Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

22.3.2023

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 16.5.2023

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy oikeassa sarakkeessa olevaan pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esim. derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Suluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37{,}5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esim. laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä ylläolevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
  • Terminologiaa
    • ''Vastaus riittää'' tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • ''Alkupisteitä'' tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • ''maxN'' tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • ''Vastaus vain likiarvona'' tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esim. tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esim. x=2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esim. puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.
Kolmisarakkeisen lukuohjeet:
  • Ideasarakkeesta saa pisteet, jos on ryhdytty tekemään mainittua asiaa, vaikka toteutus olisi puutteellinen.
  • Lasku tai kaava toteutussarakkeessa näyttää, miltä idea oikein toteutettuna näyttää.
  • Pysäytysehto: jokaiselta riviltä saatava vähintään puolet rivin pisteistä pyöristettynä alaspäin, jotta voi jatkaa.
  • Jos pysäytysehto ei toteudu, eli seuraavien rivien pisteitä on vielä jaossa, on seuraavilta riveiltä saatavissa kaikki pisteet, joissa ei ole eksplisiittistä estettä sille, miksi niitä ei voisi saada.

A-osa

1. Perusyhtälöitä 12 p.

Alla on kuusi osatehtävää 1.1–1.6. Kirjoita kunkin osatehtävän vastauskenttään pelkkä laskun lopputulos ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 5 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti, ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin. Jokaisesta osatehtävästä voi saada 2 pistettä.

1.1 Laske 2 p.

  • 55 (2 p.)

1.2 Yhtälön 5x-2=13 ratkaisu on 2 p.

  • 3 (2 p.)

1.3 Suora y=-2x+14 leikkaa x-akselin, kun 2 p.

  • 7 (2 p.)
14 (laskettu milloin suora leikkaa y-akselin) 1 p.
(7,0) 1 p.
y=7 1 p.
\pm 7, tms. 1 p.

1.4 Yhtälön x^2=8x suurempi ratkaisu on 2 p.

  • 8 (2 p.)
0 1 p.
0 tai 8 1 p.

1.5 Potenssiyhtälön x^3=64 ratkaisu on 2 p.

  • 4 (2 p.)

1.6 Eksponenttiyhtälön 2^x-128=0 ratkaisu on 2 p.

  • 7 (2 p.)

Tehtävän erillisohjeet
Kussakin kohdassa -1, jos merkkimäärä ylittyy tai esim. kirjoitettu välivaiheita.

2. Yhtälöiden ratkaisut 12 p.

  1. Ratkaise yhtälöpari

    \begin{cases} x+y=8 & \\ 2x-y=1. & \\ \end{cases}

    (4 p.)

  2. Ratkaise yhtälö 2x^2 - \frac52 x + \frac 14 = 0. Anna suurempi juuri tarkkana arvona sievennetyssä muodossa ja pienempi juuri likiarvona kahden desimaalin tarkkuudella. (8 p.)

Laskettu puolittain yhteen tai ratkaistu yksi muuttuja toisen avulla. 1 p.
Saadaan 3x=9, joten x=3 (tai ratkaistu y=5). 1 p.
Sijoitetaan tämä ensimmäiseen yhtälöön, jolloin saadaan y=5 (tai x=3). 2 p.
TAI
Vastaus x=3 ja y=5. 1 p.
Tarkistukset sijoittamalla molempiin yhtälöihin (1 p./yhtälö). 2 p.
Perusteltu yksikäsitteisyys. 1 p.

Kerrotaan yhtälö puolittain neljällä, jolloin saadaan 8x^2-10x+1=0. (1 p.)
Käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa, jolloin ratkaisuiksi saadaan
x=\frac{10\pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot 8\cdot 1}}{2\cdot 8}\ \big(=\frac{5\pm \sqrt{17}}{8} \big). (Idea lukuarvoilla ja onnistunut sijoitus: 1+2)
3 p.
Sievennetty suurempi juuri: \frac{5+\sqrt{17}}{8} (\frac{2{,}5 + \sqrt{4{,}25}}{4} tai vastaava 1 p.). 2 p.
Pienemmän juuren likiarvo: \left[ \frac{5-\sqrt{17}}{8}\approx \right] 0\mathrm{,}11. (Tämä tarkkuus vaaditaan.) 2 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Ensimmäisen rivin suluissa olevan pisteen voi saada, jos toiselta riviltä saa vähintään yhden pisteen, eikä ensimmäinen rivi ole väärin.
Likiarvossa muu tarkkuus tai toinen desimaali väärin. –1 p.
Molemmat likiarvoina Speedcrunchilla: 1+2+0+2 max 5 p.
Siirrytty likiarvoihin ennen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan sijoitusta: 1+1+1+2 max 5 p.
Ratkaisukaavan sisällä esiintyy x, kun kokelas ei ole tehnyt ensimmäistä riviä max 0 p.
Koska tehtävänannossa ei erikseen pyydetty kertomaan, kumpi juurista on suurempi ja kumpi pienempi, riittää antaa suurempi juuri tarkassa ja sievennetyssä muodossa ja pienempi likiarvona.

3. Prosentteja 12 p.

  1. Vuonna 2019 sairaanhoitajan keskimääräinen kuukausipalkka oli 2 535 euroa. Eräs sairaanhoitaja sai 6 prosenttia keskimääräistä parempaa palkkaa. Hänen nettopalkkansa, eli tilille kuukausittain maksettava summa, oli 1 777,25 euroa. Kuinka monta prosenttia palkasta meni veroihin ja muihin pidätettäviin maksuihin? (6 p.)

  2. Vuonna 2021 koronaviruskotitestin arvonlisävero oli 24 % ja myyntihinta 5,60 euroa. Tutkijaryhmä ehdotti testien arvonlisäveron alentamista 10 %:iin. Kuinka paljon tuote maksaa, jos tällainen veron muutos siirtyy täysimääräisesti hintaan? (6 p.)

Sairaanhoitajan palkka on 1{,}06\cdot 2\,535(= 2\,687{,}10) euroa. Pisteiden jakautuminen: kerroin 1\mathrm{,}06 1 p. ja oikea tulo 1 p. 2 p.
Pidätysprosentti on siis \frac{2\,687\mathrm{,}10-1777{,}25}{2\,687{,}10}=\frac{909{,}85}{2\,687{,}10}= 0{,}33859\dots \approx 34\, \%. Pisteiden jakautuminen: oman bruttopalkan ja nettopalkan erotus 1 p., erotuksen ja bruttopalkan osamäärä 1 p., osamäärän tulos 1 p., tulos muutettu prosenteiksi ja pyöristetty 1 p. 4 p.
TAI
Sairaanhoitajan palkka on 1{,}06\cdot 2\,535 \ (= 2\,687{,}10) euroa. Pisteiden jakautuminen: kerroin 1\mathrm{,}06 1 p. ja oikea tulo 1 p. 2 p.
Nettopalkan osuus bruttopalkasta on \frac{1777,25}{2687,10}\ ( =0{,}6614…) 2 p.
Pidätysprosentti on 1-\frac{1777{,}25}{2687{,}10}\ (=0,33859\dots )\approx 34\ \%. 2 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Erikoistapaus: Toisella pisterivillä käytetty laskussa bruttopalkkana lukua 2\,535. Pisteiden jakautuminen: pisteet erotuksesta ja osamäärästä, toiselta riviltä: max 2 p.

Kotitestin veroton hinta on \frac{5\mathrm{,}60}{1\mathrm{,}24}. Pisteiden jakautuminen: kerroin 1\mathrm{,}24 tai 0\mathrm{,}24 1 p., veroton hinta \cdot 1\mathrm{,}24=5\mathrm{,}6 1 p., osamäärä 5\mathrm{,}6/1\mathrm{,}24 1 p. (Jos ratkaisussa käytetään yhtälöä: Veroton hinta x ja myyntihinta 1{,}24x 1 p., yhtälö 1{,}24x=5{,}60 1 p., x=4{,}5161\dots 1 p.) 3 p.
Kun arvonlisävero on pienempi, hinta on siis \frac{5\mathrm{,}60}{1\mathrm{,}24}\cdot 1\mathrm{,}1\approx 4\mathrm{,}97 euroa. Vain tämä tarkkuus hyväksytään. Pisteiden jakautuminen: kerroin 1\mathrm{,}1 (1 p. riippumaton piste), veroton hinta luvulla 1\textrm{,}1 kerrottu 1 p., vastaus ja pyöristys sentin tarkkuuteen 1 p. 3 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Veroton hinta pyöristetty arvoon 4{,}52 –0 p.
Erikoistapaukset:
5\mathrm{,}6\cdot 1\mathrm{,}1=6\textrm{,}16 euroa max 1 p.
0{,}76 \cdot 5{,}6\cdot 1\mathrm{,}1\approx 4{,}68 TAI 0{,}76 \cdot 5{,}6\approx 4{,}26 ja 4{,}26\cdot 1{,}1\approx 4{,}69 (0+3) max 3 p.
0{,}86 \cdot 5{,}6\approx 4{,}82 0 p.

4. Tasakylkinen kolmio 12 p.

Kolmion ABC sivut AB ja AC ovat 6 senttimetriä pitkiä, ja niiden välinen kulma on \alpha. Piste D sijaitsee sivulla AB niin, että jana CD on kohtisuorassa sivua AB vastaan.

  1. Määritä janan CD pituus, kun \alpha=30^\circ. (4 p.)

  2. Määritä sellainen \alpha, että kolmion BCD pinta-ala on puolet kolmion ABC pinta-alasta. (4 p.)

  3. Määritä janan CD pituus, jos kolmion BCD pinta-ala on kolmasosa kolmion ABC pinta-alasta. (4 p.)

Hahmotettu kysymys oikein (esimerkiksi kuva suorakulmaisesta kolmiosta ACD, jonka terävät kulmat ovat 30 astetta ja 60 astetta). Tämän pisteen saaminen edellyttää sitä, että vähintään implisiittisesti käy ilmi, että kysymys on suorakulmaisesta kolmiosta, esimerkiksi kolmioon on myöhemmin yritetty soveltaa Pythagoraan lausetta tai trigonometriaa. (1 p.)
Koska kolmion hypotenuusan pituus on 6 (cm), (1 p.)
saadaan janan CD pituus yhtälöstä \sin 30^{\circ}=\frac{\vert CD \vert}{6}, 1 p.
joten kysytty pituus on täsmälleen 3 (\mathrm{cm}). 1 p.

Kolmioilla on sama korkeus TAI hyvä kuva TAI pienempien kolmioiden pinta-alat yhtäsuuret TAI yhtälö \frac{1}{2} \vert DB \vert \cdot \vert CD \vert = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \vert AB \vert \cdot \vert CD \vert. (1 p.)
Piste D jakaa janan AB kahteen yhtä pitkään osaan. 1 p.
Muodostettu esimerkiksi yhtälö \cos \alpha = \frac{|AD|}{|AC|}=3/6. 1 p.
Ratkaistu yhtälö ja saatu kulman suuruudeksi täsmälleen 60 astetta TAI täsmälleen \pi/3 radiaania. 1 p.
TAI
Kolmioilla on sama korkeus TAI hyvä kuva TAI pienempien kolmioiden pinta-alat yhtäsuuret TAI yhtälö \frac{1}{2} \vert DB \vert \cdot \vert CD \vert = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \vert AB \vert \cdot \vert CD \vert. (1 p.)
Piste D jakaa janan AB kahteen yhtä pitkään osaan. 1 p.
Päätelty, että pienet kolmiot BCD ja ACD ovat yhdenmuotoisia. 1 p.
Perusteltu, että kolmio ABC on tasasivuinen ja saatu kulman suuruudeksi täsmälleen 60 astetta TAI täsmälleen \pi/3 radiaania. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Oikea arvaus ja tarkistus (voi saada vain 0 tai 2 p.) 2 p.

Oikea yhtälö, esimerkiksi \frac{|BD|}{|AB|}=\frac{1}{3}. 1 p.
Päätelty, että |AD|=4\ (\mathrm{cm}). 1 p.
Oikein tehty sijoitus Pythagoraan lauseeseen: \sqrt{6^2-4^2} (=\sqrt{20}). 1 p.
|CD|= 2\sqrt{5} TAI = \sqrt{20} TAI \approx 4{,}4721\ldots (cm) (4 tai tarkempi vastaus käy). 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Alkupiste hyvästä kuvasta. 1 p.

Tehtävän erillisohjeet
Pelkkä vastaus 0 p.

B1-osa

5. Erikoiset mittayksiköt 12 p.

Tämä tästä -ajankohtaishuumoriohjelman jaksossa 119 kerrottiin, että Helsingin alle mahtuu huoltotunneleihin ja muihin tiloihin 500 eduskuntataloa. Eduskuntatalon tilavuus puolestaan kuvailtiin seuraavasti: ''Tavallinen kylpyamme, jollainen voi olla kotona tai hotellihuoneessa, on tilavuudeltaan noin 300 litraa – – Jos sinulla on 120 000 tällaista kylpyammetta, niin ne täyttävät neljäsosan eduskuntatalosta.''

  1. Mikä on eduskuntatalon tilavuus kuutiometreinä? (6 p.)

  2. Usein kuulee verrattavan pinta-aloja jalkapallokenttien kokoon. Jalkapallokenttä on suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat 105 metriä ja 68 metriä. Oletetaan, että huoltotunnelit ja muut tilat ovat suorakulmaisia särmiöitä. Jos huoltotunnelien ja muiden Helsingin alla olevien tilojen korkeus on keskimäärin 4,0 metriä, niin mikä on niiden pohjien yhteenlaskettu pinta-ala jalkapallokenttinä mitattuna? (6 p.)

riippumaton Yksikkömuunnos tehty oikein litroista kuutiometreiksi. 1 p.
120\,000 kylpyammeen tilavuus on 300\cdot 120\,000 (litraa), (1 p.)
joten eduskuntatalon tilavuus on 300\cdot 120\,000 \cdot 4 2 p.
omasta mielekkäästä tilavuuslaskusta oikea tulos (= 144\,000\,000\ \mathrm{l}). 1 p.
Vastaus melko täsmälleen 144\, 000\ (\mathrm{m}^3) TAI melko täsmälleen \approx 140\,000\ (\mathrm{m}^3) TAI melko täsmälleen \approx 100\,000\ (\mathrm{m}^3). Vain nämä tarkkuudet hyväksytään. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Pelkkä vastaus 0 p.
Selityksiä ei vaadita.

Huoltotunnelien tilavuus on 500\cdot 144\,000=72\,000\,000\ \mathrm{m}^3. 2 p.
Niiden pohjien yhteispinta-ala on siis \frac{72\,000\,000}{4}=18\,000\,000\ \mathrm{m}^2. 1 p.
riippumaton Yhden jalkapallokentän pinta-ala on 105\cdot 68\ \mathrm{m}^2, (1 p.)
joten huoltotunnelien yhteispinta-ala on \frac{18\,000\,000}{105\cdot 68}\ (\approx 2\,521) 1 p.
\approx 2500 TAI \approx 3000 jalkapallokenttää. (Vain nämä tarkkuudet hyväksytään.) 1 p.
TAI
Huoltotunnelien tilavuus on 500 \cdot 144 000 = 72 000 000\ \mathrm{m}^3 2 p.
riippumaton Yhden jalkapallokentän pinta-ala on 105 \cdot 68\ \mathrm{m}^2 (1 p.)
4 metriä korkean jalkapallokentän tilavuus on 4 \cdot 105 \cdot 68 \ \mathrm{m}^3, 1 p.
joten huoltotunneleihin menee \frac{72 000 000}{4 \cdot 105 \cdot 68}\ (\approx 2\,521) 1 p.
\approx 2500 \approx 3000 jalkapallokenttää. (Vain nämä tarkkuudet hyväksytään.) 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Jos lähtöarvo on pyöristetty ja siinä on korkeintaan kaksi merkitsevää numeroa. max 5 p.
Jos ratkaisussa on vain laskut ilman selityksiä. max 5 p.
Lähtöarvon virhe periytyy osatehtävästä 5.1 (käytetty tarkkaa tai vähintään kolmen merkitsevän numeron tarkkuutta). max 6 p.

6. Lahjavero 12 p.

Lahjaveroa on maksettava, kun omaisuus siirtyy toiselle henkilölle lahjana ja lahjan arvo on 5 000 euroa tai enemmän. Lahjavero määräytyy taulukossa 6.A esitetyn mukaisesti. Tarkastellaan tilanteita, joissa annetaan vain yksi lahja.

  1. Mikä on 80 000 euron lahjan veron määrä? Kuinka monta prosenttia tästä lahjasta maksetaan veroa? (6 p.)

  2. Kuinka suuresta lahjasta maksetaan 4 000 euroa lahjaveroa? (6 p.)

Lahjaveron määrä on 4700+\left(80\ 000-55\ 000\right)\cdot 0{,}12=7700 (euroa). 3 p.
Veroprosentti on siis \frac{7\ 700}{80\ 000}=0{,}09625\approx9{,}6\ \%. 3 p.
TAI
Alarajan ylittävä osa on 80\ 000-55\ 000=25\ 000. 1 p.
Alarajan ylittävän osan vero on 0{,}12\cdot25000=3000. 1 p.
Vero yhteensä 4700+3000=7700. 1 p.
Vero jaettu luvulla 80\, 000 (oikea lasku \frac{7700}{80000}). 1 p.
Omasta mielekkäästä laskusta oikea tulos (\approx 0,09625), joka välillä (0, 1). 1 p.
Johtopäätöksenä: Tulos muutettu oikein prosenteiksi ja pyöristetty (\approx9{,}6 %). 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Luettu kaikki tiedot väärältä taulukon riviltä: (0+0+1+1+1+1) max 4 p.
Huomioimatta, miten veroluokan alaraja käyttäytyy, esimerkiksi vain \frac{(80000-55000)\cdot 0{,}12}{80000} (1+1+0+1+0+0) tai (80000\cdot 0{,}12+4700)/80000 (0+1+1+1+0+0). max 3 p.
Alkupiste: Luettu oikeaa riviä, esimerkiksi
tulot kuuluvat luokkaan 55\ 000 - 200\ 000 TAI alarajan vero on 4700 TAI veroprosentti on 12.
1 p.

Lahjan suuruus on välillä 25\ 000 - 55\ 000. (1 p.)
Jos x on lahjan suuruus, niin alarajan ylittävä osa on x-25\ 000. (1 p.)
Veron suuruus on 1700+0{,}1\cdot(x-25000) 1 p.
Muodostettu veron suuruudesta yhtälö 1700+0{,}1\cdot\left(x-25\ 000\right)=4000 1 p.
Oma yhtälö ratkaistu oikein laskimella tai yhtälönratkaisun keinoin, (x=48\ 000) 2 p.
TAI
Lahjan suuruus on välillä 25\ 000 - 55\ 000. 1 p.
Alarajan ylittävän osan vero 4000-1700=2300. 1 p.
Tämä vero on 10 % alarajan ylittävästä osasta 1 p.
Alarajan ylittävä osa on 10\cdot2300=23000. 1 p.
25000+23000= 48000 2 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Huomioimatta, miten veroluokan alaraja käyttäytyy, esim. vain 0{,}1 (x-25000)=4000 (1+1+0+1+0) tai 1700+0{,}1x=4000 (1+0+1+1+0). max 3 p.
Ratkaisu alkaa suoraan yhtälöstä 1700+0,1\cdot\left(x-25\ 000\right)=4000. max 6 p.
Ratkaisu alkaa vastauksella 48 000. Sitten osoitetaan, että tällöin vero on 4000. max 4 p.
Yhtälö tai tehtävä on ratkaistu haarukoimalla. max 5 p.

Tehtävän erillisohjeet
Pieni epäjohdonmukaisuus prosenttimerkin kanssa, esim 7700/80000\cdot 100 = 9{,}625\approx 9{,}6\ \%. –0 p.

7. Kolikko ja noppa 12 p.

Pelissä heitetään kolikkoa ja tavallista noppaa.

  1. Mikä on todennäköisyys sille, että pelaaja A saa yhdellä kolikonheitolla klaavan ja pelaaja B yhdellä nopanheitolla silmäluvun 5? (4 p.)

  2. Pelaaja C väittää pelaajalle D: ''On todennäköisempää, että minä saan kahdella kolikonheitolla kaksi klaavaa kuin että sinä saat kahdella nopanheitolla summaksi vähintään yhdeksän.'' Onko pelaaja C oikeassa? (8 p.)

Pelaajan A klaavan todennäköisyys on \frac{1}{2}. 1 p.
Pelaajan B silmäluvun 5 todennäköisyys on \frac{1}{6}. 1 p.
Nämä molemmat tapahtuvat siis todennäköisyydellä \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}. 2 p.
Vastaus melko täsmälleen \frac{1}{12} TAI melko täsmälleen 8{,}3 % TAI melko täsmälleen 0{,}083 (kaikki tarkkuudet käyvät). 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Pelkät lukuarvot ilman mitään selitystä tai puutteellinen selitys esim. P(A saa klaavan ja B saa silmäluvun 5) = 1/2 \cdot 1/6 =\dots –1 p.
Murtoluku 1/6 oltava näkyvissä, muuten –1 p.
Rivin 3 pisteet saa kertomalla omat todennäköisyydet väliltä (0,1).

Todennäköisyys, että pelaaja C saa kaksi klaavaa on \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} TAI 25 % TAI 0{,}25 (perustelu + vastaus). 2 p.
Pelaajan D kaikkien mahdollisuuksien lukumäärä on (6\cdot 6=) 36. 1 p.
Suotuisat tapaukset ovat: (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4) (5, 5), (5, 6), (6, 3) (6, 4), (6, 5) och (6, 6). 2 p.
Todennäköisyys saada 9 tai enemmän on siis \frac{10}{36}. 1 p.
Koska 10/36 > 9/36 =1/4 TAI 27{,}8\ \%>25\ \% TAI 0{,}278>0{,}25, (1 p.)
on pelaaja C väärässä. Tämän pisteen saamiseen sovelletaan melko täsmälleen -ehtoa. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Pelkkä lasku ilman mitään selitystä. –1 p.
Riviltä 3 saa 2 p., jos täsmälleen suotuisat parit esitetty listassa, taulukossa tms.; 1 p., jos vain osa (vähintään 4) suotuisista pareista esitetty tai joukossa ylimääräisiä.
Jos laskettu todennäköisyys P(D saa tasan 9) tai P(D saa yli 9), \max 2+1+1+0+1+0. max 5 p.
Jos vain sanottu, että suotuisia on 10 ilman listaa, taulukkoa tai muuta perustelua, \max 2+1+0+1+1+1. max 6 p.
Jos vain sanottu, että suotuisia on 4 tai 6 ilman listaa, taulukkoa tai muuta perustelua, \max 2+1+0+0+1+0. max 4 p.

8. Paraabelin tangentti 12 p.

Paraabeli y=x^2+bx+c kulkee pisteen (9, 5) kautta, ja siinä sen tangentin kulmakerroin on 2. Määritä kertoimet b ja c derivaatan avulla.

riippumaton Sijoitettu pisteen (9, 5) koordinaatit paraabelin yhtälöön, saatu 9^2+9b+c=5 (1 p./oikein sijoitettu koordinaatti). 2 p.
Lisähuomio: Jos sijoitettu x ja y väärin päin. 1 p.
Derivoitu ja saatu 2x+b. Termit 2x (1 p.), b (1 p.), kokonaan oikein (1 p.) 3 p.
Derivaattafunktion on oltava 1. asteen polynomifunktio, jotta voi jatkaa.
Merkitty virheellisesti y = 2x+b. –0 p.
Merkitty derivaatan arvoksi 2. 1 p.
Jos edellistä riviä ei ole, ei voi saada pisteitä tämän rivin jälkeen.
Johtopäätöksenä: Sijoitettu x:n arvoksi 9 omaan derivaattaan: 2\cdot 9+b=2, (1 p.) ja ratkaistu oma yhtälö oikein (2 p.) (b= -16). 3 p.
Oma b sijoitettu paraabelin yhtälöön. 1 p.
Ratkaistu c omasta yhtälöstä (c = 68). 2 p.
Tehtävän erillisohjeet
Tangenttisuoran yhtälö muodostettu. +0 p.
Geogebran liukusäädinkokeilut +0 p.
Derivaatan nollakohdat +0 p.
Mallikuva +0 p.

9. Älypuhelinten käyttöikä 12 p.

Älypuhelinten keskimääräiset käyttöiät eräissä maissa on esitetty taulukossa 9.A.

  1. Laske taulukossa esitettyjen keskimääräisten käyttöikien keskiarvo \overline x ja keskihajonta s. (4 p.)

  2. Miksi osatehtävässä 9.1 laskettu keskiarvo \overline x ei tuota kyseisten maiden älypuhelinten käyttöikien keskiarvoa? (4 p.)

  3. Oletetaan, että älypuhelinten käyttöikä koko maailmassa noudattaa normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on 23 kuukautta ja keskihajonta 2,55 kuukautta. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun älypuhelimen käyttöikä on vähintään kolme vuotta? (4 p.)

Keskiarvo on \overline{x}=21 (kuukautta). Tämä tarkkuus vaaditaan. 1 p.
riippumaton Keskiarvon perustelu. 1 p.
riippumaton Keskihajonta on s \approx2\mathrm{,}26 TAI \sigma \approx 2{,}14 (vastauksessa korkeintaan 3 desimaalia). 1 p.
riippumaton Keskihajonnan perustelu. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Pelkkä kaava ilman lukujen sijoitusta ei anna pisteitä.
Oikeasta perustelusta voi saada pisteen, vaikka se sisältäisi pienen virheen (laskuvirhe, yksi luku unohtunut, yksi yhteenlasku muuttunut kertolaskuksi, keskihajonnasta puuttuu neliöjuuri tms.).
Omista laskuista keskiarvo pyöristetty 20 kuukauteen. Pisteet riveiltä 1 ja 2.
Perusteluksi kelpaa kuvakaappaus. Vastauksia varten luvut pitää poimia kuvakaappauksesta.
Esimerkkikuvakaappaus ohjelmasta:

Eri maissa on eri määrä älypuhelimia/asukkaita. (Tästä syystä keskiarvo ei ole sama kuin kaikkien maiden älypuhelimien käyttöikien keskiarvo.) TAI Vertailtu kahta maata ja todettu, että niissä on eri määrä älypuhelimia. 4 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Esimerkkejä osapisteistä:
”Pitää laskea painotetulla keskiarvolla” TAI ”Koska lasketaan keskiarvojen keskiarvo.” 2 p.
”Koska taulukon luvut ovat yhden maan keskiarvoja.” TAI ”Maiden keskiarvot eivät ole samoja.” TAI ”Käytettynä ostetut puhelimet eivät ole mukana tilastossa.” TAI ”Jossain kohdassa tehty pyöristys vaikuttaa.” 0 p.
Jos vastauksessa on useampi selitys, niin paras selitys huomioidaan. Arvostelussa on voitu käyttää yleisvähennystä esimerkiksi ylimääräisen tekstin vuoksi.

Kolme vuotta on 36 kuukautta. (1 p.)
Oikea väli X \ge 36. 1 p.
riippumaton Käytetään (käsin tai ohjelmalla) normaalijakaumaa, jossa keskiarvoa (23) ja keskihajontaa (2,55) on käytetty oikein. 1 p.
riippumaton Vastaus oikein \approx 0\mathrm{,}000\,000\,17. Kaikki tarkkuudet paitsi 0 kelpaavat. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Esimerkiksi komento \text{normCdf}(36, \infty, 23, 2.55) tai alla oleva esimerkkikuva ohjelmasta antaa pisteet kolmelta ensimmäiseltä riviltä.
Kaikki luvut voi myös muuttaa vuosiksi. Jos vain keskiarvo tai keskihajonta muutettu, niin annetaan max 1 p. ”oikea väli X\ge 3” (0+1+0+0). max 1 p.

B2-osa

10. Hirsitalo painuu kokoon 12 p.

Hirsitalon rakentamisessa pitää huomioida, että rakennus painuu kokoon muutaman vuoden ajan. Tämä tehdään jättämällä rako eli niin sanottu painumavara esimerkiksi ovien ja ikkunoiden päälle. Eräs uuden hirsitalon omistaja arvioi, että hirsien painumista tapahtuu kahdeksan vuoden ajan ja vuotuiset painumat muodostavat geometrisen lukujonon. Hänen talonsa painumavara on 6,0 cm.

  1. Auta talon omistajaa esittämällä geometrinen lukujono, joka kuvaa talon vuosittaista painumista. Lukujono täyttää seuraavat ehdot:

    • Ensimmäinen jäsen kuuluu välille [2,0 cm; 3,0 cm].

    • Kahdeksan ensimmäisen jäsenen summa S kuuluu välille [5,0 cm; 6,0 cm].

    Ilmoita vastauksessa lukujonon suhdeluku q ja osoita laskulla, että summa S kuuluu vaaditulle välille. (8 p.)

  2. Piirrä pylväsdiagrammi kahdeksan ensimmäisen vuoden vuosittaisista painumista. (4 p.)

Käsitelty geometrista lukujonoa, esimerkiksi a\cdot q^i, i=0,1,2, \ldots (Pelkkä kuvakaappaus kaavasta ei riitä.) 1 p.
Johtopäätöksenä: Annettu ensimmäinen jäsen a \in [2{,}0\, \mathrm{cm}; 3{,}0\, \mathrm{cm}]. 1 p.
Annettu suhdeluku q, jolle 0 < q < 1 (vähenevä geometrinen lukujono). 1 p.
riippumaton Luvut a ja q toteuttavat ehdot (tarkistusta helpottava taulukko alla). 1 p.
a=2{,}0,\ 0{,}607412 \leqslant q \leqslant 0{,}682328
a=2{,}1,\ 0{,}585826 \leqslant q \leqslant 0{,}66308
a=2{,}2,\ 0{,}564539 \leqslant q \leqslant 0{,}64421
a=2{,}3,\ 0{,}543502 \leqslant q \leqslant 0{,}625668
a=2{,}4,\ 0{,}522674 \leqslant q \leqslant 0{,}607412
a=2{,}5,\ 0{,}502017 \leqslant q \leqslant 0{,}589402
a=2{,}6,\ 0{,}481502 \leqslant q \leqslant 0{,}571605
a=2{,}7,\ 0{,}461104 \leqslant q \leqslant 0{,}553992
a=2{,}8,\ 0{,}440798 \leqslant q \leqslant 0{,}536538
a=2{,}9,\ 0{,}420568 \leqslant q \leqslant 0{,}51922
a=3{,}0,\ 0{,}400396 \leqslant q \leqslant 0{,}502017
ylläolevista riveistä riippumaton piste Osoitettu, että luvut a ja q toteuttavat ehdot:
Kahdeksanjäsenisen geometrisen lukujonon summa on a\frac{1-q^8}{1-q} TAI a + a q + a q^2 + a q^3 + a q^4 + a q^5 + a q^6 + a q^7. (1 p.)
Sijoitettu luvut TAI laskettu joku osasumma, joka on \ge 5{,}0 cm. 1 p.
Suoritettu laskutoimitus TAI laskettu summan yläraja \frac{a}{1-q}. 1 p.
Tulos kuuluu välille [5{,}0\, \mathrm{cm}; 6{,}0\, \mathrm{cm}]. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Annettu 8-jäseninen aidosti vähenevä lukujono, joka on silmämääräisesti geometrinen. Summa kuuluu välille [5{,}0\, \mathrm{cm}; 6{,}0\, \mathrm{cm}]. (0+0+0+0+1+1+1+1) max 4 p.

Laskettu/poimittu ainakin kuusi osatehtävää 10.1 vastaavaa vuosittaista painumaa 1 p.
Johtopäätöksenä: Piirretty pylväsdiagrammi. 1 p.
Pylväitä on kahdeksan, joista jokainen vastaa osatehtävässä 10.1 laskettua vuosittaista painumaa. 1 p.
Pylväät on merkitty (1–8) ja diagrammissa on otsikko tai selitetty, että pylväät kuvaavat vuosittaista painumaa senttimetreinä. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
y-akselin selitykset puuttuvat. (1+1+1+0) max 3 p.
Alkupiste: Pylväsdiagrammi, jossa akselit on merkitty tai selitetty. 1 p.
Omat virheelliset vuosittaiset arvot osatehtävästä 10.1 max 4 p.

11. Reunapalat 12 p.

Tuhannen palan palapelin koko on 70 cm \times 50 cm. Arvioi, kuinka suuri osuus paloista on reunapaloja. Kirjoita näkyviin, mitä oletuksia arvioinnissasi teet.

Oletetaan, että palapelin palat ovat suorakulmioita. 2 p.
Tarkastellaan seuraavaksi luvun 1000 hajotelmia kahden luvun tuloksi. Niistä hajotelmassa 40\cdot 25 ovat tulontekijät lähinnä toisiaan. (Hajotelmat, joissa suhde < 3 ja palojen lukumäärä 950–1050 kelpaavat, eli esimerkiksi 20 \cdot 50 ja 27\cdot 37 käyvät.) 2 p.
Laskettu palapelin sivujen pituuksien suhde \frac{70}{50}=1\mathrm{,}4 (1 p.)
ja palojen lukumäärien suhde (\frac{40}{25}=1{,}6). (1 p.)
Verrattu suhteita ja todettu tuottavan järkevän muotoisia paloja. 2 p.
Reunapaloja on siis yhteensä 40\cdot 2+25\cdot 2-4=126. 2 p.
Paloista noin 126/1000 \ (\approx 13\ \%) TAI 126/\text{(omien palojen lukumäärä)} on siis reunapaloja. Vastauksen voi antaa murtolukuna tai desimaalilukuna. 2 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Oletettu sellainen palan koko (esimerkiksi 1 cm tai 2 cm sivultaan oleva neliö), että annetun kokoiseen palapeliin tulee yli 5 % väärä lukumäärä paloja. (2+0+0+0+0+2+2) max 6 p.
TAI (vaihtoehtoinen ratkaisutapa)
Palapelin pinta-ala on 50 \textrm{ cm} \cdot 70 \textrm{ cm } = 3500 \textrm { cm}^2. (1 p.)
Yhden palan pinta-ala on \frac{3500}{1000}=3{,}5\textrm{ cm}^2. 1 p.
ylläolevista riveistä riippumaton piste Oletetaan, että palapelin palat ovat neliöitä. 2 p.
Yhden palan sivun pituus on \sqrt{3{,}5}\approx 1{,}8708 \textrm{ cm}. 2 p.
ylläolevista riveistä riippumaton piste Palapelin piiri on 2\cdot (50+70)=240 \textrm{ cm}. 1 p.
Reunapalojen lukumäärä on \frac{\textrm{piiri}}{\textrm{palan sivun pituus}}- 4\approx\frac{240}{1,8708}-4\approx 124
(jaettu piiri sivun pituudella (1 p.) ja kulmien huomioiminen oikein (1 p.)). 2 p.
riippumaton Selitys sille, että palapeli on realistinen. 1 p.
Paloista noin \frac{124}{1000} TAI 12\ \% on siis reunapaloja. (Murtoluku- tai desimaalilukuvastaus kelpaa.) 2 p.
Tämän ratkaisun erillisohjeet
Pinta-alamenetelmässä palojen lukumäärää rivillä ei tarvitse pyöristää kokonaisiksi paloiksi, mutta pyöristykset kokonaisiksi paloiksi hyväksytään.
Variantti 3{,}5\ \mathrm{cm}^2 suorakaiteilla, joiden sivut 2 cm ja 1{,}75 cm. max 12 p.
Variantti epätodellisen pitkulaisilla 3,5 cm^2 suorakaiteilla (sivujen pituuksien suhde >3, esimerkiksi 1\times 3{,}5): 1+1+0+1+1+2+0+2 pistettä. max 8 p.

Tehtävän erillisohjeet
Jos oletus suorakulmioista/neliöistä (1. ratkaisuvaihtoehdon rivi 1 / 2. ratkaisuvaihtoehdon rivi 3) ilmenee palan mitoista myöhemmin, mutta sanaa neliö/suorakulmio/suorakaide ei näy, annetaan kyseiseltä riviltä 1 piste.
Kulmapaloja ei ole huomioitu tai niiden vaikutus on väärin. –1 p.
Viimeisen rivin pisteet voi saada, jos toiseksi (1. ratkaisuvaihtoehto)/kolmanneksi (2. ratkaisuvaihtoehto) viimeiseltä riviltä saa vähintään 1 pisteen. (Esimerkiksi ”reunapaloja on 4 kpl” \to ei pisteitä, 10\times100 palaa” \to voi saada lopun pisteet.)
Eri oletukset (kuten palojen sivujen pituuksien suhteet) voivat johtaa erilaisiin lopputuloksiin. Jos kokelas on selittänyt hyvin oman palapelinsä, siitä voi saada 12 pistettä.

12. Peruskoulujen lukumäärä Suomessa 12 p.

Peruskoulujen lukumäärä Suomessa vuosina 2005–2020 on esitetty taulukossa 12.A.

  1. Piirrä diagrammi, joka esittää peruskoulujen lukumäärät vuosina 2005–2020. (2 p.)

  2. Sovita aineistoon regressiosuora y=a+bx, kun vuosi on x-akselilla ja peruskoulujen määrä y-akselilla. Selitä sanallisesti kertoimien a ja b merkitys. (4 p.)

  3. Sovita aineistoon regressiosuora käyttäen vain vuosien 2005–2008 peruskoulujen lukumääriä. (2 p.)

  4. Arvioi kummankin mallin perusteella vuosi, jolloin peruskoulut häviävät Suomesta. (4 p.)

Oikean suuntainen kaavio, jossa esitetty koulujen lukumäärän ja vuosilukujen riippuvuus, ja jossa saattaa olla pieniä virheitä. Esimerkiksi pylväs- tai palkkikaavio, viivakaavio, hajontakuvio. (1 p.)
Oikein tehty diagrammi. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Asteikot puuttuvat (1+0). max 1 p.
y-akselin saa katkaista.
Alla on malliratkaisu GeoGebrasta. Taulukkoa ei vaadita.

Aineistoon sovitettu regressiomalli (ei välttämättä suora), joka silmämääräisesti vaikuttaa järkevältä, regressiomallin työkalu näkyy.
TAI
Aineistoon sovitettu suora (tai melkein suora), joka silmämääräisesti vaikuttaa regressiosuoralta (sovitus voi olla tehty myös silmämääräisesti).
TAI
Suora annettu yhtälönä, jossa kertoimet suunnilleen oikein (kulmakerroin \pm 10 oikein ja vakiotermi \pm 10000 oikein).
1 p.
Regressiosuoran yhtälö annettu oikein. Riittää, että yhtälö on kuvakaappauksessa. Kaikki tarkkuudet käyvät. (y=-78{,}2794x+160\,178{,}4412) 1 p.
riippumaton Kulmakertoimen b merkitys selitetty oikein eli liitetty koulujen lukumäärän muutosnopeuteen. 1 p.
riippumaton Vakiotermin a merkitys selitetty oikein eli suunnilleen koulujen lukumäärä vuonna 0. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Molemmat kertoimet a ja b selitetty, mutta väärinpäin. max 3 p.
Alla oikea esimerkki GeoGebran käytöstä. Taulukkoa ei vaadita.
Sovitus ei regressio (esimerkiksi ensimmäisen ja viimeisen pisteen kautta) +0 p.

Aineistoon sovitettu regressiomalli (ei välttämättä suora), joka silmämääräisesti vaikuttaa järkevältä, regressiomallin työkalu näkyy.
TAI
Aineistoon sovitettu suora (tai melkein suora), joka silmämääräisesti vaikuttaa regressiosuoralta (sovitus voi olla tehty myös silmämääräisesti).
TAI
Suora annettu yhtälönä, jossa kertoimet suunnilleen oikein (kulmakerroin \pm 10 oikein ja vakiotermi \pm 10000 oikein).
(1 p.)
Regressiosuoran yhtälö annettu oikein. Riittää, että yhtälö on kuvakaappauksessa. Kaikki tarkkuudet käyvät. (y=-119x+241\,919) 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Sovitus ei regressio (esimerkiksi ensimmäisen ja viimeisen pisteen kautta) +0 p.

riippumaton Laajemmalla mallilla oikein 2046 TAI 2047 (jos akselit toisinpäin, niin 2045 TAI 2046). 1 p.
Perustelu oikein 1 p.
riiippumaton Suppeammalla mallilla oikein 2032 TAI 2033. (jos akselit toisinpäin niin 2032 tai 2033) 1 p.
Perustelu oikein 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Esimerkiksi suppeammasta mallista: -119x+241\,919=0, jolloin saadaan x\approx 2032\mathrm{,}9.
Esimerkiksi laajemmasta mallista: -78{,}2794x + 160 178{,}4412=0, jolloin saadaan x \approx 2046{,}24.
Pisteet saa myös osatehtävistä 2 ja 3 periytyneillä väärillä lineaarisilla malleilla. max 4 p.
Vuoden voi määrittää osoittamalla, että funktion merkki vaihtuu kahden vuoden välissä, tai katsoa kuvaajasta, jos kuvaajalla on tasavuosittainen asteikko ja leikkauspisteen sijainti jää selvästi kahden peräkkäisen vuoden väliin.
Epälineaarisella mallilla ei tästä kohdasta pisteitä. +0 p.

Tehtävän erillisohjeet
Jos x-akseli on siirretty arvoihin 1–16 ja vastaavuus selitetty järkevästi, niin max 12 p. Jos ei selitetty, niin max 1+0 / 4 / 2 / 0+1+0+1.
Osatehtävissä 12.2–12.4: x- ja y-akselit toisinpäin: regressiosuorat y=-0.0082x+2032.2222 ja y=-0.0125x+2045.6747. Tällöin voi saada seuraavat pisteet:
12.2: 1+0+1+1
12.3: 1+1
12.4: 1+1+1+1.

13. Kuvaajat ja derivaatta 12 p.

Funktioista f ja g tiedetään, että f(0)=0 ja g(0)=5 sekä

2\leq f'(x)\le 3\qquad\text{ja}\qquad 1\leq g'(x)\le 2

kaikilla x.

  1. Oletetaan, että funktioiden f ja g kuvaajat ovat suoria. Perustele graafisesti tai laskemalla, että 4\leq f(2)\le 6 ja 7\leq g(2)\le 9. (6 p.)

  2. Oletetaan, että funktioiden f ja g kuvaajat eivät välttämättä ole suoria. Mitkä seuraavista tilanteista ovat mahdollisia:

    • f(2)=g(2)

    • f(2)<g(2)

    • f(2)>g(2)

    Voit hyödyntää perustelussasi seuraavaa tietoa:
    Jos kahdella funktiolla on sama arvo kohdassa 0 ja toisen funktion derivaatta on suurempi välillä [0, 2], niin tämän funktion arvo on suurempi kohdassa 2. (6 p.)

riippumaton Todettu eksplisiittisesti, että jos funktion f (samoin funktion g) kuvaaja on suora, niin sen kulmakertoimen k arvo on sama kuin sen derivaatta. 1 p.
Näin ollen, jos f(0)=0, niin funktion lauseke on muotoa f(x)=kx. 1 p.
Siispä f(2)=k\cdot 2\leq 3\cdot 2=6 ja f(2)=k\cdot 2\geq 2\cdot 2=4. 2 p.
Funktion g tapauksessa vastaavasti, jos g(0)=5, niin g(x)=kx+5, 1 p.
ja voidaan arvioida g(2)=2k+5\leq 2\cdot 2+5=9 sekä g(2)\geq 1\cdot 2+5=7. 1 p.
TAI graafinen ratkaisu
riippumaton Todettu eksplisiittisesti, että jos funktion f (samoin funktion g) kuvaaja on suora, niin sen kulmakertoimen k arvo on sama kuin sen derivaatta. 1 p.
Kuvassa ovat suorat y=2x ja y=3x ainakin välillä [0,2]. 2 p.
Nähdään, että f(2)\leq 6 ja f(2)\geq 4. 1 p.
Kuvassa ovat suorat y=x+5 ja y=2x+5 ainakin välillä [0,2]. 1 p.
Nähdään, että g(2)\leq 9 ja g(2)\geq 7. 1 p.

Hyödynnetään tehtävässä olevaa lisätietoa. Koska funktion f derivaatta on rajoitettu välille [2,3], ovat funktion f arvot korkeintaan yhtä suuria kuin funktion f_1(x)=3x arvot ja vähintään yhtä suuria kuin funktion f_2(x)=2x arvot. 2 p.
Arvot on siis rajoitettu samoin kuin ensimmäisen kohdan suorilla. Vastaava pätee funktioon g. 1 p.
Voidaan siis lukea vastaukset suoraan ensimmäisestä kohdasta:
f(2)=g(2) ei ole koskaan mahdollinen. 1 p.
f(2)<g(2) on mahdollinen (toteutuu aina). 1 p.
f(2) >g(2) ei ole koskaan mahdollinen. 1 p.
Osatehtävän erillisohjeet
Pelkät oikeat vastaukset. +0 p.
Tilanteen f(2)<g(2) perusteluksi riittää vetoaminen osatehtävään 13.1.
Ensimmäiseltä riviltä voi antaa yhden pisteen, jos on yritetty selittää ja selitys on oikeansuuntainen, mutta hutera.