Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

23.3.2022

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 17.5.2022

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy oikeassa sarakkeessa olevaan pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esim. derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Suluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden edellisten rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37{,}5 ja 40 kelpaavat.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esim. laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä ylläolevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esim. tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esim. x=2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esim. puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

A-osa

1. Perustehtäviä 12 p.

Tämä tehtävä arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, eikä opettajan tarvitse tehdä alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä.

1.1 Polynomin p(x)=x^2-6x suurempi nollakohta on  2 p.

  • 6 (2 p.)
0 TAI (6, 0) TAI x=0 tai x=6 (1 p.)

1.2 Funktion f(x)=x^3-x^2+1 arvo kohdassa x=2 on  2 p.

  • 5 (2 p.)
13 TAI 3 (1 p.)

1.3 Funktion f(x)=x^3-x^2+1 derivaatan arvo kohdassa x=2 on  2 p.

  • 8 (2 p.)

1.4 Yhtälön 5^{k-5}=25 ratkaisu on  2 p.

  • 7 (2 p.)

1.5 Funktion \displaystyle{f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}} raja-arvo kohdassa x=4 on  2 p.

  • 8 (2 p.)

1.6 Määritä lausekkeen x^3+1 arvo, kun x^2+1=26 ja x<0.  2 p.

  • –124 (2 p.)
126 TAI -125 TAI -126 (1 p.)

2. Useita ratkaisutapoja 12 p.

Päätetään ratkaista yhtälö (2x+1)(x-6)=0 kertomatta sulkeita auki.
Tulon nollasäännön mukaan 2x+1=0 tai x-6=0 TAI jakamalla huomioiden nollalla jakaminen. 1 p.
Siispä x=-\frac{1}{2} tai x=6. 1+1 p.
Kertoen sulkeet auki ratkaistaan nyt toinen yhtälö (2y+1)(y-6)=-6.
Kerrotaan auki: 2y^2-11y-6=-6 (joten 2y^2-11y=0). 1 p.
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla tai tulon nollasäännöllä tai SpeedCrunchilla saadaan y=0 tai y=\frac{11}{2} TAI 5{,}5. 1+1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pisteytys, kun sulkuja avattaessa tulee laskuvirhe, mutta oma 2. asteen yhtälö ratkaistaan oikein (0+1). max 1 p.
Pisteytys, kun sulut on avattu oikein, mutta tämän jälkeen ratkaistu väärä yhtälö (eli esim. toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan tai SpeedCrunchiin sijoitettu väärät kertoimet) (1+0). max 1 p.
Ratkaistaan ensimmäinen yhtälö kertomatta sulkeita auki.
5\left(7x-2\right)+7\left(7x-2\right)=12\left(7x-2\right) TAI 5(7x-2)+7(7x-2)=(5+7)(7x-2) TAI 5+7=12, 1 p.
joten 7x-2=1, 1 p.
eli x=\frac{3}{7}. 1 p.
Ratkaistaan jälkimmäinen yhtälö kertomalla vasemmalta puolelta sulkeet auki.
5\left(7y-2\right)+7\left(7y+2\right)=35y-10+49y+14=84y+4, 1 p.
joten 84y+4=12, 1 p.
eli y=\frac{8}{84}=\frac{2}{21}. 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Vastaus vain desimaalilukuna: osatehtävästä yhteensä –1 p.
Pisteytys, kun tulee sulkuja auki laskiessa laskuvirhe, mutta sulkujen avaamisen periaate on kunnossa ja oma 1. asteen yhtälö ratkaistaan oikein (0+1+1). max 2 p.
Tehtävän erillisohjeet
Ratkaistu kahdesti sama yhtälö eri menetelmin (1+2+1+0 ja 1+1+1+1+1+0). max 4+5 p.
Ainoana ratkaisuna kokeiluratkaisu: oikea vastaus (1 p.) / tarkistus (1 p.) / yksikäsitteisyys (1 p.) max 3 p.
Toisena ratkaisuna epätäydellinen kokeiluratkaisu, jossa jotakin uutta (esim. taulukointi), toisesta ratkaisusta 1 p. max 1 p.
Toisena ratkaisuna täydellinen kokeiluratkaisu, jossa perustellaan, että kaikki ratkaisut on löydetty. max 3 p.
Ei kerrottu, mikä ratkaisu on osittelulailla ja mikä ilman (selitysten puute) TAI virheellisesti merkitty, kummassa ratkaisussa käyttää osittelulakia ja kummassa ei. –0 p.

3. abBA-tehtävä 12 p.

Käytetty osittelulakia oikein ja saatu summa. 1 p.
Johtopäätöksenä: (a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)=a^4-\sqrt{2}a^3b+a^2b^2+\sqrt{2}a^3b-2a^2b^2+\sqrt{2}ab^3+b^2a^2-\sqrt{2}ab^3+b^4 (väh. 4 termiä oikein 1 p., väh. 6 termiä oikein 2 p., kaikki termit oikein 3 p.) 3 p.
=a^4+b^4 2 p.
TAI
Idea konjugaattisäännön soveltamisesta (1 p.)
(a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)=(a^2+b^2)^2-(\sqrt{2}ab)^2 2 p.
=a^4+2a^2b^2+b^4-2a^2b^2 (2 p.)
=a^4+b^4. 1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Virheellinen konjugaattisäännön soveltaminen:
a^4 - (\sqrt2 ab +b^2)^2 = a^4-2a^2b^2-2\sqrt2ab^3-b^4 (1+0+1+1). 		3 p.
TAI
Oikea vastaus: (a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)=a^4+b^4 3 p.
Perustelu: MAOLin kaava TAI samankorkuisten potenssien summakaavan nojalla TAI muistikaava TAI kuvakaappaus kaavasta. 3 p.
Alakohdan erillisohjeet
Jos ratkaisussa oikea vastaus, niin vähintään 3 p., mutta pistemäärä voi olla myös suurempi, jos mukana on laskuja pienillä virheillä.
Ei sievennetty loppuun saakka, -1 vastausriviltä.
Ehdosta f(0)=4 saatu A+B=4 TAI A\cdot 1+B\cdot 1=4. 1 p.
f'(x)=2Ae^{2x}-3B\sin(3x) (pisteet: Ae^{2x}, -B\sin(3x) ja kertoimet 2 & 3). 3 p.
Sijoitetaan 0 omaan derivaattaan ja saadaan lineaarinen yhtälö, jossa trigonometristen funktioiden ja eksponenttifunktion arvot on laskettu (2A=5). 1 p.
Ratkaistu sellainen oma yhtälöpari, joka antaa yhden ratkaisun (A=\frac{5}{2} ja B=\frac{3}{2}). 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Ylimääräiset termit derivoinnissa yhteensä -1 p.
Sijoituksessa Ae^0+B\cos(0) ei vielä oikeuta pisteeseen.

4. Polynomit 12 p.

Muodostetaan yhtälö f(x)=g(x). 1 p.
Päädytään yhtälöön x-1=-2(x+1) tai vastaava, josta saadaan x=-\frac13. 1 p.
riippumaton piste Tähän päädytty käsittelemällä muut nollakohdat matemaattisesti oikein, esim. tulon nollasääntö tai jakaminen puolittain huomioiden, että x on erisuuri kuin 2 tai -2. 1 p.
Lasketaan y_0=\ldots= täsmälleen {\frac{140}{27}} tai täsmälleen 5 \frac5{27}. 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Vastaus desimaalilukuna, ei pisteitä vastausriviltä.
riippumaton piste Perustellaan (esim. testipisteillä), että g(x)>f(x) integrointivälillä. 1 p.
Lasketaan jotakin funktioihin f(x) ja g(x) liittyvää määrättyä integraalia, jossa rajat ovat 0 ja 2. 1 p.
Tarkastellaan lausekkeita \int_0^2g(x)\, dx-\int_0^2f(x)\, dx TAI \int_0^2(g(x)-f(x))\,dx. 1 p.
riippumaton piste Kerrotaan auki polynomit: f(x)=x^3-x^2-4x+4 ja g(x)=-2x^3-2x^2+8x+8. 1 p.
Integrointi oikein \bigl( \int (-3x^3-x^2+12x+4)\, dx = -\frac{3}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+6x^2+4x\bigr). 2 p.
Tehty sijoitus. 1 p.
Tulos täsmälleen 17 \frac{1}{3} tai täsmälleen \frac{52}{3}. 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Jos käsitelty integraalit erikseen, ja toinen käsitelty täysin oikein ja toisessa laskuvirhe sijoituksessa ja/tai sulkujen avaamisessa, niin toiseksi ja neljänneksi viimeiseltä riviltä yhteensä 1 p.
Vastaus desimaalilukuna, ei pisteitä vastausriviltä.
\int_0^2 f(x)\,dx=\frac{4}{3} ja \int_0^2 g(x)\,dx=\frac{56}{3}

B1-osa

5. Monivalinnat 12 p.

5.1 Kaikissa suunnikkaissa lävistäjät  1 p.

  • puolittavat toisensa  (1 p.)

5.2 Kuutiossa on  1 p.

  • 6 tahkoa, 8 kärkeä ja 12 särmää  (1 p.)

5.3 Suora, jolla on ympyrän kanssa kaksi yhteistä pistettä, on ympyrän  1 p.

  • sekantti  (1 p.)

5.4 Paraabeli muodostuu niistä tason pisteistä, jotka ovat yhtä etäällä kiinteästä suorasta ja paraabelin  1 p.

  • polttopisteestä  (1 p.)

5.5 Kun vektori, joka ei ole nollavektori, kerrotaan pituutensa käänteisluvulla, saadaan vektorin  1 p.

  • kanssa samansuuntainen yksikkövektori  (1 p.)

5.6 Avaruuden kolme eri pistettä ei koskaan määrää yksikäsitteistä  1 p.

  • palloa  (1 p.)

5.7 Kun a ja b ovat reaalilukuja, niin epäyhtälö a<b toteutuu täsmälleen silloin, kun  2 p.

  • a^3<b^3  (2 p.)

5.8 Polynomi (x^2+5x+1)(x+3) derivoidaan. Mikä on derivaatan arvo pisteessä 0?  2 p.

  • 16  (2 p.)

5.9 Tiedetään, että x^x=100. Mitä voidaan sanoa luvusta x ?  2 p.

  • 3<x<4  (2 p.)

6. Ympyrä kohtaa paraabelin 12 p.

Huomaa, että kyseessä ei ole kaksi alakohtaa, vaan yksi tehtävä.
Sivuamispisteiden etsiminen
Yhtälöparilla ja diskriminantilla
Sijoitetaan y=x^2 yhtälöön r^2=x^2+(y-2)^2. (Saadaan r^2=y^2-3y+4.) 1 p.
Jotta paraabelilla ja ympyrällä on tasan kaksi sivuamispistettä, saa yhtälöllä y^2-3y+4-r^2=0 olla vain yksi ratkaisu. 1 p.
Diskriminantti: (-3)^2-4\cdot 1\cdot (4-r^2)=0. 1 p.
Saadaan r^2=\frac{7}{4}. 1 p.
Tällöin y=\frac{3}{2} ja x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm 1{,}22474\ldots 1 p.
TAI Sivuamispisteeseen (a, a^2) piirretyn normaalin avulla
Ympyrän keskipisteen ja tangenttipisteen kautta kulkevan suoran kulmakerroin on \frac{a^2-2}{a-0}. 1 p.
Laskettu sivuamispisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin y'=2x=2a. 1 p.
Kulmakertoimien tulo 2a\cdot\frac{a^2-2}{a}=-1. 1 p.
Tällöin y=\frac{3}{2} ja x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm 1{,}22474\ldots 1 p.
Saadaan r^2=\frac{7}{4}. 1 p.
TAI Etäisyyden lausekkeen avulla
Paraabelin pisteen (x, x^2) etäisyys ympyrän keskipisteestä on
f(x)=\sqrt{(x-0)^2+(x^2-2)^2} ~(=\sqrt{x^4-3x^2+4}\,). 		1 p.
Pienin etäisyys antaa ympyrän säteen 1 p.
Laskettu derivaatta f'(x)=\frac{1}{2}(x^4-3x^2+4)^{-1/2} \cdot (4x^3-6x). 1 p.
Etsitty sen nollakohdat x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}= \pm 1{,}22474\ldots 1 p.
Tällöin (y=\frac{3}{2} ja) r^2=\frac{7}{4}. 1 p.
TAI GeoGebran avulla (tässä voidaan vaatia järkeviä perusteluja, miksi vastaus on oikein kahden merkitsevän numeron tarkkuudella)
Piirretty paraabeli y=x^2. Lisäksi kuvassa piste (0, 2) tai ympyrä, jonka keskipiste silmämääräisesti (0, 2) tai piste ilmenee ympyrän yhtälössä. 1 p.
Likimäärin oikea säde r \approx 1{,}32 tai r^2\in [1{,}745; 1{,}755] ja piirretty vastaava ympyrä. 1 p.
Säteen arvo perusteltu oikein, esim. komento etäisyys(piste, paraabeli) tai säde (likimain) kohtisuorassa paraabelia vastaan tietyssä pisteessä tai käytetty leikkauspistekomentoa ja on vain kaksi leikkauspistettä. 1 p.
Likimääräiset leikkauspisteet (\pm 1{,}22;1{,}5). 1 p.
Leikkauspisteen perustelu leikkauspistekomennolla tai LähinPiste-komennolla. 1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
GeoGebra-ratkaisussa komennot voi korvata selityksillä.
Pinta-alan määrittäminen
Integraalin ja ympyräsegmentin avulla
Selvitetään integroimalla paraabelin ja suoran y=\frac{3}{2} väliin jäävä pinta-ala kysytyllä välillä ja vähennetään siitä ympyräsegmentin ala. 1 p.
\int_{-\sqrt{\frac{3}{2}}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}\left(\frac{3}{2}-x^2\right)dx=\left[\frac{3}{2}x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-\sqrt{\frac{3}{2}}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}=3\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{3}{2}}=2\sqrt{\frac{3}{2}},
rajat 1 p. + integroitava funktio 1 p. 		1+1 p.
Vastaavan sektorin keskuskulma on 2\arctan\left(\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{2}}\right)\approx 2{,}36639, 1 p.
joten sektorin ala \approx 2{,}07060, 1 p.
ja segmentin ala \approx 2{,}07060-\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{2} \approx 1{,}45823. 1 p.
Tällöin kysytty ala on noin 2\sqrt{\frac{3}{2}}-1{,}45823 \approx 0{,}99126\approx täsmälleen 0{,}99 (tämä tarkkuus). 1 p.
TAI "yläreuna - alareuna"
Ratkaistaan pinta-ala käyrien väliin jäävänä pinta-alana. 1 p.
Ratkaistu y ympyrän yhtälöstä y=-\sqrt{7/4-x^2}+2, lauseke 1 p. + merkki 1 p. 1+1 p.
Pinta-ala integraalina 2\int_0^{\sqrt{3/2}}(2-\sqrt{7/4-x^2}-x^2)\, dx,
1 p. rajat + 1 p. oikeat funktiot + 1 p. oikea järjestys funktioille. 		1+1+1 p.
Vastaus -\frac{7\arccos(\sqrt{7} / 7) - 5\sqrt{6}}{4}\approx täsmälleen {0,99} (tämä tarkkuus). 1 p.
TAI Monikulmioratkaisu GeoGebralla
Pinta-ala saadaan monikulmion pinta-alana. 1 p.
Leikkauspisteet mukana monikulmiossa 1 p.
Saatu vastaus on välillä [0{,}97; 1{,}01]. 1 p.
Vastaus \approx täsmälleen {0{,}99} (tämä tarkkuus). 1 p.
Perusteltu, miksi monikulmio antaa vastauksen kahden merkitsevän numeron tarkkuudella (esim. käyttämällä puolisuunnikassääntö-komentoa ylä- ja alakäyrälle yhtä aikaa ja taulukoimalla niiden erotuksia). 3 p.
Alakohdan erillisohjeet
Säteen r ja leikkaupisteiden x-koordinaattien likiarvot voivat siirtyä tänne.

7. Makeismatematiikkaa 12 p.

19+22=41 tai mainittu, että yhteensä 41. 1 p.
Yksi todennäköisyys oikein. 1 p.
Kaikki todennäköisyydet oikein (19/41, 18/40 ja 17/39) 1 p.
Selitetty, mitä kertolaskun tekijät ovat. 1 p.
Kertolasku \frac{19}{41}\cdot \frac{18}{40}\cdot \frac{17}{39} (kolme erisuurta tulontekijää omalta kolmannelta riviltä) 1 p.
Vastaus = \frac{969}{10660} \approx 0{,}0909\approx 9 \ \%. 1 p.
TAI laskettu osajoukoilla
19+22=41 tai mainittu, että yhteensä 41. 1 p.
Binomikertoimet \binom{19}3 ja \binom{41}{3}. 1+1 p.
Selitetty, mitä tilannetta binomikertoimet vastaavat. 1 p.
Jakolasku 1 p.
Vastaus \approx 0{,}0909\approx 9\ \%. 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pelkkä lasku \frac{19}{41}\cdot \frac{18}{40}\cdot \frac{17}{39}\approx 0{,}0909\approx 9 \ \% TAI \binom{19}3 / \binom{41}{3}\approx 0{,}0909\approx 9 \ \%. 4 p.
riippumaton piste Käy ilmi, että käytetään komplementtia. 1 p.
\frac{22}{38} TAI \frac{16}{38} TAI oikeanlainen tulo (viisi eri todennäköisyyttä tekijänä) 1 p.
Todennäköisyys, että kaikki ovat salmiakkimakeisia \frac{22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}\approx 0{,}05246
ja, että kaikki ovat hedelmämakeisia \frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}\approx 0{,}00870. 		1+1 p.
Oikea logiikka todennäköisyyksien yhdistämisessä 1 - (P(A) + P(B)). (1 p.)
Vastaus 1-0{,}05246-0{,}00870\approx 0{,}93883\approx 0{,}94=94 %. (Tarkka arvo \frac{660}{703}.) 1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Varoitus: Myös (1 - P(A))(1- P(B))\approx 0{,}94.
TAI
riippumaton piste Käy ilmi, että käytetään komplementtia. 1 p.
\binom{22}{5} TAI \binom{16}{5} TAI \binom{38}{5} TAI oikeanlainen osamäärä (binomikertoimista muodostettu). 1 p.
Todennäköisyys, että kaikki ovat salmiakkimakeisia \binom{22}{5}/\binom{38}{5}
ja, että kaikki ovat hedelmämakeisia \binom{16}{5}/\binom{38}{5}. 		1+1 p.
Oikea logiikka todennäköisyyksien yhdistämisessä 1 - (P(A) + P(B)). (1 p.)
Vastaus 1-0{,}05246-0{,}00870\approx 0{,}93883\approx 0{,}94=94 %. (Tarkka arvo \frac{660}{703}.) 1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Varoitus: Myös (1 - P(A))(1- P(B))\approx 0{,}94.
TAI
\frac{22}{38} TAI \frac{16}{38} TAI oikeanlainen tulo (viisi eri todennäköisyyttä tekijänä) 1 p.
Yksi tulo oikein ja käy ilmi, mitä tapausta se vastaa (ei tarvita binomikerrointa). 1 p.
riippumaton piste Oikea idea, miten tn muodostuu neljän termin summasta, ja karkkien järjestys huomioitu (binomikerroin). 1 p.
Yksi termi kokonaan oikein (myös binomikerroin) 1 p.
Kolme termiä kokonaan oikein 1 p.
Neljä termiä oikein ja vastaus 1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Oikea lasku: \frac{\binom{16}{1} \binom{22}{4}}{\binom{38}{5}}+\frac{\binom{16}{2} \binom{22}{3}}{\binom{38}{5}} +\frac{\binom{16}{3} \binom{22}{2}}{\binom{38}{5}}+\frac{\binom{16}{4} \binom{22}{1}}{\binom{38}{5}} = \frac{440}{1887}+ \frac{4400}{11951}+ \frac{3080}{11951}+ \frac{2860}{35853}=\frac{660}{703} tai
\binom{5}{1}\frac{22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 16}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}+\binom{5}{2}\frac{22\cdot 21\cdot 20\cdot 16\cdot 15}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}+\binom{5}{3}\frac{22\cdot 21\cdot 16\cdot 15\cdot 14}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}+\binom{5}{4}\frac{22\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}=\frac{660}{703}.

8. Jatkuva mutta ei derivoituva funktio 12 p.

Annettu esimerkkifunktio f\colon\mathbf R\to \mathbf R.
Esimerkkifunktio on jatkuva. 1 p.
Mainittu, että funktio on jatkuva muualla kuin kohdassa x=1. 1 p.
Tarkistettu, että \lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^+} f(x)=f(1) (yksi yhtäsuuruus puuttuu 1 p.)
TAI \lim_{x \to 1} f(x)=f(1) (mikäli soveltuva ja tehty oikein)
TAI jatkuvien f_1 ja f_2 avulla paloittain määritelty funktio ja f_1(1)=f_2(1). 		2 p.
ylläolevista riveistä riippumaton piste Esimerkkifunktio ei ole derivoituva kohdassa x=1 (myös epäjatkuva käy). 2 p.
Laskettu vasemmanpuoleinen raja-arvo erotusosamäärälle. 2 p.
Laskettu oikeanpuoleinen raja-arvo erotusosamäärälle. 2 p.
Funktion täytyy olla jatkuva ja lisäksi on mainittu, että funktio ei ole derivoituva, koska erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot ovat erisuuret. 2 p.
Tehtävän erillisohjeet
Erotusosamäärän voi laskea myös kaavalla \lim_{h \to 0^\pm} \frac{f(1+h)- f(1)}{h} tai käskyllä \texttt{RajaArvoVasen((f(x)-f(1))/(x-1),1)} tms.
Undefined laskimesta ei kelpaa perusteluksi sille, että raja-arvoa (tms.) ei ole olemassa.
Funktio ei ole määritelty pisteessä x=1, esim. x \mapsto \frac1{x-1} (0+1+0+1+0+0+0). max 2 p.
Funktio ei ole määritelty joko välillä ]{-\infty, 1}[ tai ]{1, \infty}[, esim. \sqrt{1-x} (0+0+1+1+[2+0 tai 0+2]+0). max 4 p.
Perusteltu derivoituvuus sijoittamalla x = 1 erotusosamäärän sievennettyihin lausekkeisiin ilman minkäänlaista viitettä raja-arvosta, viimeisiltä kolmelta riviltä (1+1+0).

9. Ympyrä ja numeeriset menetelmät 12 p.

Väite 1: Keskipistesäännöllä voidaan saada arvio, joka on suurempi kuin alueen B todellinen pinta-ala, 1 p.
sillä jos käytämme täsmälleen yhtä jakoväliä, on keskipisteen antama korkeus \sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} ja täten keskipistesäännön antama ala on \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866, kun neljännesympyrän todellinen ala on \frac{\pi}{4}\approx 0{,}785. 3 p.
Väite 2: Osoitetaan, että keskipistesäännöllä ei voida koskaan saada arviota, joka on pienempi kuin alueen B todellinen pinta-ala. Riittää tarkastella yhtä jakoväliä [x_0-h,x_0+h]. 1 p.
Verrataan funktion f(x)=\sqrt{1-x^2} arvoa keskipisteessä x_0 ja siitä yhtä etäällä olevissa pisteissä x_0-s ja x_0+s. Todellinen pinta-ala on \int_0^h (f(x_0+s) + f(x_0-s)) \, ds ja suorakulmion pinta-ala on 2hf(x_0). Väite seuraa, kun osoitetaan, että f(x_0+s) + f(x_0-s) \le 2f(x_0). 1 p.
Merkitään a=x_0-s ja b=x_0+s jolloin x_0=\frac{a+b}2. Todistettava epäyhtälö on siis \sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\leq 2\sqrt{1-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}.
Voidaan neliöidä puolittain (molemmat puolet epänegatiivisia):
1-a^2+1-b^2+2\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\leq 4-a^2-b^2-2ab, 		1 p.
joka on yhtäpitävä epäyhtälön \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\leq 1-ab kanssa. Tämä on puolittain neliöitynä 1-a^2-b^2+a^2b^2\leq 1+a^2b^2-2ab, joka on tosi, sillä a^2+b^2\geq 2ab seuraa epäyhtälöstä (a-b)^2\geq 0. 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Väitteen voi todistaa myös geometrisesti vertaamalla pinta-aloja kuviossa, johon on piirretty jakoväliä vastaava suorakulmio, ympyrän kaari y=f(x) ja ympyrälle pisteeseen (x_0, f(x_0)) asetettu tangentti.
Väite 3: Puolisuunnikassäännöllä ei voida saada arviota, joka on suurempi kuin alueen B todellinen pinta-ala, 1 p.
sillä puolisuunnikas yhdistää aina kaksi ympyrän kaaren pistettä toisiinsa janalla, joka on ympyrän sisäpuolella. 3 p.
Väite 4: Puolisuunnikassäännöllä voidaan saada arvio, joka on pienempi kuin alueen B todellinen pinta-ala. 1 p.
Tarkastellaan esimerkiksi yhden osavälin jakoa. Tällöin puolisuunnikassäännön antama ala on \frac{1}{2}, joka on pienempi kuin todellinen ala \frac{\pi}{4}. 3 p.
Tehtävän erillisohjeet
Jokaisesta väitteestä voi saada 4 pistettä. Jos on vastannut neljään väitteeseen, annetaan tehtävässä pisteet kolmesta huonoiten perustellusta väitteestä.
Neljännesympyrän todellinen pinta-ala \frac\pi4 tai sen likiarvo 0,785 esiintyy ensimmäisen kerran perustelussa: +1 p.
GeoGebralla tehdyissä ratkaisuissa kuvakaappauksissa tulisi näkyä funktion lauseke \sqrt{1-x^2}, muuten –1 p.
Raja-arvo, kun jakovälien määrä lähestyy ääretöntä. +0 p.

B2-osa

10. Veistos 12 p.

riippumaton piste Olkoon alaosan pystysärmä y ja vaakasärmä x TAI alaosan pystysärmä 2y ja vaakasärmä x. 1 p.
Rakennelman kokonaissisätilavuus on x^2y+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}x^2y\ (=\frac{7}{6}x^2y), joka on 21. 1 p.
Pyramidin viiston särmän pituus on \sqrt{(x/\sqrt{2})^2+(y/2)^2}. 2 p.
Minimoitava lauseke on siis 4y+8x+4\sqrt{(x/\sqrt{2})^2+(y/2)^2}. 1 p.
Sijoitetaan tähän x=\sqrt{\frac{18}{y}} TAI y=18/x^2, 1 p.
jolloin saadaan yhden muuttujan funktio täsmälleen f(y)=4y+8\sqrt{\frac{18}{y}}+4\sqrt{y^2/4+9/y} TAI täsmälleen h(x) = \frac{72}{x^2}+8x+4\sqrt{x^2/2+81/x^4}. 1 p.
Derivoidaan \big(f'(y)= 2\frac{y/2 - 9/y^2}{ \sqrt{y^2/4 + 9/y}} - \frac{12\sqrt{2}}{y^{3/2}} + 4, h'(x) = -144x^{-3}+8+2\frac{x-324x^{-5}}{\sqrt{x^2/2+81/x^4}}\big). 1 p.
Ratkaistaan derivaatan nollakohta \big(y= \sqrt[3]{2} \cdot 3^{2/3} TAI x=\sqrt[3]{2} \cdot 3^{2/3}\big) ja perustellaan, että se on minimikohta. 1+1 p.
Derivaatan nollakohta sijoitettu funktioon (f(\sqrt[3]{2} \cdot 3^{2/3}) TAI h(\sqrt[3]{2} \cdot 3^{2/3})). 1 p.
Tangon vähimmäispituus täsmälleen 40{,}5274\approx 41 (m). 1 p.
Tehtävän erillisohjeet
Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden edellisten rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa.
Virhe pyramidin viiston särmän määrittämisessä, mutta malli mielekäs (neliöjuurilauseke, summattuna x^2 ja y^2 joillakin kertoimilla): 1+1+1+1+1+0+1+2+1+0 max 9 p.
Yläosa laskettu puolikkaana oktaedrina/tetraedrina: 1+0+0+1+0+\ldots max 2 p.
Kuutio optimaalinen +0 p.
Minimoinnin voi tehdä \texttt{fMin}-komennolla tai vastaavalla.

11. Mitkä vektorit? 12 p.

Yhtälöpari voidaan kirjoittaa muodossa 2=(\overline{a}+\overline{b})\cdot (\overline{a}-\overline{b})=|\overline{a}|^2-\overline{a}\cdot \overline{b}+\overline{b}\cdot \overline{a}-|\overline{b}|^2=|\overline{a}|^2-|\overline{b}|^2 ja 5=2|\overline{a}|^2+3|\overline{b}|^2 (pistetuloa käytetty 1 p., yhtälöt 1+1). 3 p.
Näin ollen |\overline{a}|=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}} ja |\overline{b}|=\frac{1}{\sqrt{5}}. 2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Yhtälöpari suoraan Solveen, saadaan a= luku, b= luku (ei pistetuloa). 0 p.
Laskettu "käsin", saatu a= luku, b= luku (ei pistetuloa). 0 p.
Laskettu "käsin", yhtälössä merkkivirhe. –1 p.
Laskettu "käsin", yhtälöissä merkintä a^2 ja b^2, laskut oikein, ja päättelyssä "a^2= r \Rightarrow |\overline{a}|=\sqrt{r}", huono merkintä -1 p.
Koska pistetulo voidaan esittää välissä olevan kulman kosinin ja vektorien pituuksien avulla, saadaan \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\cos(\varphi)=\frac{\sqrt{11}}{10} ja \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}\,\cos (\theta)=\frac{1}{\sqrt{5}}.
(|\sqrt{3} \, \overline{i}-\overline{j}| 1 p. + sijoitus yhtälöön 1+1). 		3 p.
Ratkaistu \varphi= \frac{\pi}{3} ja \theta= \frac{\pi}{3} (asteissa 60^{\circ}). 1+1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Laskuvirhe kohdassa 1, vastaukset (tarkkoja) positiivisia reaalilukuja. –0 p.
Vektorin \overline{b}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\,\overline{j} suuntakulma on -\frac{\pi}{2} ja vektorien välinen kulma on \frac\pi3. 1 p.
Siten \overline{a}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\left(\cos (-\frac{\pi}{6})\overline{i}+\sin(-\frac{\pi}{6})\overline{j}\right)=\frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{5}}\,\overline{i}-\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}\,\overline{j}
tai \overline{a}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\left(\cos (-\frac{5\pi}{6})\overline{i}+\sin(-\frac{5\pi}{6})\overline{j}\right)=-\frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{5}}\,\overline{i}-\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}\,\overline{j}. 		1 p.
TAI
Ratkaisun alku järkevä (esim. a=x\overline{i}+y\overline{j} ja siitä 4 yhtälöä). 1 p.
Vastaus oikein. 1 p.
Tehtävän erillisohjeet
Kulmat voi ratkaista vaihtoehtoisesti asteina.
Osatehtävissä 2 tai 3 laskettu |\cdot|:n likiarvoilla, -1 p./kohta.

12. Pascalin kolmio 12 p.

Alkuaskel (joko n = 0 tai n = 1 tai n = 2) 2 p.
Induktio-oletus: Oletetaan, että \displaystyle\sum_{k=0}^n p_{n,k}=2^n (kiinnitetyllä n\ge 0). 2 p.
Induktioväite: \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} p_{n+1,k}=2^{n+1}. 2 p.
Induktioväitteen todistus:
Ensimmäinen ja viimeinen termi erotettu summasta:
\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} p_{n+1,k}=p_{n+1,0}+\sum_{k=1}^{n} p_{n+1,k}+p_{n+1,n+1} 		1 p.
Hyödynnetty rekursiota: \displaystyle=p_{n,0}+\sum_{k=1}^{n} (p_{n,k}+p_{n,k-1})+p_{n,n} 1 p.
Kukin termi esiintyy kaksi kertaa: \displaystyle=2\sum_{k=0}^n p_{n,k} 2 p.
Hyödynnetty induktio-oletusta: \displaystyle=2\cdot 2^{n}=2^{n+1}. 2 p.
Tehtävän erillisohjeet
Alkupiste: Tarkistettu väite jollakin n ilman alkuaskeleen ideaa. 1 p.
Myös induktioväitteen huolellinen sanallinen todistus hyväksytään.
Induktio-oletuksessa "kaikilla n \geq 0". –1 p.
Alkuaskel laskettu jollekin n> 0, eikä käsitelty puuttuvia tapauksia. (Vähennys viimeiseltä riviltä.) max 11 p.
Jos kirjoitettu \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} p_{n+1,k}=\sum_{k=0}^{n+1} (p_{n,k}+p_{n,k-1}), annetaan riveiltä neljä ja kuusi max 1+2 p., jos eksplisiittisesti määritelty p_{n,-1}=p_{n,n+1}=0, muuten max 0+1 p.
Huomaa, että summa \sum_{k=1}^n jää pois jos n=0, eikä rekursiokaavaa käytetä.

13. Korkea-asteinen polynomi 12 p.

Huomataan jälkimmäisen lausekkeen yksi tekijä x, 2 p.
jolloin voidaan ottaa yhteinen tekijä: x^{2n+1}-(x-n)(x-n+1)\cdots (x+n-1)(x+n)=x\left(x^{2n}-(x-n)\cdots (x-1)(x+1)\cdots (x+n)\right). (1 p.)
Niinpä polynomilla on varmasti nollakohta x=0. 1 p.
TAI
Todettu jatkuvaksi 1 p.
Näytetty eri merkkiset arvot 1+1 p.
Johtopäätös 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pelkkä toteamus P(0)=0 ilman perusteluja. 0 p.
Perusteltu, että jälkimmäisen termin korkein asteluku on 2n+1. 1 p.
Erotuksessa termit x^{2n+1} kumoavat toisensa. 1 p.
Perusteltu, että seuraavaksi korkein asteluku on 2n-1 esim. ryhmittelyn avulla. 1 p.
Johtopäätös: voi olla korkeintaan 2n-1 nollakohtaa. 1 p.
Ryhmitellään tulon termit: (x_0-n)(x_0-n+1)\cdots (x_0+n-1)(x_0+n)=(x_0^2-n^2)(x_0^2-(n-1)^2)\cdots (x_0^2-1)x_0 jos x_0\ge n, niin saadaan
(x_0^2-n^2)(x_0^2-(n-1)^2)\cdots (x_0^2-1)x_0<x_0^2\cdot x_0^2\cdots x_0^2\cdot x_0=x_0^{2n+1}, 		2 p.
joten x_0^{2n+1}-(x_0-n)(x_0-n+1)\cdots (x_0+n-1)(x_0+n)>x_0^{2n+1}-x_0^{2n+1}=0, eikä x_0 siten ole nollakohta. 2 p.
Tehtävän erillisohjeet
Alkupiste: Merkintä ymmärretty, mikä osoitettu esimerkiksi esittämällä P:n lauseke jollakin pienellä luvun n arvolla. 1 p.