Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, lång lärokurs

23.3.2022

Slutgiltiga beskrivningar av goda svar 17.5.2022

Grunderna enligt vilka bedömningen gjorts framkommer i de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar. Uppgiften om hur bedömningsgrunderna tillämpats på examinandens provprestation utgörs av de poäng som examinanden fått för sin provprestation, de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar och de föreskrifter gällande bedömningen som nämnden gett i sina föreskrifter och anvisningar. De slutgiltiga beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svarsalternativ eller alla godkända detaljer i ett godkänt svar. Eventuella bedömningsmarkeringar i provprestationerna anses vara jämställbara med anteckningar och sålunda ger de, eller avsaknaden av markeringar, inte direkta uppgifter om hur bedömningsgrunderna tillämpats på provprestationen.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal i den högra kolumnen för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Poäng i parentes ges antingen genom att villkoret på samma rad eller på följande rad uppfylls, om följande rad är i skick och det inte explicit framgår att föregående rad har gjorts på ett felaktigt sätt.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med texten exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Beteckningen oberoende poäng av ovanstående rader betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter denna rad på normalt sätt.
    • Texten oberoende poäng betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad.
    • Texten Som slutsats: poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
  • Terminologi
    • "Svar räcker" betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • "Startpoäng" betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • "maxN" betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • "Svaret endast som närmevärde" betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (t.ex. noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (t.ex. x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (t.ex. parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt "i kedja", m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.

Del A

1. Basuppgifter 12 p.

Den här uppgiften bedöms centraliserat på studentexamensnämnden, och läraren behöver inte göra den preliminära bedömningen. Poängen för de uppgifter som bedöms centraliserat uppdateras i bedömningstjänsten efterhand som den slutliga bedömningen framskrider.

1.1 Det större nollstället till polynomet p(x)=x^2-6x är  2 p.

  • 6 (2 p.)
0 ELLER (6, 0) ELLER x=0 eller x=6 (1 p.)

1.2 Värdet av funktionen f(x)=x^3-x^2+1 i punkten x=2 är  2 p.

  • 5 (2 p.)
13 ELLER 3 (1 p.)

1.3 Derivatan till funktionen f(x)=x^3-x^2+1 har i punkten x=2 värdet  2 p.

  • 8 (2 p.)

1.4 Lösningen till ekvationen 5^{k-5}=25 är  2 p.

  • 7 (2 p.)

1.5 Gränsvärdet för funktionen \displaystyle{f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}} i punkten x=4 är  2 p.

  • 8 (2 p.)

1.6 Bestäm värdet av uttrycket x^3+1, då x^2+1=26 och x<0. 2 p.

  • –124 (2 p.)
126 ELLER -125 ELLER -126 (1 p.)

2. Flera lösningsmetoder 12 p.

Examinanden besluter sig för att lösa ekvationen (2x+1)(x-6)=0 utan att avlägsna parenteserna.
Med nollregeln för en produkt är 2x+1=0 eller x-6=0 ELLER genom division och att beakta division med noll. 1 p.
Alltså är x=-\frac{1}{2} eller x=6. 1+1 p.
Den andra ekvationen (2y+1)(y-6)=-6 löses genom att avlägsna parenteser.
Avlägsning av parenteserna genom multiplikation: 2y^2-11y-6=-6 (dvs. 2y^2-11y=0). 1 p.
Med rotformeln för lösning av en andragradsekvation eller med nollregeln för en produkt eller med SpeedCrunch fås y=0 eller y=\frac{11}{2} ELLER 5{,}5. 1+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Poängutdelning då det uppstår ett räknefel då parenteserna avlägsnas, men den egna andragradsekvationen löses korrekt (0+1). max 1 p.
Poängutdelning då parenteserna är korrekt avlägsnade men examinanden efter detta löst fel ekvation (dvs. felaktiga koefficienter har satts in rotfomeln eller i SpeedCrunch) (1+0). max 1 p.

Examinanden löser den första ekvationen utan att avlägsna parenteser.
5\left(7x-2\right)+7\left(7x-2\right)=12\left(7x-2\right) ELLER 5(7x-2)+7(7x-2)=(5+7)(7x-2) ELLER 5+7=12, 1 p.
vilket ger 7x-2=1, 1 p.
dvs. x=\frac{3}{7}. 1 p.
Den senare ekvationen löses genom att avlägsna parenteserna i vänstra ledet genom multiplikation.
5\left(7y-2\right)+7\left(7y+2\right)=35y-10+49y+14=84y+4, 1 p.
vilket ger 84y+4=12, 1 p.
dvs. y=\frac{8}{84}=\frac{2}{21}. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Svaret endast som decimaltal: från deluppgiften totalt –1 p.
Poängutdelning då det uppstår ett räknefel då parenteserna avlägsnas, men principen för avlägsning av parenteser är korrekt och den egna förstagradsekvationen löses korrekt (0+1+1). max 2 p.

Specifika anvisningar för uppgiften
Examinanden har löst samma ekvation två gånger med olika metoder (1+2+1+0 och 1+1+1+1+1+0). max 4+5 p.
En prövningslösning som enda lösning: korrekt svar (1 p.) / kontroll (1 p.) / entydighet (1 p.) max 3 p.
Den andra lösningen är en ofullständig prövningslösning där någonting nytt gjorts (till exempel en tabellösning), från den andra lösningen 1 p. max 1 p.
Den andra lösningen är en fullständig prövningslösning, där examinanden motiverat att alla lösningar har hittats. max 3 p.
Examinanden har inte angett vilken lösning som är gjord med distributiva lagen (brister i förklaringar) ELLER felaktigt betecknat i vilken lösning hen använt den distributiva lagen och i vilken den inte använts. –0 p.

3. abBA-uppgift 12 p.

Examinanden har använt den distributiva lagen korrekt och fått en summa. 1 p.
Som slutsats: (a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)=a^4-\sqrt{2}a^3b+a^2b^2+\sqrt{2}a^3b-2a^2b^2+\sqrt{2}ab^3+b^2a^2-\sqrt{2}ab^3+b^4 (minst 4 termer korrekta 1 p., minst 6 termer korrekta 2 p., alla termer korrekta 3 p.) 3 p.
=a^4+b^4 2 p.
ELLER
Idé om tillämpning av konjugatregeln (1 p.)
(a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)=(a^2+b^2)^2-(\sqrt{2}ab)^2 2 p.
=a^4+2a^2b^2+b^4-2a^2b^2 (2 p.)
=a^4+b^4. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Konjugatregeln har tillämpats på felaktigt sätt:
a^4 - (\sqrt2 ab +b^2)^2 = a^4-2a^2b^2-2\sqrt2ab^3-b^4 (1+0+1+1).
3 p.
ELLER
Korrekt svar: (a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)=a^4+b^4 3 p.
Motivering: MAOLs formel ELLER med stöd av summaformeln för potenser med samma exponent ELLER minnesregel ELLER skärmdump av formeln. 3 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Om lösningen innehåller korrekt svar så ger det minst 3 p., men antalet poäng kan även vara högre om det ingår uträkningar med små fel.
Inte förenklats till slut, -1 från svarsraden.

Av villkoret f(0)=4 har man fått A+B=4 ELLER A\cdot 1+B\cdot 1=4. 1 p.
f'(x)=2Ae^{2x}-3B\sin(3x) (poäng: Ae^{2x}, -B\sin(3x) och koefficienter 2 & 3). 3 p.
Substitution av 0 i den egna derivatan och en linjär ekvation har erhållits, där värdena för den trigonometriska funktionen och exponentialfunktionen har beräknats (2A=5). 1 p.
Examinanden har löst ett sådant eget ekvationspar som ger en lösning (A=\frac{5}{2} och B=\frac{3}{2}). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Överflödiga termer i deriveringen totalt -1 p.
I substitutionen berättigar inte Ae^0+B\cos(0) ännu till poäng.

4. Polynom 12 p.

Ekvationen f(x)=g(x) bildas. 1 p.
Examinanden kommer fram till ekvationen x-1=-2(x+1) eller motsvarande, från vilket hen får x=-\frac13. 1 p.
oberoende poäng Här har examinanden behandlat de övriga nollställena på ett matematiskt korrekt sätt. till exempel med nollregeln för en produkt eller genom att dividera ledvis och beakta att x är olikt 2 eller -2. 1 p.
Beräkning y_0=\ldots= exakt {\frac{140}{27}} eller exakt 5 \frac5{27}. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Svaret som decimaltal ger inga poäng för svarsraden.

oberoende poäng Examinanden motiverar (till exempel med testpunkter), att g(x)>f(x) i integrationsintervallet. 1 p.
Någon integral som anknyter till funktionerna f(x) ja g(x), där gränserna är 0 och 2, har beräknats. 1 p.
Uttrycken \int_0^2g(x)\, dx-\int_0^2f(x)\, dx ELLER \int_0^2(g(x)-f(x))\,dx granskas. 1 p.
oberoende poäng Polynomen multipliceras ut: f(x)=x^3-x^2-4x+4 och g(x)=-2x^3-2x^2+8x+8. 1 p.
Integreringen korrekt \bigl( \int (-3x^3-x^2+12x+4)\, dx = -\frac{3}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+6x^2+4x\bigr). 2 p.
Uförd insättning. 1 p.
Resultatet exakt 17 \frac{1}{3} eller exakt \frac{52}{3}. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Om man behandlat integralerna skilt, och den ena är helt korrekt behandlad och den andra har ett räknefel i substitutionen och/eller i avlägsningen av parenteserna, så får man från de näst sista och fjärde sista raderna sammanlagt 1 p.
Svaret som decimaltal, inga poäng från svarsraden.
\int_0^2 f(x)\,dx=\frac{4}{3} och \int_0^2 g(x)\,dx=\frac{56}{3}

Del B1

5. Flervalsuppgifter 12 p.

5.1 I alla parallellogrammer gäller att diagonalerna  1 p.

  • halverar varandra  (1 p.)

5.2 En kub har  1 p.

  • 6 sidoytor, 8 hörn och 12 kanter  (1 p.)

5.3 En rät linje som har två gemensamma punkter med en cirkel, är cirkelns  1 p.

  • sekant  (1 p.)

5.4 En parabel bildas av de punkter i planet som har samma avstånd till en given linje och till parabelns  1 p.

  • brännpunkt  (1 p.)

5.5 Då en vektor, som inte är nollvektorn, multipliceras med det inverterade talet till dess längd får man vektorns  1 p.

  • enhetsvektor som har samma riktning som vektorn  (1 p.)

5.6 Tre olika punkter i rymden definierar aldrig entydigt  1 p.

  • en sfär  (1 p.)

5.7 a och b är reella tal uppfylls olikheten a<b exakt då  2 p.

  • a^3<b^3  (2 p.)

5.8 Polynomet (x^2+5x+1)(x+3) deriveras. Vilket är derivatans värde i punkten 0? 2 p.

  • 16  (2 p.)

5.9 Vi vet att x^x=100. Vad kan vi då säga om talet x? 2 p.

  • 3<x<4  (2 p.)

6. En cirkel möter en parabel 12 p.

Observera att det inte är fråga om två deluppgifter, utan om en uppgift.
Sökning efter tangeringspunkterna
Med ekvationspar och diskriminant.
Vi sätter in y=x^2 i ekvationen r^2=x^2+(y-2)^2. (Vi får r^2=y^2-3y+4.) 1 p.
Om parabeln och cirkeln ska ha exakt två tangeringspunkter så får ekvationen y^2-3y+4-r^2=0 ha endast en lösning. 1 p.
Diskriminanten: (-3)^2-4\cdot 1\cdot (4-r^2)=0. 1 p.
Vi får r^2=\frac{7}{4}. 1 p.
Då är y=\frac{3}{2} och x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm 1{,}22474\ldots 1 p.
ELLER Med hjälp av den uppritade normalen till tangeringspunkten (a, a^2).
Riktningskoefficienten för den linje som går genom cirkelns medelpunkt och tangeringspunkten är \frac{a^2-2}{a-0}. 1 p.
Riktningskoefficienten y'=2x=2a för den tangent som går genom tangeringspunkten beräknas. 1 p.
Produkten av riktningskoefficienterna 2a\cdot\frac{a^2-2}{a}=-1. 1 p.
Därmed är y=\frac{3}{2} och x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm 1{,}22474\ldots 1 p.
Vi får r^2=\frac{7}{4}. 1 p.
ELLER Med hjälp av uttrycket för avståndet mellan två punkter.
Avståndet mellan en punkt på parabeln (x, x^2) och cirkelns medelpunkt är
f(x)=\sqrt{(x-0)^2+(x^2-2)^2} ~(=\sqrt{x^4-3x^2+4}\,).
1 p.
Det minsta avståndet ger cirkelns radie. 1 p.
Beräknad derivata f'(x)=\frac{1}{2}(x^4-3x^2+4)^{-1/2} \cdot (4x^3-6x). 1 p.
Derivatans nollställen beräknas x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}= \pm 1{,}22474\ldots 1 p.
Då är (y=\frac{3}{2} och) r^2=\frac{7}{4}. 1 p.
ELLER med hjälp av GeoGebra (här kan man kräva förnuftiga motiveringar för att svaret är korrekt med två gällande siffrors noggrannhet).
Uppritad parabel y=x^2. Dessutom framgår punkten (0, 2) i figuren, eller en cirkel var medelpunkt på ögonmått ligger i punkten (0, 2) eller punkten framgår av cirkelns ekvation. 1 p.
Approximativt korrekt radie r \approx 1{,}32 eller r^2\in [1{,}745; 1{,}755] och motsvarande cirkel har uppritats. 1 p.
Värdet för radien har motiverats korrekt, exempelvis med kommandot avstånd(punkt, parabel) eller radien (ungefärligen) vinkelrätt mot parabeln i en viss punkt eller man har använt kommandot skärningspunkt och det finns bara två skärningspunkter. 1 p.
Approximativa skärningspunkter (\pm 1{,}22;1{,}5). 1 p.
Motivering för skärningspunkten med kommandot skärningspunkt eller med NärmastePunkt-kommandot. 1 p.
Specifika anvisningar för den här lösningen
I GeoGebra-lösningen kan kommandon ersättas av förklaringar.
Bestämning av arean
Med hjälp av en integral och ett cirkelsegment.
Arean av området mellan parabeln och linjen y=\frac{3}{2} i det efterfrågade intervallet beräknas genom integrering och från detta värde subtraheras arean av cirkelsegmentet. 1 p.
\int_{-\sqrt{\frac{3}{2}}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}\left(\frac{3}{2}-x^2\right)dx=\left[\frac{3}{2}x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-\sqrt{\frac{3}{2}}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}=3\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{3}{2}}=2\sqrt{\frac{3}{2}},
gränser 1 p. + funktion som ska integreras 1 p.
1+1 p.
Den motsvarande sektorns medelpunktsvinkel är 2\arctan\left(\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{2}}\right)\approx 2{,}36639, 1 p.
dvs. sektorns area är \approx 2{,}07060, 1 p.
och segmentets area \approx 2{,}07060-\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{2} \approx 1{,}45823. 1 p.
Därmed är den efterfrågade arean ungefär 2\sqrt{\frac{3}{2}}-1{,}45823 \approx 0{,}99126\approx exakt 0{,}99 (denna noggrannhet). 1 p.
ELLER "övre kant - nedre kant"
Beräkning av arean som arean av området mellan kurvorna. 1 p.
Man löser ut y ur cirkelns ekvation: y=-\sqrt{7/4-x^2}+2, uttrycket 1 p. + tecken 1 p. 1+1 p.
Arean som en integral 2\int_0^{\sqrt{3/2}}(2-\sqrt{7/4-x^2}-x^2)\, dx,
1 p. gränserna + 1 p. korrekta funktioner + 1 p. korrekt ordning för funktionerna.
1+1+1 p.
Svar -\frac{7\arccos(\sqrt{7} / 7) - 5\sqrt{6}}{4}\approx exakt {0,99} (denna noggrannhet). 1 p.
ELLER Månghörningslösning med GeoGebra.
Arean fås som arean av en månghörning. 1 p.
Skärningspunkterna med i månghörningen. 1 p.
Det svar som erhålls ligger i intervallet [0{,}97; 1{,}01]. 1 p.
Svar \approx exakt {0{,}99} (denna noggrannhet). 1 p.
Motivering för varför månghörningen ger svaret med två gällande siffrors noggrannhet (exempelvis genom att använda trapetsregelkommandot för övre och nedre kurvan samtidigt och göra en tabell över deras differenser). 3 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Närmevärdena för radien r och skärningspunkternas x-koordinater kan flyttas hit.

7. Sötsaksmatematik 12 p.

19+22=41 eller examinanden har nämnt att karamellerna totalt är 41 till antalet. 1 p.
En sannolikhet korrekt. 1 p.
Alla sannolikheter korrekta (19/41, 18/40 ja 17/39) 1 p.
Examinanden har förklarat vad faktorerna i multiplikationen betyder. 1 p.
Multiplikationen \frac{19}{41}\cdot \frac{18}{40}\cdot \frac{17}{39} (tre olika stora faktorer från den egna tredje raden) 1 p.
Svar = \frac{969}{10660} \approx 0{,}0909\approx 9 \ \%. 1 p.
ELLER beräkning med delmängder
19+22=41 eller nämnt att karamellerna totalt är 41 till antalet. 1 p.
Binomialkoefficienterna \binom{19}3 och \binom{41}{3}. 1+1 p.
Förklarat vilken situation som binomialkoefficienterna motsvarar. 1 p.
Division 1 p.
Svar \approx 0{,}0909\approx 9\ \%. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast uträkningen \frac{19}{41}\cdot \frac{18}{40}\cdot \frac{17}{39}\approx 0{,}0909\approx 9 \ \% ELLER \binom{19}3 / \binom{41}{3}\approx 0{,}0909\approx 9 \ \%. 4 p.

oberoende poäng Det framgår att examinanden använder komplementregeln. 1 p.
\frac{22}{38} ELLER \frac{16}{38} ELLER en produkt som är i rätt riktning (fem olika sannolikheter som faktorer) 1 p.
Sannolikheten för att alla är salmiakkarameller \frac{22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}\approx 0{,}05246
och sannolikheten för att alla är fruktkarameller \frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}\approx 0{,}00870.
1+1 p.
Korrekt logik i hur sannolikheterna förenas 1 - (P(A) + P(B)). (1 p.)
Svar 1-0{,}05246-0{,}00870\approx 0{,}93883\approx 0{,}94=94 %. (Exakt värde \frac{660}{703}.) 1 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Varning: Också (1 - P(A))(1- P(B))\approx 0{,}94.
ELLER
oberoende poäng Det framgår att examinanden använder komplementregeln. 1 p.
\binom{22}{5} ELLER \binom{16}{5} ELLER \binom{38}{5} ELLER en kvot i rätt riktning (bildad ur binomialkoefficienterna). 1 p.
Sannolikheten för att alla karameller är salmiakkarameller \binom{22}{5}/\binom{38}{5}
och sannolikheten för att alla är fruktkarameller \binom{16}{5}/\binom{38}{5}.
1+1 p.
Korrekt logik i hur sannolikheterna förenas 1 - (P(A) + P(B)). (1 p.)
Svar 1-0{,}05246-0{,}00870\approx 0{,}93883\approx 0{,}94=94 %. (Exakt värde \frac{660}{703}.) 1 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Varning: Också (1 - P(A))(1- P(B))\approx 0{,}94.
ELLER
\frac{22}{38} ELLER \frac{16}{38} ELLER produkt i rätt riktning (fem olika sannolikheter som faktorer) 1 p.
En produkt korrekt och det framgår vilket fall det motsvarar (binomialkoefficient behövs inte). 1 p.
oberoende poäng Korrekt idé för hur sannolikheten motsvarar en summa av fyra termer, och karamellernas ordningsföljd är beaktad (binomialkoefficient). 1 p.
En term helt korrekt (även binomialkoefficient). 1 p.
Tre termer helt korrekta. 1 p.
Fyra termer korrekta samt svar. 1 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Korrekt uträkning: \frac{\binom{16}{1} \binom{22}{4}}{\binom{38}{5}}+\frac{\binom{16}{2} \binom{22}{3}}{\binom{38}{5}} +\frac{\binom{16}{3} \binom{22}{2}}{\binom{38}{5}}+\frac{\binom{16}{4} \binom{22}{1}}{\binom{38}{5}} = \frac{440}{1887}+ \frac{4400}{11951}+ \frac{3080}{11951}+ \frac{2860}{35853}=\frac{660}{703} eller
\binom{5}{1}\frac{22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 16}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}+\binom{5}{2}\frac{22\cdot 21\cdot 20\cdot 16\cdot 15}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}+\binom{5}{3}\frac{22\cdot 21\cdot 16\cdot 15\cdot 14}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}+\binom{5}{4}\frac{22\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13}{38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34}=\frac{660}{703}.

8. En kontinuerlig men inte deriverbar funktion 12 p.

Examinanden har gett en exempelfunktion f\colon\mathbf R\to \mathbf R.
Exempelfunktionen är kontinuerlig. 1 p.
Har nämnts att funktionen är kontinuerlig i övriga punkter än punkten x=1. 1 p.
Har kontrollerats att \lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^+} f(x)=f(1) (en likhet fattas 1 p.)
ELLER \lim_{x \to 1} f(x)=f(1) (om det är tillämpligt och korrekt gjort)
ELLER en styckvis definierad funktion med hjälp av kontinuerliga funktioner f_1 och f_2 och f_1(1)=f_2(1).
2 p.
oberoende poäng av ovanstående rader Exempelfunktionen är inte deriverbar i punkten x=1 (även diskontinuerlig funktion går). 2 p.
Det vänstersidiga gränsvärdet för differenskvoten har beräknats. 2 p.
Det högersidiga gränsvärdet för differenskvoten har beräknats. 2 p.
Funktionen måste vara kontinuerlig och dessutom har man nämnt att funktionen inte är deriverbar, eftersom differenskvotens ensidiga gränsvärden är olika stora. 2 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Differenskvoten kan även beräknas med formeln \lim_{h \to 0^\pm} \frac{f(1+h)- f(1)}{h} eller med kommandot \texttt{GränsvärdeVänster((f(x)-f(1))/(x-1),1)} eller motsvarande
Undefined från räknaren duger inte som motivering för att gränsvärdet eller motsvarande inte existerar.
Funktionen är inte definierad i punkten x=1, till exempel x \mapsto \frac1{x-1} (0+1+0+1+0+0+0). max 2 p.
Funktion är inte definierad i intervallet ]{-\infty, 1}[ eller ]{1, \infty}[, till exempel \sqrt{1-x} (0+0+1+1+[2+0 eller 0+2]+0). max 4 p.
Deriverbarheten har motiverats genom att substituera x = 1 i differenskvotens förenklade uttryck utan någon hänvisning till ett gränsvärde, för de sista tre raderna (1+1+0).

9. En cirkel och numeriska metoder 12 p.

Påstående 1: Med mittpunktsregeln kan man få en uppskattning som är större än den verkliga arean av området B, 1 p.
eftersom om vi använder exakt ett delningsintervall, är den höjd som fås i mittpunkten \sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}, och därmed är den area som mittpunktsregeln ger \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866, medan fjärdedelscirkelns verkliga area är \frac{\pi}{4}\approx 0{,}785. 3 p.

Påstående 2: Vi visar att man genom att använda mittpunktsregeln aldrig kan få en uppskattning som är mindre än den verkliga arean för området B. Det räcker med att undersöka delningsintervallet [x_0-h,x_0+h]. 1 p.
Vi jämför värdet av funktionen f(x)=\sqrt{1-x^2} i mittpunkten x_0 med de punkter som ligger på samma avstånden från den, dvs. x_0-s och x_0+s. Den verkliga arean är \int_0^h (f(x_0+s) + f(x_0-s)) \, ds och rektangelns area är 2hf(x_0). Påståendet följer då vi visar att f(x_0+s) + f(x_0-s) \le 2f(x_0). 1 p.
Vi betecknar a=x_0-s och b=x_0+s, varvid x_0=\frac{a+b}2. Den olikhet som ska bevisas är alltså \sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\leq 2\sqrt{1-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}.
Det går att kvadrera ledvis (båda leden är icke-negativa):
1-a^2+1-b^2+2\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\leq 4-a^2-b^2-2ab,
1 p.
som är ekvivalent med olikheten \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\leq 1-ab. Denna blir genom ledvis kvadrering 1-a^2-b^2+a^2b^2\leq 1+a^2b^2-2ab, som är sann, eftersom a^2+b^2\geq 2ab(a-b)^2\geq 0. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften 1 p.
Påståendet kan även bevisas geometriskt genom att man jämför areor med en figur, där man har ritat ut den rektangel, den cirkelbåge y=f(x) och den tangent till punkten (x_0, f(x_0)) på cirkeln som motsvarar delningsintervallet.

Påstående 3: Med trapetsregeln kan man inte få en uppskattning som är större än den verkliga arean för området B, 1 p.
eftersom trapetset alltid förbinder två punkter på cirkelbågen med varandra och man får en sträcka som är inne i cirkeln. 3 p.

Påstående 4: Med trapetsregeln kan man få en uppskattning som är mindre än den verkliga arean av området B. 1 p.
Vi granskar exempelvis en indelning med ett delintervall. Då är den area som trapetsregeln ger \frac{1}{2}, som är mindre än den verkliga arean \frac{\pi}{4}. 3 p.

Specifika anvisningar för uppgiften
Man kan få 4 poäng för varje påstående. Om examinanden har behandlat fyra påståenden så ges poäng för de tre påståenden som är sämst motiverade.
Fjärdedelscirkelns verkliga area \frac\pi4 eller dess närmevärde 0,785 förekommer första gången i motiveringen: +1 p.
I lösningar gjorda med GeoGebra bör funktionsuttrycket \sqrt{1-x^2} synas i skärmdumparna, annars –1 p.
Gränsvärdet då antalet delintervall går mot oändligheten. +0 p.

Del B2

10. Skulptur 12 p.

oberoende poäng Anta att rätblockets vertikala kant är y och horisontella kant x ELLER rätblockets vertikala kant 2y och horisontella kant x. 1 p.
Konstruktionens totala volym är x^2y+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}x^2y\ (=\frac{7}{6}x^2y), som är 21. 1 p.
Längden på en sidokant av pyramiden är \sqrt{(x/\sqrt{2})^2+(y/2)^2}. 2 p.
Det uttryck som vi vill bestämma det minsta värdet för är alltså 4y+8x+4\sqrt{(x/\sqrt{2})^2+(y/2)^2}. 1 p.
Vi sätter in x=\sqrt{\frac{18}{y}} ELLER y=18/x^2, 1 p.
varvid vi får en funktion av en variabel exakt f(y)=4y+8\sqrt{\frac{18}{y}}+4\sqrt{y^2/4+9/y} ELLER exakt h(x) = \frac{72}{x^2}+8x+4\sqrt{x^2/2+81/x^4}. 1 p.
Vi deriverar: \big(f'(y)= 2\frac{y/2 - 9/y^2}{ \sqrt{y^2/4 + 9/y}} - \frac{12\sqrt{2}}{y^{3/2}} + 4, h'(x) = -144x^{-3}+8+2\frac{x-324x^{-5}}{\sqrt{x^2/2+81/x^4}}\big). 1 p.
Vi bestämmer derivatans nollställe \big(y= \sqrt[3]{2} \cdot 3^{2/3} ELLER x=\sqrt[3]{2} \cdot 3^{2/3}\big) och motiverar att det är ett minimiställe. 1+1 p.
Derivatans nollställe sätts in i funktionen (f(\sqrt[3]{2} \cdot 3^{2/3}) ELLER h(\sqrt[3]{2} \cdot 3^{2/3})). 1 p.
Den minsta möjliga längden järnrör är exakt 40{,}5274\approx 41 (m). 1 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick.
Ett fel i bestämningen av pyramidens sidokant, men modellen är meningsfull (kvadratrotsuttryck, adderade x^2 och y^2 och vardera term med någon koefficient): 1+1+1+1+1+0+1+2+1+0 max 9 p.
Övre delen behandlad som en halv oktaeder/tetraeder: 1+0+0+1+0+\ldots max 2 p.
En kub är optimal +0 p.
Minimeringen kan göras med \texttt{fMin}-kommandot eller motsvarande.

11. Vilka vektorer? 12 p.

Ekvationsparet kan skrivas i formen 2=(\overline{a}+\overline{b})\cdot (\overline{a}-\overline{b})=|\overline{a}|^2-\overline{a}\cdot \overline{b}+\overline{b}\cdot \overline{a}-|\overline{b}|^2=|\overline{a}|^2-|\overline{b}|^2 och 5=2|\overline{a}|^2+3|\overline{b}|^2 (skalär produkt använts 1 p., ekvationerna 1+1). 3 p.
Därmed är |\overline{a}|=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}} och |\overline{b}|=\frac{1}{\sqrt{5}}. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Ekvationsparet direkt till Solve, vilket ger a= tal, b= tal (ingen skalär produkt). 0 p.
Beräknat "för hand", och fått a= tal, b= tal (ingen skalär produkt). 0 p.
Beräknat "för hand", teckenfel i en ekvation. –1 p.
Beräknat "för hand", beteckningarna a^2 och b^2 i ekvationerna, uträkningarna korrekta, och i slutledningen "a^2= r \Rightarrow |\overline{a}|=\sqrt{r}", dålig beteckning -1 p.

Eftersom den skalära produkten kan framställas med hjälp av cosinus för den mellanliggande vinkeln och vektorernas längder, får vi \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\cos(\varphi)=\frac{\sqrt{11}}{10} och \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}\,\cos (\theta)=\frac{1}{\sqrt{5}}.
(|\sqrt{3} \, \overline{i}-\overline{j}| 1 p. + insättning i ekvationen 1+1).
3 p.
Examinanden har löst ut \varphi= \frac{\pi}{3} och \theta= \frac{\pi}{3} (i grader 60^{\circ}). 1+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Räknefel i första momentet, svaren (exakta) positiva reella tal. –0 p.

Riktningsvinkeln för vektorn \overline{b}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\,\overline{j} är -\frac{\pi}{2} och vinkeln mellan vektorerna \frac\pi3. 1 p.
Då är \overline{a}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\left(\cos (-\frac{\pi}{6})\overline{i}+\sin(-\frac{\pi}{6})\overline{j}\right)=\frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{5}}\,\overline{i}-\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}\,\overline{j}
eller \overline{a}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\left(\cos (-\frac{5\pi}{6})\overline{i}+\sin(-\frac{5\pi}{6})\overline{j}\right)=-\frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{5}}\,\overline{i}-\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}\,\overline{j}.
1 p.
ELLER
Lösningens start är vettig (till exempel a=x\overline{i}+y\overline{j} och från detta 4 ekvationer). 1 p.
Svaret korrekt. 1 p.

Specifika anvisningar för uppgiften
Vinklarna kan alternativt beräknas i grader.
I deluppgifterna 2 eller 3 har |\cdot| beräknats med närmevärden, -1 p./deluppgift.

12. Pascals triangel 12 p.

Grundsteg (antingen är n = 0 eller n = 1 eller n = 2) 2 p.
Induktionsantagande: Vi antar att \displaystyle\sum_{k=0}^n p_{n,k}=2^n (för ett fixerat n\ge 0). 2 p.
Induktionspåstående: \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} p_{n+1,k}=2^{n+1}. 2 p.
Bevis av induktionspåståendet:
Första och sista termen är separerade från summan:
\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} p_{n+1,k}=p_{n+1,0}+\sum_{k=1}^{n} p_{n+1,k}+p_{n+1,n+1}
1 p.
Rekursion har använts: \displaystyle=p_{n,0}+\sum_{k=1}^{n} (p_{n,k}+p_{n,k-1})+p_{n,n} 1 p.
Varje term förekommer två gånger: \displaystyle=2\sum_{k=0}^n p_{n,k} 2 p.
Induktionsantagandet har använts: \displaystyle=2\cdot 2^{n}=2^{n+1}. 2 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Startpoäng: Examinanden har kontrollerat påståendet för något n utan grundstegsprincipen. 1 p.
Även ett omsorgsfullt utfört induktionsbevis i ord godkänns.
I induktionsantagandet "för varje n \geq 0". –1 p.
Grundsteget utfört för något n> 0, och inte behandlat fall som fattas. (Avdrag från sista raden.) max 11 p.
Om examinanden har skrivit \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} p_{n+1,k}=\sum_{k=0}^{n+1} (p_{n,k}+p_{n,k-1}), så ges för raderna fyra och sex max 1+2 p., om hen explicit definierat p_{n,-1}=p_{n,n+1}=0, annars max 0+1 p.
Observera att summan \sum_{k=1}^n uteblir om n=0, och rekursionsformeln inte används.

13. Ett polynom av högre grad 12 p.

Vi observerar att det i det senare uttrycket finns en faktor x, 2 p.
varvid man kan ta ut en gemensam faktor: x^{2n+1}-(x-n)(x-n+1)\cdots (x+n-1)(x+n)=x\left(x^{2n}-(x-n)\cdots (x-1)(x+1)\cdots (x+n)\right). (1 p.)
Alltså har polynomet säkert ett nollställe i punkten x=0. 1 p.
ELLER
Examinanden har konstaterat att funktionen är kontinuerlig. 1 p.
Hen har påvisat värden av olika tecken. 1+1 p.
Slutsats. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast ett konstaterande att P(0)=0 utan motiveringar. 0 p.

Examinanden har motiverat att den senare termens högsta gradtal är 2n+1. 1 p.
I differensen tar termerna x^{2n+1} ut varandra. 1 p.
Examinanden har motiverat att det följande gradtalet i ordningen är 2n-1 exempelvis med hjälp av gruppering. 1 p.
Slutledning: det kan finnas högst 2n-1 nollställen. 1 p.

Vi grupperar termerna i produkten: (x_0-n)(x_0-n+1)\cdots (x_0+n-1)(x_0+n)=(x_0^2-n^2)(x_0^2-(n-1)^2)\cdots (x_0^2-1)x_0 om x_0\ge n, så får vi
(x_0^2-n^2)(x_0^2-(n-1)^2)\cdots (x_0^2-1)x_0<x_0^2\cdot x_0^2\cdots x_0^2\cdot x_0=x_0^{2n+1},
2 p.
dvs. x_0^{2n+1}-(x_0-n)(x_0-n+1)\cdots (x_0+n-1)(x_0+n)>x_0^{2n+1}-x_0^{2n+1}=0, och x_0 är därmed inte ett nollställe. 2 p.

Specifika anvisningar för uppgiften
Startpoäng: Examinanden har förstått beteckningen, som visas exempelvis genom att framställa P:s uttryck för något litet värde på n. 1 p.