Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä (näkövammaiset)

23.3.2022

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 17.5.2022

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan
  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy oikeassa sarakkeessa olevaan pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esim. derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Suluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden edellisten rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37{,}5 ja 40 kelpaavat.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esim. laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä ylläolevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esim. tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esim. e^1, ln e tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esim. e^1, ln e tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esim. x =2 y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esim. puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.
Ruudunlukuohjelmalla käytettäviä merkkejä

^ potenssin tai yläindeksin merkki
_ alaindeksin merkki
sqrt neliöjuuren merkki
^@ asteen merkki
>= suurempi tai yhtä suuri kuin
<= pienempi tai yhtä suuri kuin
< pienempi kuin
> suurempi kuin
~~ likimäärin
((n), (k)) n yli k:n

A-osa

1. Peruslaskuja 12 p.

1.1 Lausekkeen (-9) *(42 -35) arvo on  2 p.

  • –63 (2 p.)
63 (1 p.)

1.2 Funktion f(x) =4 x -12 nollakohta on  2 p.

  • 3 (2 p.)
(3, 0) (1 p.)
-3 (1 p.)

1.3 Suora kulkee pisteiden A =(1, 15) ja B =(7, 81) kautta. Suoran kulmakerroin on  2 p.

  • 11 (2 p.)
-11 TAI \frac{1}{11} (1 p.)

1.4 Lausekkeen 6^3 *2^(-2) arvo on  2 p.

  • 54 (2 p.)

1.5 Geometrinen lukujono alkaa luvuilla a_1 =256, a_2 =128 ja a_3 =64. Lukujonon viides jäsen on  2 p.

  • 16 (2 p.)
32 TAI 8 (1 p.)

1.6 Yhtälön 2^(2 x -5) =8 ratkaisu on  2 p.

  • 4 (2 p.)

2. Useita ratkaisutapoja 12 p.

Osittelulailla:
Kerrotaan vasemmalta puolelta sulut auki: 12 (x -7) =12 x -84, jolloin yhtälö muuttuu muotoon 12 x -84 =24. 1 p.
Siispä 12 x =84 +24 =108, 1 p.
eli x =9. 1 p.
Ilman osittelulakia:
Jaetaan puolittain luvulla 12, 1 p.
jolloin yhtälö muuttuu muotoon x -7 =2. 1 p.
Siispä x =9. 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Hyväksytään 12 (x- 7) =(x -7) +(x -7) +(x -7) +… +(x -7) =12 x -84 ratkaisuna ilman osittelulakia, sillä tässä on kierretty osittelulain käyttö käyttämällä kertolaskun ja yhteenlaskun yhteyttä. 3 p.
12 (x -7) =12 x -7 0 p.
Osittelulailla:
Kerrotaan auki oikein, 2 x^2 -11 x -6 =0 tai 2 x^2 =11 x +6, tms. 1 p.
Sijoitettu 2. asteen yhtälön ratkaisukaavaan x =11 +-sqrt((-11)^2 -4 *2 *(-6)) /(2 *2) TAI kertoimet ja kaava SpeedCrunchista. 1 p.
Siispä x =-1/2 tai x =6. 1 p.
Ilman osittelulakia:
Tulon nollasäännöllä 2 x +1 =0 tai x -6 =0. 1 p.
Siispä x =-1/2 tai x =6. 1+1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pisteytys, kun sulkuja avattaessa tulee laskuvirhe, mutta oma 2. asteen yhtälö ratkaistaan oikein (0+1+1). 2 p.
Ilman osittelulakia: jaettu termeillä x -6 ja 2 x +1, mutta ei huomioitu, että termi voi olla nolla. Saatu oikeat ratkaisut (0+1+1). max 2 p.
Tehtävän erillisohjeet
Ainoana ratkaisuna kokeiluratkaisu: oikea vastaus (1 p.) / tarkistus (1 p.) / yksikäsitteisyys (1 p.).
Toisena ratkaisuna epätäydellinen kokeiluratkaisu, jossa jotain uutta (esim. taulukointi), toisesta ratkaisusta 1 p.
Toisena ratkaisuna täydellinen kokeiluratkaisu (3 p.).
Jos annetaan pisteitä kahdesta ratkaisusta, niin toisen pitää käyttää osittelulakia ja toisen pitää olla käyttämättä.
Hyväksytään vastaukset tarkkoina desimaalilukuina.
Ei kerrottu, mikä ratkaisu on osittelulailla ja mikä ilman (selitysten puute) TAI virheellisesti merkitty, kummassa ratkaisussa käyttää osittelulakia ja kummassa ei. –0 p.

3. Sisään ja ympäri piirretyt ympyrät 12 p.

Neliön sivun pituus on 2 *6,0 cm (tai sivun pituuden puolikas 6 cm). (1 p.)
(Muistikolmiosta saadaan) neliön lävistäjä 12 *sqrt(2) cm (~~16,9705… cm) TAI etäisyys neliön keskipisteestä kulmaan 6 *sqrt(2) cm TAI ratkaistu Pythagoraalla TAI trigonometriaa käyttäen. (2 p.)
Siispä ympäri piirretyn ympyrän säde on 12 *sqrt(2) /2 cm =6 *sqrt(2) cm ~~8,5 cm. 2 p.
riippumaton piste Ratkaisussa käy ilmi, että kysytty säde on puolet neliön lävistäjästä TAI etäisyys neliön keskipisteestä kulmaan. 1 p.
TAI
Todettu, että neliön sivun pituus on 12 cm. 1 p.
Taulukosta kaava a sqrt(2) /2 neliön ympäri piirretyn ympyrän säteelle, jossa a on neliön sivun pituus. 3 p.
Saadaan vastaus 12 *sqrt(2) /2 cm ~~8,5 cm. 2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Alkupiste: Piirretty tilanteesta kuva(t), jossa näkyy neliö ja molemmat ympyrät/säteet. 1 p.
Saatu yhtälö 6 =x sqrt(3) /6 1 p.
Ratkaistu edellisestä yhtälöstä x, esim x =20,7846… 2 p.
Sijoitettu x yhtälöön R =x sqrt(3) /3 2 p.
Vastaus R =12 (cm).
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Yhtälö ratkaistu kokeilemalla (1+1+2+1). max 5 p.
TAI
Piirretään jana sisään piirretyn ympyrän keskipisteestä ympyrän ja kolmion sivuamispisteeseen, ja toinen jana keskipisteestä kolmion kärkeen. 1 p.
Näin syntyy suorakulmainen kolmio, jonka muiden kulmien suuruudet ovat 30 ^@ ja 60 ^@ 2 p.
Koska säde on 6,0 (cm), niin muistikolmion perusteella kolmion hypotenuusan pituus on 2 *6,0 =12,0 (cm) TAI ratkaistaan hypotenuusa 30 ^@ kulman sinin ja kateetin avulla, jolloin hypotenuusan pituudeksi saadaan 6,0 /sin 30 ^@ =12,0. 2 p.
riippumaton piste Ratkaisusta käy ilmi, että tämä on myös kysytyn ympyrän säde. 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Hyväksytään poikkeuksellisesti tarkkuudet 12 ja 12{,}0.
Alkupiste: Piirretty tilanteesta kuva(t), jossa näkyy kolmio ja molemmat ympyrät/säteet TAI käytetty kaavaa r =a sqrt(3) /6 tai R =a sqrt(3) /3 konkreettisella lukuarvolla (mahdollisesti väärällä). 1 p.

4. Frekvenssitaulukko 12 p.

Moodi on 47 (cm). 2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Vastaus 11 (moodin havaintojen lukumäärä). 1 p.
Aineistossa on 1 +0 +8 +7 +4 +11 +3 TAI 1 +8 +7 +4 +11 +3 (1 p.)
= 34 (koiraa). 1 p.
Keskiarvo: (1 *42 +0 43 +8 *44 +7 *45 +4 *46 +11 *47 +3 *48) /34
TAI SpeedCrunchin komento argumentteineen 		4 p.
1554/34 (2 p.)
=45,70588… (1 p.)
~~46 TAI 45,7 TAI 45#12/17 (cm).
(Täsmälleen tämä tarkkuus, muu tarkkuus: ei pistettä tältä riviltä.) 		1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pelkkä oikea vastaus (~~46 TAI 45,7 TAI 45#12/17 (cm)). 4 p.
1554/34 ilmestyy tyhjästä ilman perusteluja, loppuun asti oikein tämän jälkeen. 5 p.
Jos on kohdassa 4.2 laskenut koirien määrän väärin ja käyttää väärää lukumäärää kohdassa 4.3 max 8 p.
(42 +43 +… +48) /7 =45 0 p.
(1 *42 +0 *43 +8 *44 +7 *45 +4 *46 +11 *47 +3 *48) /7 3 p.
(1 *42 +0 *43 +8 *44 +7 *45 +4 *46 +11 *47 +3 *48) /34 ~~45 6 p.
Alkupiste: Suhteellisten frekvenssien taulukko oikein. 1 p.

B1-osa

5. Päivämatkan pituus 12 p.

riippumaton piste Olkoon päivämatka x (voi käydä ilmi myös implisiittisesti). 1 p.
Nyt x/3 +7 +x/2 =x TAI x/3 +7 =x/2. [X/3 2 p. / 7 km 2 p. / x/2 2 p.] 6 p.
Tällöin 7 =x/6 (3 p.)
Vastaus 42 (km) (muut lukuarvot eivät kelpaa vaikka ne olisivat loogisia omasta mallista). 2 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Yhtälö väärin, kuitenkin lineaarinen (1+4+3+0). max 8 p.
Esimerkki ylläolevasta: "Olkoon x päivämatka. Saadaan yhtälö x/3 +7 =1/2 Siispä x =-19,5". 8 p.
TAI (myös ns. kokeiluratkaisut tällä skeemalla)
Piirretty järkevä kuva/sanallinen järkevä selitys/järkeviä laskuja, esiintyy 1/3, 7 km ja 1/2 ja niiden välinen yhteys [2+1+1+1+2]. 7 p.
Saatu, että 7 km on 1/6 matkasta (järkevästi omasta päättelystä). 3 p.
Vastaus 42 (km) (muut lukuarvot eivät kelpaa vaikka ne olisivat loogisia omasta mallista). 2 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Huom. Sisältää tapauksen "kirjoitettu 1/3+7=1/2 ja siitä päätelty 7 km on 1/6 matkasta". max 11 p.
Esim. ratkaisu "7 km on 1/6 matkasta, siis koko matka on 7 *6 =42 km" (1+3+2). Ensimmäinen piste: 7 km. 6 p.
Tehtävän erillisohjeet
Likiarvoja, tarkkuus ei riitä ja saatu väärä vastaus [esim. 1/3 =0,33]. max 11 p.

6. Voiton tavoittelu 12 p.

Vastaus: 160 (euroa). 2 p.
riippumaton piste Perustelut: kerroin 1,2 / lasku 1,2 *120 =144 / kerroin 0,9 / yhtälö 0,9 x =144 tai lasku 0,9 *160 =144. 1+1+1+1 p.
TAI (voittoprosentti myyntihinnasta)
Vastaus: 166,67 TAI 166,65 TAI 166,70 (euroa). 2 p.
riippumaton piste Perustelut: kerroin 0,2 / lasku 120 /(1 -0,2) =150 / kerroin 0,9 / yhtälö 150 =0,9 x tai lasku 0,9 *166,67 =150. 1+1+1+1 p.
Kerroin 1,2 tai lauseke 0,2 *140 / myyntihinta 168 (euroa). 1+1 p.
Vertailtu lukuja 199 ja 168 (erotus/osamäärä). (1 p.)
Suhde oikein (168/199 ~~0,844 tai 31/199 ~~0,156 tai muodostettu oikea epäyhtälö). 1 p.
Muutettu (mahdollisesti väärä) suhde prosenteiksi. (1 p.)
Pyöristys oikein ja vastaus täsmälleen 15. 1 p.
TAI
Kerroin 1,2 tai lauseke 0,2 *140 / myyntihinta 168 (euroa). 1+1 p.
Kun alennusprosentti on 15, on hinta 0,85 *199 =169,15 ( > 168) 1 p.
siten vastaus on täsmälleen 15 %. 1 p.
Perustelut: kun alennusprosentti on 16, on hinta 0,84 *199 =167,16 ( < 168). 2 p.
TAI (voittoprosentti myyntihinnasta)
Uusi myyntihinta y, jolloin voittotavoite saavutetaan, kun 0,8 y >= 140. 2 p.
y >= 175 1 p.
(199 -175) /199 =0,1206... 1 p.
Muutettu (mahdollisesti väärä) suhde prosenteiksi. (1 p.)
Pyöristys oikein ja vastaus täsmälleen 12. 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Voittoprosentti myyntihinnasta -tyyppisen ratkaisun voi tehdä myös skeeman 2 mukaan.
Osatehtävässä 6.2 pitää olla tämä tarkkuus (kokonaiset prosentit).

7. Taloudellisempi auto 12 p.

Auton nykyarvo lasketaan kaavalla hinta *(1 -p/100)^n (1 p.)
eli (25.000 *(1 -0,08)^5 ~~16.477) ~~16.500 ja (12.000 *(1 -0,12)^5 ~~6333) ~~6300. 1 p.
Sähköauto: Lainaa jäljellä (25.000 -200 *60 =) 13.000 1 p.
Polttomoottoriauto: Lainaa jäljellä (12.000 -200 *60) =0
TAI "laina on maksettu kokonaan". 		1 p.
Käyttökustannukset 4000+1800 ja 9000+6000 TAI 5 800 ja 15 000. 1+1 p.
Perustelut 30 *12 *5 +800 *5 (=5800) ja 150 *12 *5 +1200 *5 (=15.000). 1 p.
Korkokustannukset sum_n p (hinta -n *200) TAI sum_n p (hinta -n *12 *200)
TAI aloitettu vastaava taulukointi (kuukausi- tai vuosilyhennykset). 		(1 p.)
Korkokustannukset 2292 ja 732. 1 p.
Perustelu (taulukointi tai kaava)
sum_(n =0)^59 (0,002 *(25.000 -n *200)) ja sum_(n =0)^59 (0,002 *(12.000 -n *200)). 		1 p.
Vertailtu vaihtoehtoja ja tehty oman vertailun perusteella taloudellisempi valinta 1 p.
Tarkka vertailumittari omilla luvuilla, joka huomioi käyttökustannukset, nykyarvon, koron ja jäljellä olevaa lainan:
+-"arvonalenema (= hinta-nykyarvo) + korkokustannus + käyttökustannus"
(8500 +2292 +5800 ~~16592 < 5700 +732 +15.000 ~~21.432)
TAI +-"nykyarvo - lainaa jäljellä - korkokustannus - käyttökustannus"
(16.500 -13.000 -2292 -5800 ~~-4592 > 6300 -0 -732 -15.000 ~~-9432)
TAI +-"nykyarvo - koko lainasumma - korkokustannus - käyttökustannus"
(16.500 -25.000 -2292 -5800 ~~-16592 > 6300 -12.000 -732 -15.000 ~~-21.432)
(joten sähköauto on taloudellisempi). 		1 p.
Tehtävän erillisohjeet
Askeleet voi tehdä monessa eri järjestyksessä.
Jos ensimmäisen rivin kaavaa ei näy missään muodossa missään kohdassa, eli toisen rivin tulokset ilmestyvät tyhjästä ja toisella rivillä on väärä arvo, niin ensimmäisiltä kahdelta riviltä 0+0.
Jos rivillä 5 väärä arvo, mutta se selittyy rivin 6 laskuilla, niin ei vähennystä riviltä 5.
Vaikka rivillä 4 riittää pelkkä vastaus, niin pistettä ei annetta, jos argumentaatio täysin väärä (esim. huomioitu myös auton arvonalenema).

8. Suurin arvo 12 p.

Tuntemattoman luvun x neliö on x^2 ja kuutio x^3. (1 p.)
Muodostetaan maksimoitava funktio f(x) =10 +x^2 -x^3 1 p.
Derivoidaan maksimoitava funktio f'(x) =2 x -3 x^2 (1 piste/termi). 2 p.
Yritetään laskemalla selvittää derivaatan nollakohdat. (1 p.)
Löydetään oman melko oikean funktion derivaatan nollakohdat (x =0 ja x =2/3). 1 p.
Lasketaan f(x), kun x on positiivinen derivaatan nollakohta. 1 p.
riippumaton piste Ideapiste: Pyritään hahmottamaan funktion kulkua, esimerkiksi esittämällä funktion derivaatan kuvaaja TAI sopivia laskelmia (esim. funktion arvojen taulukointi) TAI funktion kuvaaja, joka on kytketty muodon tarkasteluun. 1 p.
Esitetään oman melko oikean funktion kulkukaavio oikein (-- ++ -- tai pelkästään positiivisilla ++ –) tai muu vastaava täsmällinen perustelu. 1 p.
Päätellään, että suurin arvo saavutetaan kohdassa täsmälleen x =2/3, 1 p.
kun päätelmässä rajoitutaan tarkastelemaan positiivisia lukuja. 1 p.
Johtopäätöksenä: Saadaan täsmälleen f(2/3) =10#4/27 tai täsmälleen 274/27 (tarkka arvo näkyy jossakin kohtaa suoritusta). 1 p.
Tehtävän erillisohjeet
Erikoistapaus f(x) =10 +x³ -x² (1+1+2+1+1+1+1+1+0+1+0). max 10 p.
Melko oikea funktio, esim. f(x) =10 -x³ -x² (mukana toisen ja kolmannen asteen termi) (1+0+1+1+1+1+1+1+0+1+0). max 8 p.
Enemmän väärä funktio, esim. f(x) =10 +x^(1/2) -x^(1/3), f(x) =10 +x^2 -x^(1/3), f(x) =10 +x^(1/2) -x^3, f(x) =10 +x^4-x^6 jne: Derivoinut funktion oikein 1 p., yrittänyt löytää derivaatan nollakohdat 1 p., funktion kulun idea (riippumaton piste) 1 p. max 3 p.
Ratkaisussa ei ole välttämätöntä käyttää funktiomerkintää, jos ratkaisu on selkeä ja luettava ilmankin. –0 p.
Laskettu desimaaliluvuilla. max 10 p.

9. Monivalintakoe 12 p.

Opiskelija saa 0 pistettä, jos hänellä on oikein korkeintaan 2 tehtävää (tai ekvivalentti ilmaisu), 1 p.
koska 3 oikein antaa 3 *3 -7 *1 =2 pistettä ja 2 oikein 2 *3 8 *1 =-2 pistettä. 1 p.
Laskettu (binomitodennäköisyydet) ((3), (4))^10, ((10), (1)) ((3), (4))^9 ((1), ((10), (2)) ((3), (4))^8((1), (4))^2. 1+1+1 p.
((3), (4))^10 +((10), (1)) ((3), (4))^9 ((1), (4))^1 +((10), (2)) ((3), (4))^8((1), (4))^2=täsmälleen 137.781/262.144 TAI täsmälleen 0,52559… TAI täsmälleen 53 %. 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Puuttuvat binomikertoimet (1+1+2+0). max 4 p.
Liikaa termejä (0+0+3+0). max 3 p.
Laskut ilman perusteluja tai väärillä perusteluilla (0+0+3+1). max 4 p.
Huom! Tehtävää on ratkaistu usein GeoGebralla, mutta tarkkuus ei riitä, jolloin osa todennäköisyyksistä menee nollille. Tällöin kolmannen rivin pisteet annetaan, sillä menetelmä on kuitenkin oikea.
Todettu, että todennäköisyys sille, että opiskelija saa tehtävän oikein on nyt 1/3. 2 p.
Todennäköisyys saada kaikki oikein on siis (1/3)^10 (kantaluku 1 p. + eksponentti 1 p.). Tämän rivin pisteisiin vaaditaan, että eksponentti on yli 1. 1+1 p.
Vastaus täsmälleen 1/59.049 TAI täsmälleen 0,00001693… TAI täsmälleen 0,001693... %. 2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Liikaa termejä (2+1+0). max 3 p.
Laskut ilman perusteluja (1+2+2). max 5 p.
Tehtävän erillisohjeet
Kaikki nollasta poikkeavat tarkkuudet käyvät.

B2-osa

10. Lukujono 12 p.

Kahden peräkkäisen jäsenen erotus on 9 -4 =5. (1 p.)
Yleinen lauseke on (a_n =) 4 +5 (n -1) (1 p./oma looginen termi). 2 p.
Epäyhtälö 4 +5 (n -1) < 1000 ja n < 200,2
TAI ratkaistu 4 +5 (n -1) =1000 ja perustelu yhtälökäsittelylle
TAI laskettu 4 +5 *(200 -1) ja 4 +5 *(201 -1). 		1+1 p.
riippumaton piste Vastaus 200. 1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Ratkaistu 4 +5 (n -1) =999 ilman perustelua, miksi lukua 999 voi käyttää (1+2+1+1). max 5 p.
TAI (taulukkoratkaisu)
Kahden peräkkäisen jäsenen erotus on 9-4=5 (riittää, jos näkyy taulukosta). (1 p.)
riippumaton piste Taulukossa näkyy kaava tai sanallisesti selitetty taulukon rekursio +5. 2 p.
Taulukossa näkyy 200. ja 201. termin arvot ja järjestysnumerot. 1+1 p.
riippumaton piste Vastaus 200. 1 p.
Kahden peräkkäisen jäsenen suhde on 9/4 tai 2,25. 1 p.
Yleinen lauseke on (a_n =) 4 *(9/4)^(n-1). 2 p.
(a_n =) 4 *(9/4)^(n-1) < 1000, josta n < 7,8
TAI ratkaistu 4 *(9/4)^(n-1) =1000 ja perustelu yhtälökäsittelylle
TAI laskettu 4 *(9/4)^(8 -1) ja 4 *(9/4)^(7 -1) . 		1+1 p.
riippumaton piste Vastaus 7. 1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Ratkaistu 4 (9/4)^(n -1) =999 ilman perustelua, miksi lukua 999 voi käyttää (1+2+0+1). max 4 p.
Saatu (a_n =) 4 *(9/4)^(n-1) ja saatu vastaukseksi 4 (1+2+0+0). 3 p.
TAI (taulukkoratkaisu)
Kahden peräkkäisen jäsenen suhde on 9/4 tai 2,25 (riittää, jos näkyy taulukosta). (1 p.)
riippumaton piste Taulukossa näkyy kaava tai sanallisesti selitetty rekursio *9/4. 2 p.
Taulukossa näkyy 7. ja 8. termin arvot ja järjestysnumerot. 1+1 p.
riippumaton piste Vastaus 7. 1 p.
Tehtävän erillisohjeet
Indeksivirhe -1p./osatehtävä.
Yleisestä lausekkeesta voi antaa 1 p. (kummassakin osatehtävässä), kun idea on oikea (esimerkiksi "d =5, a_1 =4 ja a_1 +(n -1) d")
tai lauseke ilmenee laskusta (esimerkiksi "4 *(9/4)^(8 -1) ").
"Perustelu yhtälökäsittelylle" tarkoittaa, että on esittänyt matemaattisesti pätevän perustelun, miten desimaaliluvusta (200,2 ja 7,8) päästään kokonaislukuindeksiin.

11. Virustartunnat 12 p.

Käytetty eksponentiaalista mallia jotenkin (taulukointi, graafinen, funktio, ...). 1 p.
Kantaluku oikein (GeoGebrassa: sijoitukset oikein, taulukoinnissa: iteraatioaskel oikein ja kaava näkyvissä). 1 p.
Eksponentti oikein kertoimeen nähden (GeoGebrassa ja taulukoinnissa: tarkastellaan oikeaa kohtaa). 1 p.
Vastaus omasta mallista oikein. (334.597 ~~330.000. Kantaluku saa olla väärin, mutta eksponentin pitää olla oikein.) 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Oikea lasku (719/389)^10 *719 =(719/389)^11 *389 =334.596, … ~~335.000.
Hyväksytään myös kalenterin perusteella oikea 109 päivää ja sitä vastaava tulos 85.861 ~~86.000.
Kantalukuna voidaan käyttää myös päivittäistä muutosta (719/389)^(1/14) ~~1,04485
Toisen rivin sijoituksiin käyvät mitkä tahansa pisteparit (x, 389) ja (x +14, 719).
Alkupiste: Kerrottu, että tehtävänannossa virhe päivämäärissä. 1 p.
Sijoitettu syyskuun 7. päivän tiedot ja saatu yhtälö (389 =a *2^(b *0)) tai vastaava sanallinen selitys. 1 p.
Sijoitettu syyskuun 21. päivän tiedot ja saatu yhtälö (719 =389 *2^(b *14) tai 719 =a *2^(b *14)). 1 p.
Ratkaistu jompikumpi muuttujista (mahdollisesti toisen avulla). 1 p.
Ratkaistu molemmille muuttujille lukuarvot (a =389 ja b ~~0,063 tai tarkempi). 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Alkupiste: Ratkaistu a ja b symbolisesti sijoittamatta lukuarvoja. 1 p.
Pelkkä maininta a =389 tuottaa 1 p. (kolmas piste).
Yhdessä sijoituksessa virheellinen malli: voi saada 3. rivin pisteen, ei neljännen. max 2 p.
Sijoituksessa huolimattomuusvirhe. max 3 p.
Piste per mainittu kategoria: max 4 p.
– Väkiluku on rajallinen, määrä ei voi kasvaa rajatta.
– Ei ota huomioon rajoitustoimia, jotka vaikuttavat kasvuun.
– Ei ota huomioon immuniteetin lisääntymistä väestössä / laumasuojan syntymistä.
– Ei ota huomioon uusien varianttien vaikutusta leviämiseen.
– Ei ota huomioon muutoksia ihmisten käyttäytymisessä.
– Ei ota huomioon rokotuksia.
Esim. seuraavista toteamuksista / maininnoista ei pisteitä:
– Etenee aaltoina.
– Määrä voi myös laskea.
– Ihmisiä paranee ja kuolee, joten luku ei kasva (kumulatiivinen ajatus).
– Vuodenajat, loma (jollei ole linkitetty muutoksiin ihmisten käytöksessä).
Alakohdan erillisohjeet
Jos käytetty eksplisiittisesti väärää mallia (lineaarinen). max 3 p.

12. Myyntitulojen maksimointi 12 p.

Päättelyssä on mukana 5 *10. (1 p.)
(1000 +(60 -55) *10) *55 =57.750 (euroa). 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pelkästään "1050 *50 =57.750" ilman selityksiä. 2 p.
60 +x 1 p.
1000 -10 x 1 p.
Omat järkevät lineaariset lausekkeet kerrottu keskenään
(f(x) =(60 +x) (1000 -10 x) =-10 x^2 +400 x +60.000). 		1 p.
Oma vähintään toisen asteen polynomifunktio derivoitu oikein
(f’(x) =-20 x +400). 		2 p.
Laskettu oman derivaattafunktion (polynomi asteluku vähintään 1) nollakohdat oikein. 1 p.
Perustelu maksimille esim. kulkukaavio TAI alaspäin aukeava paraabeli ja derivaatan nollakohta. Ei pisteitä, jos maksimia ei ole. 2 p.
Hintaa pitää nostaa täsmälleen 20 (euroa) TAI tieto on implisiittisesti mukana ratkaisussa. 1 p.
Vastaus täsmälleen 80 (euroa). 1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Maksimin saa määrittää ohjelmistolla, jos muut yllä mainitut ehdot täyttyvät. max 5 p.
Maksimi kuvaajasta 0+1+1+1. max 3 p.
Taulukointi euron välein esim. välillä [50, 90] tai muulla välillä, jossa alaraja <60 ja yläraja >80 ja saatu 80 (euroa) 0+1+1+1. max 3 p.
Taulukointiratkaisut, jotka eivät toteuta yllä olevan rivin ehtoa: vain alkupiste. max 1 p.
Alkupiste: Oikea vastaus 80 (vaikka väärilläkin perusteilla saatu). 1 p.

13. Kuutioista monitahokkaita 12 p.

Kuution alkuperäinen tilavuus on 8. 2 p.
Kuutiosta poistetaan 8 pyramidia (kärkien lukumäärä).
Pyramidin pohja on tasasivuinen kolmio, joka sivun pituus on sqrt(2) ja pinta-ala 1/2 *(sqrt(2))^2 *sqrt(3) /2 =sqrt(3) /2 2 p.
Pyramidin sivut ovat suorakulmaisia kolmioita, joiden sivut ovat 1, 1, sqrt(2). 2 p.
Pyramidin huippu on tasasivuisen kolmion keskipisteen yläpuolella. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka toinen kateetti on pyramidin korkeus, hypotenuusa sivukolmion korkeus 1/sqrt(2) ja toinen kateetin pituus on keskipisteen etäisyys tasasivuisen kolmion sivusta 1/sqrt(6). Pythagoraan lauseella kateetin pituus on siis sqrt((1 /sqrt(2))^2 –(1 /sqrt(6))^2) =sqrt(1/2 -1/6) =1 /(sqrt(3)). 2 p.
Yhden pyramidin tilavuus on siis 1/3 *1 /(sqrt(3)) *sqrt(3) /2 =1/6 2 p.
Koko kappaleen tilavuus on siis 8 -8 *1/6 =6#2/3 ~~6,7 (cm^3). 2 p.
Pyramidin tilavuuden voi laskea myös kartiona, jonka pohjan pinta-ala on 1/2 *1 *1 ja korkeus on 1. Tällöin tilavuus on 1/3 *1/2 =1/6.