Hyvän vastauksen piirteet: FI – Fysiikka

Ainoa astronauttiin kohdistuva voima on Kuun painovoima, joka on vakio. Liikettä voidaan kuvata tasaisesti kiihtyvän liikkeen mallilla, jota esittää toisen asteen yhtälö y=\frac{1}{2}at^2+v_0t+y_0. Sovitus mittauspisteisiin antaa kuvaajaksi paraabelin y = (-0{,}8672 \mbox{ m/s}^2)t^2+(1{,}314 \mbox{ m/s})t+1{,}542 \mbox{ m}.

Pisteytys:
On esitetty kuvaaja, jossa korkeudet ajan funktiona näkyvät erillisinä mittauspisteinä ja mittauspisteisiin on sovitettu toisen asteen yhtälö, jonka yhtälö on annettu (5 p.). Puuttuvasta tai nimeämättömästä sovitteesta vähennetään 2 pistettä. Jos datapisteitä ei ole kuvattu erillisinä pisteinä, vähennetään 2 pistettä. Jos suureen tunnus puuttuu tai yksikkö puuttuu tai akselit ovat väärin päin, vähennetään kustakin virheestä 1 piste.
Liikkeen malliksi on kerrottu tasaisesti kiihtyvä tai tasaisesti muuttuva liike (2 p.).

Tyypillisiä virheitä: Sovitteen yhtälöä ei ole annettu tai se on virheellinen. Liike on nimetty kiihtyväksi liikkeeksi.

Kuvaajan korkein kohta on paraabelin huippukohdassa. Aineiston perusteella John Young on hypyn korkeimmassa kohdassa, kun t = 0,76 \mbox{ s}. Sama tulos saadaan myös derivoimalla sovitetta ja ratkaisemalla nollakohta: \frac{dy}{dt}=2\cdot(-0{,}8672 \mbox{ m/s}^2)t+1{,}314 \mbox{ m/s}=0, joten t=\frac{1{,}314 \mbox{ m/s}}{1{,}7344 \mbox{ m/s}^2}=0{,}758 \mbox{ s}.

Pisteytys:
Annettu vastauksena 2-3 merkitsevän numeron tarkkuudella ajanhetki välillä t = 0,730 – 0,774 s (2 p.). Muusta tarkkuudesta vähennetään 1 piste.

Tyypillinen virhe: Annettu ajanhetkeksi t = 0,6013 s.

Putoamiskiihtyvyys voidaan saada sovitteesta usealla tavalla, esimerkiksi:

1. Aineistoon sopii sovite y (t) = (-0{,}8672 \mbox{ m/s}^2)t^2+(1{,}314\mbox{ m/s})t+ 1{,}542 \mbox{ m}. Kun tätä verrataan tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöön y=\frac{1}{2}at^2+v_0t+y_0, havaitaan, että \frac{1}{2}a = -0{,}8672 \mbox{ m/s}^2. Näin siis putoamiskiihtyvyyden suuruus Kuun pinnalla on aineiston perusteella g_{\mbox{Kuu}}=1{,}7 \mbox{ m/s}^2.
2. Määritetään alkunopeus sovituksen kohdasta t = 0 \mbox{ s}: v_0 = 1{,}314 \mbox{ m/s}.
   Nopeus v on alkunopeuden, kiihtyvyyden ja ajan funktio: v = v_0-g_{\mbox{Kuu}}t. Lakipisteessä nopeus v = 0, ja aineiston perusteella lakipiste saavutetaan hetkellä t = 0{,}758 \mbox{ s}, joten g_{\mbox{Kuu}}=\frac{v_0}{t}=\frac{1{,}314 \mbox{ m}}{0{,}758 \mbox{ s}}= 1{,}7 \mbox{ m/s}^2.

Pisteytys: On käytetty tai selitetty toimiva menetelmä (3 p.). Toimivia menetelmiä ovat esimerkiksi: Derivoidaan mittausaineisto numeerisesti ja saadaan hetkellinen nopeus, johon voidaan sovittaa suora. Määritetään hetkellinen nopeus kahdessa pisteessä ja niiden avulla kiihtyvyys tai käytetään hetkellistä nopeutta ja paikkaa energiatarkastelussa. Sovelletaan tasaisesti kiihtyvän liikkeen aikana kuljetun matkan yhtälöä sovitteen kertoimien tulkintaan tai aineistosta määritettyihin paikkoihin ja nopeuksiin.

On annettu oikealla menetelmällä saatuna vastauksena kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella g = 1,55 m/s² – 1,81 m/s² (3 p.). Muusta tarkkuudesta vähennetään 1 piste.

Tyypillisiä virheitä: Laskettu Kuun putoamiskiihtyvyys gravitaatiolaista aineistoa hyödyntämättä. Kiihtyvyyden määrittämisessä on käytetty sekaisin tasaisen liikkeen ja tasaisen kiihtyvyyden kaavoja.

Valitaan positiiviset suunnat oheisen kuvan mukaisesti. Hissikoriin vaikuttavat painovoima G_{\rm H} ja vaijerin jännitysvoima F_{\rm H} ja vastapainoon painovoima G_{\rm V} ja vaijerin jännitysvoima F_{\rm V}. Hissin nopeudet hetkillä t_1=0 ja t_2=1{,}2\;{\rm s} ovat vastaavasti v_1=0 ja v_2=1{,}6\;{\rm m/s}, joten hissikorin ja vastapainon kiihtyvyydeksi saadaan a=\frac{v_2-v_1} {t_2-t_1}= {\rm1{,}333 \; m/s^2.}
Hissikorin ja sen sisältämän kuorman yhteismassa on m_{\rm H}=830\;{\rm kg} ja vastapainon massa m_{\rm V}=670\;{\rm kg}. Newtonin II lain perusteella m_{\rm H}a=F_{\rm H}-G_{\rm H} ja m_{\rm V}a=G_{\rm V}-F_{\rm V}. Putoamiskiihtyvyys on g=9{,}81\;{\rm m/s^2} ja painot G_{\rm H}=m_{\rm H}g ja G_{\rm V}=m_{\rm V}g. Vaijerin jännitysvoimiksi saadaan F_{\rm H}=m_{\rm H}(g+a)=9\ 249\;{\rm N}\approx 9{,}2\;{\rm kN} ja F_{\rm V}=m_{\rm V}(g-a)=5\ 680\;{\rm N}\approx 5{,}7\;{\rm kN}.

Pisteytys:
On piirretty oikeat voimakuviot hissille ja vastapainolle (2 p. + 1 p.). Jos voimanuolten keskinäiset pituudet ovat väärin, jokin voima puuttuu, kuviossa on ylimääräinen voima tai voimanuolet ovat irti kappaleista, kuvio on väärin.
On esitetty oikein skalaari- tai vektorisuureiden avulla kirjoitetut suureyhtälöt kappaleisiin vaikuttaville voimille Newtonin II lain mukaisesti, jolloin yhtälön toisena puolena on massan ja kiihtyvyyden tulo (2 p.), ja annettu oikeat vastaukset (2 p. + 2 p.).

Tyypillinen virhe: Vektoreiden ja skalaarien sekoittaminen yhtälön sisällä, jännitysvoiman pitäminen yhtä suurena kumpaankin kappaleeseen.

Hetkellä t=0{,}80\;{\rm s} hissikorin ja vastapainon nopeus on v=at=1{,}066\;{\rm m/s}. Moottorin mekaaninen teho on P=P_{\rm H}+P_{\rm V}, jossa P_{\rm H}=F_{\rm H}v ja P_{\rm V}=-F_{\rm V}v ovat vastaavasti vaijerin hissikoriin ja vastapainoon kohdistamien voimien tehot. Siis P=(F_{\rm H}-F_{\rm V})v=3\ 805\;{\rm W}\approx 3{,}8\;{\rm kW}.

Pisteytys:
On annettu oikea suuruus hissin nopeuden itseisarvolle kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).
On annettu hetkellisen tehon suureyhtälö ja sovellettu sitä (2 p.) ja annettu oikea vastaus kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).

Tyypillinen virhe: Tehoa on yritetty laskea muilla tavoin, kuin hetkellisenä tehona.

Kudosnesteen lämmittämiseen ja höyrystämiseen tarvitaan energia

Q=c_{\rm vesi}m_1 \Delta T + r_{\rm vesi} m_2,
jossa m_1=1{,}1\cdot 10^{-3} kg, m_2=0{,}40\cdot 10^{-3} kg ja \Delta T=63\,{\rm K}.

Aika saadaan tehon suureyhtälöstä P=Q/t:

\begin{eqnarray*} t & = & \frac{Q}{P}=\frac{c_{\rm vesi}m_1 \Delta T + r_{\rm vesi} m_2}{P} \\ & = & \frac{4\ 190\frac{{\rm J}}{{\rm kg}\cdot {\rm K}}\cdot 1{,}1\cdot 10^{-3}\, {\rm kg}\cdot 63\,{\rm K}+2{,}26\cdot 10^{6}\frac{\rm J}{\rm kg} \cdot 0{,}40\cdot 10^{-3}\, {\rm kg}}{58\,{\rm W}} = 20{,}6\,s \approx 21\,s. \end{eqnarray*}

Pisteytys:
On esitetty oikeat suureyhtälöt sekä lämmittämiselle että höyrystymiselle (3 p.) ja teholle (2 p.)
On annettu oikea lukuarvo ajalle välillä 20,0 – 21,0 s yhdestä kolmeen merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.)

Tyypillinen virhe: Höyrystetään koko kudosnesteen määrä.

Annetulle teholle pätee P=UI, jossa I on tehollinen virta. Tehollinen jännite on tällöin U=P/I. Koska kyseessä on sinimuotoinen vaihtovirta, niin tehollinen jännite on U=u_0/\sqrt{2}, jossa u_0 on jännitteen huippuarvo. Jännitteen huippuarvo on u_0=\sqrt{2}\,U=\sqrt{2}\,\frac{P}{I}=\sqrt{2}\cdot\frac{58\,{\rm W}}{0{,}45\,{\rm A}}=182{,}3\,{\rm V} \approx 180\,{\rm V}.

Pisteytys:
On esitetty oikein tehollisen ja huippuarvon yhteys virralle tai jännitteelle (3 p.).
On annettu oikea lukuarvo jännitteen huippuarvolle kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).

Tyypillinen virhe: Ei ole huomioitu tehollisen ja huippuarvon eroa.

Resistanssi on R=\frac{U}{I}=\frac{P}{I^2}=\frac{58\,{\rm W}}{(0{,}45\,{\rm A})^2}= 286\,{\Omega}\approx 290\,{\Omega}.

Pisteytys: On ratkaistu suureyhtälö resistanssille (1 p.) ja annettu sille oikea lukuarvo kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).

Coulombin lain mukaan sähköisesti varatut kappaleet vetävät toisiaan puoleensa, jos niiden varaukset ovat erimerkkiset. Kuulien varaukset ennen kosketusta ovat siis erimerkkiset. Kuulat ovat identtiset, ja ne johtavat sähköä, joten varaukset jakautuvat kosketuksessa tasan niiden kesken elektronien siirtyessä negatiivisesti varatusta kuulasta positiivisesti varattuun kuulaan. Kuulat hylkivät toisiaan kosketuksen jälkeen, joten kosketuksen jälkeen niiden varausten täytyy olla samanmerkkisiä. Koska kuuliin jää varausta, niiden varausten itseisarvojen ennen kosketusta täytyi olla eri suuria.

Pisteytys: On kerrottu, miten kuulien varausten merkit vaikuttavat voiman suuntaan ennen ja jälkeen kosketuksen (2 p.), tunnistettu sähköinen vuorovaikutus (1 p.) ja varauksen siirtyminen kosketuksessa (2 p.) sekä päätelty alkuperäisten varausten erisuuruinen itseisarvo (2 p.).

Tyypillisiä virheitä: Väitetty vuorovaikutusta magneettiseksi, tai väitetty protonien tai positronien siirtyvän kuulasta toiseen.

Kuulien alkuperäiset varaukset olkoot q_1 ja q_2. Varauksen etumerkkiä ei tunneta. Sovelletaan Coulombin lakia kaksi kertaa. Ennen kosketusta kuulat vaikuttavat toisiinsa voimalla F={{q_1q_2}\over{4\pi\varepsilon_0d^2}}, jossa tulo q_1q_2 on negatiivinen. Kosketuksen jälkeen nettovaraus jakautuu tasan kuulien kesken eli kummankin kuulan varaus on q=(q_1+q_2)/2. Kosketuksen jälkeen kuulat kohdistavat toisiinsa voiman F'={{(q_1+q_2)^2}\over{16\pi\varepsilon_0d^2}}. Voimat F ja F’ ovat vastakkaissuuntaiset ja yhtä suuret, joten {{q_1q_2}\over{4\pi\varepsilon_0d^2}}=-{{(q_1+q_2)^2}\over{16\pi\varepsilon_0d^2}}. Ratkaistaan toisen asteen yhtälö, jolloin varauksien välille saadaan yhtälö q_1=(-3\pm 2\sqrt{2})q_2. Sijoitetaan varauksen q_1 lauseke Coulombin lakiin ja ratkaistaan q_2: q_2=\pm\sqrt{{4\pi\varepsilon_0d^2F}\over{-3\pm 2\sqrt{2}}}. Sijoitetaan lukuarvot F=-1,00\,{\rm N} ja d=0,100\,{\rm m}. Vastaavat varauksen q_1 arvot saadaan laskettua yllä esitetyn yhtälön avulla.

Kun neliöjuurelle valitaan positiivinen etumerkki, saadaan
q_1=\ -0{,}44\ \mu\mathrm{C}\ \mathrm{ja}\ q_2=2{,}55\ \mu\mathrm{C}
tai q_1=\ -2{,}55\ \mu\mathrm{C}\ \mathrm{ja}\ q_2=0{,}44\ \mu\mathrm{C}

Kun neliöjuurelle valitaan negatiivinen etumerkki, saadaan

q_1=\ 0{,}44\ \mu\mathrm{C}\ \mathrm{ja}\ q_2=-2{,}55\ \mu\mathrm{C}
q_1=\ 2{,}55\ \mu\mathrm{C}\ \mathrm{ja}\ q_2=-0{,}44\ \mu\mathrm{C}.

Pisteytys: On annettu Coulombin lain mukainen suureyhtälö ja käytetty sitä ratkaisussa (2 p.), merkitty voimien lausekkeet ennen ja jälkeen kosketuksen yhtä suuriksi (2 p.), ratkaistu yksi oikea varauspari kahden tai kolmen numeron tarkkuudella (2 p.) ja todettu kolmen muun ratkaisun olemassaolo (2 p.).

Tyypillisiä virheitä: Ajateltu varausten olevan alussa yhtä suuria. Tällöin tehtävästä on voinut saada korkeintaan kaksi pistettä.

Ääni etenee pitkittäisenä aaltoliikkeenä.

Pisteytys: Vastauksessa on kerrottu äänen etenevän pitkittäisenä aaltoliikkeenä (2 p.).

Äänen nopeus ohuessa messinkilangassa lasketaan käyttäen yhtälöä v = \sqrt{E /\rho}, jossa \rho=8{,}4 \cdot 10^3 kg/m^3 ja E =10{,}5 \cdot 10^{10} N/m^2. Äänen nopeus ilmassa (20~^{\circ}{\rm{C}}) on v_{\rm ilma}=343 m/s.
Ääniaallot etenevät yhtä pitkän matkan ilmassa ja messinkilangassa: x=v_{\rm ilma} t_{{\rm ilma}} = v t_{\rm messinki}. Peltipurkkien pituudet voidaan olettaa mitättömiksi, joten matka on yhtä pitkä kuin messinkilanka eli x=75 m. Matka-aikojen t_{\rm ilma} =x/v_{\rm ilma} ja t_{\rm messinki} =x/v erotus on \Delta t=t_{\rm ilma}-t_{\rm messinki} =\frac{x}{v_{\rm ilma}} -\frac{x}{v}=x\left(\frac{1}{v_{\rm ilma}} -\frac{1}{v}\right). Sijoittamalla äänen nopeus messinkilangassa saadaan \Delta t=x\left(\frac{1}{v_{\rm ilma}} - \frac{1}{\sqrt{E /\rho }}\right)=x\left(\frac{1}{v_{\rm ilma}} -\sqrt{\frac{\rho}{E}}\right), jolloin \Delta t=75~{\rm m} \left( \frac{1}{343~{\rm m/s}}-\sqrt{\frac{8{,}4 \cdot 10^3~{\rm kg/m}^3}{10{,}5 \cdot 10^{10}~{\rm N/m}^2}} \right)=0{,}197446~{\rm s} \approx 0{,}20~{\rm s}. Ääni saavuttaa kuulijan 0,20 s nopeammin peltipurkkipuhelimen avulla kuin huutamalla.

Pisteytys:
Sanallisesti tai esitettyjen suureyhtälöihin tehtyjen sijoituksien avulla käy ilmi, että aallot kulkevat yhtä pitkän matkan (2 p.).
On annettu oikea lopputulos ajalle kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).

Tyypillinen virhe: Laskettu ääniaaltojen nopeuksien suhde.

Äänen intensiteettitaso L määritellään äänen kuulokynnyksen intensiteetin (I_0) avulla: L=10~{\rm lg}\frac{I}{I_0} Kun ääni on edennyt messinkilangassa matkan x=75 m, sen intensiteetti on I_2= I_1 e^{-\alpha x}. jossa I_1 on alkuperäinen intensiteetti ja \alpha = 0{,}086~{\rm m}^{-1} on messinkilangassa etenevän äänen vaimenemiskerroin.

Vaimennetun äänen intensiteettitaso voidaan laskea käyttäen ensimmäistä yhtälöä:

\begin{split} L_2=10~{\rm lg}\frac{I_2}{I_0} = 10~{\rm lg}\left(\frac{I_1 e^{-\alpha x}}{I_0}\right)= 10~{\rm lg}\left(\frac{I_1}{I_0} \cdot e^{-\alpha x}\right) = 10~{\rm lg}\left(\frac{I_1}{I_0} \right)+ 10~{\rm lg}\left( e^{-\alpha x}\right) \\ = L_1+10~{\rm lg}\left(e^{-\alpha x}\right). \end{split} L_1 on alkuperäisen äänen intensiteettitaso (72 dB), joten vaimennetun äänen intensiteettitaso on L_2=72~{\rm dB}+10~{\rm lg}\left( e^{-0{,}086 \frac{1}{\rm m}\cdot 75~{\rm m}} \right) {\rm dB}= 43{,}9880~{\rm dB} \approx 44~{\rm dB}.

Ääni etenee ilmassa palloaaltona, joten äänen intensiteetti on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, I \sim 1/r^2, eli I=k \frac{1}{r^2}, jossa k on verrannollisuuskerroin.

Alkuperäisen ja vaimennetun äänen suhde on siten

\frac{I_1}{I_2} =\frac{k \frac{1}{r_1^2}}{k \frac{1}{r_2^2}}=\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2,

jolloin vaimennetun äänen intensiteetti on I_2=I_1/\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2.

Vaimennetun äänen intensiteettitaso voidaan näin ollen laskea samalla tavalla kuin aikaisemmin:

\begin{split} L_2=10~{\rm lg}\frac{I_2}{I_0}=10~{\rm lg}\left( \frac{I_1/\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2}{I_0}\right) = 10~{\rm lg}\left( \frac{I_1}{I_0}\cdot \frac{1}{\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2}\right) = 10~{\rm lg}\left(\frac{I_1}{I_0}\right) - 10~{\rm lg}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 \\ = L_1-20~{\rm lg}\left(\frac{r_2}{r_1}\right). \end{split}

Alkuperäisen äänen intensiteettitaso etäisyydellä r_1=7{,}0 cm oli L_1=72 dB, jolloin intensiteettitaso etäisyydellä r_2=75 m on

L_2=72~{\rm dB}-20~{\rm lg}\left(\frac{75~{\rm m}}{0{,}07~{\rm m}}\right)~{\rm dB} = 11{,}4007~{\rm dB} \approx 11~{\rm dB}.

Äänen intensiteettitaso kuulijan kohdalla on suurin piirtein sama kuin ihmisen hengityksen intensiteettitaso (noin 10 dB), kun puhuja puhuu ilman peltipurkkipuhelinta, eli 11 dB. Peltipurkkipuhelimen avulla intensiteettitaso on 44 dB, eli ääni saavuttaa kuulijan suunnilleen samalla intensiteettitasolla kuin hiljainen puhe (noin 40 dB).

Pisteytys:
On esitetty suureyhtälön avulla oikea yhteys intensiteettitason ja intensiteetin välillä (2 p.).
On esitetty sanallisesti tai suureyhtälön avulla ilmassa etenevän äänen intensiteetin riippuvuus etäisyydestä (2 p.).
On annettu peltipurkkipuhelimessa etenevän äänen intensiteettitason arvo kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).
On annettu ilmassa etenevän äänen intensiteettitason arvo kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).
On vertailtu oikeiden intensiteettitasojen arvoja (1 p.).

Tyypillinen virhe:
Intensiteettitason ja intensiteetin välinen yhteys on ymmärretty väärin.

Reaktioyhtälöt: ^1_0{\rm n}+^{14}_{{\phantom{x}}7}\!{\rm N}\rightarrow ^{14}_{{\phantom{x}}6}\!{\rm C}+^1_1\!{\rm p},
^{14}_{{\phantom{x}}6}{\rm C}\rightarrow ^{14}_{{\phantom{x}}7}\!{\rm N} + ^{{\phantom{x}}0}_{-1}\!{\rm e^-} +^0_0\!{\bar\nu_e}.

Pisteytys:
Oikein kirjoitettu tuottoyhtälö (2 p.)
Oikein kirjoitettu hajoamisyhtälö (2 p.)

Hiilen kolmen isotoopin osuudet ilmakehässä pysyvät kutakuinkin muuttumattomina. Ilmakehän hiili päätyy kasveihin niiden yhteyttäessä ja kasveista edelleen niitä syöviin eläimiin. Radioaktiivisen isotoopin osuus ei ehdi kasvin tai eläimen elinaikana pienentyä merkittävästi radioaktiivisen hajoamisen takia, joten kasvin tai eläimen kuollessa siinä on hiilen isotooppeja samassa suhteessa kuin ilmakehässä. Kuoleman jälkeen isotoopin ^{14}C osuus suhteessa pysyviin isotooppeihin ^{12}C ja ^{13}C pienenee ajan kuluessa eksponentiaalisesti radioaktiivisen hajoamisen takia.

Kasvin tai eläimen kuolemasta kulunut aika voidaan määrittää mittaamalla isotooppien lukumääräsuhde. Myös näytteen aktiivisuus pienenee eksponentiaalisesti, joten näytteen ikä voidaan määrittää myös mittaamalla näytteen aktiivisuus.

Pisteytys: Vastauksessa on kerrottu, että

• isotoopin ^{14}C osuus kaikesta hiilestä ilmakehässä on vakio (2 p).
• isotoopin ^{14}C osuus tai määrä eliön jäänteissä pienenee kuoleman jälkeen. (1 p.)
• aika saadaan vertaamalla isotoopin osuutta näytteessä isotoopin osuuteen ilmakehässä. (1 p.)

Hiilen isotoopin ^{14}C lukumäärä N(^{14}{\rm C}) kuolleen nisäkkään luunäytteessä pienenee radioaktiivisen hajoamisen takia, ja ajan t kuluttua nisäkkään kuolemasta se on N(^{14}{\rm C})=N_0(^{14}{\rm C})e^{\displaystyle{-(\ln 2/T_{1/2})t}}, jossa N_0(^{14}{\rm C}) on isotoopin ^{14}C lukumäärä nisäkkään kuollessa ja T_{1/2} on isotoopin ^{14}C puoliintumisaika. Isotooppien ^{14}C ja ^{13}C lukumääräsuhde on näin \frac{N(^{14}{\rm C})}{N(^{13}{\rm C})}=\frac{N_0(^{14}{\rm C})\cdot e^{\displaystyle{-(\ln 2/T_{1/2})t}}}{N_0(^{13}{\rm C})}, %\frac{1,2\cdot 10^{-12}}{1,1\cdot 10^{-2}}\cdot e^{\displaystyle{-(\ln 2/T_{1/2})t}}. jossa N_0(^{13}{\rm C}) on isotoopin lukumäärä näytteessä nisäkkään kuollessa. Lukumääräsuhde nisäkkään kuollessa N_0(^{13}{\rm C}) /N_0(^{14}{\rm C}) oli yhtä suuri kuin isotooppien ^{14}C ja ^{13}C lukumääräsuhde ilmakehässä.

Lukumääräsuhteeksi saatiin mittauksissa 3,5\cdot 10^{-11}, joten näytteen iäksi saadaan (T_{1/2}=5\,730\,{\rm a})

\begin{align*} t=&-\frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln\left(\frac{N_0(^{13}{\rm C})}{N_0(^{14}{\rm C})}\cdot\frac{N(^{14}{\rm C})}{N(^{13}{\rm C})} \right)\\ =&-\frac{5\ 730\,{\rm a}}{\ln 2} \ln\left( \frac{1,1\cdot 10^{-2}}{1,2\cdot 10^{-12}}\cdot 3,5\cdot 10^{-11} \right)\simeq 9400 \,{\rm a}. \end{align*}

Asuinpaikkaa käytettiin noin 9400 vuotta sitten.

Pisteytys:
Vastauksessa on esitetty hajoamislain yhtälö, jossa hajoamisvakiota ei ole käytetty väärin (2 p.), kuluneen ajan suhteen ratkaistu suureyhtälö (2 p.) ja oikea lopputulos (3 p.).

Tyypillisiä virheitä: Käytetty isotooppien osuuksia väärin ja saatu iäksi noin 200000 vuotta. Jätetty ajan suhteen ratkaistu suureyhtälö kirjoittamatta.

Diodi päästää lävitseen sähkövirtaa päästösuuntaan, kun sille ominainen kynnysjännite ylitetään. Ideaalinen diodi ei päästä läpi sähkövirtaa estosuuntaan. Jännitehäviö päästösuuntaan kytketyssä ideaalisessa diodissa on kynnysjännitteen suuruinen, mikäli diodin läpi kulkee sähkövirtaa. Diodeja käytetään esimerkiksi jännitteen tasasuuntaukseen (Zener-diodeja referenssijännitteen luomiseen) ja ledejä merkkivaloina tai valaistuksessa.

Pisteytys:
Vastauksessa on mainittu, että diodi johtaa sähkövirtaa vain yhteen suuntaan (2 p.) ja diodin kynnysjännite tai jännitehäviö diodin yli on selitetty (2 p.).
Kerrottu yksi oikea käyttötarkoitus (2 p.).
Mikäli vastaus sisältää karkeita fysikaalisia virheitä, vähennetään 1 piste.

Diodin ominaiskäyrä on diodin läpi kulkeva sähkövirta diodin jännitehäviön funktiona. Pitää siis saada diodin yli erilaisia jännitteitä ja mitata sen läpi menevä sähkövirta.

Rakennetaan virtapiiri, jossa on jännitelähde (jännite U), vastus (resistanssi R) ja diodi. Jännitemittarilla mitataan vastuksen jännitehäviö (mitattu jännite U_\text{R}), jotta saadaan määritettyä virtapiirin sähkövirta. Oletetaan, että jännitelähteen jännitettä ei tarvitse mitata. Tarvittaessa sen voisi mitata jännitemittarilla.

Ominaiskäyrä mitataan noin välillä -5 V – 5 V. Kuvan virtapiirillä voidaan mitata väli 0 V – 5 V (päästösuunta). Kääntämällä joko diodi tai jännitelähde vidaan mitata väli -5 V – 0 V (estosuunta). Ohmin lain mukaan vastuksen ja diodin läpi kulkeva sähkövirta on

I = U_\text{R}/R. Diodin jännitehäviö on U_\text{d} = U-U_\text{R}.

Vaihtoehtoisesti jännite U_\text{d} voidaan myös mitata suoraan jännitemittarilla esim. virranmäärityksen jälkeen.

Jännitelähteen jännite U säädetään useille eri arvoille välillä 0 V – 5 V diodin ollessa sekä päästö- että estosuunnassa. Jännitemittarin lukeman ja jännitelähteen jännitteen avulla lasketaan edellä olevilla kaavoilla diodin läpi kulkeva sähkövirta ja sen jännitehäviö jokaiselle jännitelähteen jännitteen arvolle. Estosuunnassa jännitehäviö merkitään negatiivisena. Näin saadut ominaiskäyrän mittauspisteet (U_\text{d},I) esitetään taulukkona tai kuvaajana.

Ennakoitu tulos: Ominaiskäyrässä sähkövirta on lähes nolla, kun jännite on negatiivinen (estosuunta) tai kun jännite on positiivinen (päästösuunta) mutta alle diodin kynnysjännitteen. Kynnysjännitteen jälkeen sähkövirta kasvaa hyvin voimakkaasti jännitteen kasvaessa.

Pisteytys:
Vastauksessa on kerrottu tai piirretystä kuvaajasta käy ilmi, että ominaiskäyrä esittää diodin läpi kulkevaa virtaa diodin yli olevan jännitehäviön funktiona (2 p.).
On esitetty piirikaavio, jossa jännitelähde, diodi ja vastus on kytkettyinä sarjaan (2 p.), jännitemittari on kytkettynä joko vastuksen tai diodin rinnalle (2 p.), ja jännitelähteen napaisuuden vaihto käy ilmi (2 p.).
On selitetty, miten diodin läpi kulkeva virta saadaan diodin tai vastuksen yli mitatun jännitteen avulla (2 p.), ja miten diodin yli oleva jännite saadaan selville mittaamalla tai laskemalla (2 p.).
Ennakoituna tuloksena on kuvattu tai piirretty ominaiskäyrästä nollavirta, kynnysjännite ja eksponentiaalinen virran kasvu päästösuunnassa (2 p.). Estosuunta saa puuttua, mutta, jos se on piirretty, se ei saa olla selvästi väärin.

Tyypillisiä virheitä: Ominaiskäyrässä on jätetty kertomatta, mikä on siinä esiintyvä jännite tai väitetty sitä esimerkiksi jännitelähteen napajännitteeksi.
Virtamittarin lisääminen piiriin.
Läpilyöntijännitteen piirtäminen yhtä suureksi kynnysjännitteen kanssa.

Kun auringonvalo osuu ulkopintaan, osa siitä heijastuu ja osa taittuu kalvon sisään. Kalvossa valo etenee, kunnes se saavuttaa sisäpinnan, josta osa valosta heijastuu takaisin. Ulkopinnasta heijastuneessa valossa on puolen aallonpituuden vaihesiirtymä. Ulko- ja sisäpinnasta heijastuneet valonsäteet interferoivat. Valonsäteiden interferenssi on vahvistava, mikäli ehto

2d=(m+1/2)\lambda/n

toteutuu. Yhtälössä 2d on interferoivien säteiden välinen matkaero, kokonaisluku m=0,1,2,..., \lambda valon aallonpituus ja n kalvon taitekerroin. Valo, jonka aallonpituus toteuttaa tämän ehdon, heijastuu vahvistavasti kuplasta, kun taas valo, jonka aallonpituus totetuttaa ehdon 2d=m\lambda/n, m=1,2,..., heijastuu vaimentavasti eikä näytä heijastuvan pinnasta.

Koska aallon kalvossa kulkema matka riippuu kalvon paksuudesta ja kulmasta, jossa valo osuu saippuakuplaan, eri väriset aallot heijastuvat joko toisiaan vahvistaen tai vaimentaen eri kohdista kuplaa. Tämän takia leijuvan saippuakuplan pinnassa näkyy erivärisiä vyöhykkeitä.

Pisteytys:
Vastauksesta käy ilmi, että tarkastellaan kalvon etu- ja takapinnasta heijastuneita säteitä (2 p.) ja näiden säteiden vahvistava tai heikentävä interferenssi saa aikaan ilmiön (2 p.).
On selitetty, että värit johtuvat kalvon paksuuden vaihtelusta (1 p.).

Tyypillisiä virheitä: On puhuttu vain taittuneista säteistä tai dispersiosta tai on käsitelty säteiden heijastumista kalvon takapinnan sijaan kuplan takapinnasta.

Tarkastellaan vahvistavan interferenssin ehtoa valonsäteille, jotka ovat heijastuneet kalvon sisä- ja ulkopinnasta: 2d=(m+1/2)\lambda/n. Vahvistava interferenssi voi tapahtua vain kalvolla, jonka paksuus on vähintään d = \lambda/4 (m = 0). Näkyvän valon spektrissä violetilla valolla on lyhin aallonpituus (\sim 380 nm) ja punaisella pisin (\sim 740 nm). Kun haihtuminen ohentaa kalvoa, vahvistava interferenssi ei ole enää mahdollinen. Violetti väri haalistuu viimeisenä kalvon paksuuden alittaessa \lambda/4 = 95 nm.

Pisteytys: On selitetty värien katoaminen yhdistämällä kalvon oheneminen interferenssiin (3 p.).

Saippuakuplan pinnasta haihtuu vettä, mikä ohentaa kalvoa. Jossain vaiheessa kalvo ohenee niin paljon, että saippuaveden pintajännitys aiheuttaa repeämän ja kupla puhkeaa. Iso kupla on ohuempi kuin pieni. Siksi iso kupla saavuttaa kriittisen kalvon paksuuden nopeammin kuin pieni kupla ja puhkeaa pientä kuplaa nopeammin. Painon aiheuttama nesteen valuminen ohentaa kuplan yläosaa, muttei kokonaan selitä puhkeamista.

Pisteytys:
On joko kerrottu haihtumisen ohentavan kalvoa tai selitetty kalvon ohenevan suhteellisesti enemmän kuplan yläpinnalla kuin alapinnalla painovoiman vaikutuksesta (2 p.).
On selitetty, että isossa kuplassa on ohuemmat seinämät kuin pienessä kuplassa (2 p.).

Olkoon kalvon paksuus d, d\ll r, jossa r on kuplan säde. Kalvon massa on m_{\rm kalvo}=\rho V=4\pi \rho r^2d, jossa \rho on saippuaveden tiheys.

Näissä lämpötiloissa ja paineissa ilma käyttäytyy ideaalikaasun lailla: pV=nRT, jossa V={4\over 3}\pi r^3 on kuplan tilavuus. Syrjäytetyn ilman ainemäärä on n_{\rm syrj}={{pV}\over{RT_{\rm ulko}}}.

Kuplan sisällä olevan kaasun ainemäärä on n_{\rm kupla}={{pV}\over{RT_{\rm kupla}}}.

Arkhimedeen lain mukaan syrjäytetyn ilman paino on sama kuin kuplan kokonaispaino. Saadaan siis ehto (0{,}21M_{\rm O_2}+0{,}79M_{\rm N_2})n_{\rm syrj}g=m_{\rm kalvo}g+(0{,}21M_{\rm O_2}+0{,}79M_{\rm N_2})n_{\rm kupla}g.

Ratkaistaan yhtälö d:n suhteen: d={{pV}\over{4\pi r^2\rho R}}(0{,}21M_{\rm O_2}+0{,}79M_{\rm N_2})\left({1\over{T_{\rm ulko}}}-{1\over{T_{\rm kupla}}}\right), joka sievenee muotoon d={{pr}\over{3\rho}R}\left(0{,}21M_{\rm O_2}+0{,}79M_{\rm N_2}\right)\left({1\over{T_{\rm ulko}}}-{1\over{T_{\rm kupla}}}\right). Sijoitetaan lukuarvot M_{\rm O_2}=32{{,}}0 g/mol, M_{\rm N_2}=28{,}0 g/mol, T_{\rm ulko}=294{,}15 K, T_{\rm kupla}=299{,}15 K, p=10^5 Pa, R=8{,}3145 J/mol \cdot K, \rho=10^6 g/m^3 ja saadaan vastaukseksi d=0{,}328488\cdot 10^{-6}~{\rm m}\approx ~330\ {\rm nm}

Pisteytys:
On selitetty sanallisesti tai suureyhtälöiden avulla, että kuplan massa koostuu kuplan sisältämästä ilmasta sekä kalvon vedestä (2 p.) ja tätä massaa käyttämällä esitetty kuplan leijailemisehto nosteen ja painovoiman avulla (2 p.).
On sanallisesti mainittu ideaalikaasun tilanyhtälö ja käytetty sitä kuplan sisältämän ilman massan määrittämiseen (2 p.).
On annettu oikea lukuarvo kalvon paksuudelle yhdestä kolmeen merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).

Tyypillinen virhe: Ei ole huomioitu joko ilman tai veden massaa.

Juomat ovat erilaisissa astioissa. Metallinen tölkki johtaa paremmin lämpöä kuin lasipullo, joten tölkissä olevasta juomasta siirtyy jääkaappiin nopeammin energiaa kuin lasipullossa olevasta. Muovinen kolapullo johtaa lämpöä lasipulloakin huonommin. Kolapullon sisältämä vesimäärä on myös suurempi kuin muiden astioiden, ja sen pinta-ala suhteessa tilavuuteen on pienempi. Siksi se jäähtyy hitaammin.

Pisteytys:
Vastauksessa on vertailtu metallin ja muovin tai metallin ja lasin lämmönjohtavuuksia oikein (2 p.) ja selitetty, miten nesteen suurempi määrä vaikuttaa jäähtymiseen (2 p.).
Mikäli vastaus sisältää karkeita fysikaalisia virheitä, vähennetään 1 piste.

Tyypillinen virhe: selitetty jäähtymistä pakkausten ominaislämpökapasiteetilla.

Juomat jäähtyvät, koska märästä kääreestä haihtuu vettä. Veden höyrystymislämpö on huomattavan suuri. Höyrystymiseen tarvittava energia tulee suureksi osaksi juomasta. Höyrystymistä tapahtuu enemmän lämpimällä parvekkeella kuin jääkaapissa, koska lämpimän ilman suhteellinen kosteus on pienempi kuin kylmän ja myös koska siellä ilmavirtaukset tehostavat höyrystymistä.

Pisteytys:
Vastauksessa on tunnistettu veden haihtumisen vaatima energia (2 p.) ja selitetty suhteellisen ilmankosteuden tai ilman vaihtumisen merkitys haihtumiselle (2 p.).

Tyypillinen virhe: selitetty eroja haihtumisessa pelkästään lämpötilan perusteella.

Vesi johtaa lämpöä paremmin kuin ilma. Jääkylvyssä juomat viilenevät tehokkaasti, sillä ne ovat jatkuvasti kosketuksissa veteen, jonka lämpötila on 0 °C, kun kylvyssä on sekä vettä että jäätä. Erityisen nopeasti juomat viilenevät, kun veteen lisätään suolaa, koska suola laskee jään sulamispistettä. Sulamispisteen alenemisen vuoksi jäätä sulaa, jään sulaessa sitoutuu energiaa ja jääkylvyn lämpötila laskee. Siten lämpötilaero juoman ja ympäröivän veden välillä kasvaa ja energiaa siirtyy juomasta veteen nopeammin.

Pisteytys:
Vastauksessa on vertailtu ilman ja veden tai jään lämmönjohtavuuksia oikein (2 p.) ja kerrottu suolan lisäämisen laskevan jään sulamispistettä. (2 p.).

Tyypillinen virhe: esitetty, että suolan lisääminen suurentaa veden lämmönjohtavuutta.

Oletetaan, että jäähdytettävä juoma vastaa ominaisuuksiltaan puhdasta vettä. Veden höyrystymislämpö on r = 2\,260 \mbox{ kJ/kg} ja ominaislämpökapasiteetti c = 4{,}19 \mbox{ kJ/kg K}. Moolimassa on M = 18{,}015\cdot 10^{-3} \mbox{ kg/mol}. Tarjoilulämpötila T = 282{,}15 \mbox{ K} ja lämpötilan muutos \Delta T = 16 \mbox{ K}. Kylläisen vesihöyryn paine riippuu lämpötilasta, ja tarjoilulämpötilassa se on 1,1477 kPa. Paine on niin pieni, että voidaan olettaa vesihöyryn käyttäytyvän ideaalikaasun tavoin.

Höyrystyessään vesi luovuttaa saman verran energiaa höyrylle kuin se menettää jäähtyessään:

Q = cm\Delta T = rm_2.

Höyrystynyt vesimassa on niin pieni, ettei nesteen massan muutosta tarvitse huomioida. Yllä m=1\mbox{ kg} on nestemäisen veden massa ja m_2 höyrystyneen veden massa. Ideaalikaasun tilanyhtälöstä saadaan

m_2 = \frac{pVM}{RT},

jossa tilavuus V=Ah.

Ratkaistaan yhtälö:

h = \frac{cm(\Delta T)RT}{ArpM} = 298 \mbox{ m} \approx 300 \mbox{ m}.

Pisteytys:
Vastauksessa on annettu energiatasapainon yhtälö nesteen jäähtymisen aikana luovuttamalle lämmölle ja höyrystymisen sitomalle lämmölle (2 p.) sekä kylläisen vesihöyryn paine tai tiheys taulukkotietona (2 p.).
Höyrystyneen nesteen tiheyttä ja tilavuutta tai ideaalikaasun tilanyhtälöä on käytetty höyrystyneen nesteen massan määrittämiseen (2 p.).
On annettu oikea vastaus 2-3 merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).

Tyypillinen virhe: On laskettu työ, joka tehdään isobaarisessa laajenemisessa.