Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, kort lärokurs

23.3.2022

Slutgiltiga beskrivningar av goda svar 17.5.2022

Grunderna enligt vilka bedömningen gjorts framkommer i de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar. Uppgiften om hur bedömningsgrunderna tillämpats på examinandens provprestation utgörs av de poäng som examinanden fått för sin provprestation, de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar och de föreskrifter gällande bedömningen som nämnden gett i sina föreskrifter och anvisningar. De slutgiltiga beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svarsalternativ eller alla godkända detaljer i ett godkänt svar. Eventuella bedömningsmarkeringar i provprestationerna anses vara jämställbara med anteckningar och sålunda ger de, eller avsaknaden av markeringar, inte direkta uppgifter om hur bedömningsgrunderna tillämpats på provprestationen.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal i den högra kolumnen för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Poäng i parentes ges antingen genom att villkoret på samma rad eller på följande rad uppfylls, om följande rad är i skick och det inte explicit framgår att föregående rad har gjorts på ett felaktigt sätt.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med texten exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Beteckningen oberoende poäng av ovanstående rader betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter denna rad på normalt sätt.
    • Texten oberoende poäng betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad.
    • Texten Som slutsats: poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
  • Terminologi
    • "Svar räcker" betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • "Startpoäng" betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • "maxN" betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • "Svaret endast som närmevärde" betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (t.ex. noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (t.ex. x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (t.ex. parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt "i kedja", m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.

Del A

1. Basuppgifter 12 p.

1.1 Värdet av uttrycket (-9)\cdot (42-35) är  2 p.

  • –63 (2 p.)
63 (1 p.)

1.2 Nollstället till funktionen f(x)=4x-12 är  2 p.

  • 3 (2 p.)
(3, 0) (1 p.)
-3 (1 p.)

1.3 En rät linje går genom punkterna A = (1, 15) och B = (7, 81). Linjens riktningskoefficient är  2 p.

  • 11 (2 p.)
-11 ELLER 1/11 (1 p.)

1.4 Värdet av uttrycket 6^3\cdot 2^{-2} är  2 p.

  • 54 (2 p.)

1.5 En geometrisk talföljd börjar med talen a_1=256, a_2=128 och a_3=64. Talföljdens femte element är  2 p.

  • 16 (2 p.)
32 ELLER 8 (1 p.)

1.6 Lösningen till ekvationen 2^{2x-5}=8 är  2 p.

  • 4 (2 p.)

2. Flera lösningsmetoder 12 p.

Med den distributiva lagen:
Avlägsning av parenteser i vänstra ledet: 12(x-7)=12x-84, varvid ekvationen skrivs i formen 12x-84=24. 1 p.
Därmed är 12x=84+24=108, 1 p.
dvs. x=9. 1 p.
Utan den distributiva lagen:
Vi dividerar ledvis med talet 12, 1 p.
varvid ekvationen övergår i formen x-7=2. 1 p.
Därmed är x=9. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Här godkänns 12(x-7)=(x-7)+(x-7)+\ldots+(x-7)=12x-84 som lösning utan den distributiva lagen, eftersom examinanden har kringgått lagen genom att använda sambandet mellan multiplikation och addition. 3 p.
12(x-7)=12x-7 0 p.
Med den distributiva lagen:
Parenteserna avlägsnas korrekt, 2x^2-11x-6=0 eller 2x^2=11x+6, eller motsvarande. 1 p.
Insättning i andragradsekvationens lösningsformel ger \displaystyle x=\frac{11\pm\sqrt{(-11)^2-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2} ELLER koefficienter och formel med SpeedCrunch. 1 p.
Därmed är x=-\frac{1}{2} eller x=6. 1 p.
Utan den distributiva lagen:
Med nollregeln för en produkt fås 2x+1=0 eller x-6=0. 1 p.
Därmed är x=-\frac{1}{2} eller x=6. 1+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Poängutdelning då det uppstår ett räknefel vid avlägsningen av parenteserna, men den egna andragradsekvationen löses korrekt (0+1+1). 2 p.
Utan den distributiva lagen: examinanden har dividerat med termerna x-6 och 2x+1, men inte beaktat att en term kan vara noll. Hen har tagit fram de korrekta lösningarna (0+1+1). max 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
En prövningslösning som enda lösning: korrekt svar (1 p.) / kontroll (1 p.) / entydighet (1 p.).
Ofullständig prövningslösning som andra lösning, och där det finns något nytt (till exempel tabell), från den andra lösningen 1 p.
En fullständig prövningslösning som andra lösning (3 p.).
Om man ger poäng för två lösningar så ska examinanden i den ena ha använt den distributiva lagen och i den andra inte ha använt lagen.
Svar som exakta decimaltal godkänns.
Examinanden har inte angett vilken lösning som är gjord med distributiva lagen (brister i förklaringar) ELLER felaktigt betecknat i vilken lösning hen använt den distributiva lagen och i vilken den inte använts. –0 p.

3. Inskrivna och omskrivna cirklar 12 p.

Längden av kvadratens sida 2\cdot 6{,}0 cm (eller hälften av sidans längd 6 cm). (1 p.)
(Med hjälp av en minnestriangel fås) kvadratens diagonal 12 \sqrt{2} cm (\approx 16{,}9705... cm) ELLER avståndet från kvadratens mittpunkt till ett hörn 6 \sqrt{2} cm ELLER löst med Pythagoras ELLER genom att använda trigonometri. (2 p.)
Därmed är längden av radien för den omskrivna cirkeln 12\sqrt{2}/2 cm = 6\sqrt{2} cm \approx 8{,}5 cm. 2 p.
oberoende poäng i lösningen framgår att den efterfrågade radien är hälften av kvdratens diagonal ELLER avståndet från kvadratens mittpunkt till ett hörn. 1 p.
ELLER
Examinanden har konstaterat att längden av kvadratens sida är 12 cm. 1 p.
Tabellsamling ger formeln a\sqrt{2}/2 för radien för den omskrivna cirkeln till en kvadrat, där a är längden av kvadratens sida. 3 p.
Man får svaret 12\sqrt{2}/2 cm \approx 8{,}5 cm. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Startpoäng: En uppritad figur (figurer) ur vilken kvadraten och båda cirklarna/radierna framgår. 1 p.
Examinanden har tagit fram ekvationen 6=\frac{x\sqrt{3}}{6}. 1 p.
Examinanden har löst ut x, ur föregående ekvation, exempelvis x=20{,}7846\ldots 2 p.
Insättning av x i ekvationen R=\frac{x\sqrt{3}}{3}. 2 p.
Svar R=12 (cm).
Specifika anvisningar för den här lösningen
Ekvationen har lösts med prövning (1+1+2+1). max 5 p.
ELLER
En sträcka ritas från den inskrivna cirkelns medelpunkt till tangeringspunkten mellan cirkeln och triangeln, och en annan sträcka från medelpunkten till triangelns hörn. 1 p.
På det här sättet uppstår en rätvinklig triangel, vars övriga vinklar är 30^{\circ} och 60^{\circ}. 2 p.
Eftersom radiens längd är 6,0 (cm) är längden av triangelns hypotenusa enligt typtriangeln 2\cdot 6{,}0 = 12{,}0 (cm) ELLER så löser man ut hypotenusan med hjälp av sinus för vinkeln 30^{\circ} och kateten varvid man får hypotenusans längd \frac{6,0}{\sin 30^{\circ}}=12{,}0. 2 p.
oberoende poäng Ur lösningen framgår att det här också är den efterfrågade cirkelns radie. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Undantagsvis godkänns noggrannheterna 12 och 12{,}0.
Startpoäng: En uppritad figur (figurer) ur vilken triangeln och båda cirklarna/radierna framgår ELLER användning av formeln r=\frac{a\sqrt{3}}{6} eller R=\frac{a\sqrt{3}}{3} med konkreta talvärden (möjligen felaktiga). 1 p.

4. Frekvenstabell 12 p.

Typvärdet är 47 (cm). 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Svar 11 (antalet observationer för typvärdet). 1 p.
I materialet ingår 1+0+8+7+4+11+3 ELLER 1+8+7+4+11+3 (1 p.)
=34 (hundar). 1 p.
Medelvärdet: \displaystyle\frac{1\cdot 42+0\cdot 43+8\cdot 44+7\cdot 45+4\cdot 46+11\cdot 47+3\cdot 48}{34}
ELLER SpeedCrunch och kommando med ingående argument 		4 p.
= \frac{1554}{34} (2 p.)
=45{,}70588\ldots (1 p.)
\approx 46 ELLER 45{,}7 ELLER 45\frac{12}{17} (cm).
(Exakt denna noggrannhet, övriga noggrannheter: inga poäng från den här raden.) 		1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast korrekt svar (\approx 46 ELLER 45{,}7 ELLER 45\frac{12}{17} (cm)). 4 p.
\frac{1554}{34} uppstår ur tomma intet utan motiveringar, efter detta korrekt fram till slutet. 5 p.
Om man i deluppgift 4.2 beräknat hundarnas antal felaktigt och använder det felaktiga antalet i deluppgift 4.3 max 8 p.
\frac{42+43+\cdots+48}{7} = 45 0 p.
\frac{1\cdot 42+0\cdot 43+8\cdot 44+7\cdot 45+4\cdot 46+11\cdot 47+3\cdot 48}{7} 3 p.
\frac{1\cdot 42+0\cdot 43+8\cdot 44+7\cdot 45+4\cdot 46+11\cdot 47+3\cdot 48}{34}\approx 45 6 p.
Startpoäng: Korrekt tabell över relativa frekvenser. 1 p.

Del B1

5. Längden på en dagsetapp 12 p.

oberoende poäng Anta att dagsetappens längd är x (kan också framgå implicit). 1 p.
Då är \frac{x}{3}+7+\frac{x}{2}=x ELLER \frac{x}{3}+7=\frac{x}{2}. [\frac x3 2 p. / 7 km 2 p. / \frac x2 2 p.] 6 p.
Därmed är 7=\frac{x}{6}. (3 p.)
Svar 42 (km) (övriga värden duger inte även om de skulle vara logiska utgående från den egna modellen). 2 p.
Specifika anvisningar för den här lösningen
Ekvationen felaktig, men ändå linjär (1+4+3+0). max 8 p.
Exempel på ovanstående: "Anta att dagsetappens längd är x. Man får ekvationen \frac{x}{3}+7=\frac{1}{2}. Därmed är x=-19{,}5". 8 p.
ELLER (även så kallade prövningslösningar med detta schema)
Ritad förnuftig figur/förnuftig förklaring i ord/förnuftiga beräkningar, i lösningen förekommer \frac13, 7 km och \frac12 och sambandet mellan dessa [2+1+1+1+2]. 7 p.
Examinanden har fått fram att 7 km är 1/6 av resan (på ett förnuftigt sätt med en egen slutledning). 3 p.
Svar 42 (km) (övriga värden duger inte även om de skulle vara logiska utgående från den egna modellen). 2 p.
Specifika anvisningar för den här lösningen
Obs. Innehåller fallet "nedskrivet 1/3+7=1/2 och utgående från detta slutsatsen att 7 km är 1/6 av resan". max 11 p.
Ex. lösningen "7 km är \frac16 av resan, alltså är hela resan 7\cdot6=42 km" (1+3+2). Första poängen: 7 km. 6 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Närmevärden, noggrannheten räcker inte och man har fått fel svar [ex. \frac13=0{,}33]. max 11 p.

6. Strävan efter vinst 12 p.

Svar: 160 (euro). 2 p.
oberoende poäng Motiveringar: koefficient 1,2 / beräkning 1{,}2\cdot 120 = 144 / koefficient 0,9 / ekvation 0{,}9x=144 eller beräkning 0{,}9\cdot 160=144. 1+1+1+1 p.
ELLER (vinstprocent av försäljningspriset)
Svar: 166{,}67 ELLER 166{,}65 ELLER 166{,}70 (euro). 2 p.
oberoende poäng Motiveringar: koefficient 0,2 / beräkning \frac{120}{1-0,2}=150 / koefficient 0,9 / ekvation 150=0{,}9x eller beräkning 0{,}9\cdot 166{,}67=150. 1+1+1+1 p.
Koefficient 1,2 eller uttrycket 0{,}2\cdot 140 / försäljningspris 168 (euro). 1+1 p.
Talen 199 och 168 har jämförts (differens/kvot). (1 p.)
Förhållandet korrekt (\frac{168}{199}\approx 0{,}844 eller \frac{31}{199}\approx 0{,}156 eller bildat korrekt olikhet/ekvation). 1 p.
Omvandlat (ett möjligen felaktigt) förhållande till procent. (1 p.)
Korrekt avrundat och svar exakt 15. 1 p.
ELLER
Koefficient 1,2 eller uttrycket 0{,}2\cdot 140 / försäljningspris 168 (euro). 1+1 p.
Då rabattprocenten är 15, är priset 0{,}85\cdot199=169{,}15\,(>168); 1 p.
därmed är svaret exakt 15 %. 1 p.
Motiveringar: då rabattprocenten är 16, är priset 0{,}84\cdot199=167{,}16\,(<168). 2 p.
ELLER (vinstprocent av försäljningspriset)
Det nya försäljningspriset är y, varvid vinstmålet uppnås då 0{,}8y\ge 140. 2 p.
y\ge 175 1 p.
\frac{199-175}{199} = 0{,}1206\ldots 1 p.
Omvandlat (möjligen felaktigt) förhållande till procent. (1 p.)
Korrekt avrundat och svar exakt 12. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
En lösning av typen vinstprocent av försäljningspriset kan även göras enligt schema 2.
I deluppgift 6.2 måste man ha denna noggrannhet (hela procent).

7. En mer ekonomisk bil 12 p.

Bilens nuvärde beräknas med formeln \textrm{pris} \cdot (1-\frac{p}{100})^n (1 p.)
dvs. (25 000(1-0.08)^5 \approx 16 477) \approx 16 500 och (12 000(1-0.12)^5 \approx 6 333) \approx 6 300. 1 p.
Elbilen: Återstående lånebelopp (25 000-200 \cdot 60=)\ 13 000 1 p.
Bilen med förbränningsmotor: Återstående lånebelopp (12 000-200 \cdot 60)=0
ELLER "lånet är helt återbetalat". 		1 p.
Användningskostnader 4000+1800 och 9000+6000 ELLER 5 800 och 15 000. 1+1 p.
Motiveringar 30 \cdot 12 \cdot 5+800 \cdot 5\ (=5 800) och 150 \cdot 12 \cdot 5+1200 \cdot 5 \ (=15 000). 1 p.
Räntekostnader \sum_n p (\textrm{pris} - n \cdot 200) ELLER \sum_n p (\textrm{pris} - n \cdot 12 \cdot 200)
ELLER påbörjad motsvarande tabell (månads- eller årsamorteringar). 		(1 p.)
Räntekostnader 2292 och 732. 1 p.
Motivering (tabell eller formel)
\sum_{n=0}^{59} 0{,}002 (25 000 - n \cdot 200) och \sum_{n=0}^{59} 0{,}002 (12 000 - n \cdot 200). 		1 p.
Alternativen har jämförts och utifrån den egna jämförelsen har man gjort ett mer ekonomiskt val. 1 p.
Exakt jämförelsemätare med egna tal, som beaktar användningskostnaderna, nuvärdet, räntan och det återstående lånebeloppet:
\pm"värdeminskningen (= pris-nuvärde) + räntekostnaden + användningskostnaden"
(8500 + 2292 + 5800 \approx 16592 < 5700 + 732 + 15000 \approx 21 432)
ELLER \pm"nuvärde - återstående lån - räntekostnaden - användningskostnaden"
(16500 - 13000-2292-5800 \approx -4592 > 6300 - 0-732-15000 \approx -9432)
ELLER \pm"nuvärde - hela lånebeloppet - räntekostnaden - användningskostnaden"
(16500 - 25000-2292-5800 \approx -16592 > 6300 - 12000-732-15000 \approx -21432)
(vilket betyder att elbilen är mer ekonomisk). 		1 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Stegen kan göras i flera olika ordningsföljder.
Om formeln på första raden inte förekommer i någon form på något ställe, dvs. andra radens resultat uppkommer ur tomma intet och den andra raden har ett felaktigt värde, så från de första två raderna 0+0.
Om rad 5 har ett felaktigt värde, men förklaringen på det framkommer med uträkningar på rad 6, så ger det inga avdrag från rad 5.
Fast det på rad 4 räcker med enbart svar, så ges inga poäng om motiveringen är helt felaktig (ex. beaktat även bilens värdeminskning).

8. Största värdet 12 p.

Det obekanta talet x, talets kvadrat är x^2 och kub x^3. (1 p.)
Den funktion f(x)=10+x^2-x^3 som ska maximeras bildas. 1 p.
Funktionen deriveras f'(x)=2x-3x^2 (1 poäng/term). 2 p.
Ett försök att genom beräkning ta reda på derivatans nollställen. (1 p.)
Examinanden hittar derivatans nollställen till en funktion som är i rätt riktning (x=0 och x=\frac23). 1 p.
Beräkning av f(x), då x är ett positivt nollställe till derivatan. 1 p.
oberoende poäng Idépoäng: Examinanden strävar efter att åskådliggöra funktionens förlopp, exempelvis genom att framställa grafen för funktionens derivata ELLER lämpliga uträkningar (till exempel en tabell av funktionsvärden) ELLER en funktionsgraf, som är kopplad till en undersökning av formen. 1 p.
Examinanden framställer ett korrekt teckenschema för en egen funktion i korrekt riktning (-|+|- eller endast för positiva värden +|-) eller en annan motsvarande exakt motivering. 1 p.
Examinanden drar slutsatsen att det största värdet fås i punkten exakt x=\frac23, 1 p.
då hen i slutledningen avgränsar granskningen till positiva tal. 1 p.
Som slutsats: Man får exakt f(\frac23) = 10 \frac4{27} eller exakt \frac{274}{27} (det exakta värdet syns någonstans i prestationen). 1 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Specialfallet f(x)=10+x^3-x^2 (1+1+2+1+1+1+1+1+0+1+0). max 10 p.
Nära korrekt funktion, exempelvis f(x)=10-x^3-x^2 (en term av andra graden och en annan av tredje graden ingår) (1+0+1+1+1+1+1+1+0+1+0). max 8 p.
Mer felaktig funktion, exempelvis f(x)=10+x^{1/2}-x^{1/3}, f(x)=10+x^2-x^{1/3}, f(x)=10+x^{1/2}-x^3, f(x)=10+x^4-x^6 osv.: Funktionen rätt deriverad 1 p., ett försök att hitta derivatans nollställen 1 p., idé om funktionens förlopp (oberoende poäng) 1 p. max 3 p.
Funktionsbeteckningen är inte nödvändig i lösningen om den är tydlig också utan. –0 p.
Beräknat med decimaltal. max 10 p.

9. Flervalsprov 12 p.

Den studerande får 0 poäng om hen har högst 2 korrekta uppgifter (eller en ekvivalent utformning), 1 p.
eftersom 3 korrekta ger 3\cdot 3 - 7\cdot 1 = 2 poäng och 2 korrekta 2\cdot 3 - 8\cdot 1 = -2 poäng. 1 p.
Beräknade (binomialsannolikheter) \left(\frac{3}{4}\right)^{10}, \binom{10}{1}\left(\frac{3}{4}\right)^{9}\left(\frac{1}{4}\right)^{1}, \binom{10}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{8}\left(\frac{1}{4}\right)^{2}. 1+1+1 p.
\left(\frac{3}{4}\right)^{10}+\binom{10}{1}\left(\frac{3}{4}\right)^{9}\left(\frac{1}{4}\right)^{1}+\binom{10}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{8}\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=exakt \frac{137\,781}{262\,144} ELLER exakt 0{,}52559\ldots ELLER exakt 53 %. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Binomialkoefficienter fattas (1+1+2+0). max 4 p.
För många termer (0+0+3+0). max 3 p.
Beräkningar utan motiveringar eller med felaktiga motiveringar (0+0+3+1). max 4 p.
Obs! Det är vanligt att uppgiften lösts med Geogebra, men noggrannheten räcker inte till, varvid en del av sannolikheterna avrundas till noll. Då ges poängen i tredje raden, eftersom metoden ändå är korrekt.
Examinanden har konstaterat att sannolikheten för att den studerande får en uppgift rätt nu är \frac{1}{3}. 2 p.
Sannolikheten för att få allt rätt är alltså (\frac{1}{3})^{10} (basen 1 p. + exponenten 1 p.). För den här radens poäng krävs att exponenten är större än 1. 1+1 p.
Svar exakt \frac{1}{59\,049} ELLER exakt 0{,}00001693\ldots ELLER exakt 0{,}001693\ldots %. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
För många termer (2+1+0). max 3 p.
Beräkningar utan motiveringar (1+2+2). max 5 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Alla noggrannheter som inte ger noll som svar duger.

Del B2

10. Talföljd 12 p.

Differensen av två på varandra efterföljande element är 9-4=5. (1 p.)
Det allmänna uttrycket är (a_n=)\,4+5(n-1) (1 p./egen logisk term). 2 p.
Olikheten 4+5(n-1)<1\,000 och n<200{,}2
ELLER examinanden har löst ut 4+5(n-1) = 1\,000 och har en motivering för ekvationsbehandlingen
ELLER examinanden har beräknat 4 + 5(200-1) och 4 + 5(201-1). 		1+1 p.
oberoende poäng Svar 200. 1 p.
Specifika anvisningar för den här lösningen
Examinanden har löst ut 4+5(n-1) = 999 utan motivering för varför talet 999 kan användas (1+2+1+1). max 5 p.
ELLER (tabellösning)
Differensen av två på varandra efterföljande element är 9-4=5 (det räcker om det framgår av tabellen). (1 p.)
oberoende poäng I tabellen syns en formel eller tabellens rekursion +5 förklarad i ord. 2 p.
I tabellen syns 200:e och 201:e termens värde och ordningsnummer. 1+1 p.
oberoende poäng Svar 200. 1 p.
Förhållandet mellan två på varandra följande element är \frac{9}{4} eller 2,25. 1 p.
Det allmänna uttrycket är (a_n=)\,4\cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{n-1}. 2 p.
4\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^{n-1}<1\,000, ur vilket n<7,8
ELLER examinanden har löst ut 4\cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{n-1}=1\,000 och har en motivering för ekvationsbehandlingen.
ELLER examinanden har beräknat 4\cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{8-1} och 4\cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{7-1}. 		1+1 p.
oberoende poäng Svar 7. 1 p.
Specifika anvisningar för den här lösningen
Examinanden har löst ut 4\left(\frac{9}{4}\right)^{n-1} = 999 utan motivering för varför talet 999 kan användas (1+2+0+1). max 4 p.
Examinanden har fått a_n=4\cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{n-1}=9^{n-1} och fått som svar 4 (1+2+0+0). 3 p.
ELLER (tabellösning)
Förhållandet mellan två på varandra följande element är \frac{9}{4} eller 2,25 (det räcker om det framgår av tabellen). (1 p.)
oberoende poäng I tabellen syns en formel eller rekursionen \times \frac{9}{4} förklarad i ord. 2 p.
I tabellen syns 7:e och 8: termens värde och ordningsnummer. 1+1 p.
oberoende poäng Svar 7. 1 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Indexfel -1p./deluppgift.
Det allmänna uttrycket kan ge 1 p. (i vardera deluppgiften), då idén är korrekt (till exempel "d=5, a_1=4 och a_n=a_1+(n-1)d")
eller om uttrycket framgår av uträkningen (till exempel "4\cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{8-1}").
"Motivering för ekvationsbehandlingen" betyder att man presenterat en matematiskt hållbar motivering till varför man från decimaltalen (200,2 och 7,8) kommer fram till heltalsindexen.

11. Virussmittfall 12 p.

Examinanden har använt en exponentiell modell på något sätt (tabell, grafisk, funktion, ...). 1 p.
Basen är korrekt (med GeoGebra: insättningarna korrekta, tabellösning: iterationssteget rätt och formel synlig). 1 p.
Exponentens koefficient är korrekt (med Geogebra och tabellösning: man granskar rätt punkt). 1 p.
Svaret korrekt utifrån den egna modellen (334\,597\approx 330\,000. Basen får vara fel, men exponenten måste vara korrekt.) 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Korrekt beräkning \left(\frac{719}{389}\right)^{10}\cdot 719 = \left(\frac{719}{389}\right)^{11}\cdot 389 = 334\,596,\ldots\approx 335\,000.
Det utifrån kalendern korrekta antalet 109 dagar godkänns också, samt det resultat som svarar mot detta 85\,861\approx 86\,000.
Som bas kan också den dagliga förändringen användas \left(\frac{719}{389}\right)^{1/14}\approx 1{,}04485
För insättningarna på andra raden går vilket som helst av punktparen (x,\, 389) och (x+14,\, 719).
Startpoäng: Examinanden har berättat att det i uppgiften finns ett fel gällande datumen. 1 p.
Examinanden har utfört en insättning av uppgifterna för 7:e september och fått en ekvation (389=a\cdot 2^{b\cdot 0}) eller motsvarande förklaring i ord. 1 p.
Examinanden har utfört en insättning av uppgifterna för 21:e september och fått en ekvation (719=389\cdot 2^{b\cdot 14} eller 719=a\cdot 2^{b\cdot 14}). 1 p.
Examinanden har löst ut någon av variablerna (möjligen med hjälp av den andra). 1 p.
Examinanden har löst ut talvärdena för båda variablerna (a=389 och b\approx 0{,}063 eller noggrannare). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Startpoäng: Examinanden har löst ut a och b symboliskt utan att sätta in talvärden. 1 p.
Om man nämnt att a=389 så ger det 1 p. (den tredje poängen).
Felaktig modell i en insättning: man kan få 3:e radens poäng, men inte fjärde. max 2 p.
Slarvfel vid en insättning. max 3 p.
Poäng per nämnd kategori: max 4 p.
– Folkmängden är begränsad, antalet kan inte växa utan gräns.
– Modellen beaktar inte restriktionerna, som inverkar på tillväxten.
– Modellen beaktar inte att immuniteten hos befolkningen ökar eller att flockimmunitet kan uppnås.
– Modellen beaktar inte att nya varianter inverkar på spridningen.
– Modellen beaktar inte förändringar i människornas beteende.
– Modellen beaktar inte vaccineringar.
Exempelvis följande konstateranden / omnämnanden ger inga poäng:
– Antalet smittfall framskrider i vågor.
– Antalet smittfall kan också sjunka.
– Människor tillfrisknar och dör, vilket betyder att antalet inte ökar (kumulativt tankesätt).
– Årstiderna, semester (om man inte kopplat ihop det med förändringar i människornas beteende).
Specifika anvisningar för deluppgiften
Om examinanden explicit använt fel modell (linjär). max 3 p.

12. Maximering av försäljningsintäkterna 12 p.

I lösningen ingår 5\cdot 10. (1 p.)
(1\,000+(60-55)\cdot 10)\cdot 55 =57\,750 (euro). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast "1050\cdot 55 = 57\,750" utan förklaringar. 2 p.
60 +x 1 p.
1000-10x 1 p.
Egna förnuftigt valda linjära uttryck har multiplicerats med varandra
(f(x) = (60 + x)(1000-10x) = -10x^2+400x + 60 000). 		1 p.
En egen polynomfunktion av minst andra graden är rätt deriverad
(f'(x) = -20x + 400). 		2 p.
Examinanden har beräknat nollställen till den egna derivatafunktionen (polynomets gradtal minst 1) korrekt. 1 p.
Motivering till maximivärdet exempelvis med teckenschema ELLER med en nedåtvänd parabel och derivatans nollställen. Inga poäng om det inte finns något maximivärde. 2 p.
Priset måste höjas med exakt 20 (euro) ELLER informationen ingår implicit i lösningen. 1 p.
Svar exakt 80 (euro). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Maximivärdet kan bestämmas med programvara om de övriga ovan nämnda villkoren uppfylls. max 5 p.
Maximivärdet från en graf 0+1+1+1. max 3 p.
Tabell med en euros mellanrum i exempelvis intervallet [50, 90] eller i ett annat intervall, där nedre gränsen <60 och övre gränsen >80 och examinanden tagit fram 80 (euro) 0+1+1+1. max 3 p.
Tabellösningar som inte uppfyller villkoret i ovanstående rad: endast startpoäng. max 1 p.
Startpoäng: Korrekt svar 80 (även om det tagits fram med felaktiga motiveringar). 1 p.

13. Polyedrar av kuber 12 p.

Kubens ursprungliga volym är 8. 1 p.
Från kuben avlägsnas 8 pyramider (antalet hörn).
Pyramidens botten är en liksidig triangel, vars sidas längd är \sqrt{2} och area \frac{1}{2}\cdot (\sqrt{2})^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}. 1 p.
Pyramidens sidor är rätvinkliga trianglar, som har sidorna 1, 1, \sqrt{2}. 1 p.
Pyramidens topp ligger ovanför den liksidiga triangelns mittpunkt. Vi granskar den rätvinkliga triangel där ena kateten är pyramidens höjd, hypotenusan är sidotriangelns höjd \frac{1}{\sqrt{2}} och den andra katetens längd är avståndet mellan mittpunkten och den liksidiga triangelns sida \frac{1}{\sqrt{6}}. Med hjälp av Pythagoras sats är katetens längd alltså \sqrt{\big(\frac{1}{\sqrt{2}}\big)^2-\big(\frac{1}{\sqrt{6}}\big)^2}=\sqrt{\frac12-\frac{1}{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}. 1 p.
Volymen av en pyramid är alltså \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}. 1 p.
Hela kroppens volym är därmed 8-8\cdot \frac{1}{6}=6\frac{2}{3}\approx 6{,}7 (cm^3). 1 p.
ELLER
Kubens ursprungliga volym är 8. 1 p.
Från kuben avlägsnas 8 pyramider (antalet hörn).
Pyramidens botten är en rätvinklig triangel, vars kateter är 1 och 1 och area \frac12 \cdot 1\cdot 1. 1 p.
Pyramidens höjd är 1. 2 p.
Volymen av en pyramid är alltså \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}. 1 p.
Hela kroppens volym är alltså 8-8\cdot \frac{1}{6}=6\frac{2}{3}\approx 6{,}7 (cm^3). 1 p.
ELLER (GeoGebra)
Examinanden har ritat en kub som har sidlängden 2 och beräknat att dess volym är 8. 1 p.
Från kuben avlägsnas 8 pyramider (antalet hörn).
Examinanden har ritat en på ögonmått korrekt pyramid i minst ett av kubens hörn. 1 p.
Motivering för varför den ritade pyramiden är korrekt (skärmdump eller förklaring av använda kommandon). 1 p.
Examinanden har beräknat volymen av en pyramid (svar 1 p. + motivering 1 p.). 2 p.
Hela kroppens volym är alltså 8-8\cdot 0{,}1667\approx 6{,}7 (cm^3). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Pyramiden har antagits vara en regelbunden tetraeder (1+0+0+0+0+0). max 1 p.
Vi granskar en kvadratisk sidoyta. Sidoytan blir en åttahörning då man från hörnen avlägsnar rätvinkliga trianglar. 1 p.
Om kateterna i hörnens rätvinkliga trianglar är x och x, är hypotenusa 2-2x, varvid 2-2x=\sqrt{2}x, dvs. x=\frac{2}{2+\sqrt{2}}=2-\sqrt2. 1 p.
Åttahörningens area är 4-4\cdot \frac{1}{2} (2-\sqrt{2})^2=4-2(2-\sqrt{2})^2. 1 p.
Längden på sidan av den liksidiga triangel som avlägsnats från kubens hörn är 2-2x och dess area är \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(2-2x)^2=\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)^2. 1 p.
Hela kroppens area är 6 gånger åttahörningens area plus 8 gånger den rätvinkliga triangelns area 1 p.
dvs. 6(4-2(2-\sqrt{2})^2)+8\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)^2\approx 22{,}25\ldots\approx 22 (cm^2). 1 p.
ELLER (GeoGebra) 1 p.
Examinanden har ritat upp en åttahörning som ser korrekt ut på en kvadratiskt formad sidoyta. 1 p.
Examinanden har motiverat varför åttahörningen är regelbunden och av rätt storlek. 1 p.
Åttahörningens area + kommando. 1 p.
Arean av den liksidiga triangel som bildas i ett hörn + kommando. 1 p.
Hela kroppens area är 6 gånger åttahörningens area plus 8 gånger den rätvinkliga triangelns area, 1 p.
dvs. 6(4-2(2-\sqrt{2})^2)+8\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)^2\approx 22{,}25\ldots\approx 22 (cm^2) ELLER motsvarande närmevärden ELLER kommandon. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Examinanden har antagit att längden på åttahörningens sida är en tredjedel av längden på kubens sida (1+0+0+0+1+0) (det förutsätter att man gjort logiska steg, trots att modellen är felaktig). max 2 p.
Om kommandon fattas på raderna 3–4, men i övrigt korrekt, från dessa rader totalt 1 p.