Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

20.9.2022

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 10.11.2022

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

Ohjeen rakenne
- Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy oikeassa sarakkeessa olevaan pistemäärään.
- Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
- Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
- Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
- Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esim. derivaatan laskeminen osittain oikein).
- Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
- Suluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.

Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37{,}5 ja 40 kelpaavat.

Rivien riippuvuus toisistaan
- Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esim. laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
- Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
- Merkintä ylläolevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
- Merkintä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
- Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.

Terminologiaa
- ''Vastaus riittää'' tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
- ''Alkupisteitä'' tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
- ''maxN'' tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
- ''Vastaus vain likiarvona'' tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esim. tarkkuus, yksikkö) -1 p.
Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -2 p.
Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -1 p.
Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esim. x=2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esim. puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

Kolmisarakkeisen lukuohjeet:

Ideasarakkeesta saa pisteet, jos on ryhdytty tekemään mainittua asiaa, vaikka toteutus olisi puutteellinen.
Lasku tai kaava toteutussarakkeessa näyttää, miltä idea oikein toteutettuna näyttää.
Pysäytysehto: jokaiselta riviltä saatava vähintään puolet rivin pisteistä pyöristettynä alaspäin, jotta voi jatkaa.
Jos pysäytysehto ei toteudu, eli seuraavien rivien pisteitä on vielä jaossa, on seuraavilta riveiltä saatavissa kaikki pisteet, joissa ei ole eksplisiittistä estettä sille, miksi niitä ei voisi saada.

A-osa

1. Monivalintatehtävä 12 p.

Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

1.1 Sievennys 2 p.

3x^2 - x + 41 (1 p.)
3x^2 + 13x + 31 (1 p.)
3x^2 + 11x + 41 (2 p.)

1.2 Tulomuoto 2 p.

4x(-x + 1)(x - 3) = 0 (1 p.)
-4x(x + 1)(x - 3) = 0 (2 p.)

1.3 Tarkka arvo 2 p.

6+ \frac{7 \sqrt {3}}{3} (2 p.)

1.4 Yhtälönratkaisu 2 p.

x=7 (1 p.)
x=7 ja tämän luvun käänteisluku (1 p.)
x=7 ja tämän luvun vastaluku (2 p.)

1.5 Funktion arvo 2 p.

-10 (1 p.)
-2 (2 p.)

1.6 Derivaatan arvo 2 p.

23 (2 p.)

2. Analyyttistä geometriaa 12 p.

Määritä janan AB keskipiste, kun A=(5, 5) ja B=(-2, \frac32). (4 p.)
Ratkaise yhtälö |3x+4| = 5. (4 p.)
Määritä ympyrän x^2+y^2+2x - 8 = 0 keskipiste ja säde. (4 p.)

x-koordinaatin laskutapa oikein / x=\frac{3}{2}	1+1 p.
y-koordinaatin laskutapa oikein / y=\frac{13}{4}	1+1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Myös x=\frac{6}{4} käy.

Koska \|3x+4\|=5, niin 3x+4=-5 tai 3x+4=5.	2 p.
Jos 3x+4=-5, niin x=-3.	1 p.
riippumaton piste Jos 3x+4=5, niin x=\frac{1}{3}.	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
''Koska \|3x+4\|=5, niin 3x+4=5'' ei anna pistettä ensimmäiseltä riviltä.
Tehty virhe ensimmäisellä rivillä ja saatu 3x+4=5 sekä 3x-4=5 ja ratkaistu nämä yhtälöt. (1+0+1)	max 2 p.
Ylimääräisiä määrittelyehtoja tms.	–1 p.
Välivaiheesta \|3x\|=5-4 saatu x=\pm\frac{1}{3}.	1 p.

Täydennetty neliöön, saatu ympyrän yhtälö.	1 p.
Saatu oikea ympyrän yhtälö (esim. muodossa (x+1)^2+y^2=9).	1 p.
Oma keskipiste oikein + oma säde oikein (esim. (-1, 0) ja säde 3).	1+1 p.

Tehtävän erillisohjeet
Jos osatehtävän 1 tai 2 vastaukset annettu likiarvoina, yhteensä	–1 p.

3. Integraalilaskuja 12 p.

Määritä \displaystyle\int (-2x^2+6x-4)\, dx. (4 p.)
Määritä käyrien y = (x-1)(3-x) ja y = (x-1)^2 väliin jäävän rajoitetun alueen pinta-ala. (8 p.)

Tuloksena kolmannen asteen polynomi	1 p.
2/3/4 termiä oikein	3 p.
Alakohdan erillisohjeet
\int (-2x^2+6x-4)\, dx=-\frac{2}{3}x^3+3x^2-4x+C (missä C on vakio).
Jatkettu laskua oikeasta vastauksesta sijoituksella tms.	–1 p.
Vastauksessa sijoitus/integraalimerkki, puutteellisesta merkinnästä	–1 p.

(x-1)(3-x)-(x-1)^2= -2x^2+6x-4.	1 p.
ylläolevista riveistä riippumaton piste Muodostettu yhtälö (x-1)(3-x)=(x-1)^2 / saatu -2x^2+6x-4=0 TAI idea tulon nollasäännöstä / ratkaistu oma yhtälö oikein (x=1 tai x=2)	1+1+1 p.
Muodostettu määrätty integraali omalle funktioiden erotukselle ja omilla rivin 2 leikkauspisteillä.	1 p.
Johtopäätöksenä: Idea sijoituksesta integraalifunktioon (esim. \left[-\frac{2}{3}x^3+3x^2-4x\right]_1^2).	1 p.
Vastaus täsmälleen \frac13 (ml. \lvert-\frac13\rvert=\frac13).	1 p.
riippumaton piste Perustelu erotuksen suunnalle (esim. testipiste väliltä) tai perustelu itseisarvolle (esim. "pinta-ala ei voi olla negatiivinen").	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Kohdassa 3.2 ei pisteitä integraalifunktion määrittämisestä.
Rivin 4 pisteen voi saada, vaikka riveillä 1 ja 2 olisi virheitä, kunhan rivi 3 on kunnossa.
\int_1^2 ((x-1)(3-x)-(x-1)^2)\,dx= \int_1^2(-2x^2+6x-4)\, dx=\left[-\frac{2}{3}x^3+3x^2-4x\right]_1^2=\frac{1}{3}.
Integraalit voi laskea erikseen. Tällöin ensimmäisen ja kolmannen rivin pisteisiin vaaditaan myös idea erotuksesta. Oikeat laskut:
(x-1)(3-x)=-x^2+4x-3, \qquad (x-1)^2=x^2-2x+1,
\int_1^2 (x-1)(3-x)\,dx= \frac{2}{3}, \qquad \int_1^2 -(x-1)^2\,dx= -\frac{1}{3}.

4. Vähän ykköstä pienemmät luvut 12 p.

Kumpi murtoluvuista
A=\frac{333\,333\,331}{333\,333\,334} \quad\text{ja}\quad B=\frac{222\,222\,221}{222\,222\,223}
on suurempi? (3 p.)
Kumpi murtoluvuista
C=\frac{\overbrace{333\cdots 3}^{2022\ \text{kpl}}\!1}{\underbrace{333\cdots 3}_{2022\ \text{kpl}}\!4} \quad\text{ja}\quad D=\frac{\overbrace{222\cdots 2}^{2022\ \text{kpl}}\!1}{\underbrace{222\cdots 2}_{2022\ \text{kpl}}\!3}
on suurempi? Tässä aaltosulkumerkintä tarkoittaa sitä, että esimerkiksi luvun C nimittäjässä on 2022 kappaletta numeroa 3 ja sen jälkeen yksi numero 4. (9 p.)

A=0{,}999999991000000018 ja B=0{,}9999999910000000315 TAI B - A \approx 1{,}35\cdot 10^{-17}.	2 p.
Johtopäätöksenä: B on suurempi.	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Virheellinen päättely ja laskinratkaisu / virheellinen supistus ja laskin.	0 p.
Oikea laskinratkaisu ja sen lisäksi ylimääräisiä virheellisiä päättelyitä.	–1 p.

Yritetty hyödyntää osoittajan ja nimittäjän pientä erotusta, esim. \frac{22\ldots220+1}{22\ldots220+4}.	1 p.
Johtopäätöksenä: Kerrotaan ristiin / kumotaan yhteiset tekijät (2+3) TAI Kirjoitetaan muotoon 1-\frac ab / verrataan \frac ab-osia (3+2).	5 p.
Jäljelle jääneet kaksi lukua laskettu/sievennetty (esim. 66\ldots668 ja 66\ldots669).	2 p.
Luku D on siis suurempi.	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Huom: luvut voi kirjoittaa monella tavalla, mm. \frac {x-3}x, \frac x{x+3} ja \frac{x+1}{x+4}.
Epäselvä tai virheellinen sanallinen selitys / virheellinen supistus (tulos usein \frac13 ja \frac14) / kokeilu.	0 p.
Käytetty jotain säännöllisyyttä (esim. "loppuosan merkitys on luvussa C pienempi kuin luvussa D") ja oikea vastaus.	1 p.
''Kohta 4.2 menee samalla tavalla kuin kohta 4.1'' tms.	+0 p.
Logaritmin tai geometrisen summan käyttö.	+0 p.
Luvun x virheellinen arvo (esim. x=2^{2022} tai x\approx 5{,}485\cdot 10^{964}), mutta päättely yleinen eli ei hyödynnä virheellistä arvoa.	–1 p.

B1-osa

5. Avaruuden vektoreita 12 p.

Tarkastellaan vektoreita

\overline{a} =\overline{ i} + 2 \, \overline{j} + 3\, \overline{k} \quad \text{ja}\quad \overline{b} = 3\, \overline{i} + 2\, \overline{j} + \overline{k}.

Laske \overline{a}-\overline{b}. (3 p.)
Laske \overline{a} \cdot \overline{b}. (3 p.)
Sijaitseeko piste (4, 6, 8) vektorin \overline{a} suuntaisella origon kautta kulkevalla suoralla? (6 p.)

\overline{a}-\overline{b}=(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k})-(3\overline{i}+2\overline{j}+\overline{k})	(1 p.)
=\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k}-3\overline{i}-2\overline{j}-\overline{k}	(1 p.)
=-2\overline{i}+2\overline{k} TAI (-2, 0, 2)	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Laskuvirhe esim. sulkujen avaamisessa, vastaus -2\overline{i}+4\overline{j}+4\overline{k}	max 2 p.

Kertolaskut 1\cdot 3, 2\cdot 2 ja 3\cdot 1 TAI tulot 3, 4 ja 3.	(1 p.)
(\overline{a}\cdot \overline{b}=(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k})\cdot (3\overline{i}+2\overline{j}+\overline{k})=) 1\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 1 TAI 3+4+3.	1 p.
=10	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pelkkä oikea vastaus.	1 p.
Vastauksessa esiintyy kantavektoreita.	1+0+0 p.

Muodostettu jokin origon kautta kulkevan suoran parametriesitys,	(1 p.)
joka on vektorin \overline{a} suuntainen (esim. r(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k}) tai r(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k})/\sqrt{14}).	(1 p.)
Vektorimuotoinen kauttakulkuehto (4\overline{i}+6\overline{j}+8\overline{k}=r(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k}))	1 p.
Ainakin kaksi kauttakulkuehdosta saatavan yhtälöryhmän yhtälöä \left\{\begin{array}{l} 4 = r \\ 6 = 2 r \\ 8 = 3 r \end{array}\right.	1 p.
Todettu että yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua (solven "ei ratkaisua" kelpaa).	1 p.
Vastattu, että piste ei siis ole suoralla.	1 p.
TAI (GeoGebra tai muu ohjelmisto)
Näkyy jonkin origon kautta kulkevan suoran parametriesitys,	(1 p.)
joka on vektorin \overline{a} suuntainen (esim. r(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k}) tai r(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k})/\sqrt{14}).	(1 p.)
Kuva, jossa näkyy perustellusti oikea suora ja piste (4,6,8) / komennot näkyvissä	1+1 p.
ja sen perusteella vastattu, että piste ei ole suoralla.	1 p.
Analyyttinen kauttakulkuyhtälö näkyvissä ja solven tuloksena ei ratkaisua tai etäisyyskäsky.	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Alkupiste: Kuva, jossa näkyy 3-ulotteinen koordinaatisto, origon kautta kulkeva suora ja jokin piste, joka ei ole suoralla (ilman perusteluja ja komentoja).	1 p.
Kaksiulotteinen tarkastelu ilman perusteluja.	max 4 p.

6. Havainnot hypotenuusan pituudesta 12 p.

Okku on tutkinut GeoGebraa käyttämällä suorakulmaisten kolmioiden sivujen pituuksia ja havainnut, että

hypotenuusa on aina pidempi kuin kateetit (6 p.)
hypotenuusan pituus on aina pienempi kuin kateettien pituuksien summa. (6 p.)

Perustele molemmat havainnot algebrallisesti Pythagoraan lauseen avulla.

Pythagoraan lauseen mukaan c^2=a^2+b^2.	1 p.
Arvioidaan a^2+b^2> a^2.	2 p.
c^2>a^2 \Rightarrow c>a / koska c>0.	1+1 p.
Vastaavasti osoitetaan, että c>b	1 p.
TAI (vastaväitetodistus)
c \le a, joten c^2 \le a^2 / koska c>0.	1+1 p.
Pythagoraan lauseen mukaan a^2+b^2=c^2,	1 p.
joten a^2+b^2\le a^2. Siispä b^2\le 0,	1 p.
mikä on ristiriita, sillä b>0 ja siten c>a.	1 p.
Vastaavasti osoitetaan, että c>b.	1 p.

Pythagoraan lauseen mukaan c^2=a^2+b^2.
Arvioidaan a^2+b^2<a^2+b^2+2ab=(a+b)^2 TAI perustellaan a^2+b^2<(a+b)^2.	3 p.
c^2<(a+b)^2 \Rightarrow c<a+b / koska a+b>0.	2+1 p.
TAI (vastaväitetodistus)
c \ge a+b, joten c^2 \ge (a+b)^2, koska a+b > 0	2+1 p.
siis c^2 \ge a^2+b^2+2ab = c^2+2ab Pythagoraan lauseella	2 p.
siis 2ab \le 0, mikä on ristiriita, sillä kolmion sivuina a>0 ja b>0.	1 p.

Tehtävän erillisohjeet
Kokeilu/perustelu jollain luvuilla.	0 p.
Kosinilause ei riitä alkupisteeseen.	0 p.
Alkupiste: ''c^2=a^2+b^2.''	1 p.
Vaillinainen vastaväite c=a tai c=a+b.	max 3+3 p.
Väärä komplementti, esim. c>a vastaväitteenä c<a.	–1 p.
Tulkittu, että "pidempi" tarkoittaa "\ge".	–0 p.
Oletettu, että molemmat kateetit yhtä pitkiä.	max 3+3 p.
Käytetty kosinilausetta.	max 4+4 p.
Ei-algebralliset perustelut tai solve-käskyn käyttö.	+0 p.
Jos implikaatiot on kirjoitettu väärään suuntaan, mutta ratkaisu muuten oikein, kummastakin osatehtävästä erikseen –1 p.
Allekkaiset epäyhtälöt/yhtälöt tulkitaan ekvivalensseiksi, ellei muuta mainittu.

7. Pienet ja suuret kuutiot 12 p.

Keskenään samankokoisista 99 pienestä punaisesta kuutiosta kootaan kolme suurta kuutiota, joissa on 8, 27 ja 64 osaa. Näiden kolmen suuren kuution sivut maalataan sinisiksi. Maalaamisen jälkeen suuret kuutiot puretaan takaisin 99 kuutioksi.

Valitaan umpimähkään yksi pieni kuutio. Millä todennäköisyydellä valitun kuution kaikki sivut ovat punaisia? (6 p.)
Valitaan umpimähkään kolme pientä kuutiota. Millä todennäköisyydellä ainakin yhden valitun kuution kaikki sivut ovat punaisia? (6 p.)

Lasketaan ensin sisäkuutioiden lukumäärä.
Kahdeksasta pikkukuutiosta koostuvassa kuutiossa ei ole sisäkuutioita.	1 p.
27 pikkukuutiosta koostuvassa kuutiossa on yksi sisäkuutio ja 64 pikkukuutiosta muodostuvassa on 8 \ (=2^3) sisäkuutiota.	1 p.
Sisäkuutioiden lukumäärä saadaan tästä summana, siis yhteensä 9.	2 p.
Kysytty todennäköisyys on siis \frac{9}{99}\ (=\frac{1}{11}\approx 0\mathrm{,}09).	2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Sisäkuutioiden lukumäärä 9 ilmestyy perustelematta (0+0+2+2).	max 4 p.
Pelkkä lasku \frac{9}{99} =\frac{1}{11}\approx 0\mathrm{,}09.	3 p.
Väärä malli (Esim. ''Laskettu sivujen, ei kuutioiden lukumääriä'')	0 p.

Komplementtitapahtuma: Minkään pikkukuution kaikki sivut eivät ole punaisia.	1 p.
Alun perin 90 kuution kaikki sivut eivät ole punaisia.	1 p.
Todennäköisyys, että toisen kuution kaikki sivut eivät ole punaisia, on \frac{89}{98}.	1 p.
Todennäköisyys, että kolmannen kuution kaikki sivut eivät ole punaisia, on \frac{88}{97}.	1 p.
Kysytty todennäköisyys on siis 1-\frac{90}{99}\cdot \frac{89}{98}\cdot \frac{88}{97}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25.	2 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Tulontekijöitä \frac{90}{99}, \frac{89}{98}, \frac{88}{97} ei selitetty: vähennys yhteensä riveiltä 2–4	–1 p.
Pelkkä lasku 1-\frac{90}{99}\cdot \frac{89}{98}\cdot \frac{88}{97}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25 (0+0+1+1+2).	max 4 p.
1-\left(\frac{90}{99}\right)^3=\frac{331}{1331} (1+1+0+0+1).	max 3 p.
TAI
Mahdollisia tapauksia on kolme: 1 punainen kuutio, 2 punaista kuutiota tai 3 punaista kuutiota	1 p.
Todennäköisyys, että nostetuista kuutioista tasan 1 on kokonaan punainen on 3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{90}{98}\cdot \frac{89}{97}\left(=\frac{12015}{52283}\approx 0\mathrm{,}2298\right)	1 p.
Todennäköisyys, että nostetuista kuutioista tasan 2 on kokonaan punaisia on 3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{90}{97}\ \left(=\frac{1080}{52283}\approx 0\mathrm{,}0207\right)	1 p.
Todennäköisyys, että nostetuista kuutioista kaikki ovat kokonaan punaisia on \frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{7}{97}\ \left(=\frac{4}{7469}\approx 0\mathrm{,}0005\right).	1 p.
Kysytty todennäköisyys on siis 3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{90}{98}\cdot \frac{89}{97}+3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{90}{97}+\frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{7}{97}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25.	2 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Tulontekijöitä ei selitetty: vähennys yhteensä riveiltä 2–4	–1 p.
Kertoimet 3 puuttuvat (1+0+0+1+1).	max 3 p.
Pelkkä lasku 3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{90}{98}\cdot \frac{89}{97}+3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{90}{97}+\frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{7}{97}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25 (0+0+1+1+2)	max 4 p.
Huom. Tällä skeemalla myös tapaus, joka lähtee liikkeelle tilanteesta ''ensimmäinen on punainen, ensimmäinen ei ole ja toinen on, kaksi ensimmäistä ei ole ja kolmas on.''. Tällöin laskulauseke on \frac{9}{99} + \left(1 - \frac{9}{99}\right)\cdot \frac{9}{98} + \left(1 - \frac{9}{99}\right)\cdot\left(1 - \frac{9}{98}\right)\cdot \frac{9}{97}	max 6 p.
TAI
Komplementtitapahtuma: Minkään pikkukuution kaikki sivut eivät ole punaisia.	1 p.
Alun perin 90 kuution kaikki sivut eivät ole punaisia.	1 p.
Näistä 90 kuutiosta voidaan valita kolme \binom{90}{3} eri tavalla.	1 p.
Kaikista 99 pikkukuutiosta voidaan valita kolme \binom{99}{3} eri tavalla.	1 p.
Kysytty todennäköisyys on siis 1-\frac{\binom{90}{3}}{\binom{99}{3}}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25.	2 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Binomikertoimia ei selitetty: vähennys yhteensä riveiltä 3–4	–1 p.
Pelkkä lasku 1-\frac{\binom{90}{3}}{\binom{99}{3}}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25 (0+1+0+1+2)	max 4 p.
Alakohdan erillisohjeet
Käytetty osatehtävästä 1 saatua väärää sisäkuutioiden lukumäärää	max 6 p.

Tehtävän erillisohjeet
Kaikki tarkkuudet käyvät, joko tarkka arvo, sieventämätön murtoluku tai likiarvo riittää.	–0 p.

8. Kokonaislukuratkaisuja 12 p.

Määritä yhtälön x^6+2x^3y^3+y^6=4225 kaikki kokonaislukuratkaisut, kun x>0 ja y>0.

Kirjoitetaan yhtälö x^6+2x^3y^3+y^6=4225 muotoon (x^3+y^3)^2=4225.	2 p.
Tällöin x^3+y^3=\pm 65 / missä negatiivinen ratkaisu hylätään, koska x,y>0.	1+1 p.
Koska y on positiivinen, on oltava 65-x^3>0 TAI x\leq \sqrt[3]{65}.	2 p.
Siispä x=1,2,3,4.	2 p.
Tarkistetaan kaikki nämä tapaukset.
riippumaton piste Jos y=4, niin x^3=65-4^3=1^3, eli x=1 ja y=4 on ratkaisu.	1 p.
riippumaton piste Jos y=1, niin x^3=65-1^1=64=4^3, eli x=4 ja y=1 on ratkaisu.	1 p.
Jos y=3, niin x^3=65-3^3=38. Ei kokonaislukuratkaisua.	1 p.
Jos y=2, niin x^3=65-2^3=57. Ei kokonaislukuratkaisua.	1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Rajat muuttujille kuvasta, josta jatkuu algebrallinen tarkastelu (0+0+0+2+1+1+1+1).	max 6 p.
Raja voi olla myös yli 4, kunhan tarkistetaan kaikki tapaukset.
Toiselta riviltä 1 p. jos päädytään suoraan kaavaan x^3+y^3=65 ilman \pm-merkkiä ja positiivisuuden mainintaa.
Viimeisten kahden rivin pisteet on mahdollista ansaita, vaikka rajoitus 1\le x\le 4 olisi huonosti perusteltu.
TAI
Solve(x^6+2x^3y^3+y^6=4225) antaa y=-(x^3\pm65)^{\frac{1}{3}}	2 p.
joka sievenee muotoon y=(\mp65-x^3)^{\frac{1}{3}}	(1 p.)
Hylätään negatiivisen ratkaisun antava etumerkki, koska x,y>0.	1 p.
Koska y on positiivinen, on oltava 65-x^3>0 TAI x\leq \sqrt[3]{65}.	2 p.
Siispä x=1,2,3,4.	2 p.
Tarkistetaan kaikki nämä tapaukset.
riippumaton piste Jos y=4, niin x^3=65-4^3=1^3, eli x=1 ja y=4 on ratkaisu.	1 p.
riippumaton piste Jos y=1, niin x^3=65-1^1=64=4^3, eli x=4 ja y=1 on ratkaisu.	1 p.
Jos y=3, niin x^3=65-3^3=38. Ei kokonaislukuratkaisua.	1 p.
Jos y=2, niin x^3=65-2^3=57. Ei kokonaislukuratkaisua.	1 p.

9. Neljännen asteen polynomiperhe 12 p.

Tarkastellaan polynomia f(x) = x^4 + a x^2 + bx + c, kun a > 0 ja x\in \mathbf R.

Osoita, että derivaatta f' on aidosti kasvava funktio. (4 p.)
Osoita, että yhtälöllä f(x) = 0 on korkeintaan kaksi erisuurta reaalijuurta. (8 p.)

Ideasarake

Toteutussarake

Pisteet

Yritetty laskea f'', tulos toisen asteen polynomi, jossa parametri a.	Lasketaan f'(x)=4x^3+2ax+b, jolloin f''(x)=12x^2+2a.	1+1 p.
Tehdään päätelmä f':n kasvavuudesta f'':n avulla.	Koska x^2\geq 0 (tai x^2>0) ja a>0, on funktion f' derivaatta f'' positiivinen, joten funktio f' on aidosti kasvava.	1+1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Alkupiste: f'(x)=4x^3+2ax+b			1 p.

Päätellään f':n nollakohtien lukumäärää.	Koska f' on aidosti kasvava, sillä on korkeintaan yksi nollakohta.	1+1 p.
-	Tapaus 1: f':lla ei ole nollakohtia. Tällöin f on aidosti monotoninen ja f:llä on korkeintaan 1 nollakohta TAI tapaus 1 ei ole mahdollinen, sillä f':lla on vähintään 1 nollakohta, koska \lim_{x\to -\infty}f'(x)=-\infty ja \lim_{x\to\infty}f'(x)=\infty.	0+1 p.
Tarkastellaan f:n kulkua tapauksessa 2 esimerkiksi kulkukaaviolla.	Tapaus 2: f':lla on 1 nollakohta x_0. Kun x<x_0, on funktio f' negatiivinen, eli f on vähenevä, ja kun x>x_0, on funktio f' positiivinen, joten f on kasvava.	1+2 p.
-	Funktiolla f on siis korkeintaan yksi reaalijuuri joukossa (-\infty, x_0] ja korkeintaan yksi reaalijuuri joukossa [x_0, \infty) eli yhteensä korkeintaan kaksi reaalijuurta.	0+2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pelkkä lyhyt toteamus ''Koska funktion derivaatalla on vain yksi nollakohta, voi funktiolla olla enintään kaksi nollakohtaa'' oikeuttaa toiseen ideapisteeseen, ei toteutuspisteeseen.

Tehtävän erillisohjeet

Ratkaisu perustuu laskimen tai GeoGebran käyttöön.	''Solve f'=0'' vastaa ensimmäisen rivin ideapistettä. Tällöin saadaan juurelle lauseke, jossa mukana vakiot a ja b. Sen perusteleminen, että lauseke antaa aina reaalijuuren, vastaa ensimmäisen ja toisen rivin toteutuspisteitä (ilman näitä max 10 p.).	max 12 p.

B2-osa

10. Lukupeli 12 p.

Aaro ja Siiri pelaavat itse keksimäänsä lukupeliä. He kirjoittavat vuorotellen paperille jonkin luvun 1, 2, \ldots, 10. Sellaista lukua ei saa kirjoittaa, joka on paperille jo kirjoitetun luvun tekijä. Pelin häviää se, joka ei voi kirjoittaa uutta lukua paperille.

Aaro aloittaa pelin kirjoittamalla paperille luvun 8. Mitkä ovat ne luvut, jotka Siiri voi tämän jälkeen seuraavalla vuorollaan kirjoittaa? (3 p.)
Anna esimerkki siitä, miten Aaron luvulla 8 aloittama peli voisi edetä loppuun. Tässä riittää, kun annat kirjoitettavat luvut järjestyksessä ilman perusteluja. (3 p.)
Kun Siiri saa aloittaa pelin, hänellä on seuraava strategia:
- Aloita kirjoittamalla paperille luku 6.
- Muodosta parit (4, 5), (7, 9) ja (8, 10). Kun vastapelaaja kirjoittaa oman lukunsa, niin kirjoita tämän luvun pari. Jatka näin pelin loppuun asti.
Pelikierros voi siis edetä esimerkiksi näin: Siiri kirjoittaa luvun 6. Aaro kirjoittaa paperille luvun 7, jolloin Siiri kirjoittaa luvun 9. Aaro kirjoittaa paperille luvun 10, jolloin Siiri kirjoittaa paperille luvun 8 ja voittaa pelin.

Siiri pelaa strategiansa mukaisesti ja aloittaa pelin kirjoittamalla paperille luvun 6. Aaro kirjoittaa paperille luvun a, sitten Siiri kirjoittaa paperille luvun b, jonka jälkeen Aaro kirjoittaa luvun c. Nyt Siiri kirjoittaa paperille luvun 9, mutta ei vielä voita peliä. Mitkä ovat eri vaihtoehdot luvuiksi a, b ja c? (6 p.)

Listassa on 2 oikeaa lukua	1 p.
4 oikeaa lukua	1 p.
6 oikeaa lukua	1 p.
Jos listalta löytyy vääriä lukuja, niin	–1 p./luku
Alakohdan erillisohjeet
Oikea vastaus on 3,5,6,7,9,10

3 ensimmäistä (mukaan lukien ensimmäinen luku 8) oikein	1 p.
4 ensimmäistä oikein	1 p.
Kaikki oikein (sisältää vaatimuksen, että peli on pelattu loppuun)	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Mahdolliset oikeat vaihtoehdot:
(8),6,7,9,10 tai mikä tahansa permutaatio luvuista 6,7,9,10.
(8),3,6,7,9,10 tai mikä tahansa permutaatio, kunhan 3 on ennen lukuja 6 ja 9.
(8),5,6,7,9,10 tai mikä tahansa permutaatio, kunhan 5 on ennen lukua 10.
(8),3,5,6,7,9,10 tai mikä tahansa permutaatio, kunhan 3 on ennen lukuja 6 ja 9 sekä 5 on ennen lukua 10.

riippumaton piste c=7	1 p.
riippumaton piste todettu, että 1, 2, 3, (6), (9) eivät ole mahdollisia TAI todettu ekplisiittisesti, että mahdollisia pelattavia lukuja ovat 4, 5, 7, 8, 10.	1 p.
riippumaton piste a ja b voivat olla 4, 5 (toteamus + perustelut).	1+1 p.
Esimerkki perusteluista: Jos luku a on ollut 4 tai 5, on luku b ollut toinen näistä. Tällöin luvut 7 ja 9 olisivat vielä olleet pelattavissa ja niiden jälkeen luvut 8 ja 10, joten Siiri ei olisi voittanut vielä kirjoitettuaan luvun 9.
riippumaton piste a ja b eivät voi olla 8, 10 (toteamus + perustelut).	1+1 p.
Esimerkki perusteluista: Jos luku a olisi ollut luku 8 tai luku 10, olisi b ollut toinen näistä, ja tämän jälkeen olisivat ainoat käytettävissä olevat luvut olleet 7 ja 9, jolloin Siiri olisi voittanut kirjoitettuaan luvun 9. Tämä ei ole mahdollista.

11. Numeerinen integrointi 12 p.

Positiivisen funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa voidaan arvioida puolisuunnikassäännön avulla laskemalla yhteen puolisuunnikkaiden pinta-aloja. Jakoväliä [x_k, x_{k+1}] vastaa puolisuunnikas, jonka kärkipisteet ovat (x_k, 0), (x_k, f(x_k)), (x_{k+1}, f(x_{k+1})) ja (x_{k+1}, 0). Huomaa, että jakovälien ei tarvitse olla yhtä pitkiä.

Tarkastellaan funktion f(x)=\sin(3x^2)+2 kuvaajan ja x-akselin väliin jäävää pinta-alaa A välillä 1\leq x\leq 3. Arvioidaan pinta-alaa puolisuunnikassäännön avulla käyttäen jakopisteitä 1, \frac32, 2 ja 3.

Piirrä funktion f kuvaaja ja edellä annetun jaon tuottamat puolisuunnikkaat. (3 p.)
Pinta-alan kuusidesimaalinen likiarvo on A\approx 3{,}862\,059. Arvioidaan pinta-alaa puolisuunnikassäännön avulla käyttäen edellä annettua jakoa. Laske puolisuunnikkaiden pinta-alat, koko puolisuunnikasmenetelmän antama pinta-ala A' sekä absoluuttinen virhe |A'-A|. (7 p.)
Millä tavalla edellisessä osatehtävässä käytetyn menetelmän tarkkuutta voidaan parantaa? (2 p.)

Ideasarake

Toteutussarake

Pisteet

Piirretty kuva, jossa on jokin funktion kuvaaja ja siihen on sovitettu puolisuunnikkaita.	Kuvassa on käyrä y=\sin(3x^2)+2 / kuvassa on oikeat kolme puolisuunnikasta.	1+2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Kuvassa riittää silmämääräisesti oikean funktion kuvaaja ja puolisuunnikkaat.
Käyrän ja puolisuunnikkaat voi esittää myös eri kuvissa.
Jos piirtää funktion x\mapsto \sin(3x^2)+2 ja argumentti on asteissa, on lopputulos lähellä janaa (1; 1{,}05)–(3; 1{,}4).

Laskettu oman funktion oikeiden puolisuunnikkaiden pinta-aloja.	Kolmen puolisuunnikkaan pinta-alat ovat täsmälleen 1\mathrm{,}147\,791\,0; täsmälleen 0\mathrm{,}978\,367\,8 ja täsmälleen 2\mathrm{,}209\,901\,5 (riittää yksi desimaali enemmän kuin vastauksessa). Vähintään yksi oikein 1 p., kaikki kolme oikein 1 p., perusteltu kaavalla tai käskyllä 1 p.	1+3 p.
Laskettu pinta-ala kolmen oikean puolisuunnikkaan pinta-alan summana.	A'\approx 4\mathrm{,}336\,060\,3.	1+1 p.
-	\|A'-A\|\approx 0\mathrm{,}474\,001 (tarkkuus 1–6 desimaalia).	0+1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Käytetty tasavälisen puolisuunnikassäännön kaavaa.			0 p.
Silmämääräisesti oikeat puolisuunnikkaat eivät anna pisteitä ensimmäisellä rivillä. Jos pinta-alojen numeerinen arvo on oikein, oletetaan, ettei kyse ole silmämääräisistä puolisuunnikkaista.

-	Menetelmän tarkkuus paranee tihentämällä jakoa.	0+2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Käytetään tasavälistä jakoa tai Simpsonin sääntöä.			+0 p.

Tehtävän erillisohjeet
Oikealla puolisuunnikkaalla tarkoitetaan, että jakopisteet ovat oikein ja ne vastaavat omaa funktiota.
Väärä funktio, tehty sille oikeat asiat (2 / 2+2+1 / 2).			max 9 p.

12. Trigonometrinen summa 12 p.

Olkoon 0\leq a\leq \frac{\pi}{2}. Osoita, että
\sin a+\sin \left(\frac{\pi}{2}-a\right) \leq 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right).
(4 p.)
Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Osoita, että
\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right) = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\left(\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)\right).
(4 p.)
Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Osoita, että
\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\leq \frac{n+1}{\sqrt{2}}.
(4 p.)

\sin(\frac\pi2-a)+\sin a= 2\sin\left(\frac{1}{2}\left(\frac\pi2-a+a\right)\right)\cos\left(\frac{1}{2}\left(\frac\pi2-a-a\right)\right)	1 p.
=2\sin(\frac{\pi}{4})\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)	2 p.
\le 2\sin \frac\pi4 koska kosinin arvojoukko on [-1,1] tai muu perustelu.	1 p.
TAI
\sin(\frac\pi2-a)+\sin a=\cos a+\sin a = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right) TAI = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)	2 p.
\le \sqrt{2}=2\sin \frac\pi4.	1 p.
Perustelu sinin tai kosinin arvojoukolla ([-1,1]) tms.	1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
\sin(\frac\pi2-a)+\sin a=\cos a+\sin a ei vielä anna pistettä.
TAI
riippumaton piste Koska 0 \leq a \leq \frac{\pi}{2}, voidaan epäyhtälö \cos a +\sin a \leq 2 \sin \frac{\pi}{4} korottaa neliöön.	1 p.
Tällöin saadaan \cos^2a+\sin^2a + 2 \sin a \cos a \leq 2,	1 p.
joka on yhtäpitävä epäyhtälön \sin(2 a) \leq 1 kanssa.	1 p.
Perustelu sille, että tämä pätee: sinin arvojoukko ([-1,1]) tms.	1 p.
TAI
Muodostetaan funktio f(x)=\sin(\frac\pi2-x)+\sin x TAI =\cos x+\sin x ja derivoidaan: f'(x)=-\cos (\frac\pi2-x)+\cos x TAI f'(x)=-\sin x+\cos x	1 p.
Derivaatan nollakohta välillä [0, \frac{\pi}{2}] on x=\frac{\pi}{4}.	1 p.
Merkkikaavio TAI laskettu arvot f(0), f(\frac{\pi}{4}) ja f(\frac{\pi}{2}).	1 p.
Suurin arvo on siis korkeintaan 2\sin \frac\pi4.	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Kokeiltu joitakin parametrin a arvoja ilman ideaa derivaatasta.	+0 p.
Alkupiste: hyvä kuva tai fMax-komento ja tarkka maksimin arvo.	1 p.

Kun k käy läpi luvut 0, 1, 2, \dots, n, käy n-k läpi luvut n, n-1, \dots , 1, 0, joten summat ovat samat, eli \sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)=\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right).	2 p.
Siispä \frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)+\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\right)=\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right).	2 p.

Osatehtävän 12.2 mukaan summa on \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\left(\sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\right).	1 p.
Koska \sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{2n}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\leq 2\sin\frac{\pi}{4},	2 p.
voidaan arvioida summaa: \sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\leq \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n2\sin\frac{\pi}{4}=\frac{n+1}{\sqrt{2}}.	1 p.

Tehtävän erillisohjeet
Syötetty yhtälö tai epäyhtälö laskimeen joillakin n:n arvoilla ja saatu "True".	+0 p.
Syötetty yhtälö tai epäyhtälö laskimeen yleisellä n ja saatu "True".	+0 p.

13. Derivaatan määritelmä 12 p.

Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona. Esitä derivaatan määritelmän geometrinen tulkinta funktion f(x)=\ln x avulla pisteessä x=2. (4 p.)
Osoita derivaatan määritelmän avulla, että funktion f(x)=\ln x derivaatta on f'(x)=\frac{1}{x}, kun x > 0. Voit käyttää tietoa
\lim_{t\to 0} {(1+t)^{1/t}} = e.
(8 p.)

Kuva, jossa on silmämääräisesti kuvaaja y=\ln x ja ainakin toinen seuraavista: tangentti pisteessä (2, \ln 2) tai pisteen (2, \ln 2) kautta kulkeva sekantti (tai vastaava suorakulmainen \Delta y/\Delta x -kuvio).	1 p.
\Delta y/\Delta x -kuviossa (sekantin) kulmakerroin vastaa erotusosamäärää,	1 p.
josta otetaan raja-arvo.	1 p.
riippumaton piste Tuloksena derivaatta, joka vastaa tangentin kulmakerrointa (tai kuvaajan jyrkkyyttä).	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Kuvan sijaan kelpaa myös vastaava kuvaus.

Funktion derivaatta pisteessä x on {\displaystyle\lim_{u\to x}} \frac{\ln(u)-\ln(x)}{u-x} tai {\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}}\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}.	1 p.
Käytetty jotakin logaritmin laskusääntöä oikein.	(1 p.)
{\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}}\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h} {\displaystyle=\lim_{h\rightarrow 0}}\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)^{1/h} (logaritmin laskusäännöillä)	1 p.
{\displaystyle=\lim_{h\rightarrow 0}}\ln \left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{x/h}\right)^{1/x}	2 p.
=\ln \left({\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}} \left(1+t\right)^{1/t}\right)^{1/x}	(1 p.)
=\ln e^{1/x}=\frac{1}{x}.	2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Raja-arvon laskeminen laskimella.	+0 p.

Tehtävän erillisohjeet
Alkupiste: Kirjoitettu logaritmin derivaatan määritelmä erotusosamäärän raja-arvon avulla pisteessä x=2; mikäli ei mitään muita ansioita, koko tehtävästä	max 1 p.