolmasosa tästä on 0,35/3 ~~0,1167. 1 p.
Alkutuotanto sai aiemmin 0,35 *3,5 =1,225. 1 p.
Alkutuotannon korvaus vähenee 0,35/(3 *1,225) ~~0,0952 ~~10 %. (erotus/vanha 1 p.) 2 p.
Pakkaamo sai aiemmin 0,25 *3,5 =0,875. 1 p.
Pakkaamon korvaus vähenee 0,35/(3 *0,875) ~~0,1333~~13 %. (erotus/vanha 1 p.)2 p.
Kauppa sai aiemmin 0,4 *3,5 =1,4.1 p.
Kaupan korvaus vähenee 0,35/(3 *1,4) ~~0,0833 ~~8 %. (erotus/vanha 1 p.)2 p.

Tehtävän yleiset ohjeet:
Jokainen vähenee 10 %:  2+0+1+0+1+0+1+0 max 5 p.
Toisella rivillä unohdettu jakaa luvulla 3:  2+0+1+2+1+2+1+2 ja ylimääräinen -1 ensimmäisestä prosenttiosuudesta. max 10 p.
ALV (14 % tai 24 % tai muu järkevä) huomioitu oikein –0 p.
Välipyöristykset omalla vastuulla.
Pyöristetty 1 sentin tarkkuuteen, koko tehtävästä–1 p.
Pyöristysvirhe, koko tehtävästä–1 p.
Laskettu 3{,}15: ensimmäiseltä riviltä 1 p.

8. Huippuparaabeli 12 p.

Riippumaton piste: Paraabeli saavuttaa huippunsa derivaatan nollakohdassa. 1 p.
Riippumaton piste: Funktion f(x)=-x^2+bx+c derivaatta on f'(x)=-2x+b. (-2x 1 p., b 1 p., ylimääräiset termit –1 p.) (2 p.)
Derivaatan nollakohta: f'(x)=-2x+b=0. 1 p.
Ehdosta seuraa f’(2) =-2 *2 +b =0, 2 p.
joten b=4. 2 p.
Riippumaton piste: f(2) = -2^2 +b *2 +c =1 TAI f(2)=1,(1 p.)
eli -2^2 +4 *2 +c =1,1 p.
joten c=-3.2 p.
Ratkaisun erillisohjeet:
Solve ok yhtälöiden ratkaisuissa.
TAI
Riippumaton piste: Paraabeli saavuttaa huippunsa derivaatan nollakohdassa.1 p.
Keksitty kokeilemalla f(x)=-x^2+4x-3, eli kertoimet b=4 ja c=-3.2 p.
Funktion f(x)=-x^2+4x-3 derivaatta on f'(x)=-2x+4. (-2x 1 p., 4  1 p., ylimääräiset termit –1 p.) 2 p.
f’(2)= -2 *2 +4 =0.2 p.
Riippumaton piste: f(2)=-2^2+4 -3=11 p.
Perustelu, miksi löydetyt b ja c ovat yksikäsitteisiä (esim. huippumuoto 2 p. ja sanalllinen selitys 2 p.). 4 p.
Ratkaisun erillisohjeet:
b ja c kokeilemalla väärin (esim. liukusäätimet)  1+0+2+0+0+0max 3 p.
TAI
Riippumaton piste: Paraabeli saavuttaa huippunsa derivaatan nollakohdassa.1 p.
Saatu huippumuoto f(x)=-(x-2)^2+13 p.
Kertoimet b=4 ja c=-3 2 p.
Funktion derivaatta on f'(x)=-2x+4. (-2x 1 p., 4  1 p., ylimääräiset termit –1 p.) 2 p.
f’(2)= -2 *2 +4 =0.2 p.
Perustelu, miksi löydetty b ja c ovat yksikäsitteisiä. 2 p.

Tehtävän yleinen ohje:
Ylöspäin aukeava paraabeli (ekvivalentti oma tehtävä)max 8 p.

9. Noppatilastoja 12 p.

minimi: 10 1 p.
maksimi: 26 1 p.
moodi: 16 1 p.
mediaani: 17 1 p.
keskiarvo: 17{,}08 1 p.
keskihajonta: 3{,}54 TAI 3{,}56 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet: 1 p.
Jonkinlainen perustelu vaaditaan (esim. kuvakaappaus, jossa näkyy komennot tai GeoGebran data-analyysi/tilastot/vastaava), muuten –1 .
Keskiarvo ja -hajonta: kaikki tarkkuudet hyväksytään

Joku kuvaaja summamuuttujan frekvensseistä 1 p.
Piirretty summamuuttujan frekvensseistä pylväskuvaaja (palkit saavat olla yhdessä). 2 p.

Yritetty perustella vastaus oman kuvan avulla 1 p.
Johtopäätös: Näyttää enemmän normaalijakaumalta kuin tasaiselta jakaumalta. 1 p.
Tarkempi perustelu, esim. luvut painottuvat keskelle ja ääripäissä on lukuja vähemmän. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Yritetty perustella vastaus "tasainen jakauma" max (1+0+0) max 1 p.

Tehtävän yleiset ohjeet:
Ekvivalentti tehtävä (esim. N = 98) max (4+2+2) max 8 p.
Väärä aineisto (esim. N =500) max (2+1+1), Osatehtävän 9.1 luvut: min =1, max =6, moodi =1, mediaani =3, keskiarvo \approx 3{,}4 ja keskihajonta \approx 1{,}7. Alakohdassa 9.2: pylväskuvaaja frekvensseistä max 4 p.

B2-osa

10. Kasvihuonekaasujen vähentäminen 12 p.

Luvut ovat järjestyksessä 100; 97{,}8; 95{,}6; 93{,}5; TAI 100; 97{,}8; 95{,}65; 93{,}54 1 p.
91{,}5; 89{,}5; 87{,}5; 85{,}6; 83{,}7; 81{,}9 TAI 91{,}49; 89{,}47; 87{,}51; 85{,}58; 83{,}70; 81{,}86 1 p.
Riippumaton piste: Ratkaisusta käy ilmi, että seuraava luku saadaan aina kertomalla edellisen vuoden luku luvulla 1 -(2,2/100) =0,978. 2 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Oikeat arvot kokonaislukutarkkuudella: 100, 98, 96, 94, 91, 89, 88, 86, 84, 82.
Välivaiheissa pyöristys omalla vastuulla, vastaus on annettava kokonaislukuina, yhden desimaalin tarkkuudella tai kahden desimaalin tarkkuudella.

1 -(0,978)^9 TAI luvusta 100 on vähennetty osatehtävässä 10.1 saatu luku (esim. 80{,}2). 1 p.
Laskun vastaus löytyy/on muutettu prosenteiksi. 1 p.
Laskussa käytetty oikeaa päästökattoa täsmälleen 81{,}9 vähintään yhden desimaalin tarkkudella. 1 p.
Saatu oikea vastaus: 1 -0978^9 ~~0,1814 ~~ täsmälleen {18\ \%}. 1 p.

Vanhan rajan mukainen päästötavoite olisi (1 -0,0174)^9 *100 (~~85,39). 1 p.
Pienennysprosentti on siis ((1-0,0174)^9 *100-0,978^9 *100)/(1-0,0174)^9 *100 (~~(85,39-81,86)/85,39).
Riippumaton piste: osoittajassa osatehtävän 10.1 ja vanhan rajan erotus TAI vastaava myöhemmin 1 p.
Riippumaton piste: nimittäjässä oma vanhan rajan mukainen päästötavoite 1 p.
Vastaus ((~~0,0414 ~~)) täsmälleen 4{,}1\ \%. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet:
Vertailu väärinpäin max 2 p.

Tehtävän yleiset ohjeet:
Pyöristysvirhe: –1 p. koko tehtävästä.

11. Viiden luvun mediaani 12 p.

Keskiarvo lähes oikein. 1 p.
Keskiarvo on ((x+1) +(2 x+5) +(3 x-2) +(4 x+1) +5 x^2) /5) =(5 x^2 +10 x +5) /5 (=x^2 +2 x +1) 1 p.
Koska keskiarvo on yksi, saadaan yhtälö x^2+2x+1=1 2 p.
eli x^2+2x=0.
Siispä x=0 tai x=-2. 2 p.
Alla olevia pisteitä ei voi saada, jos ratkaisut eivät tule 2. asteen yhtälöstä.
Jos x=0, niin luvut ovat 1, 5, -2, 1, 0, 2 p.
ja niiden mediaani on 1. 1 p.
Jos taas x=-2, niin luvut ovat -1, 1, -8, -7, 20, 2 p.
ja niiden mediaani on -1. 1 p.
TAI
Kokeiltu, että x=0 ja x=-2 toteuttavat ehdon. 1+1 p.
Tehty lista + poimittu mediaani arvolle x=0. 2+1 p.
Tehty lista + poimittu mediaani arvolle x=-2. 2+1 p.
Perusteltu, miksi muita ratkaisuja ei ole. 4 p.

Tehtävän yleiset ohjeet:
Ensimmäinen piste, jos listassa 3 lukua oikein.

12. Tornin rakentaminen 12 p.

Merkitään tornin pohjan sivun pituutta kirjaimella x. 1 p.
Tornin huipun leveys on tällöin 0{,}8x. 1 p.
Kuva/sanallinen selitys tms., jossa 10 m oikein (pistettä ei anneta, jos 10 m käytetään myöhemmin väärin). 1 p.
Pythagoraan lausetta yritetään käyttää sivutahkon korkeusjanan laskemiseen. 1 p.
Lyhyempi kateetti (0{,}1x) muodostuvassa suorakulmaisessa kolmiossa oikein. 1 p.
Sivutahkon korkeusjana oikein 2 p.
Riippumaton piste: Puolisuunnikkaan pinta-alan kaavaan sijoitettu x, 0{,}8x ja oma korkeusjana/muuttuja. 1 p.
Riippumaton piste: Yhden sivun pinta-ala 30 m^2. 1 p.
Yhtälö muodostettu ja korkeusjanassa muuttuja sqrt(10^2 +(0,1 x)^2) *((x +0,8 x) /2) =30. 1 p.
Ratkaistu vaativuudeltaan oikeaa vastaava yhtälö. 1 p.
Vastaus oikein täsmälleen 3{,}3 (m). 1 p.

Tehtävän yleiset ohjeet:
10 m on virheellisesti sivutahkon (ei pyramidin) korkeus
1+1+0+0+0+0+1+1+0+0+0
max 4 p.
Pyramidi voi olla myös muu kuin neliöpohjainen.

13. Noppapeli 12 p.

Pelaajan A todennäköisyys voittaa on 1/3
Esiintyy 1/3 1 p., se annettu lopullisena vastauksena 1 p., perustelu 2/6 1 p. 3 p.
Peli ei pääty pelaajan A voittoon todennäköisyydellä 1 -1/3 =2/3 TAI 4/6.
Sanallinen selitys 1 p., perustelu: 1 -1/3 =2/3 (1+1 p.) TAI 4/6 (2 p.). 3 p.
Pelaajan B todennäköisyys voittaa on 2/3 *1/2 =1/3, 3 p.
koska päästessään heittämään pelaaja B voittaa todennäköisyydellä 3/6 (=1/2) TAI edellisen rivin laskussa on 3/6 3 p.

Tehtävän yleiset ohjeet:
Vastaus sieventämättä (esim. 2/6), kerran koko tehtävästä –1 p.
Laskettu likiarvoilla, vastaus 1 %-yksikön tarkkudella oikein (esim. 33 %) –1 p.