Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, kort lärokurs

21.9.2021

Slutgiltiga beskrivningar av goda svar 11.11.2021

Grunderna enligt vilka bedömningen gjorts framkommer i de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar. Uppgiften om hur bedömningsgrunderna tillämpats på examinandens provprestation utgörs av de poäng som examinanden fått för sin provprestation, de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar och de föreskrifter gällande bedömningen som nämnden gett i sina föreskrifter och anvisningar. De slutgiltiga beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svarsalternativ eller alla godkända detaljer i ett godkänt svar. Eventuella bedömningsmarkeringar i provprestationerna anses vara jämställbara med anteckningar och sålunda ger de, eller avsaknaden av markeringar, inte direkta uppgifter om hur bedömningsgrunderna tillämpats på provprestationen.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal i den högra kolumnen för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Poäng i parentes ges automatiskt om följande rad är i skick.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med ordet exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Texten "Oberoende poäng" betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad. Texten "Slutsats" poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
  • Terminologi
    • "Svar räcker" betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • "Startpoäng" betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • "maxN" betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • "Svaret endast som närmevärde" betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (t.ex. noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (t.ex. x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (t.ex. parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt "i kedja", m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.

Del A

1. Uttryck och ekvationer 12 p.

1.1 Vilket är värdet av uttrycket 2x+8 då x=-3? 3 p.

  • 2 (3 p.)

1.2 Den allmänna termen i den aritmetiska talföljden (a_n) är a_n = 3n + 9, n = 1, 2, 3, \ldots Vilket är det minsta värdet på indexet n för vilket motsvarande term a_n är större än 100? 3 p.

  • n =31 (3 p.)
Specifika anvisningar för deluppgiften:
  • n =30  (1 p.)

1.3 Ekvationen x^2-4x=0 uppfylls 3 p.

  • för värdena x =0 och x =4  (3 p.)
Specifika anvisningar för deluppgiften:
  • "endast för värdet x=0", "endast för värdet x=4", "för värdena x=0 och x=-4", "för värdena x=4 och x=-4".  (1 p.)

1.4 Ekvationsparet 3 p.

  • har exakt en lösning (3 p.)

2. Längder och areor 12 p.

2.1 I en rektangel är diagonalens längd 5,0 cm och längden på rektangelns kortare sida är 2,0 cm. Bestäm längden på rektangelns längre sida med en millimeters noggrannhet. 3 p.

  • 46 (3 p.)
Felaktiga svar som ger poäng:
  • Fel enhet, men korrekt noggrannhet, ex. 460 eller 4,6:  (2 p.)
  • Korrekt svar, men fel noggrannhet: 45,8 eller 50 eller motsvarande:  (2 p.)
  • Fel avrundat: 45:  (2 p.)
  • (Beräknat \sqrt{50^2+20^2} och fått) 54:  (1 p.)
  • Fel enhet eller en enhet som inte motsvarar svaret: (–1 p.)

2.2 En sida i en rektangel är 5,0 cm lång och den bildar en 35^{\circ} stor vinkel med rektangelns diagonal. Bestäm rektangelns omkrets med en millimeters noggrannhet. 3 p.

  • 170 (3 p.)
Felaktiga svar som ger poäng:
  • Fel enhet, men korrekt noggrannhet: 17{,}0 (enhet cm), 1700 eller motsvarande:  (2 p.)
  • Fel noggrannhet: 200 eller 170{,}0 eller 170{,}021 eller motsvarande:  (2 p.)
  • Glömt att multiplicera med två, korrekt noggrannhet och enhet, dvs. 85:  (2 p.)
  • Bara den kortare sidans längd, korrekt noggrannhet och enhet: 35  (2 p.)
  • Radianer, men korrekt noggrannhet och enhet, dvs. 147:  (2 p.)
  • Sinus eller cosinus, men korrekt noggrannhet och enhet, dvs. 157 eller 182:  (1 p.)
  • Dessutom: 17 ger  (2 p.)

2.3 En romb är en parallellogram vars alla sidor är lika långa. En rombs diagonaler skär varandra vinkelrätt och har längderna 2,0 cm och 5,0 cm. Bestäm rombens area med en kvadratcentimeters noggrannhet. 3 p.

  • 5 (3 p.)
Felaktiga svar som ger poäng:
  • Fel noggrannhet: 5,0 eller något annat motsvarande:  (2 p.)
  • Korrekt värde, mindre fel i enheten: 0,05 eller 500:  (2 p.)
  • Korrekt värde, men ett kast på en decimal: 0,5 eller 50:  (1 p.)
  • Multiplicerat eller dividerat en gång för mycket med två: 10 eller 3:  (2 p.)
  • Multiplicerat eller dividerat två gånger för mycket med två: 20 eller 1:  (1 p.)
  • Angivet en enhet som är fel (ex. cm):  (–1 p.)
  • Om det i svarsfältet också finns något verkligt felaktigt:  (0 p.)

2.4 En cirkelsektor har radien 3,00 cm och medelpunktsvinkeln 26,0^{\circ}. Bestäm cirkelsektorns area med en noggrannhet på 0,01 cm^2. 3 p.

  • 2,04 (3 p.)
Felaktiga svar som ger poäng:
  • Korrekt area men uttryckt i fel enhet: 204 (enhet kvadratmillimeter) eller 0,0204 (enhet kvadratdecimeter) eller motsvarande:  (2 p.)
  • Korrekt area med korrekt enhet, men fel noggrannhet, ex. 2 eller 2,042 eller 2,0 eller motsvarande:  (2 p.)
  • Korrekt area med korrekt enhet, men avrundningsfel: 2,05:  (2 p.)

3. Blomkruka 12 p.

Radien på blomkrukans övre del är 20\text{ cm}, (1 p.)
och arean på den övre delens botten (cirkulär cylinder) är \pi \cdot 20^2\text{ cm}^2,2 p.
dvs. dess volym är \pi \cdot 20^2\cdot 15\text{ cm}^3 1 p.
\approx 18\,849{,}56\text{ cm}^3. 1 p.
Bottnens radie är 15\text{ cm}, (1 p.)
dvs. bottnens area är \pi \cdot 15^2\text{ cm}^2.(2 p.)
Med formeln för volymen av en stympad kon är den nedre delens volym
\frac{20}{3}\left(\pi \cdot 20^2+\pi \cdot 15^2+\sqrt{\pi \cdot 20^2\cdot \pi \cdot 15^2}\right)\text{ cm}^3		2 p.
\approx 19\,373{,}15\text{ cm}^3.1 p.
Adderat egna volymer och avrundet till en noggrannhet på 1, 2, eller 3 gällande siffrors noggrannhet (19\,373{,}15\text{ cm}^3+18\,849{,}56\text{ cm}^3\approx 38\,000\text{ cm}^3).1 p.
ELLER
Radien på blomkrukans övre del är 20\text{ cm}, (1 p.)
och arean på den övre delens botten (cirkulär cylinder) är \pi \cdot 20^2\text{ cm}^2, 2 p.
dvs. dess volym är \pi \cdot 20^2\cdot 15\text{ cm}^3 1 p.
\approx 18\,849{,}56\text{ cm}^3. 1 p.
Bottnens radie är 15\text{ cm}, (1 p.)
Examinanden har utgått från formeln \frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)
Termen r_1^2 korrekt 20^2 och termen r_2^2 korrekt 15^21 p.
Termen r_1\cdot r_2=20\cdot 15 korrekt2 p.
Koefficienten \frac{20\pi}{3} korrekt1 p.
\approx 19\,373{,}15\text{ cm}^3. 1 p.
Adderat egna volymer och avrundet till en noggrannhet på 1, 2, eller 3 gällande siffrors noggrannhet 19\,373{,}15\text{ cm}^3+18\,849{,}56\text{ cm}^3\approx 38\,000\text{ cm}^3). 1 p.
Specifik anvisning för den här lösningen:
Summa i stället för multiplikation: \frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1+r_2+r_2^2)  1+2+1+1+1+1+0+1+1+1max 10 p.
Allmänna anvisningar för uppgiften:
Radie och diameter förväxlade: avdrag från 1:a och 5:e raden. max 10 p.
Beräknat arean av mantelytan i stället för volymen av den cirkulära cylindern: övre delens radie 1 p., stympad kon 6 p.max 7 p.
Enhetsfel eller enheten saknas helt i svaret: -1 en gång för hela uppgiften.

4. Talföljd 12 p.

Rekursionens idé (för den här poängen räcker inte 5, 9, 17, eller a_2 = 2\cdot 3 -1). 1 p.
a_2=2a_1-1=2\cdot 3-1=5. 1 p.
a_3=2a_2-1=2\cdot 5-1=9. 1 p.
a_4=2a_3-1=2\cdot 9-1=17. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Endast talvärden, av vilka minst ett är fel. 0 p.
Endast korrekta talvärden (5, 9, 17) 3 p.
Examinanden observerar att a_2-a_1=5-3=2 och a_3-a_2=4 ELLER differenserna med egna tal. 1+1 p.
Eftersom 2\ne 4, så är differensen av två på varandra efterföljande element inte konstant, 1 p.
Slutsats: därmed är talföljden inte aritmetisk. 1 p.
Examinanden observerar att \frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{3} och \frac{a_3}{a_2}=\frac{9}{5} ELLER förhållanden med egna tal. 1+1 p.
Eftersom \frac{9}{5}\ne\frac{5}{3}, så är förhållandet mellan två på varandra följande element inte konstant. 1 p.
Slutsats: därmed är talföljden inte geometrisk. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Med fel talföljd kan man få fulla poäng, om talföljden varken är aritmetisk eller geometrisk.

Del B1

5. Tandborstning 12 p.

Pappan borstar tänderna på tre personer på en dag. 1 p.
Det tar 4 minuter att borsta tänderna på en person per dag,2 p.
dvs. på en dag borstar han tänder i exakt 2\cdot 6 ELLER exakt 4\cdot 3 ELLER exakt 12 minuter. 2 p.
Eftersom ett år har 365 dagar, så borstar pappan tänder i 365\cdot 12=4380 minuter på ett år. 2 p.
Eftersom 1 timme är 60 minuter, (1 p.)
så använder pappan per år \frac{4380}{60}(2 p.)
dvs. 70 ELLER 73 timmar på att borsta tänder. (Endast dessa noggrannheter.)2 p.
Allmänna anvisningar för uppgiften:
Antalet dagar på ett år 360 eller 52 \cdot 7   1+2+2+1+1+2+2max 11 p.
Antalet dagar på ett år 7 \cdot 4 \cdot 12   1+2+2+0+1+2+2max 10 p.
Om talet 12 dyker upp ur tomma intet på 3:e raden: 0+0+2+2+1+2+2 och -1 för avsaknad av förklaringar.max 8 p.
Om det på 3:e raden utan förklaring dyker upp 2 \cdot 6 ELLER 3 \cdot 4: -1 för brister i förklaringar.max 11 p.
Endast uträkning, ex. \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 365}{60} = 73.max 11 p.

6. Banhoppning 12 p.

Termen 1{,}3 \cdot 140 1 p.
Termen +20 1 p.
Svaret 200 cm eller 202 (cm) eller 2 m eller 2{,}02 m. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Endast svar. 0 p.
Oberoende poäng: examinanden har tagit ut 195 (cm). 1 p.
Oberoende poäng: dividerat talet 195 eller talet 215 med talet 1{,}3. 1 p.
Svar 150 (cm) eller 1{,}5 m. 1 p.
ELLER
Ekvation, GeoGebra eller annan programvara, och svaret. 1+1+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Endast svar. 0 p.
Examinanden har gissat svaret 150 och testat. 2 p.
Ett linjärt uttryck där 1{,}3h ingår (exempelvis 1{,}3h -20). 1 p.
Uttrycket är korrekt men beteckningen möjligen felaktig/oklar/oförklarad (ex. f(d) = 1{,}3h+20 eller f(x) = 1{,}3x + 20 eller f(h) = 1{,}3h+20). 1 p.
d= 1{,}3h +20 ELLER d(h) = 1{,}3h + 20 ELLER f on är avståndet och f(h) = 1{,}3h+20 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Mellansteg krävs inte utan endast svar räcker (eftersom utrycket kan tas fram i huvudet).
Ett linjärt uttryck där \frac{x}{1,3} ingår (ex. \frac{d}{1,3} -20). 1 p.
Uttrycket är korrekt men beteckningen möjligen felaktig/oklar/oförklarad (ex. f (h) = \frac{d-20}{1,3} eller f(x) = \frac{x-20}{1,3} ELLER f(d) = \frac{d-20}{1,3}). 1 p.
h= \frac{d-20}{1,3} ELLER h(d) = \frac{d-20}{1,3} ELLER f är höjden och f(d) = \frac{d-20}{1,3}. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Mellansteg krävs inte utan endast svar räcker (eftersom utrycket kan tas fram i huvudet).
Allmänna anvisningar för uppgiften:
Svaren för deluppgifterna 6.3 och 6.4 har förväxlats: poängavdrag för dessa deluppgifter. –2 p.

7. Prisförändring för hönsägg 12 p.

Äggens pris sänktes (i euro) 3{,}5\cdot 0{,}1=0{,}35. 2 p.
En tredjedel av detta är \frac{0,35}{3}\approx 0{,}1167. 1 p.
Produktionen fick tidigare 0{,}35\cdot 3{,}5= 1{,}225. 1 p.
Produktionens ersättning minskar \frac{0,35}{3\cdot 1,225}\approx 0{,}0952\approx 10\ \%. (differens/gammal 1 p.) 2 p.
Packeriet fick tidigare 0{,}25\cdot 3{,}5=0{,}875. 1 p.
Packeriets ersättning minskar \frac{0,35}{3\cdot 0,875}\approx 0{,}1333\approx 13\ \%. (differens/gammal 1 p.)2 p.
Butiken fick tidigare 0{,}40\cdot 3{,}5=1{,}4.1 p.
Butikens ersättning minskar \frac{0,35}{3\cdot 1,4}\approx 0{,}0833\approx 8\ \%. (differens/gammal 1 p.)2 p.
Allmänna anvisningar för uppgiften:
Ersättningen minskar med 10 % för alla:  2+0+1+0+1+0+1+0 max 5 p.
Man har glömt att dividera med talet 3 på andra raden:  2+0+1+2+1+2+1+2 och ett extra -1 för den första procentuella andelen. max 10 p.
MOMS (14 % eller 24 % eller en annan förnuftig) korrekt beaktat. –0 p.
Mellanavrundningar på eget ansvar.
Avrundat till 1 cents noggrannhet, för hela uppgiften.–1 p.
Avrundningsfel, för hela uppgiften.–1 p.
Beräknat 3{,}15: för den första raden 1 p.

8. Topparabel 12 p.

Oberoende poäng: Parabelns topp ligger i derivatans nollställe. 1 p.
Oberoende poäng: Derivatan till funktionen f(x)=-x^2+bx+c är f'(x)=-2x+b. (-2x 1 p., b 1 p., överflödiga termer –1 p.) (2 p.)
Derivatans nollställe: f'(x)=-2x+b=0. 1 p.
Av villkoret följer att f'(2)=-2\cdot 2 + b=0, 2 p.
dvs. b=4. 2 p.
Oberoende poäng: f(2)=-2^2+b \cdot 2+c=1 ELLER f(2)=1,(1 p.)
dvs. -2^2+4\cdot 2+c=1,1 p.
vilket ger c=-3.2 p.
Specifika anvisningar för lösningen:
Solve är ok vid lösning av ekvationerna.
ELLER
Oberoende poäng: Parabelns topp ligger i derivatans nollställe.1 p.
Examinanden har genom prövning funnit f(x)=-x^2+4x-3, dvs. koefficienterna b=4 och c=-3.2 p.
Derivatan till funktionen f(x)=-x^2+4x-3 är f'(x)=-2x+4. (-2x 1 p., 4  1 p., överflödiga termer –1 p.) 2 p.
f'(2)=-2 \cdot 2+4=0.2 p.
Oberoende poäng: f(2)=-2^2+4 -3=1.1 p.
Motivering för varför de framtagna b och c är entydiga (ex. toppformen 2 p. och förklaring i ord 2 p.). 4 p.
Specifika anvisningar för lösningen:
b och c felaktiga genom prövning (ex. glidare)  1+0+2+0+0+0.max 3 p.
ELLER
Oberoende poäng: Parabelns topp ligger i derivatans nollställe.1 p.
Framtagen toppform f(x)=-(x-2)^2+1.3 p.
Koefficienterna b=4 och c=-3 2 p.
Funktionens derivata är f'(x)=-2x+4. (-2x 1 p., 4  1 p., överflödiga termer –1 p.) 2 p.
f'(2)=-2 \cdot 2+4=0.2 p.
Motivering för varför de framtagna b och c är entydiga. 2 p.
Allmän anvisning för uppgiften:
Parabel som öppnar sig uppåt (ekvivalent egen uppgift)max 8 p.

9. Tärningsstatistik 12 p.

minsta värde: 10 1 p.
största värde: 26 1 p.
typvärde: 16 1 p.
median: 17 1 p.
medelvärde: 17{,}08 1 p.
standardavvikelse: 3{,}54 ELLER 3{,}56 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften: 1 p.
Någon slags motivering krävs (ex. skärmdump, där kommandon är synliga eller GeoGebras data-analys/statistik/motsvarande), annars –1 .
Medelvärde och standardavvikelse: alla noggrannheter godkänns.
Något diagram för summavariabelns frekvenser. 1 p.
Ett ritat stapeldiagram för summavariabelns frekvenser (staplarna kan ligga ihop). 2 p.
Examinanden har försökt motivera svaret med hjälp av den egna figuren. 1 p.
Slutsats: Fördelningen ser mera ut som en normalfördelning än som en likformig fördelning. 1 p.
Noggrannare motivering, ex. talen är centrerade mot mitten och talen vid extremvärdena är färre. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Examinanden har försökt motivera svaret "likformig fördelning" max (1+0+0) max 1 p.
Allmän anvisning för uppgiften:
Ekvivalent uppgift (ex. N = 98) max (4+2+2) max 8 p.
Fel material (ex. N =500) max (2+1+1), talen i deluppgift 9.1: min =1, max =6, typvärde =1, median =3, medelvärde \approx 3{,}4 och standardavvikelse \approx 1{,}7. Deluppgift 9.2: stapeldiagram över frekvenserna max 4 p.

Del B2

10. Minskning av växthusgaser 12 p.

Talen är i ordningsföljd 100; 97{,}8; 95{,}6; 93{,}5; ELLER 100; 97{,}8; 95{,}65; 93{,}54 1 p.
91{,}5; 89{,}5; 87{,}5; 85{,}6; 83{,}7; 81{,}9 ELLER 91{,}49; 89{,}47; 87{,}51; 85{,}58; 83{,}70; 81{,}86 1 p.
Oberoende poäng: Av lösningen framgår att vi får följande tal genom att multiplicera föregående års tal med talet 1-\frac{2,2}{100}=0{,}978. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Korrekta värden avrundade till hela tal: 100, 98, 96, 94, 91, 89, 88, 86, 84, 82.
Avrundningar i mellanstegen på eget ansvar, svaret måste ges som heltal, med en decimals noggrannhet eller med två decimalers noggrannhet.
1- (0{,}978)^9 ELLER från talet 100 har man subtraherat ett tal som beräknats i deluppgift 10.1 (ex. 80{,}2). 1 p.
Uträkningens svar finns/har omvandlats till procent. 1 p.
I uträkningen har man använt den korrekta utsläppsgränsen exakt 81{,}9 med minst en decimals noggrannhet. 1 p.
Man har fått det korrekta svaret: 1-0{,}978^9\approx 0{,}1814 \approx exakt {18\ \%}. 1 p.
Utsläppsmålsättningen skulle enligt den gamla gränsen vara (1-0{,}0174)^9\cdot 100 \;(\approx 85{,}39). 1 p.
Minskningsprocenten är alltså \frac{(1-0,0174)^9\cdot 100-0,978^9\cdot 100}{(1-0,0174)^9\cdot 100} \;(\approx \frac{85,39-81,86}{85,39}).
Oberoende poäng: i täljaren differensen mellan talet enligt den gamla gränsen och talet från deluppgiften 10.1 ELLER motsvarande senare. 1 p.
Oberoende poäng: i nämnaren en egen utsläppsmålsättning enligt den gamla gränsen. 1 p.
Svaret (\approx 0{,}0414\approx) exakt 4{,}1\ \%. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften:
Jämförelsen omsvängd. max 2 p.
Allmänna anvisningar för uppgiften:
Avrundningsfel: –1 p. för hela uppgiften.

11. Medianen av fem tal 12 p.

Medelvärdet är nästan korrekt. 1 p.
Medelvärdet är \frac{(x+1)+(2x+5)+(3x-2)+(4x+1)+5x^2}{5}=\frac{5x^2+10x+5}{5}\ (=x^2+2x+1). 1 p.
Eftersom medelvärdet är ett får vi ekvationen x^2+2x+1=1 2 p.
dvs. x^2+2x=0.
Alltså är x=0 eller x=-2. 2 p.
Man kan inte få poängen nedan om inte lösningarna härstammar från en andragradsekvation.
Om x=0, så är talen 1, 5, -2, 1, 0, 2 p.
och deras median är 1. 1 p.
Om x=-2, så är talen-1, 1, -8, -7, 20, 2 p.
och deras median är -1. 1 p.
ELLER
Examinaden har genom prövning fått fram att x=0 och x=-2 uppfyller villkoret. 1+1 p.
Gjord lista + framtagen median för värdet x=0. 2+1 p.
Gjord lista + framtagen median för värdet x=-2. 2+1 p.
Motiverat varför det inte finns andra lösningar. 4 p.
Allmänna anvisningar för uppgiften:
Första poängen ges om listan innehåller 3 korrekta tal.

12. Att bygga ett torn 12 p.

Längden på sidan av tornets bas betecknas med bokstaven x. 1 p.
Tornets bredd är då 0{,}8x vid toppen. 1 p.
Figur/förklaring i ord eller motsvarande, där 10 m är korrekt (poäng ges inte om 10 m används fel senare). 1 p.
Man försöker använda Pythagoras sats för att beräkna höjden på sidoytan. 1 p.
Den kortare kateten (0{,}1x) i den rätvinkliga triangel som bildas är korrekt. 1 p.
Höjden på sidoytan är korrekt. 2 p.
Oberoende poäng: I formeln för arean av en trapets har man satt in x, 0{,}8x och en egen höjd/variabel. 1 p.
Oberoende poäng: Arean av en sida är 30\, \mathrm{m}^2. 1 p.
En ekvation har bildats med en variabel för höjden \sqrt{10^2+(0{,}1x)^2}\cdot \frac{x+0,8x}{2}=30). 1 p.
Man har löst den till samma kravnnivå motsvarande ekvation. 1 p.
Svaret korrekt exakt 3{,}3 (m). 1 p.
Allmänna anvisningar för uppgiften:
10 m är felaktigt sidoytans höjd (inte pyramidens)
1+1+0+0+0+0+1+1+0+0+0 		max 4 p.
Pyramiden kan även vara av ett annat slag än fyrsidig.

13. Tärningsspel 12 p.

Sannolikheten för att spelaren A vinner är \frac{1}{3}.
Förekomsten av \frac{1}{3} 1 p., det är angivet som slutligt svar 1 p., motivering \frac26 1 p. 3 p.
Spelet avslutas inte med vinst för A med sannolikheten 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} ELLER \frac46.
Förklaring i ord 1 p., motivering: 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} (1+1 p.) ELLER \frac46 (2 p.). 3 p.
Sannolikheten för att spelaren B vinner är \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}, 3 p.
eftersom om hon får kasta så vinner B med sannolikheten \frac{3}{6}\, (=\frac{1}{2}) ELLER i den föregående radens uträkning finns \frac36 3 p.
Allmänna anvisningar för uppgiften:
Svaret oförenklat (ex. \frac26), en gång för hela uppgiften –1 p.
Beräknat med närmevärden, svaret är korrekt med 1 procentenhets noggrannhet (ex. 33 %) –1 p.