Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

19.9.2023

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 9.11.2023

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy oikeassa sarakkeessa olevaan pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esim. derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Suluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37{,}5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esim. laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä ylläolevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
  • Terminologiaa
    • ''Vastaus riittää'' tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • ''Alkupisteitä'' tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • ''maxN'' tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • ''Vastaus vain likiarvona'' tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esim. tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esim. e^1, \ln(e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esim. x=2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esim. puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.
Kolmisarakkeisen lukuohjeet:
  • Ideasarakkeesta saa pisteet, jos on ryhdytty tekemään mainittua asiaa, vaikka toteutus olisi puutteellinen.
  • Lasku tai kaava toteutussarakkeessa näyttää, miltä idea oikein toteutettuna näyttää.
  • Pysäytysehto: jokaiselta riviltä saatava vähintään puolet rivin pisteistä pyöristettynä alaspäin, jotta voi jatkaa.
  • Jos pysäytysehto ei toteudu, eli seuraavien rivien pisteitä on vielä jaossa, on seuraavilta riveiltä saatavissa kaikki pisteet, joissa ei ole eksplisiittistä estettä sille, miksi niitä ei voisi saada.

A-osa

1. Yhtälö ja epäyhtälö 12 p.

  1. Ratkaise yhtälö -7x+3=17. (3 p.)

  2. Ratkaise epäyhtälö -7x+3<17. (3 p.)

  3. Ratkaise yhtälö x^2+x=2. (3 p.)

  4. Ratkaise epäyhtälö x^2+x-2\le 0. (3 p.)

Laskettu vähennyslasku (-7x=17-3=14) 1 p.
Jakolaskun idea (jaetaan luvulla -7) (1 p.)
Vastaus (x=-2) 1 p.
Laskettu vähennyslasku (-7x<14) 1 p.
Jakolaskun idea (x>\frac{14}{-7}) (1 p.)
Vastaus (x>-2) 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Epäyhtälö väärin päin –1 p.
Perustelu (ratkaisukaavaan sijoitus x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1} / kuvakaappaus / neliööntäydennys) 1 p.
Ratkaisut (x=1 tai x=-2) 1+1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Käytetty ''tulon 2-sääntöä'' (vastaukseksi tulee x=1 tai x=2) 0 p.
Perustelu (esimerkiksi maininta muodosta tai kulkukaavio) 2 p.
Vastaus (-2\leq x\leq 1) 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Esimerkki hyvästä perustelusta: Polynomin x^2+x-2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ja polynomin nollakohdat ovat edellisen perusteella x=1 ja x=-2.
Laskettu edellisen osatehtävän väärillä nollakohdilla. max 3 p.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Pelkät vastaukset 1 p./kohta

2. Tason pisteitä 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 10 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin.

Määritä seuraavien pisteiden koordinaatit, jotka ovat kokonaislukuja. Anna kaikissa osatehtävissä pelkkä vastaus ilman välilyöntejä, välivaiheita tai perusteluja, esimerkiksi muodossa (-5,5) eikä ( - 5, 5) tms.

2.1 Piste, jossa suora y=3x+7 leikkaa y-akselin.  2 p.

  • (0,7) (2 p.)
Virheelliset vastaukset, jotka antavat yhden pisteen: 7, (0,-7) ja (7,0).

2.2 Pisteiden (0,0) ja (6,8) välisen janan keskipiste.  2 p.

  • (3,4) (2 p.)
(1 piste/oikein oleva koordinaatti)

2.3 Suorien x+y=0 ja 2x+5y=3 leikkauspiste.  2 p.

  • (-1,1) (2 p.)

2.4 Käyrän xy=6 piste, jonka y-koordinaatti on 3.  2 p.

  • (2,3) (2 p.)
Virheelliset vastaukset, jotka antavat yhden pisteen: ensimmäinen koordinaatti 2, toinen jokin muu kuin 3.

2.5 Ympyrän (x+1)^2+(y-2)^2=5 keskipiste.  2 p.

  • (-1,2) (2 p.)
(1 piste/oikein oleva koordinaatti)

2.6 Paraabelin y=(x-3)^2+1 huippupiste.  2 p.

  • (3,1) (2 p.)
(1 piste/oikein oleva koordinaatti)
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Yleisvähennykset: Ylimääräiset välilyönnit tai puuttuvat sulkeet koordinaattien ympäriltä: osatehtävistä 2.1 ja 2.4 kummastakin –1 p.

3. Minimointi 12 p.

Määritä funktion \displaystyle f(x)=x^2+\frac{16}{x^2} pienin arvo, kun x>0.
f'(x)=2x-\frac{32}{x^3} (2x, kerroin -32, x^{-3}: 1+1+1) 3 p.
Jos derivaatta on polynomi, ei muita pisteitä.
f'(x)=0, kun 2x^4-32=0, eli x^4=16. 1 p.
Tämä toteutuu, kun x=-2 tai x=2. (1 p./juuri. Rajoituksella x>0 riittää x=2.) 2 p.
Kulkukaavio alueessa x>0 on - | + ja merkit perusteltu TAI selitetty derivaatan avulla (jonkinlainen toteutus 1 p., täsmällinen toteutus 2 p.). 3 p.
Pisteessä x=2 on siis minimi. (1 p.)
Pienin arvo on siis f(2)=8. 2 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Derivaatassa on virhe 2+1+2+3+1+0 max 9 p.
Muuttujanvaihto s=x^2 ja ratkaistu s:n suhteen: 3+1+2+3+1+0 max 10 p.
Löydetty ylimääräinen juuri x=0 ottamalla x tekijäksi: x(2-\frac{32}{x^4})=0. Kolmannelta riviltä –1 p.
TAI
f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}=\left(x-\frac{4}{x}\right)^2+8. 6 p.
Neliö on epänegatiivinen, joten funktion arvoille pätee aina f(x)\geq 8. 3 p.
Koska x-\frac{4}{x}=0, kun x=2, minimiarvo todella saavutetaan. 3 p.

Tehtäväkohtaiset erillisohjeet

Laskettu funktion arvoja

+0 p.

4. Vektorit ja taso 12 p.

Tarkastellaan vektoreita \overline{u}=3\,\overline{i}+\overline{j}-2\,\overline{k},  \overline{v}=\overline{i}+2\,\overline{j}-2\,\overline{k}  ja  \overline{w}=-5\,\overline{i}-5\,\overline{j}+6\,\overline{k}.

  1. Määritä vektori \overline{u}+2\,\overline{v}-\overline{w}. (3 p.)

  2. Vektorit \overline{u} ja \overline{v} virittävät origon kautta kulkevan tason T, eli ne ovat tason suuntavektoreita. Määritä pisteen (6,7,1) etäisyys tasosta T. (9 p.)

\overline{u}+2\overline{v}-\overline{w}=3\,\overline{i}+\overline{j}-2\overline{k}+2(\overline{i}+2\overline{j}-2\overline{k})-(-5\,\overline{i}-5\overline{j}+6\overline{k})=10\overline{i}+10\overline{j}-12\overline{k}.
(Vektorin kertominen vakiolla+merkkien vaihtaminen+summaus termeittäin) 1+1+1 p.
Tapa 1: Tason lähimmän pisteen avulla
Tason pisteet ovat muotoa (3r+s,r+2s,-2r-2s) TAI vastaava vektorien avulla (esimerkiksi r(3\overline{i}+\overline{j}-2\overline{k})+s(\overline{i}+2\overline{j}-2\overline{k}) ja sievennys). 2 p.
Tason pisteestä pisteeseen (6,7,1) kulkeva vektori on muotoa \overline{a}=(6-3r-s)\overline{i}+(7-r-2s)\overline{j}+(1+2r+2s)\overline{k}. 1 p.
Etäisyyden minimointi: vektorin tulee olla kohtisuorassa tason (kanta)vektoreita vastaan, eli pistetulon pitää olla nolla. (1 p.)
Saatu yhtälöt 3(6-3r-s)+(7-r-2s)+(-2)(1+2r+2s)=0
ja (6-3r-s)+2(7-r-2s)+(-2)(1+2r+2s)=0. 		1 p.
Ratkaistu yhtälöpari, jolloin saadaan r=s=1. 1 p.
riippumaton Lähimmän tason pisteen koordinaatit ovat (4,3,-4). 1 p.
Kysytty etäisyys on siis \sqrt{(4-6)^2+(3-7)^2+(-4-1)^2}= täsmälleen 3\sqrt{5} TAI täsmälleen \sqrt{45} TAI täsmälleen \frac{45}{\sqrt{45}}. 2 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Jos antaa perusteluitta tason lähimmäksi pisteeksi \overline{u}+\overline{v}=(4,3,-4), voi saada kahdelta viimeiseltä riviltä 1+1 pistettä.
TAI Tapa 2: Normaalivektorilla
Etsitään normaalivektori (idea + toteutus 1+1)
ristitulolla \overline{n}=\overline{u}\times \overline{v}= \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k}\\ 3 & 1 & -2\\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} TAI yhtälöparilla \begin{cases} \overline{n}\cdot\overline{u}=3a+b-2c = 0\\ \overline{n}\cdot\overline{v}=a+2b-2c=0. \end{cases} 		2 p.
Saatu normaalivektorin kertoimet (\overline{n}=2\overline{i}+4\overline{j}+5\overline{k}). 2 p.
riippumaton Origo on tasossa, joten tason normaalimuodon ax+by+cz+d=0 vakio d=0. 1 p.
Saatu tason normaalimuoto (2x+4y+5z=0) (jos ylläoleva rivi puuttuu, niin tämän pisteen saa myös muodolla 2x+4y+5z+d=0). (1 p.)
Pisteen etäisyys tasosta kaavalla \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{2\cdot 6+4\cdot 7+5\cdot 1+0}{\sqrt{2^2+4^2+5^2}} 2 p.
= täsmälleen 3\sqrt{5} TAI täsmälleen \sqrt{45} TAI täsmälleen \frac{45}{\sqrt{45}}. 1 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Todettu, että tarvitaan normaalivektori, joka saadaan ristitulolla TAI muu hyvä selitys; ei osattu laskea ristituloa, mutta laskettu jokin virheellinen normaalivektori, sijoitettu saadut lukuarvot (1 (tai 2, jos ristitulon determinanttiesitys näkyy)+0+1+0+1+0). 3 p. tai 4 p.
Todettu, että tarvitaan normaalivektori ja laskettu jokin virheellinen normaalivektori täysin väärällä tavalla, sijoitettu saadut lukuarvot (0+0+1+0+1+0). 2 p.
Jos ratkaisusta ei käy mitenkään ilmi, että normaalimuodon muodostaminen on ymmärretty, eikä edes mainittu normaalivektoria, niin vain riippumaton piste jaossa. max 1 p.
TAI Tapa 3: Tason parametrimuodosta normaalimuotoon
Tason parametrimuoto \begin{cases}x=0+3s+t\\y=0+s+2t\\z=0-2s-2t\end{cases} 2 p.
Saatu normaalimuoto (2x+4y+5z=0). (Ratkaistu t tai s, sijoitettu ratkaisu, ratkaistu toinen parametri, sijoitettu molemmat ja sievennetty.) 1+1+1+1 p.
Laskettu pisteen (6,7,1) etäisyys tasosta kaavalla \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{2\cdot 6+4\cdot 7+5\cdot 1+0}{\sqrt{2^2+4^2+5^2}} 2 p.
= täsmälleen 3\sqrt{5} TAI täsmälleen \sqrt{45} TAI täsmälleen \frac{45}{\sqrt{45}}. 1 p.
TAI Tapa 4: Normaalimuoto kolmen tason pisteen avulla
riippumaton Origo on tasossa, joten normaalimuodon vakio d=0. 1 p.
Kahden muun pisteen avulla muodostettu yhtälöpari. 2 p.
Ratkaistu kertoimet ja saatu tason normaalimuoto 2x+4y+5z=0. 3 p.
Pisteen etäisyys tasosta kaavalla \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{2\cdot 6+4\cdot 7+5\cdot 1+0}{\sqrt{2^2+4^2+5^2}} 2 p.
= täsmälleen 3\sqrt{5} TAI täsmälleen \sqrt{45} TAI täsmälleen \frac{45}{\sqrt{45}}. 1 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Normaali ja/tai tason normaalimuoto voivat olla vakiolla kerrottuja.
Pelkkä pisteen etäisyys tasosta -kaava ilman laskemalla saatuja kertoimia. +0 p.

B1-osa

5. Matematiikan merkintöjä 12 p.

Kuinka seuraavat sanalliset kuvaukset voidaan ilmaista symbolein?

Valitse parhaiten soveltuva vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1 p. tai 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

5.1 Luvun 6 kuutiojuuri. 1 p.

  • \sqrt[3]{6}  (1 p.)

5.2 Parilliset kokonaisluvut. 1 p.

  • 2k,\ k\in\mathbf{Z}  (1 p.)

5.3 Luvun \frac{7}{5} käänteisluvun ja vastaluvun summan itseisarvo. 2 p.

  • |\frac{5}{7}+(-\frac{7}{5})|  (2 p.)

5.4 Luvut A ja B ovat suoraan verrannolliset verrannollisuuskertoimella k. 1 p.

  • A:B=k  (1 p.)

5.5 Kun kerrotaan kaksi samakantaista potenssia, niin eksponentit lasketaan yhteen. 1 p.

  • x^nx^m=x^{n+m}  (1 p.)

5.6 Tuotteen lopullinen hinta, kun alkuperäistä hintaa 129 € alennetaan ensin 10 % ja alennettua hintaa myöhemmin vielä 20 %. 1 p.

  • 0{,}8\cdot 0{,}9\cdot 129 €  (1 p.)

5.7 Lukusuoran pisteen x etäisyys pisteestä -2 on 3. 1 p.

  • |x-(-2)|=3  (1 p.)

5.8 Tason pisteen (x,y) etäisyys pisteestä (1,-3) on 4. 2 p.

  • \sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}=4  (2 p.)

5.9 Suorien 2x-3y=1 ja -x+4y=-2 leikkauspiste. 1 p.

  • \begin{cases} 2x-3y=1\\ -x+4y=-2 \end{cases}  (1 p.)

5.10 Funktion f arvo kohdassa 2 on suurempi kuin funktion g arvo kohdassa -3. 1 p.

  • f(2)>g(-3)  (1 p.)

6. Appelsiinien kuoret 12 p.

Kaupassa myydään kokonaisia appelsiineja 1,50 euron kilohinnalla ja kuorittuja appelsiineja 9,50 euron kilohinnalla. Kuorimattomien appelsiinien ympärysmitta on 25,0 cm ja kuoren paksuus 6,0 mm.

  1. Kuinka suuri osuus appelsiinin tilavuudesta on kuorta? Oletetaan appelsiini palloksi ja kuori tasapaksuksi. (6 p.)

  2. Mikä on kuorimistyön osuus hinnasta prosentteina? Oletetaan, että kuoren ja syötävän osan tiheys on sama ja että kuoren arvo on nolla euroa. (6 p.)

Appelsiinin säde on \frac{25}{2\pi} \ (\approx 3\mathrm{,}979) (cm) 1 p.
ja tilavuus \frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{25}{2\pi}\right)^3 \ (\approx 263\mathrm{,}9) \ (\textrm{cm}^3). 1 p.
Kuorettoman appelsiinin säde on \frac{25}{2\pi}-0\mathrm{,}6 \ (\approx 3{,}379) (cm). 1 p.
Kuorettoman appelsiinin tilavuus on siis \frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{25}{2\pi}-0\mathrm{,}6\right)^3 \ (\approx 161,6)\ (\textrm{cm}^3). 1 p.
Kuoren osuus appelsiinista on \frac{\frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{25}{2\pi}\right)^3-\frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{25}{2\pi}-0\mathrm{,}6\right)^3}{\frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{25}{2\pi}\right)^3}\approx 0\mathrm{,}38759968\approx 0{,}39 = 39 %. 2 p.
TAI
Pallojen tilavuuksien suhde on verrannollinen säteiden kolmansien potenssien suhteisiin. 2 p.
Appelsiinin säde on \frac{25}{2\pi} (cm). 1 p.
Kuorettoman appelsiinin säde on \frac{25}{2\pi}-0\mathrm{,}6 (cm). 1 p.
Kuoren osuus appelsiinista on siis \frac{\left(\frac{25}{2\pi}\right)^3-\left(\frac{25}{2\pi}-0\mathrm{,}6\right)^3}{\left(\frac{25}{2\pi}\right)^3}\approx 0\mathrm{,}387599683\approx 0{,}39 = 39 %. 2 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Kuorettomat ja kuorelliset appelsiinit väärin päin max 5 p.
Väärin laskettu säde max 5 p.
Karkea mallinnusvirhe: appelsiinin kuori laskettu umpinaisena 0{,}3- tai 0{,}6-säteisenä pallona (1+1+0+0+1). max 3 p.
Muu karkea mallinnusvirhe, esimerkiksi appelsiinit kaksiulotteisia, suhderiviltä max 1 piste. Muut pisteet sen mukaan, mitä on ansaittu.
Vastauksen voi antaa desimaalilukuna tai prosentteina.
Jos halutaan valmistaa kilogramma kuorittuja appelsiineja, tarvitaan \frac{1}{1-0\mathrm{,}387599683}\approx 1\mathrm{,}632918815 kilogrammaa kuorellisia appelsiineja. (sanallinen selitys 1 p. + oikea lasku 2 p.) 3 p.
Näiden hinta on 1\mathrm{,}632918815\cdot 1\mathrm{,}50\approx 2\mathrm{,}4494 (euroa). 1 p.
Kuorimistyön osuus hinnasta on siis 9\mathrm{,}50-2\mathrm{,}4494=7\mathrm{,}0506 (euroa). 1 p.
Kuorimistyön osuus prosentteina on siis \frac{7\mathrm{,}0506}{9\mathrm{,}50}\approx 74 %. 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Viimeisiltä riveiltä voi saada pisteitä vain, jos niille on päästy mielekkäästi.
Vastaus prosentteina.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Appelsiinien tiheydeksi oletettu ja käytetty jokin lukuarvo, esimerkiksi 1. Koko tehtävästä –1 p.

7. Ken Guru hyppii 12 p.

Ken Guru on 3\times 3 -ruudukon vasemman yläkulman ruudussa A, ja sen on päästävä hyppimällä oikean alakulman ruutuun B. Yksittäinen hyppy on mahdollinen vain naapuriruutuun joko suoraan oikealle tai suoraan alas, muttei vinottain tai ruudukon ulkopuolelle. Jos mahdollisia vaihtoehtoja on kaksi, niin Ken hyppää niistä kumpaan tahansa todennäköisyydellä 0,5. Muuten se hyppää ainoaan mahdolliseen ruutuun.

  1. Määritä jokaisen mahdollisen reitin todennäköisyys. (8 p.)

  2. Ken palaa ruudusta B takaisin ruutuun A hyppimällä muuten samalla periaatteella, mutta nyt hypyt ovat mahdollisia vain suoraan vasemmalle tai suoraan ylös. Kuinka suurella todennäköisyydellä Ken palaa takaisin samaa reittiä (mutta vastakkaiseen suuntaan) kuin menomatkalla? (4 p.)

Piirretty kuva tai listattu muuten kaikki vaihtoehdot (kaksi reittiä oikein 1 p., kahdenlaisia reittejä 2 p., vain 1 reitti puuttuu tai on liikaa 3 p.). 4 p.
Huomataan, että kulmien kautta kulkevien reittien todennäköisyys on \frac{1}{4}, sillä yksittäiseen kulmaan päätyy todennäköisyydellä \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} ja kulmaan päädyttyään Ken Guru voi edetä vain yhteen suuntaan. 2 p.
Jokaisen muun neljän reitin todennäköisyys on \frac18, koska niissä on kolme valintaa ja kunkin todennäköisyys on \frac12. 2 p.
TAI
Kutakin reittiä vastaa jono, joka muodostuu kirjaimista o ja a. Kirjain o tarkoittaa hyppyä oikealle ja a tarkoittaa hyppyä alas. 2 p.
Jonossa on neljä kirjainta, ja niistä kaksi on a-kirjaimia ja kaksi o-kirjaimia. 2 p.
Jos kahtena ensimmäisenä kirjaimena on aa tai oo, on jonon loppu määrätty. Kummankin todennäköisyys on siis \frac14. (Nämä vastaavat kulmien kautta kulkevia reittejä.) 2 p.
Muiden jonojen todennäköisyys on \frac{1}{8}. 2 p.
Kutakin menoreittiä vastaa yksi paluureitti. (1 p.)
Menoreitin ja saman paluureitin todennäköisyydet ovat samat. 1 p.
Todennäköisyys, että Ken Guru valitsee saman reitin, on siis \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{8}\cdot 4=\frac{3}{16}. (Pistejako tälle riville: todennäköisyydet 1 p. + kertoimet ja vastaus 1 p.) 2 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Vastauksen voi antaa myös tarkkana desimaalilukuna 0{,}1875. Pyöristetyt likiarvot hyväksytään vastauksessa, kunhan välivaiheissa näkyvät tarkat arvot. Jos välivaiheissa ei ole tarkkoja arvoja (esimerkiksi \frac{1}{8} on ilmaistu muodossa 0{,}13), niin -1 piste koko osatehtävästä.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Vain yhdenlaisia reittejä (1+2+0+1+1+0) tai (1+0+2+1+1+0). max 5 p.
Kahdenlaisia reittejä (mutta ei kaikkia) (2/3+2+2+1+1+2). max 11 p.
Alkupiste: Yksi reitti oikein piirrettynä TAI reittien määrä oikein ilman perusteluja ja ilman jatkoa. 1 p.

8. Ison luvun jaollisuus 12 p.

  1. Määritä suurin luku k\in \mathbf N, jolle 1023\equiv -1\ (\text{mod }2^k). (3 p.)

  2. Todista, että luku 2^{12345678910}-1 on jaollinen luvulla 1023. (9 p.)

Annettu ehto on yhtäpitävä sen kanssa, että 1023+1\equiv 0\pmod{2^k} TAI 1024\equiv 0\pmod{2^k}. 1 p.
riippumaton Koska 1024=2^{10}, niin kongruenssi toteutuu, kun k=10. 1 p.
Perusteltu, miksi k=10 on suurin mahdollinen luvun k arvo. (Esimerkiksi \frac{1024}{2^k} ei ole kokonaisluku, kun k\ge11.) 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Siirrytty kongruenssista yhtälöön 1024=2^k ilman selitystä. –1 p.
riippumaton 2^{x}-1 on jaollinen luvulla 1023 täsmälleen silloin, kun 2^{x}\equiv 1\pmod{1023} TAI 2^{x}-1\equiv 0\pmod{1023}. 1 p.
Koska 2^{10}\equiv 1\pmod{1023}, 2 p.
niin 2^{12345678910}=(2^{10})^{1234567891}\equiv 1^{1234567891}=1\pmod{1023}. 6 p.
(2 p./yhtäsuuruus tai kongruenssi)
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Ohjelmointiratkaisu mahdollinen. max 9 p.

9. Taidemuseon aaltoileva aita 12 p.

Taidemuseon aita halutaan maalata ja sen pinta-alaa mallinnetaan integraalilla

\int_0^4 \bigg(\frac{\cos (10 x+x^2)}2+1\bigg)\, dx.

Arvioi integraalia puolisuunnikassäännön avulla käyttäen 10:tä ja 100:aa jakoväliä. Laske näiden arvioiden suhteelliset virheet, kun integraalin arvo viiden desimaalin tarkkuudella on 3,98636.

Puolisuunnikassääntö jakautuu seuraavasti (10 ja 100 osaväliä): 4+4 p.
Laskinohjelmiston komennolla – ratkaisussa pitää jotenkin näkyä, että ohjelmistoa on käytetty tuohon
riippumaton GeoGebran tai muun laskinohjelmiston komento Puolisuunnikassumma() tai kerrottu, että käytetään tätä komentoa. 1 p.
riippumaton lauseke (\cos(10x+x^2)/2+1) 1 p.
riippumaton rajat ja osavälien lukumäärä (0 ja 4, 10 tai 100) 1 p.
riippumaton vastaus (4\mathrm{,}28823\approx 4\mathrm{,}29 tai 3\mathrm{,}98699\approx 3\mathrm{,}99) 1 p.
TAI taulukoimalla tai summakaavalla
Laskettu (tai näkyy) osavälin pituus. 1 p.
Lauseke (\cos(10x+x^2)/2+1) on syötetty oikein. 1 p.
Summaus on tehty oikein (summauksessa vaikuttaisi olevan oikea määrä oikein painotettuja suurinpiirtein oikeanmuotoisia termejä). 1 p.
Vastaus, johon on päädytty oikealla logiikalla (4\mathrm{,}28823\approx 4\mathrm{,}29 tai 3\mathrm{,}98699\approx 3\mathrm{,}99). 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Tarkkuus: vähintään kolme merkitsevää numeroa
Pelkkä vastaus 1+1 p.
Suhteellinen virhe jakautuu seuraavasti (10 ja 100 osaväliä): 2+2 p.
\frac{\textrm{arvio} -\textrm{todellinen}}{\textrm{todellinen}} tai \frac{\textrm{arvio}}{\textrm{todellinen}} -1 tai \frac{\textrm{arvio}}{\textrm{todellinen}} tai \frac{\textrm{todellinen}-\textrm{arvio} }{\textrm{todellinen}} tai 1-\frac{\textrm{arvio}}{\textrm{todellinen}} 1 p.
Vastaus on laskettu ja positiivinen (kymmenellä osavälillä \frac{4\mathrm{,}28823-3\mathrm{,}98636}{3\mathrm{,}98636}\approx 7\mathrm{,}6 %
ja sadalla osavälillä \frac{3\mathrm{,}98699-3\mathrm{,}98636}{3\mathrm{,}98636}\approx 0\mathrm{,}02 %). 		1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Merkitseviä numeroita tulee olla vähintään yksi. Välivaiheissa kuitenkin vähintään yksi enemmän.
Vastaus saa olla prosentteina tai desimaalilukuna.
Nimittäjässä arvio –1 p.
Itseisarvo suhteellisen virheen ympärillä hyväksytään.
Virhetermin kaavalla (E_n = \dots) laskettu jotakin. +0 p.

B2-osa

10. Parilliset ja parittomat funktiot 12 p.

Funktio h: \mathbf{R}\to\mathbf{R} on parillinen, jos h(-x)=h(x) kaikilla x\in \mathbf{R}, ja pariton, jos h(-x)=-h(x) kaikilla x\in \mathbf{R}.

Valitse osatehtävissä 10.1–10.4 oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

Kirjoita osatehtävien 10.5 ja 10.6 vastaukset perusteluineen vastauslaatikkoon.

10.1 1 p.

  • on pariton  (1 p.)

10.2 1 p.

  • on parillinen  (1 p.)

10.3 1 p.

  • on parillinen  (1 p.)

10.4 1 p.

  • ei ole parillinen eikä pariton  (1 p.)

10.5 8 p.

10.5 riippumaton Parittomuuden ehto esitetty kohdassa x=0 (f(-0)=-f(0) tai sanallisesti) 1 p.
riippumaton Esitetty -0=0 TAI f(-0)=f(0) (tai sanallisesti) 1 p.
Yhdistetty edelliset (f(0)=-f(0)) 1 p.
Saatu perustellen oikea lopputulos (f(0)=0) 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Geometriset symmetria-argumentit: +0 p.
10.6 Yritetty laskea Dg(-x). 1 p.
Dg(-x)=-g'(-x) 1 p.
ylläolevista riveistä riippumaton piste Sovellettu parillisuuden ehtoa oikein (Dg(-x)=Dg(x)=g'(x)) 1 p.
Saatu oikea lopputulos (g'(x)=-g'(-x)) 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Symmetria-argumentit kulmakertoimesta max 1 p.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Esimerkkifunktiot +0 p.

11. Väliarvolauseen ehdot 12 p.

Tässä tehtävässä tutkitaan, milloin välillä [-1,1] määritelty funktio f toteuttaa väliarvolause-ehdon:

f'(a)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} \qquad\text{jollakin luvulla } a\in {}]{-1},1[\,.

Vastaa perustellen seuraaviin osatehtäviin.

  1. Anna esimerkki funktiosta, joka on jatkuva suljetulla välillä [-1,1], derivoituva avoimella välillä ]{-1},1[ ja toteuttaa väliarvolause-ehdon. (4 p.)

  2. Anna esimerkki funktiosta, joka on jatkuva suljetulla välillä [-1,1] mutta joka ei ole derivoituva avoimella välillä ]{-1},1[ eikä toteuta väliarvolause-ehtoa. (4 p.)

  3. Anna esimerkki funktiosta, joka on derivoituva avoimella välillä ]{-1},1[ mutta joka ei ole jatkuva suljetulla välillä [-1,1] eikä toteuta väliarvolause-ehtoa. (4 p.)

Annettu esimerkki funktiosta f, joka on derivoituva välillä ]{-}1, 1[ ja jatkuva välillä [-1,1]. 1 p.
Laskettu \frac{f(1)-f(-1)}{2} oikein. 1 p.
Laskettu f'(x) oikein. 1 p.
Osoitettu, että f'(a)=\frac{f(1)-f(-1)}{2} jollakin a\in\, ]{-}1, 1[. 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Esimerkiksi f(x)=x ja a=0.
Kolmannen rivin pisteet eivät vaadi toista riviä.
Toimiva esimerkki ja vedotaan väliarvolauseeseen. 4 p.
Annettu esimerkki funktiosta f, joka ei ole derivoituva välillä ]{-}1, 1[, mutta on jatkuva välillä [-1,1]. 1 p.
Funktio f ei toteuta väliarvolause-ehtoa. 1 p.
Laskettu \frac{f(1)-f(-1)}{2} oikein. 1 p.
Osoitettu, että \frac{f(1)-f(-1)}{2}\neq f'(a) kaikilla a\in\, ]{-}1, 1[. 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Esimerkiksi f(x)=|x|.
Annettu esimerkki funktiosta f, joka on derivoituva välillä ]{-}1, 1[, mutta ei ole jatkuva välillä [-1,1]. 1 p.
Funktio f ei toteuta väliarvolause-ehtoa. 1 p.
Laskettu \frac{f(1)-f(-1)}{2} oikein. 1 p.
Osoitettu, että \frac{f(1)-f(-1)}{2}\neq f'(a) kaikilla a\in\, ]{-}1, 1[. 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Esimerkiksi f(x)=x, kun x\in {]}{-}1,1{[}, ja f(1)=f(-1)=0.
Ei kolmannen rivin pisteitä, jos toinen rivi puuttuu.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Jokaisessa kohdassa ensimmäisen rivin on oltava kunnossa, jotta voi saada muita pisteitä. Erityisesti funktion on oltava määritelty välillä [-1, 1].
Esimerkkien jatkuvuutta tai derivoituvuutta ei tarvitse mainita.
Jatkuvaksi tai derivoituvaksi osoittamisesta ei lisäpisteitä eikä vähennyksiä.
Pelkät toimivat esimerkit (1+2+2). max 5 p.

12. Palautuskaavat 12 p.

  1. Olkoon f_n(x)=x^n\sin x ja g_n(x)=x^n\cos x, kun n=0,1,2,\dots Laske derivaatat f_n'(x) ja g_n'(x). (2 p.)

  2. Merkitään

    S_n=\int_0^{\pi}x^n\sin x\, dx \quad\text{ja}\quad C_n=\int_0^{\pi}x^n\cos x\, dx .

    Laske S_0 ja C_0. (2 p.)

  3. Oletetaan, että integraaleille S_n ja C_n pätevät rekursiokaavat

    S_n=nC_{n-1}+\pi^n \quad\text{ja}\quad C_n =-nS_{n-1},

    kun n=1,2,3,\dots Laske näitä kaavoja käyttämällä integraalin S_4 arvo. (2 p.)

  4. Integroi osatehtävässä 1 saadut derivaattakaavat puolittain välillä [0,\pi] ja johda tulosten avulla osatehtävän 3 molemmat rekursiokaavat. (6 p.)

f_n'(x)=nx^{n-1}\sin x+x^n\cos x. 1 p.
g_n'(x)=nx^{n-1}\cos x-x^n \sin x. 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Laskin deg-moodissa, vastauksissa kerroin \pi/180 tms. 0 p.
Kaavoissa esiintyy nimittäjässä x, yhteensä –1 p.
S_0=\int_0^{\pi}\sin x\,dx=2. 1 p.
C_0=\int_0^{\pi}\cos x\,dx=0. 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Integroitu (laskimella) x^0\sin x ja x^0\cos x ilman sievennyksiä. –0 p.
Laskin deg-moodissa, vastauksissa kerroin \pi/180 tms. 0 p.
Käytetty jompaa kumpaa rekursiokaavaa yhden kerran oikein (indekseillä lukuarvot). 1 p.
Molempien palautuskaavojen avulla S_4=48-12\pi^2+\pi^4. (Vastaus pitää olla omilla alkuarvoilla oikein, eli jos edellisestä kohdasta on periytynyt virhe, niin ei vähennystä, mutta muuten vain oikea vastaus hyväksytään.) 1 p.
Oikea lasku: S_4=4C_3+\pi^4=4(-3S_2)+\pi^4=-12S_2+\pi^4=-12(2C_1+\pi^2)+\pi^4
=24S_0-12\pi^2+\pi^4=48-12\pi^2+\pi^4 \ (\approx 26\mathrm{,}97).
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Ensimmäisen rivin pisteisiin riittää esimerkiksi, jos on laskettu C_3 laskimella ja siitä S_4 palautuskaavalla, tai laskettu C_1 palautuskaavalla termin S_0 avulla.
Funktiota f_n' integroimalla saadaan \int_0^{\pi}f_n'(x)\, dx=\int_0^{\pi}(nx^{n-1}\sin x+x^n\cos x)\, dx=nS_{n-1}+C_{n}. 1 p.
Lisäksi \int_0^{\pi}f_n'(x)\, dx=f_n(\pi)-f_n(0)=0. 1 p.
Funktiota g_n' integroimalla saadaan \int_0^{\pi}g_n'(x)\, dx=\int_0^{\pi}(nx^{n-1}\cos x-x^n \sin x)\, dx=nC_{n-1}-S_{n}. 1 p.
Lisäksi \int_0^{\pi}g_n'(x)\, dx=g_n(\pi)-g_n(0)=-\pi^n. 1 p.
Yhteensä siis nS_{n-1}+C_{n}=0 ja nC_{n-1}-S_{n}=-\pi^n. 1 p.
Ensimmäisestä saadaan C_n=-nS_{n-1} ja S_n=nC_{n-1}+\pi^n. 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Derivaatan integraaleissa täytyy näkyä sijoitusten välivaiheet, koska muuten tulokset voi arvata tehtävässä annetuista kaavoista.

13. Kertoman arviointi 12 p.

Perustele seuraavat epäyhtälöt.

  1. \quad\displaystyle\ln k\le \int_k^{k+1} \ln x\, dx,   kun k=1, 2, 3, \ldots (3 p.)

  2. \quad\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ln k\leq \int_1^{n+1} \ln x\, dx,   kun n=1, 2, 3, \ldots (3 p.)

  3. \quad\displaystyle n!\leq e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1},   kun n=1, 2, 3, \ldots (6 p.)

riippumaton Koska \ln x on kasvava, niin \int_k^{k+1} \ln k\, dx\leq \int_k^{k+1} \ln x\, dx. 1 p.
riippumaton Lisäksi \ln k=\int_k^{k+1} \ln k\,dx. 1 p.
Siispä \ln k\leq \int_k^{k+1} \ln x\,dx. 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Hyvä graafinen perustelu ilman mainintaa kasvavuudesta. max 2 p.
Hyvä graafinen perustelu, kasvavuus mainittu. max 3 p.
Tässä olevan integraalin laskeminen. +0 p.
Summattu epäyhtälöt puolittain: \sum_{k=1}^n \ln k\leq \sum_{k=1}^n\int_k^{k+1} \ln x\,dx =\int_1^{n+1}\ln x\, dx. (idea 2 p. + toteutus 1 p.) 3 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Hyvä graafinen perustelu ilman mainintaa kasvavuudesta. max 2 p.
Hyvä graafinen perustelu, kasvavuus mainittu. max 3 p.
Koska \ln n!=\sum_{k=1}^n \ln k (ja koska exp aidosti kasvava), 1 p.
niin n!\leq \exp\left(\int_1^{n+1}\ln x\, dx\right). 2 p.
riippumaton Lasketaan ja sievennetään integraali: \int_1^{n+1}\ln x\, dx=(n+1)\ln (n+1)-(n+1)-1\ln(1)+1=(n+1)\ln (n+1)-n. 1 p.
Siispä n! \leq e^{(n+1)\ln (n+1)-n}=e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}. 2 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Integraalin voi laskea myös ohjelmistolla (mahdollisesti osatehtävässä 2), tästä kolmanteen kohtaan +1.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Kokeiltu (pienillä) vakion k tai n arvoilla. +0 p.