Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, kort lärokurs

20.9.2022

Slutgiltiga beskrivningar av goda svar 10.11.2022

Grunderna enligt vilka bedömningen gjorts framkommer i de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar. Uppgiften om hur bedömningsgrunderna tillämpats på examinandens provprestation utgörs av de poäng som examinanden fått för sin provprestation, de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar och de föreskrifter gällande bedömningen som nämnden gett i sina föreskrifter och anvisningar. De slutgiltiga beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svarsalternativ eller alla godkända detaljer i ett godkänt svar. Eventuella bedömningsmarkeringar i provprestationerna anses vara jämställbara med anteckningar och sålunda ger de, eller avsaknaden av markeringar, inte direkta uppgifter om hur bedömningsgrunderna tillämpats på provprestationen.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal i den högra kolumnen för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Examinanden får poäng i parentes genom att uppfylla den radens villkor eller villkoret på följande rad, om följande rad är i skick, och det inte framgår explicit att föregående rad har gjorts fel.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med texten exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Beteckningen poäng oberoende av de ovanstående raderna betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter denna rad på normalt sätt.
    • Texten oberoende poäng betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad.
    • Texten som slutsats: poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
  • Terminologi
    • ''Svar räcker'' betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • ''Startpoäng'' betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • ''maxN'' betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • ''Svaret endast som närmevärde'' betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (t.ex. noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (t.ex. x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (t.ex. parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt ''i kedja'', m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.
Instruktioner för anvisningar med tre kolumner:
  • Examinanden får poäng från idékolumnen om hen har börjat utföra den nämnda operationen, även om genomförandet skulle vara bristfälligt.
  • En beräkning eller en formel i genomförandekolumnen visar hur idén ser ut då den är korrekt utförd.
  • Stoppvillkor: från varje rad ska man få minst hälften av radens poäng, nedåt avrundade, för att man ska kunna fortsätta.
  • Om stoppvillkoret inte uppfylls, dvs. om det ännu finns poäng som kan delas ut på följande rader, så kan examinanden ännu få alla poäng från de följande raderna, där det inte explicit finns något hinder för att hen inte ska kunna få poängen.

Del A

1. Flervalsuppgifter 12 p.

Lös sex av de åtta deluppgifterna 1.1–1.8 nedan. Lämna inga anteckningar i svarsfältet för sådana deluppgifter som du inte vill lämna in för bedömning.

Välj korrekt alternativ. Svaren behöver inte motiveras. Korrekt svar 2 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

1.1 Talföljd 2 p.

  • 17  (2 p.)

1.2 Ekvation 2 p.

  • 4  (2 p.)

1.3 Triangel 2 p.

  • 10  (2 p.)

1.4 Potens 2 p.

  • -3  (2 p.)

1.5 Tärningskast 2 p.

  • 5  (2 p.)

1.6 Placering 2 p.

  • 18  (2 p.)

1.7 Derivatans värde 2 p.

  • 13  (2 p.)

1.8 Normering av en fördelning 2 p.

  • 3  (2 p.)

2. Ekvationslösning 12 p.

  1. Lös ekvationen (x+1)(x+4)=4. (4 p.)

  2. Lös ekvationsparet

    \begin{cases} 2x+4y=8 \\ 2y=1-4x. \end{cases}

    (8 p.)

Ekvationen (x+1)(x+4)=4 skrivs i formen x^2+5x+4=4, 1 p.
dvs. x^2+5x=0 ELLER x(x+5)=0. 1 p.
Nollregeln för en produkt ELLER koefficienterna insatta i lösningsformeln för en andragradsekvation ELLER insättning i Speedcrunch. (1 p.)
x=0 eller x=-5. 1 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Om ekvationen har fel gradtal, så inga poäng för lösningen av ekvationen.
ELLER (prövningslösning)
Hittad lösning/hittade lösningar. 0 p.
Examinanden har visat att lösningarna är korrekta. 2 p.
Påvisad entydighet. 2 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Grafiska lösningar bedöms enligt denna poängsättning.

(substitutionsmetoden)
Eliminering av den ena variabeln (försök 1 p., försöket utfört till slut 2 p., endast slarvfel eller motsvarande 3 p., korrekt 4 p.) 4 p.
Lösning av den egna ekvationen. 2 p.
Den andra variabeln löses ut med det egna värdet. 2 p.
ELLER (additionsmetoden)
2x+4y=8 och 4x+2y=1 (1 p.)
Den ena ekvationen multipliceras/divideras med ett sådant tal att ledvis addtion eller subtraktion av ekvationerna gör att den ena variabeln försvinner. 1 p.
Ledvis addition av ekvationerna. 2 p.
Lösning av den egna ekvationen. 2 p.
Den andra variabeln löses ut med eget värde. 2 p.
ELLER (prövningslösning)
Korrekta svar. 1 p.
Motivering för att den funna lösningen uppfyller båda ekvationerna. 2+2 p.
Motivering för att det inte finns andra lösningar. 3 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
En grafisk lösning bedöms med den här mallen. En figur räcker inte som motivering för att den hittade lösningen uppfyller ekvationerna.

Exempellösning:
Ekvationen 2x+4y=8 divideras med talet 2, som ger ekvationen x+2y=4. Uttrycket 2y=1-4x sätts in i ekvationen x+2y=4, varvid man får x+1-4x=4, dvs. -3x=3. Detta ger x=-1. Insättning av x=-1 i ekvationen 2y=1-4x, vilket ger 2y=1-4\cdot (-1)=5, dvs. y=\frac{5}{2}.

3. Bränsleförbrukning 12 p.

Det finländska flygvapnet har använt Hawk-övningsflygplan i över 40 år. I den här uppgiften ska du skapa en modell för bränsleförbrukningen då Hawk flyger på normal flyghöjd med 0{,}7-faldig ljudhastighet.

  1. I en enkel modell uppskattar man att 8 liter bränsle i minuten kommer att förbrukas. Hur länge kan man då flyga på 760 liter bränsle? (3 p.)

  2. I verkligheten minskar bränsleförbrukningen då flygplanet blir lättare. I en bättre modell beskrivs bränsleförbrukningen med hjälp av en fallande linje. Förbrukningen är 8{,}5 liter i minuten vid tidpunkten t=0, och 7{,}7 liter i minuten efter 40 minuter. Bilda det uttryck f(t) som beskriver bränsleförbrukningen som funktion av tiden i den här modellen. (6 p.)

  3. Lös ekvationen f(t)=8 och tolka svaret i ord. (3 p.)

IdékolumnGenomförandekolumnPoäng

Beräknad flygtid med division (divisionen kan vara felvänd).\frac{760}{8}=95, svar 95 (minuter)1+2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Svaret 95 minuter och kontroll med multiplikation.0+2 p.
Endast svaret 95 minuter.1 p.

Examinanden har bildat en linjär funktion, ex. f(t)=at+b, och använt givna villkor för bränsleförbrukningen.f(0)=8\mathrm{,}5 och f(40)=7\mathrm{,}7 1+2 p.
Examinanden har löst ut koefficienterna och tagit fram funktionen.(f(0)=)b=8\mathrm{,}5 och 40a+8\mathrm{,}5=7\mathrm{,}7, varefter a=\frac{-0\mathrm{,}8}{40}= -0\mathrm{,}02. 1+2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast beteckningarna f(0)=8\mathrm{,}5 och f(40)=7\mathrm{,}7, trots att f inte presenterats på något sätt. 1 p.
Endast svar f(t) = -0{,}02t+8{,}5\ ([1+0]+[0+1]) max 2 p.
Svaret som ekvationen för en linje y=-0\mathrm{,}02x+8\mathrm{,}5 eller variablerna felaktiga, ex. f(t)=-0\mathrm{,}02x+8\mathrm{,}5 –1 p.

ELLER (Minskning på en minut)
Examinanden undersöker hur mycket förbrukningen minskar på en minut. Beräkning av differensen av förbrukningarna (8\mathrm{,}5-7\mathrm{,}7=0\mathrm{,}8) ELLER (7\mathrm{,}7-8\mathrm{,}5=-0\mathrm{,}8) och förbrukningsminskningen på en minut \pm0\mathrm{,}8/40=\pm0\mathrm{,}02.1+2 p.
Bildning av en linjär funktionInformationen f(0) = 8{,}5, vilket betyder att f(t) = -0{,}02t + 8{,}5.1+2 p.

ELLER (Linjens ekvation)
En rät linje och användning av givna villkor för bränsleförbrukningen. Punkterna (0;8\mathrm{,}5) och (40;7\mathrm{,}7) i ett koordinatsystem.1+2 p.
Examinanden har löst ut koefficienterna och tagit fram funktionen. Riktningskoefficienten \frac{7\mathrm{,}7-8\mathrm{,}5}{40-0}=-0{,}02 och skärningspunkten med y-axeln b=8\mathrm{,}5 ELLER med räta linjens ekvation y-8\mathrm{,}5=-0\mathrm{,}02(x-0), vilket ger att funktionen är f(t)=-0\mathrm{,}02t+8\mathrm{,}5 (Första koefficienten 1 p., korrekt funktion 1 p.)1+2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Koordinatsystemets punkter nämns inte explicit, men lösningen är förnuftig: -1 för bristfälliga förklaringar. max 5 p.
Svaret som ekvationen för en linje y=-0\mathrm{,}02x+8\mathrm{,}5 eller variablerna felaktiga, ex. f(t)=-0\mathrm{,}02x+8\mathrm{,}5 –1 p.

Examinanden har bildat och löst ekvationen. f(t)=8,-0\mathrm{,}02t+85=8, dvs. t=\frac{0\mathrm{,}5}{0\mathrm{,}02}=25.1+1 p.
Bränsleförbrukningen är alltså 8 liter i minuten efter 25 minuters flygning.1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Ett fel ärvs från en tidigare deluppgift, men funktionen är linjär. max 3 p.
Ett fel ärvs från en tidigare deluppgift och funktionen är inte linjär, endast idépoäng. max 1 p.

4. Epidemi 12 p.

  1. En hälsovårdare har som uppgift att vaccinera de studerande på en läroanstalt. Enligt hans egen uppskattning skulle det ta sex timmar för honom att göra det, men för att påskynda vaccinerandet tar han med en praktikant, som skulle kunna vaccinera alla studerande på åtta timmar. Hur mycket tid går det åt till att vaccinera alla studerande, då hälsovårdaren och praktikanten arbetar samtidigt vid sina egna vaccineringsstationer? (6 p.)

  2. En redaktör uppskattar hur en epidemi kommer att avta efter att hon har fått uppgiften att antalet smittfall minskar med 2{,}5 % varje vecka. I början av februari är smittfallen 920 till antalet. Redaktören uppskattar att antalet smittfall kommer att minska med 92 fram till början av mars. Hon kommer fram till den här uppskattningen med följande räkneoperation:

    4 \cdot 0{,}025 \cdot 920 = 92.

    Utifrån sin beräkning drar redaktören slutsatsen att antalet smittfall i början av mars kommer att vara 920 - 92 = 828. Vad gick snett i redaktörens snabba beräkning? Korrigera redaktörens slutledning och ge en korrekt uppskattning av antalet smittfall i början av mars uttryckt som ett heltal. (6 p.)

Om praktikanten utför hela arbetet på 8 timmar, så har hen efter x timmar utfört andelen \frac{x}{8} av arbetet. 2 p.
Om hälsovårdaren utför hela arbetet på 6 timmar så har han efter x timmar utfört andelen \frac{x}{6} av arbetet. 1 p.
Vi löser alltså ekvationen \frac{x}{8}+\frac{x}{6}=1. 2 p.
Vi får x=\frac{48}{14}=\frac{24}{7}, vilket betyder att det går åt ca 3 h 26 min. Följande format och noggrannheter duger: 3 h 26 min, 3 h 30 min, 206 min, 210 min, 3,4 h och 3,43 h. 1 p.
ELLER
Beräknade vaccineringshastigheter:
\frac{100\, \%}{8\, \textrm{h}} = 12,5 \ \% per timme. 1 p.
\frac{100\, \%}{6\, \textrm{h}} = 16{,}666...\ \% per timme. 1 p.
Gemensam hastighet = 29{,}1666...\ \% på en timme. 2 p.
Tiden = \frac{100\ \%}{29{,}167\ \%} = 3{,}4286 timmar, som är ca 3 h 26 min. Följande format och noggrannheter duger: 3 h 26 min, 3 h 30 min, 206 min, 210 min, 3,4 h och 3,43 h. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Tiden är beräknad genom att man fixerar antalet studerande (ex. 100): 1+0+1+2 max 4 p.
ELLER (Gaffelmetod)
Beräknat hur stor andel praktikanten har vaccinerat efter tre timmar 3/8=0\mathrm{,}375. 1 p.
Beräknat hur stor andel som är ovaccinerad efter tre timmar 1-3/6-3/8=0\mathrm{,}125. 1 p.
Beräknat hur stor andel som vaccinerats av hälsovårdaren 0\mathrm{,}5/(0\mathrm{,}5+0\mathrm{,}375). (1 p.)
Den rätta andelen ovaccinerade har tilldelats vårdaren (och/eller praktikanten) 0\mathrm{,}125\cdot0\mathrm{,}5/(0\mathrm{,}5+0\mathrm{,}375)=0\mathrm{,}071. 1 p.
Beräknat andelen som överstiger tre timmar 0\mathrm{,}0714\cdot 6=0\mathrm{,}4286 som är 26 min. 1 p.
Det slutliga svaret 3 h 26 min har angetts.
Följande format och noggrannheter duger: 3 h 26 min, 3 h 30 min, 206 min, 210 min, 3,4 h och 3,43 h.
1 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Man har endast visat att det går åt mindre tid än 3{,}5 timmar, och att det går åt mera tid än 3 timmar. 1+1 p.

oberoende poäng Metoden fungerar inte eftersom hon beräknar 2{,}5 procent på startvärdet, trots att man borde beräkna den procentuella andelen av värdet enskilt varje vecka ELLER ''Redaktören har inte beaktat det så kallade ränta på ränta-fenomenet". 2 p.
Antalet smittfall är alltså 100\ \%-2{,}5\ \%=97{,}5\ \% av den föregående veckans antal ELLER beräknat antalet smittfall efter en vecka 0\mathrm{,}975\cdot 920=897 (endast korrekt uträkning 1 p., den andra poängen ges om det i lösningen framgår att det är fråga om antalet smittfall efter en vecka). 2 p.
Vi får 920\cdot 0{,}975^4\approx 830 eller 831 eller 800 smittfall. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Examinanden har konstaterat att redaktören använt ett felaktigt antal veckor och själv räknat med 4,5 veckor enligt 0\mathrm{,}975^{4\mathrm{,}5}\cdot 920. (0+2+1 p.)
Beräknat med tabellmetod, för stora avrundningar i mellansteg, svaret 832: från de två sista raderna totalt max 3 p.
Endast svaret 831: från de två sista raderna 0+1.
Beräknat direkt 920 \cdot 0{,}975^4 = 831: från de två sista raderna max 3 (bristfälliga förklaringar -1 p.)

Del B1

5. Elförbrukningen i Finland 12 p.

Finlands elförbrukning var cirka 13 410 megawatt (MW) vid lunchtid den 12 februari 2021. Fördelningen av den inhemska elproduktionen framgår av tabell 5.A, och ursprunget för den importerade elen presenteras i tabell 5.B.

  1. Hur många procent av den förbrukade elen kommer från inhemsk elproduktion och hur många procent är importerad el? (4 p.)

  2. Kärnkraft, vattenkraft, vindkraft och solenergi förorsakar inga koldioxidutsläpp. Beräkna deras sammanlagda andel av den inhemska elproduktionen. (4 p.)

  3. Anta att 35 procent av den importerade elektriciteten från Sverige produceras med vattenkraft. Hur många procent av den totala elförbrukningen i Finland har då sitt ursprung i svensk vattenkraft? (4 p.)

Ange alla svar med två gällande siffrors noggrannhet.

Den inhemska andelen elektricitet är \frac{10510}{13410} \approx (0{,}7837435 \approx)\ 78\ \%. 2 p.
Importelen är (1800 + 1000 + 100 =)\ 2900 MW eller (13410-10510 =)\ 2900 MW, vilket ger \frac{2900}{13410} \approx (0{,}2162565 \approx)\ 22\ \%. ELLER Importelens andel är alltså 100\ \% - 78\ \% = 22\ \%. 2 p.

Kärnkraften, vindkraften, vattenkraften och solenergin utgör sammanlagt 2800+2200+800+50=5850 MW. 2 p.
Deras andel är \frac{5850}{10510}\approx (0{,}5566127 \approx) \ 56\ \%. (Här kan man även svara med 0{,}56.) 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Användning av endast 3 termer och inte 4 i summan (ex. 2800 + 2200 + 800) max 3 p.

Av svensk vattenkraft importeras 0\mathrm{,}35 \cdot 1800 \textrm{ MW} = 630 \textrm{ MW}. 2 p.
Andelen som detta utgör av Finlands totala elförbrukning är \frac{630}{13410} \approx (0{,}04697987 \approx)\ 4{,}7\ \%. 2 p.

Specifika anvisningar för uppgiften
Fel avrundningsnoggrannhet: -1 p. från hela uppgiften.
Svaret i decimalform: -1 p. från hela uppgiften (deluppgifterna 5.1 och 5.3)

6. Kapitalutveckling 12 p.

Liban har 2 200 euro på sitt sparkonto 31.12.2022. Kontots nettoräntesats är 0,70 %. Shakir har 2 000 euro på sitt sparkonto 31.12.2022. Nettoräntesatsen är 0,70 % för hans sparkonto till slutet av år 2025 och efter det 1,26 %. Räntan betalas årligen den 31 december.

  1. Hur mycket pengar har Liban och Shakir på sina konton 31.12.2025? Hur mycket mera ränteinkomster än Shakir har Liban fått? (6 p.)

  2. Liban och Shakir rör inte sina konton förrän Shakirs kapital är större än Libans kapital. I slutet av vilket år sker detta? (6 p.)

IdékolumnGenomförandekolumnPoäng

Användning av rätt modell.k^3\cdot 2000 eller k^3\cdot 2200, där k \in \{1{,}0007, 1{,}007, 1{,}07\}1+2 p.
Liban: exakt 2246{,}52 euro och Shakir: exakt 2042{,}29 euro (denna noggrannhet eller en noggrannhet på en euro eller 10 euro)0+1 p.
Beräkning av ränteinkomsterna med egna tal och jämförelse av dem.Shakir: 2042{,}29-2000=42{,}29 euro och Liban: 2246{,}52-2200=46{,}52, dvs. Libans ränteinkomst är 46{,}52-42{,}29=4{,}23 eller 4{,}2 eller 4 euro högre.1+1 p.

ELLER (tabellmetod)
Användning av rätt modell (förklaring eller formel krävs) och beräkning av första årets belopp.Räntefaktorn k \in \{1{,}0007, 1{,}007, 1{,}07\} (Liban: 2215{,}40, Shakir: 2014{,}00) 1+1 p.
Tabell för minst 2 år.Man har fått det tredje årets värden exakt 2246{,}52 (Liban) och exakt 2042{,}29 (Shakir). ELLER årlig tabell med en cents noggrannhet, varefter Liban: exakt 2246{,}53 och Shakir: exakt 2042{,}30 (denna noggrannhet eller en noggrannhet på en euro eller 10 euro)1+1 p.
Beräkning av ränteinkomsterna med egna tal och jämförelse av dem. Shakir: 2042{,}29-2000=42,29 euro och Liban: 2246{,}52-2200=46{,}52, dvs. Libans ränteinkomst är 46{,}52-42{,}29=4{,}23 eller 4{,}2 eller 4 euro högre.1+1 p.

Man har beaktat räntefaktorns förändring. 1+0 p.
Bildning av en ekvation eller olikhet, där den korrekta exponentiella modellen ingår. 1{,}007^x\cdot 2246{,}52=1{,}0126^x\cdot 2042{,}29 (korrekt ekvation/olikhet, fel -1 p./st). Man får använda egna tal för det tredje året.1+2 p.
Lösning av olikheten/ekvationen och startåret beaktas.x\approx 17{,}19, dvs. i slutet av år 2025+18= exakt 2043 har Shakir mera pengar.1+1 p.

ELLER (tabellmetod)
Man har beaktat räntefaktorns förändring. 1+0 p.
I tabellen är en rad med den nya räntefaktorn rätt (året har ingen betydelse). I tabellen ingår året (18:e) då ordningen ändras, och det föregående (17:e) året samt de belopp som motsvarar dem 2529{,}36 och 2547{,}07 (Liban) och 2526{,}75 och 2558{,}59 (Shakir). Den första poängen kommer från det att förändringsåren och minst ett belopp är korrekt. Man kan använda egna tal för det tredje året.1+2 p.
Examinanden väljer en lämplig tidpunkt från den egna tabellen och beaktar startåret. Från tabellen väljs 18 år, vilket ger att Shakir har mera pengar i slutet av år 2025+18= exakt 2043.1+1 p.

7. Bollar i en låda 12 p.

I en låda finns sju röda bollar och dessutom svarta bollar. Då man slumpmässigt plockar två bollar samtidigt ur lådan är sannolikheten för att båda bollarna är röda \frac{1}{10}. Hur många bollar finns det i lådan?

Man kan tänka sig att bollarna plockas efter varandra utan återläggning. Då den första bollen tas finns det 7 röda bollar och då den andra bollen tas finns det 6 röda bollar i lådan ELLER ett omnämnande om efter varandra följande dragningar. 1 p.
Anta att n är det totala antalet bollar (eller en variabel presenterad på annat sätt), varvid det när man tar den andra bollen finns n-1 bollar i lådan (eller förklarat en minskning med ett). 1+1 p.
Sannolikheten för att den första bollen är röd är \frac{7}{n} och sannolikheten för att den andra är röd är \frac{6}{n-1}. 1+2 p.
Multiplikation av dessa (2 p.) och bildning av en ekvation (1 p.) (\frac{7}{n}\cdot \frac{6}{n-1}=\frac{1}{10}), 2+1 p.
från vilket n=-20 eller n=21, 1+1 p.
vilket betyder att det totala antalet i början är 21. 1 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Ekvationen uppstår ur tomma intet 0+0+3+3+2+1 max 9 p.
Bollarna sätts tillbaka (ex. \frac7n \cdot \frac6n = \frac1{10} eller \frac7n)^2 = \frac1{10}): 1+1+1+2+0+0 max 5 p.
ELLER (kombinationslösning)
Två bollar dras på en gång (idé). 1 p.
Antalet möjliga dragningar är \binom{n}{2}. 2 p.
Antalet gynnsamma utfall (båda bollarna är röda) är \binom{7}{2}. 2 p.
Sannolikheten för att båda bollarna är röda är kvoten av dessa \binom{7}{2}/\binom{n}{2}. 2 p.
Ekvation där detta betecknas vara lika stort som talet \frac{1}{10}. 2 p.
Lösningarna n= -20 eller n=21, 1+1 p.
vilket ger att antalet bollar i början är 21. 1 p.
ELLER (prövningslösning)
Det korrekta svaret 21. 2 p.
Beräkning av att villkoren uppfylls. 4 p.
Entydigheten:
En omsorgsfullt utförd monotonitetsmotivering ELLER
ett exempel där n>21 (2 p.), exempel där n<21 (2 p.), idé om monotonitet (2 p.)
6 p.

8. Pandemirestriktioner 12 p.

Under coronaviruspandemin våren 2021 begränsade myndigheterna gymmens verksamhet för att minska risken för virusexponering. Det fick vara högst 10 kunder samtidigt på ett gym. Muskelby gym är öppet varje dag kl. 8–22. Där genomfördes restriktionerna så att träningsturerna var en timme långa och fem kunder byttes ut med en halvtimmes mellanrum under öppethållningstiden.

De fem första besökarna kom till gymmet kl. 8.00 och de följande fem kl. 8.30. De besökare som kommit till gymmet 8.00 avlägsnade sig kl. 9.00, då fem nya kom till gymmet. Så fortsatte det hela dagen. De sista fem besökarna som kom till gymmet kl. 21.00 avlägsnade sig kl. 22.00, då gymmet stängdes.

De byten som skedde med en halvtimmes mellanrum genomfördes så att besökare som anlände och avlägsnade sig inte mötte varandra.

  1. Hur många gymbesökare hade möjlighet att träna i Muskelby gym på en dag? (4 p.)

  2. Skulle det med något annat arrangemang ha varit möjligt för flera kunder att träna på gymmet på ett sådant sätt att man ändå hade följt myndigheternas restriktioner? (4 p.)

  3. Under en träningstur som började kl. 12.00 en dag tränade en person som var smittad av coronaviruset. Hur många andra besökare exponerades för smittan då det under den dagen kom fem nya kunder till alla träningsturer? (4 p.)

Det fanns totalt 14 timmar träningstid under dagen. (1 p.)
Det kom kunder i totalt 27 omgångar under dagen. (1 p.)
Antalet träningsturer är sammankopplat med antalet besökare. (1 p.)
Examinanden har med beräkning eller slutledning kommit fram till det totala antalet. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast det rätta svaret (135). 1 p.
Förklaringar saknas, endast uträkning och svar. max 3 p.
En omgång saknas eller så är de för många till antalet (130/140). max 3 p.
''Salen är öppen i 14 timmar och det får vara 10 personer i taget, dvs. antalet besökare är 14 \cdot 10=140.'' (1+0+0+1) (Här har inte antalet besökare alls anknutits till antalet träningsturer.) 2 p.

Korrekt slutledning (ja). 1 p.
Redögörelse för en fungerande metod, ex. ''De förkortar träningstiden.'' eller ''De förlänger öppethållningstiden.'' eller ''Man kan börja träna direkt då den föregående avlägsnar sig.'' eller "En grupp på 10 gymbesökare vid hela timmar". 1 p.
Examinanden har presenterat en uträkning eller en förklaring i ord för att antalet kunder > 135. 2 p.

(Exponering via luften)
Examinanden har beaktat de väsentliga turerna 11.30, 12.00 och 12.30 i en uträkning eller i ord. 1+1+1 p.
Ett svar har angetts utgående från egna förnuftiga tal (i svaret ingår åtminstone behandling av två turer). 1 p.
ELLER (Alla de som anlände senare exponerades)
Examinanden har beaktat de väsentliga turerna 11.30 och 12.00. 1+1 p.
De besökare som anlänt från och med kl. 12.30 och exponerats har blivit beaktade och uträkningen är korrekt (90). 1 p.
Beräknad summa. 1 p.
ELLER (Alla de som anlände senare exponerades)
Examinanden har beaktat morgonens turer, av vilka den sista slutar kl. 12.00. 1+1 p.
Antalet besökare på dessa morgonturer har beräknats. 1 p.
Antalet besökare på morgonturerna har subtraherats från det totala antalet. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast korrekt svar (14 eller 99). 1 p.
Antalet exponerade på den egna träningsturen är 5. –1 p.
Turen kl. 11.00 eller en tidigare tur har beaktats. –1 p.

9. Finländska mäns och kvinnors längd 12 p.

Medellängden för finländska kvinnor är 167{,}5 cm och standardavvikelsen för längden är 5{,}40 cm. Medellängden för finländska män är 181{,}0 cm och standardavvikelsen för längden är 6{,}06 cm. Vi antar att längderna för finländska män och kvinnor är normalfördelade.

  1. Beräkna sannolikheten för att båda är kortare än 160 cm då man slumpmässigt väljer en finländsk man och en finländsk kvinna. (6 p.)

  2. Annes längd är 171 cm. Hon beräknar sannolikheten för att en slumpmässigt vald finländsk kvinna är längre än hon, men ändå inte mera än x cm längre, och får resultatet 0{,}1. Vilket är det tal x som Anne använt? (6 p.)

Tanke om normering. 1 p.
Normeringen korrekt (\frac{160-167{,}5}{5,40}\approx -1{,}38889 och \frac{160-181{,}0}{6{,}06}\approx -3{,}46535). 1 p.
Kvinnans sannolikhet 0{,}08243. 1 p.
Mannens sannolikhet 2{,}648\cdot 10^{-4} eller från tabell 3\cdot 10^{-4}. 1 p.
Sannolikheterna multipliceras med varandra och man får 0{,}08243\cdot 2{,}648\cdot 10^{-4} 1 p.
\approx 2{,}2\cdot 10^{-5}. (Det är möjligt att ge svaret med samma noggrannhet som mellanstegen.) 1 p.
ELLER (GeoGebra-anvisning)
Examinanden använder rätt verktyg för något my och sigma. 1 p.
My och sigma korrekta i båda. 1 p.
Kvinnornas andel 0{,}08243 1 p.
Männens andel 2{,}648\cdot 10^{-4} eller 3\cdot 10^{-4} 1 p.
Sannolikheterna multipliceras med varandra, 1 p.
resultat \approx 2{,}2\cdot 10^{-5}. (Det är möjligt att ge svaret med samma noggrannhet som mellanstegen.) 1 p.

Här ska man ta reda på hur stor skiva normalfördelning som behövs om dess startpunkt är Annes normerade värde \frac{171-167{,}5}{5{,}40}\approx 0{,}64815, som motsvarar sannolikheten 0{,}7416. 2 p.
Det värde som motsvarar den övre gränsen är 0{,}1 större, dvs. 0{,}8416. 1 p.
Det normerade värdet är 1{,}001. 1 p.
Längden uppfyller därmed ekvationen \frac{171+x-167{,}5}{5{,}40}=1{,}001, 1 p.
dvs. x\approx 1{,}9 eller 2 (cm) (inga andra noggrannheter). 1 p.
ELLER (GeoGebra-poängutdelning)
My och sigma korrekta. 1 p.
Något slutet intervall undersöks och 0\mathrm{,}1 är på rätt ställe. 1 p.
Nedre gränsen är 171 och den övre gränsen har hittats (172{,}9). 1 p.
oberoende poäng Examinanden har redogjort för en metod där övre gränsen har hittats genom användning av ett slutet intervall (gaffelmetod). 1 p.
Differensen mellan den övre och den nedre gränsen har beräknats. 1 p.
Svar exakt 1\mathrm{,}9 eller exakt 2 (cm) (inga andra noggrannheter). 1 p.

Del B2

10. Blåbärspaj 12 p.

I receptet för blåbärspaj står det att man behöver 2{,}5 dl socker. Pajreceptet är avsett för en rundbottnad form vars diameter är 30 cm. Henka och Micke bakar blåbärspajer av samma tjocklek för skolans basar.

  1. Henka bakar fyra ugnsplåtar blåbärspaj. Ugnsplåtens mått är 30 cm\times 40 cm. Hur mycket socker behöver han? (6 p.)

  2. Micke bedömer att man får de största intäkterna med små cirkelformade pajer. Han använder rundbottnade formar som har diametern 10 cm, och fyrdubblar ingrediensmängderna i receptet. Hur många pajer bakar han? (6 p.)

Arean på en ugnsplåt är 30\ \textrm{cm} \cdot 40\ \textrm{cm} = 1200~ \textrm{cm}^2 (enheter krävs inte). (1 p.)
4\cdot 1200~\textrm{cm}^2 = 4800~\textrm{cm}^2 (enheter krävs inte). 1 p.
Arean på formen enligt receptets anvisningar är 15^2 \cdot \pi \, (\textrm{cm}^2) (ca 706{,}9~\textrm{cm}^2) 2 p.
Förhållandet mellan de ovan nämnda areorna betecknat eller beräknat (ca 6\mathrm{,}79). 1 p.
Multiplikation med 2\mathrm{,}5 och svar med enhet (ca 17 dl). 1 p.
ELLER (Med proportionalitet)
Ugnsplåtens area enligt ovan. 2 p.
Formens area. 2 p.
Förnuftig proportionalitetsekvation. 1 p.
Lösning av ekvationen/multiplikation med 2\mathrm{,}5 och svar med enhet (ca 17 dl). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Multipeln 4 har glömts bort, svar ca 4\mathrm{,}2 dl max 5 p.

Arean på den större rundbottnade formen (2 p. är redan förtjänat) 0 p.
Arean på den mindre rundbottnade formen. 2 p.
Förhållandet mellan areorna (= 9). 2 p.
Multiplikation med 4. 1 p.
Svaret 36. 1 p.
ELLER (Med proportionalitet)
Arean på den större formen (2 p. är redan förtjänat) 0 p.
Arean på den mindre formen. 2 p.
Multiplikation med 4. 1 p.
Förnuftig proportionalitetsekvation och dess lösning. 2 p.
Svaret 36. 1 p.
ELLER (direkt via radierna/diametrarna)
Eftersom formens diameter är 10 cm, så får man med receptets mängd deg \left(\frac{30}{10}\right)^2=9 pajer. 4 p.
Med en fyrfaldig degmängd får man alltså 9\cdot 4=36 pajer. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Lösningen är i övrigt i skick, men i stället för den rundbottnade formen så har ugnsplåten använts, svar 61: avdrag -1 p., då den felaktiga arean används första gången. max 5 p.

Specifika anvisningar för uppgiften
Examinanden har inte konstaterat att degmängden är proportionell mot arean, eller ett fast talvärde på pajernas tjocklek. –0 p.

11. Vinterutfodring av fåglar 12 p.

En fågelskådare har börjat med vinterutfodring av fåglar. Hon har skaffat en ny fågelmatare enligt figuren 11.A och videon 11.B.

  1. Gör en modell av fågelmataren med hjälp av ett lämpligt prisma. Rita en figur av prismat och beräkna dess volym. (6 p.)

  2. Enligt tillverkarens uppgifter är fågelmatarens volym cirka 1{,}6 liter. Förklara vad skillnaden mellan volymen i tillverkarens uppgifter och volymen i uppskattningen i deluppgift 11.1 beror på. (2 p.)

  3. Hur många gånger kan en tom fågelmatare fyllas med en säck solrosfrön på 25 kilogram, då fröblandningens densitet är 0{,}460 kg/dm^3? Använd den volym för fågelmataren som tillverkaren angett. (4 p.)

IdékolumnGenomförandekolumnPoäng

Examinanden har ritat ett prisma, vars botten är en triangel eller en stympad triangel.Längderna är ungefär 18, 20 och 14 (cm) (1 p.). Prismat är korrekt 1 p.1+2 p.
Beräkning av volymen.Bottentriangelns höjd (h=\sqrt{20^2-(18/2)^2}\approx 17{,}86 (cm)) (1 p.), arean av prismats botten A=xh/2\ (=18\cdot h/2\approx 160{,}75\ (\textrm{cm}^2)), prismats volym (18\cdot h\cdot 14/2 \approx2250{,}43\ (\textrm{cm}^3)) dvs. ca 2{,}3 liter (1 p.). (Den här deluppgiftens poäng endast för prismat.)1+2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Examinadens meddelade längder får avvika från de rätta med 1 cm i båda riktningarna.
Typfel: Examinanden har använt en kon som modell. Då ges max. 0 + 1 på den första raden och max. 1 + 0 på den andra raden (poäng förtjänas för korrekta längder och för volymen). max 2 p.
Typfel: Examinanden har använt ett rätvinkligt prisma som modell. Då ges max. 0 + 1 på den första raden och max. 1 + 0 på den andra raden (poäng förtjänas för korrekta längder och för volymen). max 2 p.
Typfel: arean av prismats botten 18\cdot 20/2. max 5 p.

Examinanden räknar upp faktorer som leder till skillnaden (två räcker).Mätfel i tillverkarens mätning (mätt med t.ex. rymdmått), modellen är inte noggrann (fågelmataren är inte ett rakt prisma, till exempel fördjupningar är obeaktade), hur skivans tjocklek inverkar, triangelns nedre hörn fylls inte, mataren kan kanske inte fyllas helt eller så töms den kanske inte helt. 0+2 p.

Division av säckens massa med densiteten. \frac{25\ (\textrm{kg})}{0,460\, (\textrm{kg}/\textrm{dm}^3)}\ (\approx 54\mathrm{,}35 liter frön).1+1 p.
Division av säckens volym med fågelmatarens volym. \frac{54\mathrm{,}35\ (\textrm{l})}{1\mathrm{,}6\ (\textrm{l})}\approx 33,97 \approx 34 (eller avrundat nedåt 33).1+1 p.
ELLER
Multiplikation av densiteten och fågelmatarens volym.0,46\, (\textrm{kg}/\textrm{l})\cdot 1,6\, (\textrm{l})=0{,}736 (kg)1+1 p.
Division av säcken massa med den ovanstående massan.\frac{25\, (\textrm{kg})}{0{,}736\, (\textrm{kg})}=33{,}97\dots dvs. ca 34 gånger (eller 33 gånger)1+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Beräkning med egen volym. max 3 p.

12. Pokémon GO 12 p.

I spelet Pokémon GO har alla pokémon ett anfalls-, försvars- och hållbarhetsvärde av vilka varje är ett heltal i mängden \{0, 1, \ldots, 15\}. Vi antar att dessa värden lottas ut och att sannolikheten för varje värde är densamma.

  1. Hur många olika anfalls-, försvars- och hållbarhetskombinationer finns det? (4 p.)

  2. På hur många olika sätt kan man få en pokémon, där summan av anfalls-, försvars- och hållbarhetsvärdena är 43? (4 p.)

  3. Spelet består även av så kallade skuggpokémon. Vi antar att värdena 015 lottas ut på samma sätt även för dem. Om man rengör en skuggpokémon så ökar alla dess värden med två, men högst till värdet femton. Vilken är sannolikheten för att få en skuggpokémon vars värden efter rengöringen är 151515? (4 p.)

Det finns 16 alternativ för varje värde. (För det här så räcker det att det i lösningen finns ett uttryck där talet 16 är den största faktorn eller att talet ingår i en addition, ex. 16\cdot 3, eller att talet 16 ingår i den tredje deluppgiften.) (1 p.)
Antalet kombinationer är därmed 16^3=4\, 096. 2+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
15^3=3375 0+3 p.
Endast svaret 4096 3 p.

Man kan få summan 43 om två värden är 15 och ett värde 13 eller om två värden är 14 och ett värde 15. 2 p.
I båda fallen finns det tre sätt. Därmed är de sammanlagt sex till antalet. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Ifall 1–2 summor anges, av vilka en inte är 43 (ex. 42 förekommer), så trots detta en poäng på andra raden för det korrekta antalet sätt.
Om det förutom korrekta summor ges felaktiga summor, så ger detta på den första raden ett avdrag på 1 p. för den första summan och 1 p. för den andra.
43=15+15+13 och antalet sätt är 3 st. 1+1 p.
42=15+15+12 och antalet sätt är 3 st. 0+1 p.
Endast svaret 6 sätt. 1 p.

Värdena bör vara 13, 14 eller 15 före rengöringen, 1 p.
vilket betyder att sannolikheten för varje enskilt gynnsamt fall är \frac{3}{16} (i nämnaren det egna värdet från den första deluppgiften eller 16) ELLER antalet gynnsamma fall 3^3. 1 p.
Den efterfrågade sannolikheten är alltså (\frac{3}{16})^3 (1 p.)
=\frac{27}{4096}\approx 0{,}1875^3=0{,}006591796875. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Alla noggrannheter duger (om bara \ne 0).
Beräknat med närmevärden så att värden i mellanstegen har en extra gällande siffra. –0 p.
Ett fel från den första deluppgiften (ex. 16 \to 15) överförs. max 4 p.
Endast värdena 14 och 15 har granskats och examinanden har fått 2^3/16^3=1/512. 0+1+2 p.
Endast fallet 13–13–13 är granskat och man har fått 1^3/16^3=1/4096. (0+0+1+0) 1 p.

13. Den största arean 12 p.

Den nedre kanten i en rektangel ligger på den positiva x-axeln, den vänstra vertikala kanten på den positiva y-axeln och det högra övre hörnet på parabeln y=-x^2+9. Bestäm rektangelns största möjliga area med hjälp av derivatan.

En figur där en parabel ingår OCH en korrekt ritad rektangel eller rektangelns hörnpunkter. 1 p.
Det framgår att rektangelns höjd är 9-x^2. (1 p.)
Rektangelns area är x\cdot (9-x^2) 2 p.
och parenteserna är avlägsnade. (1 p.)
Areafunktionens derivata är beräknad (f'(x)=9-3x^2). 2 p.
Derivatans nollställen är beräknade (x=\pm \sqrt{3}), 1 p.
av vilka endast det positiva nollstället duger. 1 p.
Teckenschema ELLER så har man begränsat granskningen av funktionen f i det slutna intervallet [0,3], man börjar beräkna funktionens värden i ändpunkterna och derivatans nollställen (1 p.) och har beräknat alla dessa värden. 2 p.
Därmed är den största arean exakt f(\sqrt{3})=\sqrt{3}(9-3)=6\sqrt{3}. 1 p.

Specifika anvisningar för uppgiften
I areauttrycket på rad 3 saknas parenteser och slutet är felaktigt (1+1+1). max 3 p.
Extremvärdet har sökts endast med program utan derivata (1+1+2+1+0+0+0+0+0). max 5 p.
Derivatans nollställen som närmevärden (1+1+2+1+2+0+1+2+0). max 10 p.
Uppgiftsbeskrivningens funktion -x^2+9 har deriverats. +0 p.
Begreppen rektangel och rätvinklig triangel har blandats ihop. +0 p.
f(x)=x(9+x^2): 0+1+2+1+2+0+0+0+0 max 6 p.