Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, lång lärokurs

20.9.2022

Slutgiltiga beskrivningar av goda svar 10.11.2022

Grunderna enligt vilka bedömningen gjorts framkommer i de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar. Uppgiften om hur bedömningsgrunderna tillämpats på examinandens provprestation utgörs av de poäng som examinanden fått för sin provprestation, de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar och de föreskrifter gällande bedömningen som nämnden gett i sina föreskrifter och anvisningar. De slutgiltiga beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svarsalternativ eller alla godkända detaljer i ett godkänt svar. Eventuella bedömningsmarkeringar i provprestationerna anses vara jämställbara med anteckningar och sålunda ger de, eller avsaknaden av markeringar, inte direkta uppgifter om hur bedömningsgrunderna tillämpats på provprestationen.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal i den högra kolumnen för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Examinanden får poäng i parentes genom att uppfylla den radens villkor eller villkoret på följande rad, om följande rad är i skick, och det inte framgår explicit att föregående rad har gjorts fel.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med texten exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Beteckningen poäng oberoende av de ovanstående raderna betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter denna rad på normalt sätt.
    • Texten oberoende poäng betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad.
    • Texten som slutsats: poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
  • Terminologi
    • ''Svar räcker'' betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • ''Startpoäng'' betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • ''maxN'' betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • ''Svaret endast som närmevärde'' betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (t.ex. noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (t.ex. x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (t.ex. parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt ''i kedja'', m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.
Instruktioner för anvisningar med tre kolumner:
  • Examinanden får poäng från idékolumnen om hen har börjat utföra den nämnda operationen, även om genomförandet skulle vara bristfälligt.
  • En beräkning eller en formel i genomförandekolumnen visar hur idén ser ut då den är korrekt utförd.
  • Stoppvillkor: från varje rad ska man få minst hälften av radens poäng, nedåt avrundade, för att man ska kunna fortsätta.
  • Om stoppvillkoret inte uppfylls, dvs. om det ännu finns poäng som kan delas ut på följande rader, så kan examinanden ännu få alla poäng från de följande raderna, där det inte explicit finns något hinder för att hen inte ska kunna få poängen.

Del A

1. Flervalsuppgift 12 p.

Välj korrekt alternativ. Svaren behöver inte motiveras. Korrekt svar 2 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

1.1 Förenkling  2 p.

  • 3x^2 - x + 41  (1 p.)
  • 3x^2 + 13x + 31  (1 p.)
  • 3x^2 + 11x + 41  (2 p.)

1.2 Produktform  2 p.

  • 4x(-x + 1)(x - 3) = 0  (1 p.)
  • -4x(x + 1)(x - 3) = 0  (2 p.)

1.3 Exakt värde  2 p.

  • 6+ \frac{7 \sqrt {3}}{3}  (2 p.)

1.4 Ekvationslösning  2 p.

  • x=7  (1 p.)
  • x=7 och det inverterade talet till detta tal  (1 p.)
  • x=7 och det motsatta talet till detta tal  (2 p.)

1.5 En funktions värde  2 p.

  • -10  (1 p.)
  • -2  (2 p.)

1.6 Derivatans värde  2 p.

  • 23  (2 p.)

2. Analytisk geometri 12 p.

  1. Bestäm mittpunkten på sträckan AB, då A=(5, 5) och B=(-2, \frac32). (4 p.)

  2. Lös ekvationen |3x+4| = 5. (4 p.)

  3. Bestäm medelpunkten och radien i cirkeln x^2+y^2+2x - 8 = 0. (4 p.)

uträkningsmetoden för x-koordinaten korrekt / x=\frac{3}{2} 1+1 p.
uträkningsmetoden för y-koordinaten korrekt / y=\frac{13}{4} 1+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Även x=\frac{6}{4} duger.
Eftersom |3x+4|=5, så är 3x+4=-5 eller 3x+4=5. 2 p.
Om 3x+4=-5, så är x=-3. 1 p.
oberoende poäng Om 3x+4=5, så är x=\frac{1}{3}. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
''Eftersom |3x+4|=5, så är 3x+4=5'' ger inte poäng på den första raden.
Examinanden har gjort ett fel på den första raden och fått 3x+4=5 och 3x-4=5 och löst dessa ekvationer. (1+0+1) max 2 p.
Överflödiga definitionsvillkor eller motsvarande. –1 p.
Ur mellansteget |3x|=5-4 har man fått x=\pm\frac{1}{3}. 1 p.
Examinanden har gjort en kvadratkomplettering och tagit fram ekvationen för en cirkel. 1 p.
Hen har fått den korrekta ekvationen för cirkeln (exempelvis i formen (x+1)^2+y^2=9). 1 p.
Den egna medelpunkten är korrekt + den egna radien är korrekt (exempelvis (-1, 0) och radien 3). 1+1 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Om svaren i deluppgifterna 1 eller 2 har angetts som närmevärden, totalt –1 p.

3. Integralberäkningar 12 p.

  1. Bestäm \displaystyle\int (-2x^2+6x-4)\, dx. (4 p.)

  2. Bestäm arean av det begränsade område som ligger mellan kurvorna y = (x-1)(3-x) och y = (x-1)^2. (8 p.)

Ett tredjegradspolynom som resultat. 1 p.
2/3/4 termer korrekta 3 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
\int (-2x^2+6x-4)\, dx=-\frac{2}{3}x^3+3x^2-4x+C (där C är en konstant).
Examinanden har fortsatt uträkningarna från det korrekta svaret med en insättning eller motsvarande. –1 p.
En insättning eller en integralbeteckning i svaret, för brister i beteckningar. –1 p.
(x-1)(3-x)-(x-1)^2= -2x^2+6x-4. 1 p.
poäng oberoende av de ovanstående raderna Ekvationen (x-1)(3-x)=(x-1)^2 har bildats / examinanden har fått -2x^2+6x-4=0 ELLER en idé om nollregeln för en produkt / examinanden har löst sin egen ekvation korrekt (x=1 eller x=2) 1+1+1 p.
Examinanden har bildat en integral för differensen mellan de egna funktionerna och med egna skärningspunkter på rad 2. 1 p.
som slutsats: Idé om substitution i integralfunktionen (ex. \left[-\frac{2}{3}x^3+3x^2-4x\right]_1^2). 1 p.
Svar exakt \frac13 (även \lvert-\frac13\rvert=\frac13). 1 p.
oberoende poäng Motivering för differensens riktning (ex. testpunkt i intervallet) eller motivering för absolutbelopp (ex. "arean kan inte vara negativ"). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
I deluppgift 3.2 ges inga poäng för bestämningen av integralfunktionen.
Man kan få poängen på rad 4, trots att det finns fel på raderna 1 och 2, förutsatt att rad 3 är i skick.
\int_1^2 ((x-1)(3-x)-(x-1)^2)\,dx= \int_1^2(-2x^2+6x-4)\, dx=\left[-\frac{2}{3}x^3+3x^2-4x\right]_1^2=\frac{1}{3}.
Integralerna kan beräknas separat. Då krävs också idén om differensen för att få poängen på den första och den tredje raden. De korrekta uträkningarna:
(x-1)(3-x)=-x^2+4x-3, \qquad (x-1)^2=x^2-2x+1,
\int_1^2 (x-1)(3-x)\,dx= \frac{2}{3}, \qquad \int_1^2 -(x-1)^2\,dx= -\frac{1}{3}.

4. Tal som är lite mindre än ett 12 p.

  1. Vilket av bråktalen

    A=\frac{333\,333\,331}{333\,333\,334} \quad\text{och}\quad B=\frac{222\,222\,221}{222\,222\,223}

    är större? (3 p.)

  2. Vilket av bråktalen

    C=\frac{\overbrace{333\cdots 3}^{2022\ \text{st.}}\!1}{\underbrace{333\cdots 3}_{2022\ \text{st.}}\!4} \quad\text{och}\quad D=\frac{\overbrace{222\cdots 2}^{2022\ \text{st.}}\!1}{\underbrace{222\cdots 2}_{2022\ \text{st.}}\!3}

    är större? Här betyder vågparentesen att exempelvis talet C:s nämnare består av 2022 stycken treor och efter det en fyra. (9 p.)

A=0{,}999999991000000018 och B=0{,}9999999910000000315
ELLER B - A \approx 1{,}35\cdot 10^{-17}. 		2 p.
som slutsats: B är större. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Felaktig slutledning och räknarlösning / felaktig förenkling och räknare. 0 p.
Korrekt räknarlösning och dessutom överflödiga felaktiga slutledningar. –1 p.
Examinanden har försökt utnyttja den lilla skillnaden mellan täljaren och nämnaren, ex. \frac{22\ldots220+1}{22\ldots220+4}. 1 p.
som slutsats: Korsvis multiplikation / upphävning av gemensamma faktorer (2+3) ELLER
Skrivning i formen 1-\frac ab / jämförelse av \frac ab-delar (3+2). 		5 p.
De två tal som återstår har beräknats/förenklats (ex. 66\ldots668 och 66\ldots669). 2 p.
Talet D är alltså större. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
OBS: talen kan skrivas på flera sätt, bland annat \frac {x-3}x, \frac x{x+3} och \frac{x+1}{x+4}.
Oklar eller felaktig förklaring i ord / felaktig förkortning (resultatet ofta \frac13 och \frac14) / prövning. 0 p.
Användning av någon regelbundenhet (ex. "slutdelens betydelse i talet C är mindre än i talet D") och korrekt svar. 1 p.
''Deluppgift 4.2 går på samma sätt som deluppgift 4.1'' eller motsvarande +0 p.
Användning av logaritm eller geometrisk summa. +0 p.
Felaktigt värde på talet x ex. x=2^{2022} eller x\approx 5{,}485\cdot 10^{964}), men slutledningen är allmän, dvs. det felaktiga värdet används inte. –1 p.

Del B1

5. Vektorer i rymden 12 p.

Vi granskar vektorerna

\overline{a} =\overline{ i} + 2 \, \overline{j} + 3\, \overline{k} \quad \text{och}\quad \overline{b} = 3\, \overline{i} + 2\, \overline{j} + \overline{k}.

  1. Beräkna \overline{a}-\overline{b}. (3 p.)

  2. Beräkna \overline{a} \cdot \overline{b}. (3 p.)

  3. Ligger punkten (4, 6, 8) på den linje som går genom origo och som har samma riktning som vektorn \overline{a}? (6 p.)

\overline{a}-\overline{b}=(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k})-(3\overline{i}+2\overline{j}+\overline{k}) (1 p.)
=\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k}-3\overline{i}-2\overline{j}-\overline{k} (1 p.)
=-2\overline{i}+2\overline{k} ELLER (-2, 0, 2) 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Räknefel i till exempel avlägsningen av parenteserna, svar -2\overline{i}+4\overline{j}+4\overline{k} max 2 p.
Multiplikationerna 1\cdot 3, 2\cdot 2 och 3\cdot 1 ELLER produkterna 3, 4 och 3. (1 p.)
(\overline{a}\cdot \overline{b}=(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k})\cdot (3\overline{i}+2\overline{j}+\overline{k})=) 1\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 1 ELLER 3+4+3. 1 p.
=10 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast korrekt svar. 1 p.
Basvektorer förekommer i svaret. 1+0+0 p.
Någon parameterframställning för en linje som går genom origo har bildats, (1 p.)
och denna har samma riktning som vektorn \overline{a} (ex. r(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k}) eller r(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k})/\sqrt{14}). (1 p.)
Villkor för att punkten ligger på linjen i vektorform (4\overline{i}+6\overline{j}+8\overline{k}=r(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k})) 1 p.
Åtminstone två av ekvationerna i det ekvationssystem som fås av ovanstående villkor \left\{\begin{array}{l} 4 = r \\ 6 = 2 r \\ 8 = 3 r \end{array}\right. 1 p.
Examinanden har konstaterat att ekvationssystemet saknar lösning ("ingen lösning" med solve duger inte). 1 p.
Slutsatsen att punkten därmed inte ligger på linjen. 1 p.
ELLER (GeoGebra eller annan programvara)
En parameterframställning för någon linje som går genom origo syns, (1 p.)
och denna har samma riktning som vektorn \overline{a} (ex. r(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k}) eller r(\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k})/\sqrt{14}). (1 p.)
Figur i vilken den korrekta linjen och punkten (4,6,8) ingår samt en motivering för att dessa är de korrekta / kommandona synliga, 1+1 p.
och utgående från detta har examinaden svarat att punkten inte ligger på linjen. 1 p.
Ett analytiskt villkor i ekvationsform för att punkten ligger på linjen är synligt och via solve resultatet ingen lösning eller avståndskommando. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Startpoäng: En figur där ett tredimensionellt koordinatsystem, en linje som går genom origo och någon punkt som inte ligger på linjen syns (utan motiveringar och kommandon). 1 p.
En tvådimensionell granskning utan motiveringar. max 4 p.

6. Observationer om hypotenusans längd 12 p.

Oskar har undersökt sidornas längder i rätvinkliga trianglar genom att använda GeoGebra och observerat att

  1. hypotenusan alltid är längre än kateterna (6 p.)

  2. hypotenusans längd alltid är mindre än summan av kateternas längder. (6 p.)

Motivera båda observationerna algebraiskt med hjälp av Pythagoras sats.

Enligt Pythagoras sats gäller c^2=a^2+b^2. 1 p.
Uppskattningen a^2+b^2> a^2 görs. 2 p.
c^2>a^2 \Rightarrow c>a / eftersom c>0. 1+1 p.
På motsvarande sätt visas att c>b. 1 p.
ELLER (indirekt bevis)
c \le a, vilket ger c^2 \le a^2 / eftersom c>0. 1+1 p.
Enligt Pythagoras sats är a^2+b^2=c^2, 1 p.
dvs. a^2+b^2\le a^2. Därmed är b^2\le 0, 1 p.
vilket är en motsägelse, eftersom b>0 och därmed är c>a. 1 p.
På motsvarande sätt visas att c>b. 1 p.
Enligt Pythagoras sats gäller c^2=a^2+b^2.
Uppskattningen a^2+b^2<a^2+b^2+2ab=(a+b)^2 görs ELLER så motiveras a^2+b^2<(a+b)^2. 3 p.
c^2<(a+b)^2 \Rightarrow c<a+b / eftersom a+b>0. 2+1 p.
ELLER (indirekt bevis)
c \ge a+b, vilket ger c^2 \ge (a+b)^2, eftersom a+b > 0. 2+1 p.
Därmed är c^2 \ge a^2+b^2+2ab = c^2+2ab med Pythagoras sats. 2 p.
Då gäller 2ab \le 0, vilket är en motsägelse, eftersom a>0 och b>0 som sidor i en triangel. 1 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Prövning/motivering med några tal. 0 p.
Cosinussatsen räcker inte för en startpoäng. 0 p.
Startpoäng: ''c^2=a^2+b^2.'' 1 p.
Ofullständigt motsatt antagande c=a eller c=a+b. max 3+3 p.
Fel komplement, ex. c>a som motsatt antagande c<a. –1 p.
Examinanden har tolkat att "längre" betyder "\ge". –0 p.
Examinanden har antagit att båda kateterna är lika långa. max 3+3 p.
Cosinussatsen har använts. max 4+4 p.
Icke-algebraiska motiveringar eller användning av solve-kommandot. +0 p.
Om implikationerna är skrivna i fel riktning, men lösningen i övrigt är korrekt, från båda deluppgifterna separat –1 p.
Olikheter/ekvationer under varandra tolkas som ekvivalenser om inget annat nämns.

7. Små och stora kuber 12 p.

Av 99 små röda kuber, som sinsemellan är lika stora, sammanställs tre stora kuber som består av 8, 27 och 64 delar. Sidorna i dessa tre stora kuber målas med blå färg. Efter målandet tas de stora kuberna isär så att de åter bildar 99 små kuber.

  1. En liten kub väljs slumpmässigt ut. Med vilken sannolikhet är den valda kubens alla sidor röda? (6 p.)

  2. Tre små kuber väljs slumpmässigt ut. Med vilken sannolikhet är alla sidor röda på åtminstone en av de valda kuberna? (6 p.)

Vi beräknar först antalet inre kuber.
I den kub som består av åtta små kuber finns det ingen inre kub. 1 p.
Den kub som består av 27 små kuber har en inre kub, och den kub som består av 64 små kuber har 8 \ (=2^3) inre kuber. 1 p.
Antalet inre kuber fås som en summa av dessa, och är alltså sammanlagt 9. 2 p.
Den efterfrågade sannolikheten är därmed \frac{9}{99}\ (=\frac{1}{11}\approx 0\mathrm{,}09). 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Antalet inre kuber 9 uppstår utan motivering (0+0+2+2). max 4 p.
Endast beräkningen \frac{9}{99} =\frac{1}{11}\approx 0\mathrm{,}09. 3 p.
Fel modell (Ex. ''Sidornas och inte kubernas antal har beräknats''). 0 p.
Komplementhändelse: Ingen av de små kuberna är röd på alla sidor. 1 p.
Ursprungligen finns det 90 kuber som inte är röda på alla sidor. 1 p.
Sannolikheten för att den andra kubens alla sidor inte är röda är \frac{89}{98}. 1 p.
Sannolikheten för att den tredje kubens alla sidor inte är röda är \frac{88}{97}. 1 p.
Den efterfrågade sannolikheten är alltså 1-\frac{90}{99}\cdot \frac{89}{98}\cdot \frac{88}{97}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25. 2 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Produktens faktorer \frac{90}{99}, \frac{89}{98}, \frac{88}{97} är inte förklarade: avdrag från raderna 2–4 totalt –1 p.
Enbart uträkningen 1-\frac{90}{99}\cdot \frac{89}{98}\cdot \frac{88}{97}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25 (0+0+1+1+2). max 4 p.
1-\left(\frac{90}{99}\right)^3=\frac{331}{1331} (1+1+0+0+1). max 3 p.
ELLER
Det finns tre möjliga fall: 1 röd kub, 2 röda kuber eller 3 röda kuber. 1 p.
Sannolikheten för att exakt 1 av de valda kuberna är helt röd är 3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{90}{98}\cdot \frac{89}{97}\left(=\frac{12015}{52283}\approx 0\mathrm{,}2298\right) 1 p.
Sannolikheten för att exakt 2 av de valda kuberna är helt röda är 3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{90}{97}\ \left(=\frac{1080}{52283}\approx 0\mathrm{,}0207\right) 1 p.
Sannolikheten för att alla valda kuber är helt röda är \frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{7}{97}\ \left(=\frac{4}{7469}\approx 0\mathrm{,}0005\right). 1 p.
Den efterfrågade sannolikheten är alltså 3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{90}{98}\cdot \frac{89}{97}+3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{90}{97}+\frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{7}{97}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25. 2 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Produktens faktorer är inte förklarade: totalt avdrag från raderna 2–4 –1 p.
Koefficienterna 3 saknas (1+0+0+1+1). max 3 p.
Enbart uträkningen 3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{90}{98}\cdot \frac{89}{97}+3\cdot\frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{90}{97}+\frac{9}{99}\cdot \frac{8}{98}\cdot \frac{7}{97}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25 (0+0+1+1+2) max 4 p.
OBS Med detta schema även fallet som tar fart från situationen ''den första är röd, den första är inte röd och den andra är det, de två första är inte röda och den tredje är det''. Då är räkneuttrycket \frac{9}{99} + \left(1 - \frac{9}{99}\right)\cdot \frac{9}{98} + \left(1 - \frac{9}{99}\right)\cdot\left(1 - \frac{9}{98}\right)\cdot \frac{9}{97} max 6 p.
ELLER
Komplementhändelse: Ingen av de små kuberna är röd på alla sidor. 1 p.
Ursprungligen finns det 90 kuber som inte är röda på alla sidor. 1 p.
Av dessa 90 kuber kan man välja tre på \binom{90}{3} olika sätt. 1 p.
Av alla 99 små kuber kan man välja tre på \binom{99}{3} olika sätt. 1 p.
Den efterfrågade sannolikheten är alltså 1-\frac{\binom{90}{3}}{\binom{99}{3}}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25. 2 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Binomialkoefficienterna är inte förklarade: totalt avdrag från raderna 3–4 –1 p.
Enbart uträkningen 1-\frac{\binom{90}{3}}{\binom{99}{3}}=\frac{1193}{4753}\approx 0\mathrm{,}25 (0+1+0+1+2) max 4 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Examinanden har använt ett felaktigt antal inre kuber som kommer från deluppgift 1. max 6 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Alla noggrannheter duger, endera exakt värde, oförenklade bråktal eller närmevärde räcker. –0 p.

8. Heltalslösningar 12 p.

Bestäm alla heltalslösningar till ekvationen x^6+2x^3y^3+y^6=4225, då x>0 och y>0.

Ekvationen x^6+2x^3y^3+y^6=4225 skrivs i formen (x^3+y^3)^2=4225. 2 p.
Då är x^3+y^3=\pm 65 / där den negativa lösningen förkastas, eftersom x,y>0. 1+1 p.
Eftersom y är positiv, så måste 65-x^3>0 ELLER x\leq \sqrt[3]{65}. 2 p.
Därmed gäller att x=1,2,3,4. 2 p.
Alla dessa fall granskas.
oberoende poäng Om y=4, så är x^3=65-4^3=1^3, dvs. x=1 och y=4 är en lösning. 1 p.
oberoende poäng Om y=1, så är x^3=65-1^1=64=4^3, dvs. x=4 och y=1 är en lösning. 1 p.
Om y=3, niin x^3=65-3^3=38. Ingen heltalslösning. 1 p.
Om y=2, niin x^3=65-2^3=57. Ingen heltalslösning. 1 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Gränserna för variablerna från en figur, från vilket den algebraiska granskningen fortsätter (0+0+0+2+1+1+1+1). max 6 p.
Gränsen kan också vara större än 4, förutsatt att alla fall granskas.
Från den andra raden 1 p. om man kommer direkt till formeln x^3+y^3=65 utan \pm-tecknet och omnämnande om positivitet.
Det är möjligt att förtjäna de två sista radernas poäng även om begränsningen 1\le x\le 4 skulle vara dåligt motiverad.
ELLER
Solve(x^6+2x^3y^3+y^6=4225) ger y=-(x^3\pm65)^{\frac{1}{3}} 2 p.
som förenklas till formen y=(\mp65-x^3)^{\frac{1}{3}} (1 p.)
Det förtecken som ger en negativ lösning förkastas, eftersom x,y>0. 1 p.
Eftersom y är positiv, så måste 65-x^3>0 ELLER x\leq \sqrt[3]{65}. 2 p.
Därmed gäller att x=1,2,3,4. 2 p.
Alla dessa fall granskas.
oberoende poäng Om y=4, så är x^3=65-4^3=1^3, dvs. x=1 och y=4 är en lösning. 1 p.
oberoende poäng Om y=1, så är x^3=65-1^1=64=4^3, dvs. x=4 och y=1 är en lösning. 1 p.
Om y=3, niin x^3=65-3^3=38. Ingen heltalslösning. 1 p.
Om y=2, niin x^3=65-2^3=57. Ingen heltalslösning. 1 p.

9. Polynomfamilj av fjärde graden 12 p.

Vi undersöker polynomet f(x) = x^4 + a x^2 + bx + c, då a > 0 och x\in \mathbf R.

  1. Visa att derivatan f' är en strängt växande funktion. (4 p.)

  2. Visa att ekvationen f(x) = 0 har högst två olika reella rötter. (8 p.)

IdékolumnGenomförandekolumnPoäng
Ett försök att beräkna f'', resultatet ett polynom av andra graden, där parametern a ingår.Examinanden beräknar f'(x)=4x^3+2ax+b, varvid f''(x)=12x^2+2a. 1+1 p.
En slutsats om f':s växande med hjälp av f''.Efersom x^2\geq 0 (eller x^2>0) och a>0, är derivatan f' till funktionen f'' positiv, dvs. funktionen f' är strängt växande. 1+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Startpoäng: f'(x)=4x^3+2ax+b 1 p.
En slutledning om antalet nollställen till f'. Eftersom funktionen f' är strängt växande så har den högst ett nollställe.1+1 p.
-Fall 1: f' har inga nollställen. Då är f strängt monoton och f har högst 1 nollställe.
ELLER fall 1 är inte möjligt, eftersom f' har minst 1 nollställe, eftersom \lim_{x\to -\infty}f'(x)=-\infty och \lim_{x\to\infty}f'(x)=\infty. 		0+1 p.
En undersökning om förloppet av funktionen f i fall 2 med till exempel teckenschema. Fall 2: funktionen f' har 1 nollställe x_0. Då x<x_0, är funktionen f' negativ, dvs. f är avtagande, och då x>x_0 är funktionen f' positiv, dvs. f är växande.1+2 p.
-Funktionen f har alltså högst en reell rot i mängden (-\infty, x_0] och högst en reell rot i mängden [x_0, \infty) dvs. totalt högst två reella rötter.0+2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast ett kort konstaterande ''Eftersom funktionens derivata bara har ett nollställe, så kan funktionen ha högst två nollställen'' berättigar till den andra idépoängen, inte till genomförandepoängen.
Specifika anvisningar för uppgiften
Lösningen baseras på användning av räknare eller Geogebra.''Solve f'=0'' motsvarar den första radens idépoäng. Då får man ett uttryck för roten där konstanterna a och b ingår. Motiveringen för att uttrycket alltid ger en reell rot motsvarar den första och den andra radens genomförandepoäng (utan dessa max 10 p.).max 12 p.

Del B2

10. Talspel 12 p.

Aron och Siri spelar ett talspel som de själva hittat på. De skriver turvis ner något tal 1, 2, \ldots, 10 på ett papper. Man får inte skriva ner ett tal som utgör en faktor till ett tal som redan står skrivet på pappret. Den som inte kan skriva ner ett nytt tal på pappret förlorar.

  1. Aron inleder spelet genom att skriva ner talet 8. Vilka är de tal som Siri efter det kan skriva ner då det blir hennes tur? (3 p.)

  2. Ge ett exempel på hur ett spel kan framskrida till slut om Aron inleder med att skriva ner talet 8. Här räcker det om du anger de tal som skrivs ner i ordningsföljd utan motiveringar. (3 p.)

  3. Då Siri får börja spelet har hon följande strategi:

    • Börja med att skriva ner talet 6 på pappret.

    • Bilda paren (4, 5), (7, 9) och (8, 10). Då motspelaren skriver ner sitt eget tal så skriver du ner paret till detta tal. Fortsätt på detta sätt tills spelet avslutas.

    En spelomgång kan alltså framskrida på exempelvis följande sätt: Siri skriver ner talet 6. Aron skriver ner talet 7 på pappret, varefter Siri skriver ner talet 9. Aron skriver ner talet 10 på pappret, varefter Siri skriver ner talet 8 på pappret och vinner spelet.

    Siri spelar enligt sin strategi och inleder spelet genom att skriva ner talet 6 på pappret. Aron skriver ner talet a på pappret, sedan skriver Siri ner talet b på pappret, varefter Aron skriver ner talet c. Nu skriver Siri ner talet 9, men vinner ännu inte spelet. Vilka är de olika alternativen för talen a, b och c? (6 p.)

Det finns 2 korrekta tal i listan. 1 p.
4 korrekta tal. 1 p.
6 korrekta tal. 1 p.
Om det finns felaktiga tal i listan, så –1 p./tal
Specifika anvisningar för deluppgiften
De rätta svaret är 3,5,6,7,9,10.
De 3 första korrekta (inklusive det första talet 8 ) 1 p.
De 4 första korrekta 1 p.
Alla korrekta (innehåller kravet att spelet har spelats till slut). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Möjliga korrekta alternativ:
(8),6,7,9,10 eller vilken permutation som helst av talen 6,7,9,10.
(8),3,6,7,9,10 eller vilken permutation som helst, förutsatt att talet 3 kommer före talen 6 och 9.
(8),5,6,7,9,10 eller vilken permutation som helst, förutsatt att talet 5 kommer före talet 10.
(8),3,5,6,7,9,10 eller vilken permutation som helst, förutsatt att talet 3 kommer före talen 6 och 9 samt 5 före talet 10.
oberoende poäng c=7 1 p.
oberoende poäng Examinanden har konstaterat att 1, 2, 3, (6), (9) inte är möjliga ELLER konstaterat explicit att 4, 5, 7, 8, 10 är möjliga spelbara tal. 1 p.
oberoende poäng a och b kan vara 4, 5 (konstaterande + motiveringar). 1+1 p.
Exempel på motiveringar: Om talet a har varit 4 eller 5, så har talet b varit det andra av dessa. Därmed skulle talen 7 och 9 ännu ha varit spelbara och talen 8 och 10, efter dem, vilket betyder att Siri inte ännu skulle ha vunnit efter att ha skrivit ner talet 9.
oberoende poäng a och b kan inte vara 8, 10 (konstaterande + motiveringar). 1+1 p.
Exempel på motiveringar: Om talet a skulle ha varit talet 8 eller talet 10, så skulle b ha varit det andra av dessa, och efter det så skulle de enda användbara talen ha varit 7 och 9, varvid Siri skulle ha vunnit efter att ha skrivit ner talet 9. Det här är inte möjligt.

11. Numerisk integrering 12 p.

Arean av det område som begränsas av grafen till en positiv funktion f och x-axeln kan uppskattas med hjälp av trapetsregeln genom att man adderar areor av trapetser. Delintervallet [x_k, x_{k+1}] motsvararar en trapets vars hörnpunkter är (x_k, 0), (x_k, f(x_k)), (x_{k+1}, f(x_{k+1})) och (x_{k+1}, 0). Observera att delintervallen inte behöver vara lika långa.

Vi granskar arean A av det område som begränsas av grafen till funktionen f(x)=\sin(3x^2)+2 och x-axeln i intervallet 1\leq x\leq 3. Vi uppskattar arean med hjälp av trapetsregeln genom att använda indelningspunkterna 1, \frac32, 2 och 3.

  1. Rita grafen av funktionen f och de trapetser som bildas av den indelning som angetts ovan. (3 p.)

  2. Närmevärdet för arean är med sex decimalers noggrannhet A\approx 3{,}862\,059. Vi uppskattar arean med hjälp av trapetsregeln genom att använda den ovan angivna indelningen. Beräkna trapetsernas areor, hela arean A' som trapetsmetoden ger samt det absoluta felet |A'-A|. (7 p.)

  3. På vilket sätt kan man förbättra noggrannheten i den metod som används i föregående deluppgift? (2 p.)

IdékolumnGenomförandekolumnPoäng
En ritad figur där någon funktionsgraf ingår och till grafen har examinanden anpassat trapetser.I figuren finns kurvan y=\sin(3x^2)+2 / i figuren finns de tre korrekta trapetserna. 1+2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Det räcker om figuren innehåller den rätta funktionens graf på ögonmått och trapetserna.
Kurvan och trapetserna kan också presenteras i olika figurer.
Om man ritar grafen till funktionen x\mapsto \sin(3x^2)+2 och argumentet är i grader så är slutresultatet nära sträckan (1; 1{,}05)–(3; 1{,}4).
Räknat med areor på korrekta trapetser med en egen funktion. Areorna av tre trapetserna är exakt 1\mathrm{,}147\,791\,0; exakt 0\mathrm{,}978\,367\,8 och exakt 2\mathrm{,}209\,901\,5 (det räcker med en decimal mera än i svaret). Minst en korrekt 1 p., alla tre korrekta 1 p.,
motiverat med formel eller med kommando 1 p.		1+3 p.
Beräknat arean som summan av tre korrekta trapetsers areor. A'\approx 4\mathrm{,}336\,060\,3.1+1 p.
-|A'-A|\approx 0\mathrm{,}474\,001 (noggrannhet 1–6 decimaler).0+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Användning av trapetsregelns formel med ekvidistanta intervall. 0 p.
På ögonmått korrekta trapetser ger inte poäng på första raden. Om areornas numeriska värde är korrekt så antas att det inte är fråga om sådana trapetser.
- Metodens noggrannhet förbättras genom att man gör indelningen tätare.0+2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Man använder ekvidistant indelning eller Simpsons regel. +0 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Med ett korrekt trapets avses att indelningspunkterna är korrekta och att de motsvarar den egna funktionen.
Fel funktion, som man använt till korrekta saker (2 / 2+2+1 / 2). max 9 p.

12. En trigonometrisk summa 12 p.

  1. Anta att 0\leq a\leq \frac{\pi}{2}. Visa att

    \sin a+\sin \left(\frac{\pi}{2}-a\right) \leq 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right).

    (4 p.)

  2. Anta att n är ett positivt heltal. Visa att

    \sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right) = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\left(\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)\right).

    (4 p.)

  3. Anta att n är ett positivt heltal. Visa att

    \sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\leq \frac{n+1}{\sqrt{2}}.

    (4 p.)

\sin(\frac\pi2-a)+\sin a= 2\sin\left(\frac{1}{2}\left(\frac\pi2-a+a\right)\right)\cos\left(\frac{1}{2}\left(\frac\pi2-a-a\right)\right) 1 p.
=2\sin(\frac{\pi}{4})\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right) 2 p.
\le 2\sin \frac\pi4 eftersom cosinus värdemängd är [-1,1] eller annan motivering. 1 p.
ELLER
\sin(\frac\pi2-a)+\sin a=\cos a+\sin a = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right) ELLER = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right) 2 p.
\le \sqrt{2}=2\sin \frac\pi4. 1 p.
Motivering med sinus eller cosinus värdemängd ([-1,1]) eller motsvarande. 1 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
\sin(\frac\pi2-a)+\sin a=\cos a+\sin a ger inte ännu poäng.
ELLER
oberoende poäng Eftersom 0 \leq a \leq \frac{\pi}{2}, så kan olikheten \cos a +\sin a \leq 2 \sin \frac{\pi}{4} kvadreras ledvis. 1 p.
Då fås \cos^2a+\sin^2a + 2 \sin a \cos a \leq 2, 1 p.
som är överensstämmande med olikheten \sin(2 a) \leq 1. 1 p.
Motivering för att detta gäller: sinus värdemängd ([-1,1]) eller motsvarande. 1 p.
ELLER
Funktionen f(x)=\sin(\frac\pi2-x)+\sin x ELLER =\cos x+\sin x bildas och deriveras:
f'(x)=-\cos (\frac\pi2-x)+\cos x ELLER f'(x)=-\sin x+\cos x 		1 p.
Derivatans nollställe i intervallet [0, \frac{\pi}{2}] är x=\frac{\pi}{4}. 1 p.
Teckenschema ELLER värdena f(0), f(\frac{\pi}{4}) och f(\frac{\pi}{2}). 1 p.
Det största värdet är alltså högst 2\sin \frac\pi4. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Prövning med några värden på parametern a utan någon idé om derivatan. +0 p.
Startpoäng: en bra figur eller fMax-kommandot och exakt värde på maximet. 1 p.
Då k går genom talen 0, 1, 2, \dots, n, så går n-k genom talen n, n-1, \dots , 1, 0, dvs. summorna är desamma, dvs. \sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)=\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right). 2 p.
Därmed är \frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)+\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\right)=\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right). 2 p.
Enligt deluppgift 12.2 är summan \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\left(\sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\right). 1 p.
Eftersom \sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{2n}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\leq 2\sin\frac{\pi}{4}, 2 p.
kan summan uppskattas: \sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\leq \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n2\sin\frac{\pi}{4}=\frac{n+1}{\sqrt{2}}. 1 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Man har matat in en ekvation eller olikhet i ett program med några värden på n och fått "True". +0 p.
Man har matat in en ekvation eller olikhet i ett program med ett allmänt n och fått "True". +0 p.

13. Derivatans definition 12 p.

  1. Derivatan definieras som gränsvärdet av en differenskvot. Framställ den geometriska tolkningen av derivatans definition med hjälp av funktionen f(x)=\ln x i punkten x=2. (4 p.)

  2. Visa med hjälp av derivatans definition att derivatan till funktionen f(x)=\ln x är f'(x)=\frac{1}{x}, då x > 0. Du kan använda informationen

    \lim_{t\to 0} {(1+t)^{1/t}} = e.

    (8 p.)

En figur där grafen y=\ln x ingår på ögonmått och åtminstone det ena av följande: tangenten i punkten (2, \ln 2) eller den sekant som går genom punkten (2, \ln 2) (eller motsvarande rätvinkliga \Delta y/\Delta x -figur). 1 p.
I \Delta y/\Delta x -figuren (sekanten) motsvarar riktningskoefficienten differenskvoten, 1 p.
för vilket gränsvärdet tas. 1 p.
oberoende poäng Som resultat derivatan, som motsvarar tangentens riktningskoefficient (eller grafens lutning). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
En motsvarande beskrivning kan användas i stället för en figur.
Funktionens derivata i punkten x är {\displaystyle\lim_{u\to x}} \frac{\ln(u)-\ln(x)}{u-x} eller {\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}}\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}. 1 p.
Någon räkneregel för logaritm har använts korrekt. (1 p.)
{\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}}\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h} {\displaystyle=\lim_{h\rightarrow 0}}\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)^{1/h} (med räkneregler för logaritmen) 1 p.
{\displaystyle=\lim_{h\rightarrow 0}}\ln \left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{x/h}\right)^{1/x} 2 p.
=\ln \left({\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}} \left(1+t\right)^{1/t}\right)^{1/x} (1 p.)
=\ln e^{1/x}=\frac{1}{x}. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Beräkning av gränsvärdet på räknaren. +0 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Startpoäng: Examinanden har skrivit ner logaritmens derivata som ett gränsvärde av en differenskvot i punkten x=2; ifall inga övriga förtjänster, så ges för hela uppgiften max 1 p.