Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

20.9.2022

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 10.11.2022

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

Ohjeen rakenne
- Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy oikeassa sarakkeessa olevaan pistemäärään.
- Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
- Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
- Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
- Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esim. derivaatan laskeminen osittain oikein).
- Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
- Suluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.

Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37{,}5 ja 40 kelpaavat.

Rivien riippuvuus toisistaan
- Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esim. laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
- Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
- Merkintä ylläolevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
- Merkintä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
- Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.

Terminologiaa
- ''Vastaus riittää'' tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
- ''Alkupisteitä'' tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
- ''maxN'' tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
- ''Vastaus vain likiarvona'' tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esim. tarkkuus, yksikkö) -1 p.
Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -2 p.
Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -1 p.
Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esim. x=2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esim. puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

Kolmisarakkeisen lukuohjeet:

Ideasarakkeesta saa pisteet, jos on ryhdytty tekemään mainittua asiaa, vaikka toteutus olisi puutteellinen.
Lasku tai kaava toteutussarakkeessa näyttää, miltä idea oikein toteutettuna näyttää.
Pysäytysehto: jokaiselta riviltä saatava vähintään puolet rivin pisteistä pyöristettynä alaspäin, jotta voi jatkaa.
Jos pysäytysehto ei toteudu, eli seuraavien rivien pisteitä on vielä jaossa, on seuraavilta riveiltä saatavissa kaikki pisteet, joissa ei ole eksplisiittistä estettä sille, miksi niitä ei voisi saada.

A-osa

1. Monivalintatehtäviä 12 p.

Alla on kahdeksan osatehtävää 1.1–1.8, joista vastataan kuuteen. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen osatehtävän vastauskenttään, jota et halua jättää arvosteltavaksi.

Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

1.1 Lukujono 2 p.

17 (2 p.)

1.2 Yhtälö 2 p.

4 (2 p.)

1.3 Kolmio 2 p.

10 (2 p.)

1.4 Potenssi 2 p.

-3 (2 p.)

1.5 Nopan heitto 2 p.

5 (2 p.)

1.6 Sijoitus 2 p.

18 (2 p.)

1.7 Derivaatan arvo 2 p.

13 (2 p.)

1.8 Jakauman normittaminen 2 p.

3 (2 p.)

2. Yhtälönratkaisu 12 p.

Ratkaise yhtälö (x +1) *(x +4) =4 (4 p.)
Ratkaise yhtälöpari

{(2 x +4 y =8), (2 y =1 -4 x).}

(8 p.)

Yhtälö (x+1)(x+4)=4 saadaan muotoon x^2+5x+4=4,	1 p.
eli x^2+5x=0 TAI x(x+5)=0.	1 p.
Tulon nollasääntö TAI toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan sijoitettu kertoimet TAI sijoitus Speedcrunchiin	(1 p.)
x=0 tai x=-5.	1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Jos yhtälö on väärää astelukua, niin ei pisteitä yhtälön ratkaisemisesta.
TAI (kokeiluratkaisu)
Löydetty ratkaisu(t)	0 p.
Ratkaisujen osoittaminen oikeaksi	2 p.
Yksikäsitteisyys	2 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Graafiset ratkaisut arvostellaan tämän pisteityksen mukaisesti.

(sijoitusratkaisu)
Toisen muuttujan eliminointi (yritys 1 p., yritys tehty loppuun 2 p., vain huolimattomuusvirhe tms. 3 p., oikein 4 p.)	4 p.
Ratkaistaan saatu oma yhtälö.	2 p.
Ratkaistaan toinen muuttuja omalla arvolla.	2 p.
TAI (yhteenlasku)
2x+4y=8 ja 4x+2y=1	(1 p.)
Kerrotaan/jaetaan toinen yhtälö sellaisella luvulla, että laskemalla yhtälöt yhteen tai vähentämällä yhtälöt puolittain toinen muuttuja häviää.	1 p.
Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen.	2 p.
Ratkaistaan saatu oma yhtälö.	2 p.
Ratkaistaan toinen muuttuja omalla arvolla.	2 p.
TAI (kokeiluratkaisu)
Oikeat vastaukset.	1 p.
Perustelu, että löydetty ratkaisu toteuttaa molemmat yhtälöt.	2+2 p.
Perustelu, että muita ratkaisuja ei ole.	3 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Graafinen ratkaisu arvostellaan tällä mallilla. Kuva ei riitä perusteluksi sille, että löydetty ratkaisu toteuttaa yhtälöt.

Esimerkkiratkaisu:
Yhtälö 2x+4y=8 jaetaan luvulla 2, jolloin saadaan yhtälö x+2y=4. Sijoitetaan yhtälöön x+2y=4 lauseke 2y=1-4x, jolloin saadaan x+1-4x=4, eli -3x=3. Saadaan x=-1. Sijoitetaan x=-1 yhtälöön 2y=1-4x, jolloin saadaan 2y=1-4\cdot (-1)=5, eli y=\frac{5}{2}.

3. Polttoaineen kulutus 12 p.

Suomen Ilmavoimilla on ollut käytössään Hawk-harjoitushävittäjiä yli 40 vuoden ajan. Tässä tehtävässä mallinnetaan polttoaineen kulutusta, kun Hawk lentää normaalissa lentokorkeudessa 0,7-kertaisella äänen nopeudella.

Yksinkertaisessa mallissa polttoainetta arvioidaan kuluvan 8 litraa minuutissa. Kuinka kauan 760 litralla polttoainetta pystyy lentämään? (3 p.)
Todellisuudessa polttoaineen kulutus vähenee, kun lentokone kevenee. Paremmassa mallissa polttoaineen kulutusta mallinnetaan laskevan suoran avulla. Kulutus on 8,5 litraa minuutissa ajanhetkellä t =0, ja 40 minuutin kuluttua 7,7 litraa minuutissa. Muodosta lauseke f(t), joka kuvaa polttoaineen kulutusta ajan funktiona tässä mallissa. (6 p.)
Ratkaise yhtälö f(t) =8 ja tulkitse vastaus sanallisesti. (3 p.)

Ideasarake

Toteutussarake

Pisteet

Laskettu lentoaika jakolaskulla (jakolasku voi olla väärinpäin).	\frac{760}{8}=95, vastaus 95 (minuuttia)	1+2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Vastaus 95 minuuttia ja tarkistus kertolaskulla.		0+2 p.
Pelkkä vastaus 95 minuuttia		1 p.

Muodostettu lineaarinen funktio, esim. f(t)=at+b, ja käytetty annettuja ehtoja polttoaineenkulutuksesta.	f(0)=8\mathrm{,}5 ja f(40)=7\mathrm{,}7	1+2 p.
Ratkaistu kertoimet ja saatu funktio	(f(0)=)b=8\mathrm{,}5 ja 40a+8\mathrm{,}5=7\mathrm{,}7, jolloin a=\frac{-0\mathrm{,}8}{40}= -0\mathrm{,}02.	1+2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pelkät merkinnät f(0)=8\mathrm{,}5 ja f(40)=7\mathrm{,}7, vaikka f ei ole esitelty millään tavalla.			1 p.
Pelkkä vastaus f(t) = -0{,}02t+8{,}5\ ([1+0]+[0+1])			max 2 p.
Vastaus suoran yhtälönä y=-0\mathrm{,}02x+8\mathrm{,}5 tai muuttujat väärin, esim. f(t)=-0\mathrm{,}02x+8\mathrm{,}5			–1 p.

TAI (Väheneminen minuutissa)
Tutkitaan kulutuksen vähenemistä minuutissa	Laskettu kulutusten erotus (8\mathrm{,}5-7\mathrm{,}7=0\mathrm{,}8) TAI (7\mathrm{,}7-8\mathrm{,}5=-0\mathrm{,}8) ja kulutuksen väheneminen minuutissa \pm0\mathrm{,}8/40=\pm0\mathrm{,}02.	1+2 p.
Muodostetaan lineaarinen funktio	Alkutieto f(0) = 8{,}5, joten f(t) = -0{,}02t + 8{,}5.	1+2 p.

TAI (suoran yhtälön kautta)
Suora, ja käytetty annettuja ehtoja polttoaineenkulutuksesta.	Koordinaatiston pisteet (0;8\mathrm{,}5) ja (40;7\mathrm{,}7)	1+2 p.
Ratkaistu kertoimet ja saatu funktio.	Kulmakerroin \frac{7\mathrm{,}7-8\mathrm{,}5}{40-0}=-0{,}02 ja y-akselin leikkauskohta b=8\mathrm{,}5 TAI suoran yhtälöllä y-8\mathrm{,}5=-0\mathrm{,}02(x-0), joten funktio on f(t)=-0\mathrm{,}02t+8\mathrm{,}5 (Ensimmäinen kerroin 1 p., oikea funktio 1 p.)	1+2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Koordinaatiston pisteitä ei mainita eksplisiittisesti, mutta ratkaisu järkevä. -1 selitysten puutteesta			max 5 p.
Vastaus suoran yhtälönä y=-0\mathrm{,}02x+8\mathrm{,}5 tai muuttujat väärin, esim. f(t)=-0\mathrm{,}02x+8\mathrm{,}5			–1 p.

Muodostettu ja ratkaistu yhtälö.	f(t)=8, kun -0\mathrm{,}02t+85=8, eli t=\frac{0\mathrm{,}5}{0\mathrm{,}02}=25.	1+1 p.
	Polttoaineen kulutus on siis 8 litraa minuutissa 25 minuutin lennon jälkeen.	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Virhe periytyy aiemmasta kohdasta, mutta funktio on lineaarinen.			max 3 p.
Virhe periytyy aiemmasta kohdasta ja funktio ei ole lineaarinen, vain ideapiste.			max 1 p.

4. Epidemia 12 p.

Terveydenhoitajan tehtävänä on erään oppilaitoksen opiskelijoiden rokottaminen. Oman arvionsa mukaan häneltä kuluisi siihen kuusi tuntia, mutta rokottamisen nopeuttamiseksi hän ottaa mukaan harjoittelijan, joka pystyisi rokottamaan kaikki opiskelijat kahdeksassa tunnissa. Kuinka kauan kaikkien opiskelijoiden rokottamiseen kuluu aikaa, kun molemmat rokottajat työskentelevät yhtä aikaa omissa rokotuspisteissään? (6 p.)
Toimittaja arvioi epidemian hiipumista saatuaan tiedon, että tartunnat vähenevät 2,5 % joka viikko. Helmikuun alussa tartuntoja on 920. Maaliskuun alkuun mennessä hän arvioi tartuntojen vähenevän 92:lla. Hän päätyy tähän arvioon seuraavalla laskutoimituksella:
4 *0,025 *920 =92.
Laskelmansa perusteella toimittaja päättelee, että maaliskuun alussa tartuntoja on 920 -0 =828. Mikä toimittajan tekemässä pikaisessa laskussa meni väärin? Korjaa päättely ja anna oikea arvio tartuntojen lukumäärästä maaliskuun alussa kokonaislukuna. (6 p.)

Jos harjoittelija tekee koko työn 8 tunnissa, on hän tehnyt x tunnin jälkeen siitä osuuden \frac{x}{8}.	2 p.
Jos terveydenhoitaja tekee koko työn 6 tunnissa, on hän tehnyt x tunnin jälkeen siitä osuuden \frac{x}{6}.	1 p.
Ratkaistaan siis yhtälö \frac{x}{8}+\frac{x}{6}=1.	2 p.
Saadaan x=\frac{48}{14}=\frac{24}{7}, joten aikaa kuluu n. 3 h 26 min. Seuraavat muotoilut ja tarkkuudet käyvät: 3 h 26 min, 3 h 30 min, 206 min, 210 min, 3,4 h ja 3,43 h.	1 p.
TAI
Laskettu rokotusnopeudet:
\frac{100\, \%}{8\, \textrm{h}} = 12,5 \ \% tunnissa	1 p.
\frac{100\, \%}{6\, \textrm{h}} = 16{,}666...\ \% tunnissa	1 p.
Yhteinen nopeus = 29{,}1666...\ \% tunnissa.	2 p.
Aika = \frac{100\ \%}{29{,}167\ \%} = 3{,}4286 tuntia, joka on n. 3 h 26 min. Seuraavat muotoilut ja tarkkuudet käyvät: 3 h 26 min, 3 h 30 min, 206 min, 210 min, 3,4 h ja 3,43 h.	2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Aika on laskettu kiinnittämällä opiskelijoiden määrä (esim. 100): 1+0+1+2	max 4 p.
TAI (Haarukointi)
Laskettu minkä osuuden harjoittelija on rokottanut kolmen tunnin kuluttua 3/8=0\mathrm{,}375.	1 p.
Laskettu, mikä osuus on rokottamatta kolmen tunnin kuluttua 1-3/6-3/8=0\mathrm{,}125.	1 p.
Laskettu, kuinka suuri osuus on hoitajan rokottamia 0\mathrm{,}5/(0\mathrm{,}5+0\mathrm{,}375).	(1 p.)
Jaettu rokottamattomista oikea osuus hoitajalle (ja/tai harjoittelijalle) 0\mathrm{,}125\cdot0\mathrm{,}5/(0\mathrm{,}5+0\mathrm{,}375)=0\mathrm{,}071.	1 p.
Laskettu kolmen tunnin ylittävä osuus 0\mathrm{,}0714\cdot 6=0\mathrm{,}4286 on 26 min.	1 p.
Annettu lopullinen vastaus n. 3 h 26 min. Seuraavat muotoilut ja tarkkuudet käyvät: 3 h 26 min, 3 h 30 min, 206 min, 210 min, 3,4 h ja 3,43 h.	1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Osoitettu vain, että aikaa kuluu alle 3{,}5 tuntia, ja että aikaa kuluu yli 3 tuntia.	1+1 p.

riippumaton piste Menetelmä ei toimi, koska siinä lasketaan 2{,}5 prosenttia alkuarvosta, vaikka prosenttiosuus pitäisi laskea jokaisen viikon arvosta erikseen TAI ''Toimittaja ei ole huomioinut ns. korkoa korolle -ilmiötä''.	2 p.
Tartuntojen määrä on siis 100\ \%-2{,}5\ \%=97{,}5\ \% edellisen viikon määrästä TAI laskettu tartuntojen määrä yhden viikon jälkeen 0\mathrm{,}975\cdot 920=897 (pelkkä oikea lasku 1 p., toinen piste siitä, että ratkaisusta käy ilmi, että kyseessä on tartuntojen määrä yhden viikon jälkeen).	2 p.
Saadaan 920\cdot 0{,}975^4\approx 830 tai 831 tai 800 tartuntaa	2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Todettu, että toimittajalla on virheellinen viikkojen lukumäärä ja laskettu itse 4,5 viikolla 0\mathrm{,}975^{4\mathrm{,}5}\cdot 920.	(0+2+1 p.)
Laskettu taulukoiden, välissä pyöristetty liikaa, vastaus 832: kahdelta viimeiseltä riviltä yhteensä max 3 p.
Pelkkä vastaus 831: viimeisiltä kahdelta riviltä 0+1
Laskettu suoraan 920 \cdot 0{,}975^4 = 831: viimeisiltä kahdelta riviltä max 3 (puutteelliset selitykset -1 p.)

B1-osa

5. Suomen sähkönkulutus 12 p.

Suomen sähkönkulutus 12. helmikuuta 2021 lounasaikaan oli noin 13 410 megawattia (MW). Kotimaisen sähköntuotannon jakautuminen on esitetty taulukossa 5.A ja tuontisähkön alkuperä taulukossa 5.B.

Kuinka monta prosenttia kulutetusta sähköstä tulee kotimaisesta sähköntuotannosta ja kuinka monta prosenttia on tuontisähköä? (4 p.)
Ydinvoima, vesivoima, tuulivoima ja aurinkoenergia eivät aiheuta hiilidioksidipäästöjä. Laske näiden yhteinen osuus kotimaisesta sähköntuotannosta. (4 p.)
Oletetaan, että 35 prosenttia Ruotsista tuodusta sähköstä tuotetaan vesivoimalla. Kuinka monta prosenttia Suomessa kulutettavasta sähköstä on alkuperältään ruotsalaista vesivoimaa? (4 p.)

Anna kaikki vastaukset kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Kotimaisen sähkön osuus on \frac{10510}{13410} \approx (0{,}7837435 \approx)\ 78\ \%.	2 p.
Tuontisähköä on (1800 + 1000 + 100 =)\ 2900 MW tai (13410-10510 =)\ 2900 MW, joten \frac{2900}{13410} \approx (0{,}2162565 \approx)\ 22\ \%. TAI Tuontisähkön osuus on siis 100\ \% - 78\ \% = 22\ \%.	2 p.

Ydinvoimaa, tuulitoimaa, vesivoimaa ja aurinkoenergiaa on yhteensä 2800+2200+800+50=5850 MW.	2 p.
Sen osuus on \frac{5850}{10510}\approx (0{,}5566127 \approx) \ 56\ \%. (Tässä kohdassa voi vastata myös 0{,}56.)	2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Summattavia vain 3 eikä 4 (esim. 2800 + 2200 + 800)	max 3 p.

Ruotsalaista vesivoimaa tuodaan 0\mathrm{,}35 \cdot 1800 \textrm{ MW} = 630 \textrm{ MW}.	2 p.
Tämän osuus suomalaisesta kokonaissähkönkulutuksesta on \frac{630}{13410} \approx (0{,}04697987 \approx)\ 4{,}7\ \%.	2 p.

Tehtävän erillisohjeet
Väärä pyöristystarkkuus -1 p. koko tehtävästä
Vastaus desimaalilukuna -1 p. koko tehtävästä (kohdissa 5.1 ja 5.3)

6. Pääoman karttuminen 12 p.

Libanin säästötilillä on 2 200 euroa 31.12.2022. Tilin nettovuosikorko on 0,70 %. Shakirin säästötilillä on 2 000 euroa 31.12.2022. Hänen tilinsä nettovuosikorko on vuoden 2025 loppuun saakka 0,70 % ja sen jälkeen 1,26 %. Korko maksetaan vuosittain 31. joulukuuta.

Kuinka paljon Libanilla ja Shakirilla on rahaa tileillään 31.12.2025? Kuinka paljon enemmän korkotuottoa Liban on saanut kuin Shakir? (6 p.)
Liban ja Shakir eivät koske tileihinsä ennen kuin Shakirin pääoma on suurempi kuin Libanin pääoma. Minkä vuoden lopussa tämä tapahtuu? (6 p.)

Ideasarake

Toteutussarake

Pisteet

Oikea malli käytössä.	k^3\cdot 2000 tai k^3\cdot 2200, missä k \in \{1{,}0007, 1{,}007, 1{,}07\}	1+2 p.
	Liban: täsmälleen 2246{,}52 euroa ja Shakir: täsmälleen 2042{,}29 euroa (tämä tai euron tai 10 euron tarkkuus)	0+1 p.
Lasketaan omilla luvuilla korkotuotot ja verrataan niitä.	Shakir: 2042{,}29-2000=42{,}29 euroa ja Liban: 2246{,}52-2200=46{,}52, joten Libanin korkotuotto on 46{,}52-42{,}29=4{,}23 tai 4{,}2 tai 4 euroa enemmän.	1+1 p.

TAI (taulukointi)
Oikea malli käytössä (selitys tai kaava vaaditaan) ja laskettu 1. vuoden summat.	Korkokerroin k \in \{1{,}0007, 1{,}007, 1{,}07\} (Liban: 2215{,}40, Shakir: 2014{,}00)	1+1 p.
Taulukoitu vähintään 2 vuotta.	Saatu kolmannen vuoden luvut täsmälleen 2246{,}52 (Liban) ja täsmälleen 2042{,}29 (Shakir). TAI taulukoitu vuosittain sentin tarkkuudella, jolloin Liban: täsmälleen 2246{,}53 ja Shakir: täsmälleen 2042{,}30 (tämä tai euron tai 10 euron tarkkuus)	1+1 p.
Lasketaan omilla luvuilla korkotuotot ja verrataan niitä.	Shakir: 2042{,}29-2000=42,29 euroa ja Liban: 2246{,}52-2200=46{,}52, joten Libanin korkotuotto on 46{,}52-42{,}29=4{,}23 tai 4{,}2 tai 4 euroa enemmän.	1+1 p.

Huomioitu korkokertoimen muutos		1+0 p.
Muodostetaan yhtälö tai epäyhtälö, jossa oikea eksponentiaalinen malli.	1{,}007^x\cdot 2246{,}52=1{,}0126^x\cdot 2042{,}29 (yhtälö/epäyhtälö oikein, virheet -1 p./kpl). Saa käyttää omia kolmannen vuoden lukuja.	1+2 p.
Ratkaistaan (epä)yhtälö ja huomioidaan lähtövuosi.	x\approx 17{,}19, joten vuoden 2025+18= täsmälleen 2043 lopussa Shakirilla on enemmän rahaa.	1+1 p.

TAI (taulukointi)
Huomioitu korkokertoimen muutos.		1+0 p.
Taulukoinnissa yksi uuden korkokertoimen rivi oikein (vuodella ei väliä).	Taulukossa vuosi (18.), jona järjestys vaihtuu, ja sitä edeltävä vuosi (17.) sekä niitä vastaavat summat 2529{,}36 ja 2547{,}07 (Liban) ja 2526{,}75 ja 2558{,}59 (Shakir). Ensimmäinen piste siitä, että taulukossa on muutosvuodet ja vähintään yksi summa oikein. Saa käyttää omia kolmannen vuoden lukuja.	1+2 p.
Valitaan omasta taulukosta sopiva aika ja huomioidaan lähtövuosi.	Valitaan taulukosta 18 vuotta, joten vuoden 2025+18= täsmälleen 2043 lopussa Shakirilla on enemmän rahaa.	1+1 p.

7. Palloja laatikossa 12 p.

Laatikossa on seitsemän punaista palloa ja lisäksi mustia palloja. Kun laatikosta poimitaan umpimähkään kaksi palloa yhtä aikaa, niin molemmat ovat punaisia todennäköisyydellä 1/10. Kuinka monta palloa laatikossa on?

Voidaan ajatella, että pallot otetaan peräkkäin laittamatta niitä välillä takaisin. Ensimmäistä palloa otettaessa laatikossa on 7 punaista palloa ja toista palloa otettaessa 6 punaista palloa TAI mainittu peräkkäiset nostot.	1 p.
Olkoon n pallojen kokonaismäärä (tai muuten esitelty muuttuja), jolloin toista palloa otettaessa laatikossa on n-1 palloa (tai selitetty väheneminen yhdellä).	1+1 p.
Todennäköisyys saada ensimmäisellä punainen on \frac{7}{n} ja toisella \frac{6}{n-1}.	1+2 p.
Kerrotaan termit keskenään (2 p.) ja muodostetaan yhtälö (1 p.) (\frac{7}{n}\cdot \frac{6}{n-1}=\frac{1}{10}),	2+1 p.
josta n=-20 tai n=21,	1+1 p.
joten pallojen kokonaismäärä on alussa 21.	1 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Yhtälö ilmestyy tyhjästä 0+0+3+3+2+1	max 9 p.
Pallot palautetaan takaisin (esim. \frac7n \cdot \frac6n = \frac1{10} tai \frac7n)^2 = \frac1{10}): 1+1+1+2+0+0	max 5 p.
TAI (kombinaatioratkaisu)
Nostetaan kerralla kaksi palloa (idea).	1 p.
Mahdollisten nostojen lukumäärä on \binom{n}{2}.	2 p.
Suotuisien alkeistapausten (molemmat pallot punaisia) lukumäärä on \binom{7}{2}.	2 p.
Todennäköisyys molempien pallojen punaisuudelle on edellisten osamääränä \binom{7}{2}/\binom{n}{2}.	2 p.
Yhtälö, jossa tämä merkitään yhtä suureksi luvun \frac{1}{10} kanssa.	2 p.
Ratkaisut n= -20 tai n=21,	1+1 p.
joten pallojen kokonaismäärä on alussa 21.	1 p.
TAI (kokeiluratkaisu)
Oikea vastaus 21	2 p.
Laskettu, että ehdot toteutuvat.	4 p.
Yksikäsitteisyys:
Huolellinen monotonisuusperustelu TAI esimerkki, jossa n>21 (2 p.), esimerkki jossa n<21 (2 p.), monotonisuuden idea (2 p.)	6 p.

8. Pandemiarajoitus 12 p.

Koronaviruspandemian aikana keväällä 2021 viranomaiset rajoittivat kuntosalien toimintaa vähentääkseen virusaltistusten riskiä. Kuntosalilla sai olla samaan aikaan korkeintaan 10 asiakasta. Haukkalan kuntosali on avoinna joka päivä klo 8–22. Siellä asiakasmäärän rajoitus toteutettiin niin, että harjoitusvuorot olivat tunnin pituisia ja aukioloaikana puolen tunnin välein vaihtui viisi asiakasta.

Ensimmäiset viisi kävijää tulivat kuntosalille klo 8.00 ja seuraavat viisi klo 8.30. Klo 8.00 kuntosalille tulleet kävijät poistuivat salilta klo 9.00, jolloin uudet viisi tulivat kuntosalille. Näin jatkettiin koko päivän ajan. Viimeisenä kuntosalille klo 21.00 tulleet viisi kävijää poistuivat salilta klo 22.00, jolloin kuntosali suljettiin.

Puolen tunnin välein tapahtuneet vaihdot toteutettiin niin, että tulevat ja lähtevät asiakkaat eivät kohdanneet toisiaan.

Kuinka monen kuntosalikävijän oli mahdollista harjoitella Haukkalan kuntosalilla yhden päivän aikana? (4 p.)
Olisiko jollakin toisella järjestelyllä ollut mahdollista, että salilla olisi päivän aikana harjoitellut tätä useampi asiakas siten, että olisi kuitenkin noudatettu viranomaisen antamaa rajoitusta? (4 p.)
Eräänä päivänä klo 12.00 alkaneella vuorolla salilla harjoitteli henkilö, jolla oli koronavirustartunta. Kuinka monta muuta kävijää hän altisti tartunnalle, kun tuon päivän aikana kaikille tunnin vuoroille tuli viisi uutta asiakasta? (4 p.)

Päivän aikana oli yhteensä 14 tuntia harjoitteluaikaa.	(1 p.)
Asiakkaita tuli päivän aikana yhteensä 27 erässä.	(1 p.)
Vuorojen lukumäärä kytketty kävijöiden määrään.	(1 p.)
Päädytty laskulla tai päätellen kokonaismäärään.	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pelkkä oikea vastaus (135).	1 p.
Selitykset puuttuvat, pelkkä lasku ja vastaus.	max 3 p.
Yksi saapumiserä puuttuu tai on liikaa (130/140).	max 3 p.
''Sali on auki 14 tuntia ja 10 ihmistä saa olla kerrallaan, joten kävijöitä on 14 \cdot 10=140.'' (1+0+0+1) (Tässä ei ole kytketty lukumäärää lainkaan vuorojen lukumäärään.)	2 p.

Oikea johtopäätös (kyllä).	1 p.
Selitetty toimiva menetelmä, esim. ''Lyhennetään harjoitusaikaa.'' tai ''Pidennetään aukioloaikaa.'' tai ''Harjoittelemaan pääsee heti, kun edellinen lähtee.'' tai "Tasatunnein 10 harjoittelijan ryhmä".	1 p.
Esitetty lasku tai sanallinen perustelu asiakasmäärälle > 135.	2 p.

(Altistuminen ilmateitse)
Huomioitu olennaiset vuorot 11.30, 12.00 ja 12.30 sanallisesti tai laskussa.	1+1+1 p.
Omilla järkevillä luvuilla vastaus (sisältää vähintään kahden vuoron käsittelyn).	1 p.
TAI (Altisti kaikki myöhemmin tulleet)
Huomioitu olennaiset vuorot 11.30 ja 12.00	1+1 p.
Huomioitu klo 12.30 alkaen altistuneet ja laskettu oikein (90).	1 p.
Laskettu summa.	1 p.
TAI (Altisti kaikki myöhemmin tulleet)
Huomioitu aamun vuorot, joista viimeinen loppuu kello 12.00	1+1 p.
Laskettu aamun vuorojen kävijöiden lukumäärä.	1 p.
Vähennetty kokonaismäärästä aamun vuorojen kävijät.	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Pelkkä oikea vastaus (14 tai 99).	1 p.
Omassa vuorossa altistuneita 5.	–1 p.
Huomioitu vuoro 11.00 tai sitä aikaisempi vuoro.	–1 p.

9. Suomalaisten miesten ja naisten pituudet 12 p.

Suomalaisten naisten keskipituus on 167,5 cm ja pituuden keskihajonta 5,40 cm. Suomalaisten miesten keskipituus on 181,0 cm ja pituuden keskihajonta 6,06 cm. Oletetaan suomalaisten miesten ja naisten pituudet normaalijakautuneiksi.

Laske todennäköisyys, että kun valitaan satunnaisesti yksi suomalainen mies ja yksi suomalainen nainen, niin molemmat ovat lyhyempiä kuin 160 cm. (6 p.)
Annelin pituus on 171 cm. Hän laskee todennäköisyyden, että satunnaisesti valittu suomalainen nainen on häntä itseään pidempi mutta ei kuitenkaan enempää kuin x cm, ja saa tulokseksi 0,1. Mikä on Annelin käyttämä luku x? (6 p.)

Ajatus normeerauksesta.	1 p.
Normeeraus oikein (\frac{160-167{,}5}{5,40}\approx -1{,}38889 ja \frac{160-181{,}0}{6{,}06}\approx -3{,}46535).	1 p.
Naisen todennäköisyys 0{,}08243.	1 p.
Miehen todennäköisyys 2{,}648\cdot 10^{-4} tai taulukkokirjasta 3\cdot 10^{-4}.	1 p.
Kerrotaan todennäköisyydet keskenään ja saadaan 0{,}08243\cdot 2{,}648\cdot 10^{-4}	1 p.
\approx 2{,}2\cdot 10^{-5}. (Vastauksen voi antaa samalla tarkkuudella kuin välivaiheet.)	1 p.
TAI (GeoGebra-ohje)
Käytetään oikeaa työkalua jollakin myyllä ja sigmalla.	1 p.
Myy ja sigma molemmissa oikein.	1 p.
Naisten osuus 0{,}08243	1 p.
Miesten osuus 2{,}648\cdot 10^{-4} tai 3\cdot 10^{-4}	1 p.
Kerrotaan todennäköisyydet keskenään,	1 p.
tulos \approx 2{,}2\cdot 10^{-5}. (Vastauksen voi antaa samalla tarkkuudella kuin välivaiheet.)	1 p.

Tässä tulee selvittää, minkä kokoinen viipale normaalijakaumaa tarvitaan, jos sen alkupiste on Annelin normeerattu arvo \frac{171-167{,}5}{5{,}40}\approx 0{,}64815, jota vastaa todennäköisyys 0{,}7416.	2 p.
Ylärajaa vastaava arvo on 0{,}1 suurempi, eli 0{,}8416.	1 p.
Normeerattu arvo on 1{,}001.	1 p.
Pituus toteuttaa siis yhtälön \frac{171+x-167{,}5}{5{,}40}=1{,}001,	1 p.
joten x\approx 1{,}9 tai 2 (cm) (ei muita tarkkuuksia).	1 p.
TAI (GeoGebra-pisteytys)
Myy ja sigma oikein	1 p.
Tutkitaan jotakin suljettua väliä ja 0\mathrm{,}1 oikeassa kohdassa.	1 p.
Alaraja 171 ja löydetty yläraja (172{,}9).	1 p.
riippumaton piste Selitetty menetelmä, jolla yläraja on löydetty käyttäen suljettua väliä (haarukointi).	1 p.
Laskettu ylä- ja alarajan erotus.	1 p.
Vastaus täsmälleen 1\mathrm{,}9 tai täsmälleen 2 (cm) (ei muita tarkkuuksia)	1 p.

B2-osa

10. Mustikkapiirakat 12 p.

Mustikkapiirakan leivontaohjeessa lukee, että piirakan valmistamiseen tarvitaan 2{,}5 dl sokeria. Piirakkaohje on tarkoitettu pyöreäpohjaiseen vuokaan, jonka halkaisija on 30 cm. Henkka ja Maukka leipovat samanpaksuisia mustikkapiirakoita koulun myyjäisiin.

Henkka leipoo neljä uunipellillistä mustikkapiirakkaa. Uunipellin mitat ovat 30 cm *40 cm. Kuinka paljon hän tarvitsee sokeria? (6 p.)
Maukka arvioi, että paras tuotto saadaan pienillä ympyränmuotoisilla piirakoilla. Hän käyttää pyöreäpohjaisia vuokia, joiden halkaisija on 10 cm, ja nelinkertaistaa leivontaohjeen ainekset. Kuinka monta piirakkaa hän leipoo? (6 p.)

Yhden uunipellillisen pinta-ala on 30\ \textrm{cm} \cdot 40\ \textrm{cm} = 1200~ \textrm{cm}^2 (yksiköitä ei vaadita).	(1 p.)
4\cdot 1200~\textrm{cm}^2 = 4800~\textrm{cm}^2 (yksiköitä ei vaadita)	1 p.
Leivontaohjeen mukaisen vuoan ala on 15^2 \cdot \pi \, (\textrm{cm}^2) (n. 706{,}9~\textrm{cm}^2)	2 p.
Edellä mainittujen alojen suhde merkitty tai laskettu (n. 6\mathrm{,}79).	1 p.
Kertominen 2\mathrm{,}5:llä ja vastaus yksikköineen (n. 17 dl).	1 p.
TAI (Verrannolla)
Uunipellin ala kuten yllä	2 p.
Vuoan ala	2 p.
Järkevä verranto	1 p.
Yhtälön ratkaisu/kertominen 2\mathrm{,}5:llä ja vastaus yksikköineen (n. 17 dl).	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Kerroin 4 unohtunut, vastaus n. 4\mathrm{,}2 dl	max 5 p.

Isomman ympyrän muotoisen vuoan pinta-ala (2 p., ansaittu jo yllä)	0 p.
Pienemmän ympyrän muotoisen vuoan pinta-ala	2 p.
Alojen suhde (= 9)	2 p.
Kertominen 4:llä	1 p.
Vastaus 36	1 p.
TAI (Verrannolla)
Isomman vuoan ala (2 p., ansaittu jo yllä)	0 p.
Pienemmän vuoan ala	2 p.
Kertominen 4:llä	1 p.
Järkevä verranto ja yhtälön ratkaisu	2 p.
Vastaus 36	1 p.
TAI (suoraan säteiden/halkaisijoiden kautta)
Koska vuoan halkaisija on 10 cm, saa ohjeen mukaisella taikinamäärällä \left(\frac{30}{10}\right)^2=9 piirakkaa.	4 p.
Nelinkertaisesta taikinasta saa siis 9\cdot 4=36 piirakkaa.	2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Ratkaisu muuten kunnossa, mutta ympyrävuoan tilalla käytetty uunipeltiä, vastaus 61: vähennys -1 p., kun väärää alaa käytetään ensimmäisen kerran.	max 5 p.

Tehtävän erillisohjeet
Ei todettu taikinan määrän verrannollisuutta pinta-alaan, tai piirakoiden paksuudella kiinteä lukuarvo.	–0 p.

11. Lintujen talviruokinta 12 p.

Lintuharrastaja on aloittanut lintujen talviruokinnan. Hän on hankkinut uuden, kuvan 11.A ja videon 11.B mukaisen lintujen ruokintalaitteen.

Mallinna lintujen ruokintalaitetta sopivan särmiön avulla. Piirrä kuva särmiöstä ja laske sen tilavuus. (6 p.)
Valmistajan ilmoituksen mukaan ruokintalaitteen tilavuus on noin 1,6 litraa. Perustele, mistä ero valmistajan ilmoittaman tilavuuden ja osatehtävän 11.1 arvion välillä muodostuu. (2 p.)
Kuinka monta kertaa tyhjän ruokintalaitteen voi täyttää 25 kilogramman säkillisestä auringonkukansiemeniä, kun siemensekoituksen tiheys on 0,460 kg/dm^3? Käytä ratkaisussasi valmistajan ilmoittamaa ruokintalaitteen tilavuutta. (4 p.)

Ideasarake

Toteutussarake

Pisteet

Piirretty särmiö, jonka pohja on kolmio tai katkaistu kolmio.	Pituudet noin 18, 20 ja 14 (cm) (1 p.). Särmiö oikein 1 p.	1+2 p.
Lasketaan tilavuutta	Pohjakolmion korkeus (h=\sqrt{20^2-(18/2)^2}\approx 17{,}86 (cm)) (1 p.), särmiön pohjan ala A=xh/2\ (=18\cdot h/2\approx 160{,}75\ (\textrm{cm}^2)), särmiön tilavuus (18\cdot h\cdot 14/2 \approx2250{,}43\ (\textrm{cm}^3)) eli noin 2{,}3 litraa (1 p.). (Tämän kohdan pisteitä vain särmiölle.)	1+2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Kokelaan ilmoittamat pituudet saavat poiketa oikeasta 1 cm kumpaan suuntaan tahansa.
Tyyppivirhe: Kokelas mallintanut kartioksi. Tällöin ensimmäiseltä riviltä maks. 0 + 1 ja toiselta riviltä maks. 1 + 0 (pisteet ansaitaan oikeista pituuksista ja tilavuudesta)			max 2 p.
Tyyppivirhe: Kokelas mallintanut suorakulmaiseksi särmiöksi. Tällöin ensimmäiseltä riviltä maks. 0 + 1 ja toiselta riviltä maks. 1 + 0 (pisteet ansaitaan oikeista pituuksista ja tilavuudesta)			max 2 p.
Tyyppivirhe: särmiön pohjan pinta-ala 18\cdot 20/2.			max 5 p.

Luetellaan eroihin johtavia asioita (kaksi riittää).

Valmistajan mittauksen epätarkkuus (mitattu esim. vetomitalla), mallin epätarkkuus (laite ei ole suora särmiö, esim. syvennykset huomioimatta), levyn paksuuden vaikutus, kolmion alakärki ei täyty, laitetta ei ehkä voi täyttää aivan täyteen tai laite ei ehkä tyhjene kokonaan.

0+2 p.

Jaetaan siementen massa tiheydellä.	\frac{25\ (\textrm{kg})}{0,460\, (\textrm{kg}/\textrm{dm}^3)}\ (\approx 54\mathrm{,}35 litraa siemeniä).	1+1 p.
Jaetaan säkin tilavuus säiliön tilavuudella	\frac{54\mathrm{,}35\ (\textrm{l})}{1\mathrm{,}6\ (\textrm{l})}\approx 33,97 \approx 34 (tai pyöristetty alaspäin 33).	1+1 p.
TAI
Kerrotaan tiheys ja ruokintalaitteen tilavuus.	0,46\, (\textrm{kg}/\textrm{l})\cdot 1,6\, (\textrm{l})=0{,}736 (kg)	1+1 p.
Jaetaan säkin massa edellä saadulla massalla.	\frac{25\, (\textrm{kg})}{0{,}736\, (\textrm{kg})}=33{,}97\dots eli n. 34 kertaa (tai 33 kertaa)	1+1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Lasku omalla tilavuudella.			max 3 p.

12. Pokémon GO 12 p.

Pokémon GO -pelissä kaikilla pokémoneilla on hyökkäys-, puolustus- ja kestävyysarvo, joista jokainen on kokonaisluku joukosta {0, 1, … , 15}. Oletetaan, että nämä arvot arvotaan ja että jokaisen arvon todennäköisyys on sama.

Kuinka monta erilaista hyökkäys-, puolustus- ja kestävyysarvoyhdistelmää on olemassa? (4 p.)
Kuinka monta erilaista tapaa on saada pokémon, jolle hyökkäys-, puolustus- ja kestävyysarvojen summa on 43? (4 p.)
Pelissä on myös ns. varjopokémoneja. Oletetaan, että myös niille arvotaan arvot 0–15 samalla tavalla. Jos varjopokémonin puhdistaa, nousee sen jokainen arvo kahdella, kuitenkin korkeintaan viiteentoista. Mikä on todennäköisyys saada varjopokémon, jonka arvot puhdistamisen jälkeen ovat 15–15–15? (4 p.)

Jokaiselle arvolle on 16 vaihtoehtoa. (Tähän riittää se, että ratkaisussa on lauseke, jossa on 16 suurimpana tekijänä tai summattavana, esim. 16\cdot 3 tai 16 löytyy kolmannesta osatehtävästä.)	(1 p.)
Yhdistelmiä on siis 16^3=4\, 096 kappaletta.	2+1 p.
Alakohdan erillisohjeet
15^3=3375	0+3 p.
Pelkkä vastaus 4096	3 p.

Summan 43 voi saada, jos kaksi arvoa on 15 ja yksi arvo 13 tai jos kaksi arvoa on 14 ja yksi arvo on 15.	2 p.
Kummassakin tapauksessa on kolme vaihtoehtoa. Yhteensä vaihtoehtoja on siis kuusi kappaletta.	2 p.
Alakohdan erillisohjeet
Jos annetaan 1–2 summaa, joista yksi ei ole 43 (esim. 42 esiintyy), niin oikeasta vaihtoehtojen määrästä silti yksi piste toisella rivillä.
Jos oikeiden summien lisäksi annetaan virheellisiä summia, vähennetään ensimmäiseltä riviltä ensimmäisestä 1 p. ja toisesta 1 p.
43=15+15+13 ja tapoja 3 kpl	1+1 p.
42=15+15+12 ja tapoja 3 kpl	0+1 p.
Pelkkä vastaus 6 tapaa	1 p.

Arvojen tulee olla 13, 14 tai 15 ennen puhdistamista,	1 p.
joten jokaisen yksittäisen suotuisan tapauksen todennäköisyys on \frac{3}{16} (nimittäjässä oma ensimmäisen kohdan arvo tai 16) TAI suotuisia tapauksia 3^3.	1 p.
Kysytty todennäköisyys on siis (\frac{3}{16})^3	(1 p.)
=\frac{27}{4096}\approx 0{,}1875^3=0{,}006591796875.	1 p.
Alakohdan erillisohjeet
Kaikki tarkkuudet käyvät (kunhan \ne 0).
Laskettu likiarvoilla niin, että välivaiheissa on yksi merkitsevä numero enemmän.	–0 p.
Ensimmäisen kohdan virhe (esim. 16 \to 15) siirtyy	max 4 p.
Tarkasteltu vain arvoja 14 ja 15 ja saatu 2^3/16^3=1/512.	0+1+2 p.
Tarkasteltu vain tapausta 13–13–13 ja saatu 1^3/16^3=1/4096. (0+0+1+0)	1 p.

13. Suurin pinta-ala 12 p.

Suorakulmion alareuna on positiivisella x-akselilla, vasen pystyreuna positiivisella y-akselilla ja oikea yläkulma paraabelilla y =-x^2 +9 Määritä derivaatan avulla suorakulmion suurin mahdollinen pinta-ala.

Kuva, jossa on paraabeli JA suorakulmio oikein piirrettynä tai suorakumion kärkipisteet.	1 p.
Käy ilmi, että suorakulmion korkeus on 9-x^2.	(1 p.)
Suorakulmion pinta-ala on x\cdot (9-x^2)	2 p.
ja avattu sulut.	(1 p.)
Laskettu pinta-alafunktion derivaatta (f'(x)=9-3x^2).	2 p.
Laskettu derivaatan nollakohdat (x=\pm \sqrt{3}),	1 p.
joista vain positiivinen kelpaa.	1 p.
Kulkukaavio TAI rajoituttu tarkastelemaan funktiota f suljetulla välillä [0,3] ja aloitetaan laskemaan funktion arvoja päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa (1 p.) ja laskettu kaikki nämä arvot.	2 p.
Siispä suurin pinta-ala on täsmälleen f(\sqrt{3})=\sqrt{3}(9-3)=6\sqrt{3}.	1 p.

Tehtävän erillisohjeet
Pinta-alan lausekkeesta riviltä 3 puuttuu sulut ja loppu väärin (1+1+1).	max 3 p.
Ääriarvo etsitty pelkästään laskimella ilman derivaattaa (1+1+2+1+0+0+0+0+0).	max 5 p.
Derivaatan nollakohdat likiarvoina (1+1+2+1+2+0+1+2+0).	max 10 p.
Derivoitu tehtävänannon funktio -x^2+9.	+0 p.
Käsitteet suorakulmio ja suorakulmainen kolmio menneet sekaisin.	+0 p.
f(x)=x(9+x^2): 0+1+2+1+2+0+0+0+0	max 6 p.