Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, kort lärokurs (synskadade)

22.3.2023

Slutgiltiga beskrivningar av goda svar 16.5.2023

Grunderna enligt vilka bedömningen gjorts framkommer i de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar. Uppgiften om hur bedömningsgrunderna tillämpats på examinandens provprestation utgörs av de poäng som examinanden fått för sin provprestation, de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar och de föreskrifter gällande bedömningen som nämnden gett i sina föreskrifter och anvisningar. De slutgiltiga beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svarsalternativ eller alla godkända detaljer i ett godkänt svar. Eventuella bedömningsmarkeringar i provprestationerna anses vara jämställbara med anteckningar och sålunda ger de, eller avsaknaden av markeringar, inte direkta uppgifter om hur bedömningsgrunderna tillämpats på provprestationen.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal i den högra kolumnen för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Examinanden får poäng i parentes genom att uppfylla den radens villkor eller villkoret på följande rad, om följande rad är i skick, och det inte framgår explicit att föregående rad har gjorts fel.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med texten exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40. Texten ganska exakt betyder att talen och uträkningarna måste vara i skick, men att det kan finnas brister i motiveringar och förklaringar.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Beteckningen poäng oberoende av de ovanstående raderna betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter denna rad på normalt sätt.
    • Beteckningen oberoende betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad.
    • Beteckningen som slutsats: poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
  • Terminologi
    • ''Svar räcker'' betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • ''Startpoäng'' betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • ''maxN'' betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • ''Svaret endast som närmevärde'' betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (t.ex. noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (t.ex. e^1, ln(e) eller 4^0 -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (t.ex. e^1, ln(e) eller 4^0 -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (t.ex. x = 2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (t.ex. parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt ''i kedja'', m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.
Instruktioner för anvisningar med tre kolumner:
  • Examinanden får poäng från idékolumnen om hen har börjat utföra den nämnda operationen, även om genomförandet skulle vara bristfälligt.
  • En beräkning eller en formel i genomförandekolumnen visar hur idén ser ut då den är korrekt utförd.
  • Stoppvillkor: från varje rad ska man få minst hälften av radens poäng, nedåt avrundade, för att man ska kunna fortsätta.
  • Om stoppvillkoret inte uppfylls, dvs. om det ännu finns poäng som kan delas ut på följande rader, så kan examinanden ännu få alla poäng från de följande raderna, där det inte explicit finns något hinder för att hen inte ska kunna få poängen.

Del A

1. Basekvationer 12 p.

Nedan finns sex deluppgifter 1.1–1.6. Skriv i svarsfältet för varje deluppgift in bara det slutliga resultatet av uträkningarna, utan mellansteg och motiveringar. Svaret i varje deluppgift är ett heltal.

I uppgiften kan du inte använda skärmdumpar eller formeleditor. Svaret på varje deluppgift har maximilängden 5 tecken. Svaren bedöms med hjälp av dator, och om instruktionerna inte följs kan det leda till poängavdrag. Du kan få 2 poäng för varje deluppgift.

1.1 Beräkna  2 p.

  • 55 (2 p.)

1.2 Lösningen till ekvationen 5 x -2 =13 är  2 p.

  • 3 (2 p.)

1.3 Linjen y =-2 x +14 skär x-axeln då  2 p.

  • 7 (2 p.)
14 (beräknat var linjen skär y-axeln) 1 p.
(7, 0) 1 p.
y=7 1 p.
+-7, eller motsvarande 1 p.

1.4 Den större lösningen till ekvationen x^2 =8 x är  2 p.

  • 8 (2 p.)
0 1 p.
0 eller 8 1 p.

1.5 Lösningen till potensekvationen x^3 =64 är  2 p.

  • 4 (2 p.)

1.6 Lösningen till exponentialekvationen 2^x -128 =0 är  2 p.

  • 7 (2 p.)

Specifika anvisningar för uppgiften
I vardera deluppgift -1, om antalet tecken överskrids eller om man exempelvis använt mellansteg.

2. Lösningar till ekvationer 12 p.

  1. Lös ekvationsparet

    {x +y =8,
    2 x -y =1}.

    (4 p.)

  2. Lös ekvationen 2 x^2 -5/2 x +1/4 =0. Ange den större roten som ett exakt värde i förenklad form och den mindre roten som ett närmevärde med två decimalers noggrannhet. (8 p.)

Examinanden har adderat ekvationerna ledvis eller löst ut en variabel med hjälp av den andra. 1 p.
Hen får 3 x =9, dvs. x =3 (eller så har y =5 lösts ut). 1 p.
Insättning i den första ekvationen varvid man får y =5 (eller x =3). 2 p.
ELLER
Svaret x =3 och y =5. 1 p.
Granskningar genom insättning i båda ekvationerna (1 p./ekvation). 2 p.
Motiverad entydighet. 1 p.
Ledvis multiplikation av ekvationen med fyra, vilket ger 8 x^2 -10 x +1 =0. (1 p.)
Vi använder lösningsformeln för en andragradsekvation som ger lösningarna
x =+-10sqrt[(-10)^2 -4 *8 *1] /2 *8 (=5+-sqrt(17) /8). (Idé om användning av koefficienterna och en lyckad insättning av dem: 1+2) 		3 p.
Den större roten är förenklad: 5 +sqrt(17) /8 (2,5 +sqrt(4,25) /4 eller motsvarande 1 p.). 2 p.
Den mindre rotens närmevärde: [5 -sqrt(17) /8 ~~] 0,11. (Den här noggrannheten krävs.) 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Poängen i första radens parentes kan delas ut om man får minst en poäng för den andra raden och den första raden inte är fel.
I närmevärdet en annan noggrannhet eller den andra decimalen är fel. –1 p.
Båda som närmevärden med Speedcrunch: 1+2+0+2 max 5 p.
Övergång till närmevärden före användning av rotformeln: 1+1+1+2 max 5 p.
I rotformeln förekommer x, å examinanden inte har gjort första raden max 0 p.
Eftersom examinanden i uppgiftsbeskrivningen inte blev ombedd att berätta vilken av rötterna som är större och vilken som är mindre, så räcker det att ge den större i just exakt och förenklad form och den mindre som närmevärde.

3. Procent 12 p.

  1. År 2019 var den genomsnittliga månadslönen för en sjukskötare 2 535 euro. En sjukskötare fick en 6 procent högre lön än genomsnittet. Hens nettolön, dvs. det belopp som varje månad betalades till kontot, var 1 777,25 euro. Hur många procent av lönen gick till skatt och övrig förskottsinnehållning? (6 p.)

  2. År 2021 var mervärdesskatten för ett coronatest 24 % och försäljningspriset 5,60 euro. En forskargrupp föreslog att mervärdesskatten för testen skulle sänkas till 10 %. Hur mycket kostar produkten ifall en sådan skatteförändring i sin helhet överförs till priset? (6 p.)

Sjukskötarens lön är 1,06 *2535 (=2687,10) euro. Fördelning av poäng: koefficienten 1\mathrm{,}06 1 p. och korrekt produkt 1 p. 2 p.
Innehållningsprocenten är alltså 2687,10 -1777,25 /2687,10 =909,85 /2687,10 =0,33859... ~~34 %. Fördelning av poäng: differensen av den egna bruttolönen och nettolönen 1 p., kvoten av differensen och bruttolönen 1 p., resultatet av divisionen 1 p., resultatet ändrat till procent och avrundat 1 p. 4 p.
ELLER
Sjukskötarens lön är 1,06 *2535 (=2687,10) euro. Fördelning av poäng: koefficienten 1\mathrm{,}06 1 p. och korrekt produkt 1 p. 2 p.
Nettolönens andel av bruttolönen är 1777,25 /2687,10 (=0,6641...) 2 p.
Innehållningsprocenten är 1 -1777,25 /2687,10 (=0,33859...) ~~34 %. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Specialfall: Talet 2\,535 har använts som bruttolön på den andra raden. Fördelning av poäng: poäng delas ut för differensen och kvoten, för den andra raden: max 2 p.
Hemtestets pris utan skatt är 5,60 /1,24. Fördelning av poäng: koefficienten 1\mathrm{,}24 eller 0\mathrm{,}24 1 p., skattefritt pris *1,24 =5,6 1 p., kvoten 5,6 /1,24 1 p. (Ifall en ekvation används i lösningen: pris utan skatt x och försäljningspriset 1{,}24x 1 p., ekvationen 1,24 x =5,60 1 p., x =4,5161... 1 p.) 3 p.
Då mervärdesskatten är lägre är priset alltså 5,60 /1,24 *1,1 ~~4,97 euro. Endast den här nogrannheten godkänns. Fördelning av poäng: koefficient 1\mathrm{,}1 (1 p. oberoende poäng), skattefria priset är multiplicerat med talet 1\textrm{,}1 1 p., svaret och dess avrundning till en cents nogrannhet 1 p. 3 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Priset utan skatt har avrundats till värdet 4{,}52 –0 p.
Specialfall:
5,6 *1,1 =6,16 euro max 1 p.
0,76 *5,6 *1,1 ~~4,68 ELLER 0,76 *0,56 ~~4,26 och 4,26 *1,1 ~~4,69 (0+3) max 3 p.
0,86 *5,6 ~~4,82 0 p.

4. En likbent triangel 12 p.

Sidorna AB och AC i triangeln ABC är 6 centimeter långa, och vinkeln mellan dem är ~a. Punkten D ligger på sidan AB så, att sträckan CD är vinkelrät mot sidan AB.

  1. Bestäm längden på sträckan CD, då ~a =30 ^@. (4 p.)

  2. Bestäm ett sådant värde ~a att arean på triangeln BCD är hälften av arean på triangeln ABC. (4 p.)

  3. Bestäm längden på sträckan CD, om arean på triangeln BCD är en tredjedel av arean på triangeln ABC. (4 p.)

Frågan har uppfattats korrekt (exempelvis med en figur av den rättvinkliga triangeln ACD, som har de spetsiga vinklarna 30 grader ja 60 grader). För att få den här poängen förutsätt att det minst implicit framgår att det är fråga om en rätvinklig triangel. Exempelvis så har man senare försökt tillämpa Pythagoras sats eller trigonometri. (1 p.)
Eftersom längden på triangelns hypotenusa är 6 (cm), (1 p.)
så får man längden på sträckan CD med ekvationen sin 30^@ =|CD|/6, 1 p.
vilket ger den efterfrågade längden exakt 3 (\mathrm{cm}). 1 p.
Trianglarna har samma höjd ELLER en bra figur ELLER de mindre trianglarnas areor är lika stora ELLER ekvationen 1/2|DB| *|CD| =1/2 *1/2|AB| *|CD|. (1 p.)
Punkten D delar sträckan AB i två lika stora delar. 1 p.
Exempelvis ekvationen cos ~a =|AD|/|AC| =3/6 har bildats. 1 p.
Ekvationen har lösts och man har fått fram att vinkeln storlek är exakt 60 grader ELLER exakt ~p/3 radianer. 1 p.
ELLER
Trianglarna har samma höjd ELLER en bra figur ELLER de mindre trianglarnas areor är lika sora ELLER ekvationen 1/2|DB| *|CD| =1/2 *1/2|AB| *|CD|. (1 p.)
Punkten D delar sträckan AB i två lika stora delar. 1 p.
Examinanden har konstaterat att de små trianglarna BCD och ACD är likformiga. 1 p.
Examinanden har motiverat att triangeln ABC är liksidig och fått att vinklens storlek är exakt 60 grader ELLER exakt ~p/3 radianer. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Korrekt gissning och kontroll (examinanden kan få endast 0 eller 2 p.) 2 p.
Korrekt ekvation, exempelvis |BD| /|AB| =13. 1 p.
Examinanden har kommit fram till att |AD| =4 (cm). 1 p.
Korrekt gjord insättning i Pythagoras sats: sqrt(6^2 -4^2) (=sqrt(20). 1 p.
|CD| =2 *sqrt(5) ELLER =sqrt(20) ELLER ~~4,4721... (cm) (4 eller ett noggrannare svar duger). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Startpoäng för en bra figur. 1 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Endast svar 0 p.

Del B1

5. Speciella måttenheter 12 p.

I del 119 av aktualitetshumorprogrammet Detta om detta berättade man att det under Helsingfors ryms 500 riksdagshus i servicetunnlar och övriga utrymmen. Riksdagshusets volym beskrevs på följande sätt: ''Ett vanligt badkar som du kan ha hemma eller som kan finnas i ett hotellrum rymmer ungefär 300 liter – – Om du har 120 000 sådana badkar så fyller de en fjärdedel av riksdagshuset.''

  1. Vilken är riksdagshusets volym i kubikmeter? (6 p.)

  2. Man hör ofta att areor jämförs med storleken på fotbollsplaner. En fotbollsplan är en rektangel, vars sidor har längderna 105 meter och 68 meter. Vi antar att servicetunnlarna och de övriga utrymmena är rätblock. Anta vidare att höjden på servicetunnlarna och de övriga utrymmena under Helsingfors i genomsnitt är 4,0 meter. Vilken är då den sammanlagda arean av deras bottnar mätt i antalet fotbollsplaner? (6 p.)

oberoende Enhetsbytet från liter till kubikmeter är korrekt utfört. 1 p.
Volymen på 120.000 badkar är 300 *120.000 (liter), (1 p.)
dvs. riksdagshusets volym är 300 *120.000 *4 2 p.
korrekt resultat med en egen meningsfull volymberäkning (=144.000.000). 1 p.
Svar ganska exakt 144.000 (m^3) ELLER ganska exakt ~~140.000 (m^3) ELLER ganska exakt ~~100.000 (m^3). Endast de när noggrannheterna godkänns. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast svar 0 p.
Förklaringar krävs inte.
Servicetunnlarnas volym är 500 * 144.000 =72.000.000 m^3. 2 p.
Den sammanlagda arean av deras bottnar är 72.000.000 /4 =18.000.000 m^2. 1 p.
oberoende Storleken på arean av en fotbollsplan är 105 *68 m^2, (1 p.)
dvs. servicetunnlarnas sammanlagda area är 18.000.000 /105 * 68 (~~2521) 1 p.
~~2500 ELLER ~~3000 fotbollsplaner. (Endast dessa noggrannheter godkänns.) 1 p.
ELLER
Servicetunnlarnas volym är 500 * 144.000 =72.000.000 m^3 2 p.
oberoende Storleken på arean av en fotbollsplan är 105 *68 m^2 (1 p.)
Volymen på en 4 meter hög fotbollsplan är 4 *105 *68 m^3, 1 p.
vilket betyder att det till servicetunnlar går 72.000.000 /4 *105 *68 (~~2521) 1 p.
~~2500 ~~3000 fotbollsplaner. (Endast dessa noggrannheter godkänns.) 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Om startvärdet är avrundat och det innehåller högst två gällande siffror. max 5 p.
Om det endast ingår beräkningar utan förklaringar i lösningen. max 5 p.
Startvärdets fel ärvs från deluppgift 5.1 (exakt värde eller minst tre gällande siffrors noggrannhet har använts). max 6 p.

6. Gåvoskatt 12 p.

Då man överför egendom till en annan person som gåva och gåvans värde är 5 000 euro eller högre måste man betala gåvoskatt. Gåvoskatten beräknas enligt metoden som presenteras i tabell 6.A. Vi undersöker situationer där man ger endast en gåva.

  1. Hur stor är gåvoskatten för en gåva på 80 000 euro? Hur många procent av denna gåva betalas i skatt? (6 p.)

  2. För en hur stor gåva betalar man 4 000 euro i gåvoskatt? (6 p.)

Gåvoskattens storlek är 4700 +(80.000 -55.000) *0,12 =7700 (euro). 3 p.
Skatteprocenten är alltså 7700 /80.000 =0,09625 ~~9,6 %. 3 p.
ELLER
Beloppet som den nedre gränsen överskrids med är 80.000 -55.000 =25.000. 1 p.
Skatten på den överskridande delen är 0,12 *25.000 =3000. 1 p.
Skatten är totalt 4700 +3000 =7700. 1 p.
Skatten är dividerad med talet 80\, 000 (korrekt beräkning 7700/8000). 1 p.
Med en egen meningsfull uträkning det korrekta resultatet (~~ 0,09625), som tillhör intervallet (0, 1). 1 p.
Som slutsats: Resultatet är korrekt omvandlat till procent och avrundat (~~9,6 %). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Alla uppgifter är avlästa från fel rad i tabellen: (0+0+1+1+1+1) max 4 p.
Examinanden har inte beaktat hur skatteklassens nedre gräns fungerar, exempelvis endast (80.000 -55.000) *0,12 /80.000 (1+1+0+1+0+0) eller 80.000 *0,12 +4700 /80.000 (0+1+1+1+0+0). max 3 p.
Startpoäng: Korrekt rad är avläst, exempelvis
inkomsterna tillhör klassen 55.000 -200.000 ELLER nedre gränsens skatt är 4700 ELLER skatteprocenten är 12. 		1 p.
Gåvans storlek ligger i intervallet 25.000 -55.000. (1 p.)
Om x är gåvans storlek så är den del som överskrider nedre gränsen x -25.000. (1 p.)
Skattens storlek är 1700 +0,1 *(x -25.000) 1 p.
En ekvation för skattens storlek har bildats: 1700 +0,1 *(x -25.000) =4000 1 p.
Den egna ekvationen är korrekt löst med räknare eller med ekvationslösningsmetoder, (x =48.000) 2 p.
ELLER
Gåvans storlek ligger i intervallet 25.000 -55.000. 1 p.
Skatten på den del som överskrider den nedre gränsen är 4000 -1700 =2300. 1 p.
Denna skatt är 10 % av den del som överskrider nedre gränsen 1 p.
Delen som överskrider nedre gränsen är 10 *2300 =23.000. 1 p.
25.000 +23.000 =48.000 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Examinanden har inte beaktat hur skatteklassens nedre gräns fungerar, exempelvis endast 0,1(x -25.000) =4000 (1+1+0+1+0) eller 1700 +0,1x =4000 (1+0+1+1+0). max 3 p.
Lösningen startar direkt från ekvationen 1700 +0,1 *(x -25.000) =4000. max 6 p.
Lösningen börjar med svaret 48 000. Sedan visas att skatten då är 4000. max 4 p.
Ekvationen eller uppgiften är löst med en gaffelmetod. max 5 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Liten inkonsekvens i procentbeteckningen, exempelvis 7700/80.000 *100 =9,625 % ~~9,6 %. –0 p.

7. En slant och en tärning 12 p.

I ett spel singlar man slant och kastar en vanlig tärning.

  1. Vilken är sannolikheten för att spelare A får klave på en singling och spelare B ögontalet 5 på ett tärningskast? (4 p.)

  2. Spelare C säger åt spelare D: ''Det är mer sannolikt att jag med två slantsinglingar får två klave än att du med två tärningskast får en summa som är minst nio.'' Har spelare C rätt? (8 p.)

Sannolikheten för att spelare A får klave är 1/2. 1 p.
Sannolikheten för att spelare B får ögontalet 5 är 1/6. 1 p.
De här båda inträffar alltså med sannolikheten 1/2 *1/6. 2 p.
Svaret ganska exakt 1/12 ELLER ganska exakt 8{,}3 % ELLER ganska exakt 0{,}083 (alla noggrannheter duger). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast talvärden utan förklaring eller bristfällig förklaring, ex. P(A får klave och B får ögontalet 5) =1/2 *1/6 =... –1 p.
Bråktalet 1/6 måste vara synligt, annars –1 p.
Poäng för rad 3 delas ut om man multiplicerar med egna sannolikheter i intervallet (0, 1).
Sannolikheten för att spelare C får två klave är 1/2 *1/2 =1/4 ELLER 25 % ELLER 0{,}25 (motivering + svar). 2 p.
Alla möjligheter för spelare D är till antalet (6 *6 =) 36. 1 p.
De gynnsamma fallen är: (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4)‚ (5, 5), (5, 6), (6, 3)‚ (6, 4), (6, 5) och (6, 6). 2 p.
Sannolikheten för att få 9 eller mera är alltså 10/36. 1 p.
Eftersom 10/36 > 9/36 =1/4 ELLER 27,8 % > 25 % ELLER 0,278 > 0,25, (1 p.)
så har spelare C fel. För att få den här poängen tillämpas ganska exakt -villkoret. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Enbart uträkning utan några förklaringar. –1 p.
För rad 3 får man 2 p., om exakt de gynnsamma talparen presenteras i en lista, tabell eller motsvarande; 1 p., om bara en del (minst 4) av de gynnsamma talparen är presenterade eller om det finns överflödiga sådana i mängden..
Om examinanden har beräknat sannolikheten P(D får exakt 9) eller P(D får över 9), \max 2+1+1+0+1+0. max 5 p.
Om man bara sagt att antalet gynnsamma fall är 10 utan lista, tabell eller annan motivering, \max 2+1+0+1+1+1. max 6 p.
Om man bara sagt att de gynnsamma utfallen är 4 eller 6 utan lista, tabell eller annan motivering, \max 2+1+0+0+1+0. max 4 p.

8. En parabels tangent 12 p.

Parabeln y =x^2 +b x +c går genom punkten (9, 5), och riktningskoefficienten för parabelns tangent i denna punkt är 2. Bestäm koefficienterna b och c med hjälp av derivatan.

oberoende Examinanden har satt in koordinaterna för punkten (9, 5) i parabelns ekvation och fått 9^2 +9 b + c =5 (1 p./korrekt insatt koordinat). 2 p.
Tillläggsobservation: Om x och y är omsvängda. 1 p.
Examinanden har deriverat och fått 2 x +b. Termerna 2 x (1 p.), b (1 p.), fullständigt korrekta (1 p.) 3 p.
Derivatafunktionen måste vara ett förstagradspolynom för att man ska kunna fortsätta.
Felaktigt betecknat y =2 x +b. –0 p.
Examinanden har betecknat att derivatans värde är 2. 1 p.
Om den föregående raden inte finns så kan man inte få poäng efter denna rad.
Som slutsats: Insättning av värdet 9 för x i sin egen derivatafunktion: 2 *9 +b =2, (1 p.) och man har löst sin egen ekvation korrekt (2 p.) (b =-16). 3 p.
Eget b insatt i parabelns ekvation. 1 p.
Examinanden har har löst ut c ur sin egen ekvation (c =68). 2 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Man har bildat ekvationen för tangentlinjen. +0 p.
Prövningar med glidare i Geogebra. +0 p.
Derivatans nollställen. +0 p.
Modellfigur. +0 p.

9. Livslängd för smarttelefoner 12 p.

Den genomsnittliga livslängden för smarttelefoner i några länder presenteras i tabell 9.A.

  1. Beräkna medelvärdet bar x och standardavvikelsen s för de genomsnittliga livslängder som presenteras i tabellen. (4 p.)

  2. Varför ger inte det medelvärde bar x som beräknats i deluppgift 9.1 medelvärdet av smarttelefonernas livslängder för länderna i fråga? (4 p.)

  3. Vi antar att livslängden för smarttelefoner i hela världen är normalfördelad med väntevärdet 23 månader och standardavvikelsen 2,55 månader. Med vilken sannolikhet är livslängden för en slumpmässigt vald smarttelefon minst tre år? (4 p.)

Medelvärdet är bar x =21 (månader). Denna nogrannhet krävs. 1 p.
oberoende Motivering för medelvärdet. 1 p.
oberoende Standardavvikelsen är s ~~2,26 ELLER ~s ~~2,14 (högst 3 decimaler i svaret). 1 p.
oberoende Motivering för standardavvikelsen. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast formel utan insättning av tal ger inte poäng.
Man kan få en poäng för korrekt motivering även om den skulle innehålla ett litet fel (räknefel, ett tal har glömts bort, en addition har ändrats till en multiplikation, i standardavvikelsen fattas kvadratroten eller motsvarande).
I de egna uträkningarna har medelvärdet avrundats till 20 månader. Poängen för raderna 1 och 2.
Som motivering duger en skärmdump. Talen måste kunna tas ur skärmdumpen för att svaren ska duga.
Olika länder har olika antal smarttelefoner/invånare. (Av den här orsaken är medelvärdet inte detsamma som medelvärdet av livslängden för smarttelefonerna i alla länder.) ELLER Examinanden har jämfört två länder och konstaterat att de har olika antal smarttelefoner. 4 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Exempel på delpoäng:
”Man måste räkna med ett viktat medelvärde” ELLER ”Eftersom man beräknar medelvärdenas medelvärde.” 2 p.
”Eftersom tabellens tal är medelvärden för ett land.” ELLER ”Ländernas medelvärden är inte lika stora.” ELLER ”Telefoner som är köpta begagnade är inte med i statistiken.” ELLER ”I något fall inverkar en utförd avrundning.” 0 p.
Om det finns flera förklaringar i svaret så beaktas den bästa förklaringen. I bedömningen har man kunnat använda ett allmänt avdrag för till exempel överflödig text.
Tre år är 36 månader. (1 p.)
Korrekt intervall X >= 36. 1 p.
oberoende Examinanden använder (för hand eller med programvara) normalfördelningen, där medelvärdet (23) och standardavvikelsen (2,55) är korrekt använda. 1 p.
oberoende Svaret är korrekt ~~0,000.000.17. Alla noggrannheter utom 0 duger. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Exempelvis kommandot normCdf(36, oo, 23, 2.55) ger poäng för de tre första raderna.
Alla tal kan också ändras till år. Om bara medelvärdet eller standardavvikelsen har ändrats , så ges max 1 p. ”korrekt intervall X >= 3” (0+1+0+0). max 1 p.

Del B2

10. En stockstuga sjunker ihop 12 p.

Då man bygger en stockstuga ska man beakta att byggnaden sjunker ihop i några år. Detta görs genom att man lämnar ett mellanrum, det vill säga en sänkningsmån, ovanför till exempel dörrar och fönster. En ägare till en nybyggd stockstuga bedömer att stockarna ska sjunka ihop i åtta års tid och att de årliga sänkningarna bildar en geometrisk talföljd. Sänkningsmånen för stugan är 6,0 cm.

  1. Hjälp ägaren genom att ta fram en geometrisk talföljd som beskriver hur mycket stugan sjunker ihop per år. Talföljden ska uppfylla följande villkor:

    • Det första elementet ligger i intervallet [2,0 cm; 3,0 cm].

    • Summan S av de åtta första elementen ligger i intervallet [5,0 cm; 6,0 cm].

    Ange talföljdens kvot q i svaret och visa med en beräkning att summan S tillhör det intervall som krävs. (8 p.)

  2. Beräkna de årliga sänkningarna för de åtta första åren. (4 p.)

Man har behandlat en geometrisk talföljd, exempelvis a *q^i, i =0, 1, 2, ... (Endast skärmdump av en en formel räcker inte.) 1 p.
Som slutsats: Första elementet a in [2,0 cm; 3,0 cm] har levererats. 1 p.
En kvot q, jolle 0 < q < 1 har angetts (avtagande geometrisk talföljd). 1 p.
oberoende Talen a och q uppfyller villkoren (en tabell som underlättar granskningen finns nedan). 1 p.
a =2,0, 0,607412 <= q <= 0,682328
a=2,1, 0,585826 <= q <= 0,66308
a=2,2, 0,564539 <= q <= 0,64421
a=2,3, 0,543502 <= q <=0,625668
a=2,4, 0,522674 <= q <= 0,607412
a=2,5, 0,502017 <= q <= 0,589402
a=2,6, 0,481502 <= q <= 0,571605
a=2,7, 0,461104 <= q <= 0,553992
a=2,8, 0,440798 <= q <= 0,536538
a=2,9, 0,420568 <= q <=0,51922
a=3,0, 0,400396 <= q <=0,502017
poäng oberoende av de ovanstående raderna Examinanden har visat att talen a och q uppfyller villkoren:
Summan av en geometrisk talföljd med åtta element är a *(1 -q^8)/(1-q) ELLER a +a q +a q^2 +a q^3 +a q^4 +a q^5 +a q^6 +a q^7. (1 p.)
Talen har satts in i summan ELLER så har man beräknat någon delsumma som är >= 5,0 cm. 1 p.
Utförd uträkning ELLER så har summans övre gräns a /(1-q) beräknats. 1 p.
Resultatet tillhör intervallet [5,0 cm; 6,0 cm]. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Examinanden har angett en strängt avtagande talföljd med åtta element som på ögonmått är geometrisk. Summan tillhör intervallet [5,0 cm; 6,0 cm]. (0+0+0+0+1+1+1+1) max 4 p.
Examinanden har räknat de årliga sänkningarna med de egna talen från deluppgiften 10.1. 4 p.

11. Kantbitar 12 p.

Ett pussel som består av tusen pusselbitar har storleken 70 cm x 50 cm. Pusslet är en rektangel vars bitar är ungefär kvadratiska. Uppskatta hur stor andel av pusselbitarna som är kantbitar. Skriv ner vilka antaganden du gör i din uppskattning.
Vi antar att pusslets bitar är rektanglar. 2 p.
Vi undersöker faktoriseringen av talet 1000 som en produkt av två tal. Av dessa är faktorerna i produkten 40 *25 nära varandra. (Uppdelningar i vilka förhållandet < 3 och bitarnas antal är 950–1050 duger, dvs. exempelvis 20 *50 och 27 *37 duger.) 2 p.
Man har beräknat förhållandet mellan sidornas längder 70/50 =1,4 för pusslet (1 p.)
och förhållandet mellan bitarnas antal (40/25 =1,6). (1 p.)
Förhållanden har jämförts och man har konstaterat att det producerar förnuftigt formade bitar. 2 p.
Kantbitarna är alltså totalt 40 *2 +25 *2 -4 =126 till antalet. 2 p.
Av bitarna är ungefär 126/1000 (~~13 %) ELLER 126/(antalet egna bitar) är alltså kantbitar. Svaret kan ges som ett bråk eller som decimaltal. 2 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Examinanden har antagit att storleken på en bit är sådan (exempelvis en kvadrat med sidan 1 cm eller 2 cm), att den givna storleken på pusslet genererar mer än 5 % felaktigt antal bitar. (2+0+0+0+0+2+2) max 6 p.
ELLER (alternativ lösning)
Pusslets area är 50 cm *70 cm =3500 cm^2. (1 p.)
Arean av en bit är 3500/1000 =2,5 cm^2. 1 p.
poäng oberoende av de ovanstående raderna Vi antar att pusslets bitar är kvadrater. 2 p.
Längden på sidan av en bit är sqrt(3,5) ~~1,8708 cm. 2 p.
poäng oberoende av de ovanstående raderna Pusslets omkrets är 2 *(50 +70) =240 cm. 1 p.
Antalet kantbitar är omkrets/sidlängden på en bit -4 ~~140/1,8708 -4 ~~124
(omkretsen är dividerad med sidans längd (1 p.) och hörnen är korrekt beaktade (1 p.)). 2 p.
oberoende Förklaring på det att pusslet är realistiskt. 1 p.
Av bitarna är ungefär 124/1000 ELLER 12 % kantbitar. (Bråktals- eller decimaltalssvar duger.) 2 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
I areametoden behöver man inte avrunda till ett helt antal kantbitar på raden antalet kantbitar, men avrundningar till hela bitar godkänns.
Varianten 3,5 cm^2 med rektanglar, vilkas sidor är 2 cm och 1{,}75 cm. max 12 p.
Varianten med overkligt långa 3,5 cm^2 rektanglar (förhållandet mellan sidornas längder > 3 exempelvis 1 *3,5): 1+1+0+1+1+2+0+2 poäng. max 8 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Om antagandet om rektanglar/kvadrater (1:a lösningsalternativets rad 1 / 2:a lösningsalternativets rad 3) framkommer av bitarnas mått i ett senare skede, men ordet kvadrat/rektangel inte syns, så ges 1 poäng för ifrågavarande rad.
Hörnbitarna har inte beaktats eller deras inverkan är fel. –1 p.
Man kan få den sista radens poäng om man får minst 1 poäng för den näst sista (1:a lösningsalternativet)/tredje sista (2: lösningsalternativet) raden. (Exempelvis för ”kantbitarna är 4 till antalet” \to inga poäng, ”10 *100 bitar” \to man kan få slutets poäng.)
Olika antaganden (som förhållandet mellan längderna på bitarnas sidor) kan leda till olika slutresultat. Om examinanden har förklarat sitt eget pussel på ett bra sätt så kan hen få 12 poäng för det.

12. Antalet grundskolor i Finland 12 p.

Antalet grundskolor i Finland åren 2005–2020 presenteras i tabell 12.A.

  1. Anpassa en regressionslinje y=a+bx till materialet då året placeras på x-axeln och antalet grundskolor på y-axeln. Förklara i ord betydelsen av koefficienterna a och b. (5 p.)

  2. Anpassa en regressionslinje till materialet genom att endast använda antalet grundskolor åren 2005–2008. (3 p.)

  3. Uppskatta med vardera modellen vilket år grundskolorna i Finland försvinner. (4 p.)
Vi öppnar datamaterialet med tabellkalkyleringsverktyg och använder regressionsverktyget för två variabler. Vi anpassar en linje till givna data. Linjens ekvation är y =78,2794 x +160.178,4412. 3 p.
Om examinanden endast har gett en ungefärlig men inte helt rätt ekvation för linjen får hen 1 poäng.
Koefficienten b är den genomsnittliga årliga minskningen av antalet skolor. 1 p.
Konstanten a är det hypotetiska antalet skolor år 0. 1 p.
Vi fortsätter med kalkylprogram som ovan, men tar bort åren 2009, 2010, osv. Vi får linjen y =-119 x + 241.919. 3 p.
Om examinanden endast har gett en ungefärlig men inte helt rätt ekvation för linjen får hen 1 poäng.
oberoende Med den mer omfattande modellen är 2046 ELLER 2047 korrekt (om axlarna är omsvängda, så 2045 ELLER 2046). 1 p.
Motiveringen korrekt. 1 p.
oberoende Med den mer begränsade modellen är 2032 ELLER 2033 korrekt (om axlarna är omsvängda, så 2032 ELLER 2033). 1 p.
Motiveringen korrekt. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Exempelvis för den begränsade modellen: -119 x +241.919 =0, från vilket man får x ~~2032,9
Exempelvis för den omfattande modellen: -78,2794 x +160.178,4412 =0, från vilket man får x ~~2046,24..
Poäng ges också för felaktiga linjära modeller som ärvs från deluppgifterna 1 och 2. max 4 p.
Årtalet kan bestämmas genom att man visar att funktionen byter tecken mellan två år.
Inga poäng ges för en icke-linjär modell i den här deluppgiften. +0 p.

13. Grafer och derivata 12 p.

Vi vet att det för funktionerna f och g gäller att f(0) =0 och g(0) =5 samt att

2 <= f’(x) <= 3 och 1 <= g’(x) <= 2

för alla x.

  1. Vi antar att graferna till funktionerna f och g är räta linjer. Motivera grafiskt eller genom beräkning att 4 <= f(2) <= 6 och 7 <= g(2) <= 9 (6 p.)

  2. Vi antar att graferna till funktionerna f och g inte nödvändigtvis är räta linjer. Vilka av följande situationer är möjliga:

    • f(2) =g(2)

    • f(2) < g(2)

    • f(2) > g(2)

    Du kan i din motivering använda dig av följande information:
    Om två funktioner har samma värde i punkten 0 och den ena funktionens derivata är större i intervallet [0, 2], så är den här funktionens värde större i punkten 2. (6 p.)

oberoende Examinanden har explicit konstaterat att om grafen av funktionen f (på samma sätt för funktionen g) är en linje, så är värdet av riktningskoefficienten k detsamma som funktionens derivata. 1 p.
Med detta konstaterat, om f(0) =0, så är funktionens uttryck i formen f(x) =k x. 1 p.
Därmed är f(2) =2 k <= 2 *3 =6 och f(2) =2 k >= 2 *2 =4. 2 p.
För funktione g gäller på motsvarande sätt att om g(0)=5, så är g(x) =k x +5, 1 p.
och man kan uppskatta g(2) =2 k +5 <= 2 *2 +5 =9 samt g(2) >= 1 *2 +5 =7. 1 p.
ELLER en grafisk lösning
oberoende Examinanden har explicit konstaterat att om grafen av funktionen f (på samma sätt för funktionen g) är en linje, så är värdet av riktningskoefficienten k detsamma som funktionens derivata. 1 p.
Linjerna y =2 x och y =3 x finns i en figur åtminstone i intervallet [0, 2]. 2 p.
Man ser att f(2) <= 6 och f(2) >= 4. 1 p.
Linjerna y = x +5 och y =2 x +5 finns i en figur åtminstone i intervallet [0, 2]. 1 p.
Man ser att g(2) <= 9 och g(2) >= 7. 1 p.
Den tilläggsinformation som finns i uppgiften utnyttjas. Eftersom derivatan till funktionen f är begränsad till intervallet [2,3], är värdena av funktionen f högst lika stora som värdena av funktionen f_1(x) =3 x och minst lika stora som värdena av funktionen f_2(x) =2 x. 2 p.
Värdena är alltså begränsade på samma sätt som linjerna i den första deluppgiften. Detsamma gäller funktionen g. 1 p.
Man kan alltså avläsa svaren direkt från den första deluppgiften:
f(2) =g(2) är aldrig möjligt. 1 p.
f(2) < g(2) är möjligt (uppfylls alltid). 1 p.
f(2) > g(2) är aldrig möjligt. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Endast korrekta svar. +0 p.
Som motivering för situationen f(2) < g(2) räcker en hänvisning till deluppgift 13.1.
Man kan ge en poäng för den första raden om examinanden försökt förklara och förklaringen är i rätt rikting men svag.