Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, lång lärokurs

19.9.2023

Slutgiltiga beskrivningar av goda svar 9.11.2023

Grunderna enligt vilka bedömningen gjorts framkommer i de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar. Uppgiften om hur bedömningsgrunderna tillämpats på examinandens provprestation utgörs av de poäng som examinanden fått för sin provprestation, de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar och de föreskrifter gällande bedömningen som nämnden gett i sina föreskrifter och anvisningar. De slutgiltiga beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svarsalternativ eller alla godkända detaljer i ett godkänt svar. Eventuella bedömningsmarkeringar i provprestationerna anses vara jämställbara med anteckningar och sålunda ger de, eller avsaknaden av markeringar, inte direkta uppgifter om hur bedömningsgrunderna tillämpats på provprestationen.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal i den högra kolumnen för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Examinanden får poäng i parentes genom att uppfylla den radens villkor eller villkoret på följande rad, om följande rad är i skick, och det inte framgår explicit att föregående rad har gjorts fel.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med texten exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40. Texten ganska exakt betyder att talen och uträkningarna måste vara i skick, men att det kan finnas brister i motiveringar och förklaringar.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Beteckningen poäng oberoende av de ovanstående raderna betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter denna rad på normalt sätt.
    • Beteckningen oberoende betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad.
    • Beteckningen som slutsats: poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
  • Terminologi
    • ''Svar räcker'' betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • ''Startpoäng'' betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • ''maxN'' betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • ''Svaret endast som närmevärde'' betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (t.ex. noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (t.ex. x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (t.ex. parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt ''i kedja'', m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.
Instruktioner för anvisningar med tre kolumner:
  • Examinanden får poäng från idékolumnen om hen har börjat utföra den nämnda operationen, även om genomförandet skulle vara bristfälligt.
  • En beräkning eller en formel i genomförandekolumnen visar hur idén ser ut då den är korrekt utförd.
  • Stoppvillkor: från varje rad ska man få minst hälften av radens poäng, nedåt avrundade, för att man ska kunna fortsätta.
  • Om stoppvillkoret inte uppfylls, dvs. om det ännu finns poäng som kan delas ut på följande rader, så kan examinanden ännu få alla poäng från de följande raderna, där det inte explicit finns något hinder för att hen inte ska kunna få poängen.

Del A

1. Ekvation och olikhet 12 p.

  1. Lös ekvationen -7x+3=17. (3 p.)

  2. Lös olikheten -7x+3<17. (3 p.)

  3. Lös ekvationen x^2+x=2. (3 p.)

  4. Lös olikheten x^2+x-2\le 0. (3 p.)

Subtraktion uträknad (-7x=17-3=14) 1 p.
Idé om division (division med -7) (1 p.)
Svar (x=-2) 1 p.
Subtraktion uträknad (-7x<14) 1 p.
Idé om division (x>\frac{14}{-7}) (1 p.)
Svar (x>-2) 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Olikheten i fel riktning –1 p.
Motivering (insättning x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1} i lösningsformeln / skärmdump / kvadratkomplettering) 1 p.
Lösningar (x=1 eller x=-2) 1+1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Använt ''produktens 2-regel'' (fått svaret x=1 eller x=2) 0 p.
Motivering (exempelvis nämnt grafens form eller teckenschema) 2 p.
Svar (-2\leq x\leq 1) 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Exempel på god motivering: Grafen för polynomet x^2+x-2 är en parabel som öppnar sig uppåt och enligt tidigare är polynomets nollställen x=1 och x=-2.
Beräknat med fel nollställen från förra deluppgiften. max 3 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Endast svar 1 p./del

2. Punkter i planet 12 p.

I den här uppgiften ska du endast skriva in de slutliga resultaten av uträkningarna utan mellansteg och motiveringar i svarsfälten. I uppgiften kan du inte använda skärmdumpar eller formeleditor. Svaret på varje deluppgift har maximilängden 10 tecken. Svaren bedöms med hjälp av dator, och om instruktionerna inte följs kan det leda till poängavdrag.

Bestäm koordinaterna för följande punkter. Alla koordinater är heltal. Ange endast svaret utan mellanslag, mellansteg eller motiveringar i varje deluppgift, exempelvis i formen (-5,5) och inte ( - 5, 5) eller motsvarande.

2.1 Den punkt i vilken linjen y=3x+7 skär y-axeln.  2 p.

  • (0,7) (2 p.)
Felaktiga svar som ger ett poäng: 7, (0,-7) och (7,0).

2.2 Mittpunkten på den sträcka vars ändpunkter är (0,0) och (6,8).  2 p.

  • (3,4) (2 p.)
(1 poäng/korrekt koordinat)

2.3 Skärningspunkten för linjerna x+y=0 och 2x+5y=3.  2 p.

  • (-1,1) (2 p.)

2.4 Den punkt på kurvan xy=6, vars y-koordinat är 3.  2 p.

  • (2,3) (2 p.)
Felaktiga svar som ger ett poäng: första koordinaten 2, andra koordinaten något annat än 3.

2.5 Medelpunkten för cirkeln (x+1)^2+(y-2)^2=5.  2 p.

  • (-1,2) (2 p.)
(1 poäng/korrekt koordinat)

2.6 Den punkt där toppen på parabeln y=(x-3)^2+1 ligger.  2 p.

  • (3,1) (2 p.)
(1 poäng/korrekt koordinat)
Specifika anvisningar för uppgiften
Allmänna avdrag: Överflödiga mellanslag eller saknade parenteser omkring koordinaterna: från var och en av deluppgifterna 2.1 och 2.4 –1 p.

3. Minimering 12 p.

Bestäm det minsta värdet för funktionen \displaystyle f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}, då x>0.
f'(x)=2x-\frac{32}{x^3} (2x, koefficienten -32, x^{-3}: 1+1+1) 3 p.
Om derivatan inte är ett polynom ges inga flera poäng.
f'(x)=0, då 2x^4-32=0, det vill säga x^4=16. 1 p.
Detta inträffar då x=-2 eller x=2. (1 p./rot. Med begränsningen x>0 räcker x=2.) 2 p.
Teckenschemat i området x>0 är - | + och tecknen motiverade ELLER förklarat med hjälp av derivatan (någorlunda utfört 1 p., exakt utfört 2 p.). 3 p.
Punkten x=2 är ett minimum. (1 p.)
Minsta värdet är alltså f(2)=8. 2 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Fel i derivatan 2+1+2+3+1+0 max 9 p.
Variabelbyte s=x^2 och löst med avseende på s: 3+1+2+3+1+0 max 10 p.
Hittat ett överflödigt nollställe x=0 genom att bryta ut x som faktor: x(2-\frac{32}{x^4})=0. Från tredje raden –1 p.
ELLER
f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}=\left(x-\frac{4}{x}\right)^2+8. 6 p.
Kvadraten är icke-negativ, så alla funktionens värden uppfyller f(x)\geq 8. 3 p.
Eftersom x-\frac{4}{x}=0 då x=2, är minimivärdet faktiskt ett funktionsvärde. 3 p.

Specifika anvisningar för uppgiften

Beräknat ett eller flera funktionsvärden

+0 p.

4. Vektorer och ett plan 12 p.

Vi undersöker vektorerna \overline{u}=3\,\overline{i}+\overline{j}-2\,\overline{k},  \overline{v}=\overline{i}+2\,\overline{j}-2\,\overline{k}  och  \overline{w}=-5\,\overline{i}-5\,\overline{j}+6\,\overline{k}.

  1. Bestäm vektorn \overline{u}+2\,\overline{v}-\overline{w}. (3 p.)

  2. Vektorerna \overline{u} och \overline{v} spänner upp ett plan T som går genom origo, dvs. de är riktningsvektorer för planet. Bestäm avståndet mellan punkten (6,7,1) och planet T. (9 p.)

\overline{u}+2\overline{v}-\overline{w}=3\,\overline{i}+\overline{j}-2\overline{k}+2(\overline{i}+2\overline{j}-2\overline{k})-(-5\,\overline{i}-5\overline{j}+6\overline{k})=10\overline{i}+10\overline{j}-12\overline{k}.
(Multiplicering av vektor med skalär+teckenbyte+termvis summering) 1+1+1 p.
Metod 1: Närmaste punkt i planet
Punkterna i planet har formen (3r+s,r+2s,-2r-2s) ELLER motsvarande med hjälp av vektorer (till exempel r(3\overline{i}+\overline{j}-2\overline{k})+s(\overline{i}+2\overline{j}-2\overline{k}) och förenkling). 2 p.
Vektorn från en punkt i planet till punkten (6,7,1) har formen \overline{a}=(6-3r-s)\overline{i}+(7-r-2s)\overline{j}+(1+2r+2s)\overline{k}. 1 p.
Minimering av avståndet: vektorn bör vara vinkelrät mot planets (bas)vektorer, det vill säga deras skalärprodukt bör vara noll. (1 p.)
Fått ekvationerna 3(6-3r-s)+(7-r-2s)+(-2)(1+2r+2s)=0
och (6-3r-s)+2(7-r-2s)+(-2)(1+2r+2s)=0. 		1 p.
Löst ekvationssystemet och fått r=s=1. 1 p.
oberoende Koordinaterna för den närmaste punkten i planet är (4,3,-4). 1 p.
Det sökta avståndet är därför \sqrt{(4-6)^2+(3-7)^2+(-4-1)^2}= exakt 3\sqrt{5} ELLER exakt \sqrt{45} ELLER exakt \frac{45}{\sqrt{45}}. 2 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Om man utan motivering anger att den närmaste punkten i planet är \overline{u}+\overline{v}=(4,3,-4), kan man få 1+1 poäng från de två sista raderna.
ELLER Metod 2: Med normalvektor
Normalvektorn sökes (idé + genomförande 1+1)
med kryssprodukt \overline{n}=\overline{u}\times \overline{v}= \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k}\\ 3 & 1 & -2\\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} ELLER ekvationssystem \begin{cases} \overline{n}\cdot\overline{u}=3a+b-2c = 0\\ \overline{n}\cdot\overline{v}=a+2b-2c=0. \end{cases} 		2 p.
Fått koordinaterna för normalvektorn (\overline{n}=2\overline{i}+4\overline{j}+5\overline{k}). 2 p.
oberoende Origo ligger i planet, så planets normalform ax+by+cz+d=0 har konstanten d=0. 1 p.
Fått planets normalform (2x+4y+5z=0) (om föregående rad saknas, fås denna poäng även med formeln 2x+4y+5z+d=0). (1 p.)
Avståndet mellan planet och punkten fås med formeln \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{2\cdot 6+4\cdot 7+5\cdot 1+0}{\sqrt{2^2+4^2+5^2}} 2 p.
= exakt 3\sqrt{5} ELLER exakt \sqrt{45} ELLER exakt \frac{45}{\sqrt{45}}. 1 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Examinanden har konstaterat att hen behöver en normalvektor, som fås via kryssprodukt ELLER annan god förklaring; har inte kunnat beräkna kryssprodukten, men beräknat någon felaktig normalvektor och satt in de erhållna värdena (1 (eller 2, om kryssproduktens determinantform syns)+0+1+0+1+0). 3 p. eller 4 p.
Examinanden har konstaterat att hen behöver en normalvektor och beräknat en egen normalvektor på helt fel sätt och satt in de erhållna värdena (0+0+1+0+1+0). 2 p.
Om det inte framgår alls av lösningen att examinanden förstått hur normalformen bildas, och normalvektorn inte nämns, delas endast de oberoende poängen ut. max 1 p.
ELLER Metod 3: Normalform från planets parameterform
Planets parameterform \begin{cases}x=0+3s+t\\y=0+s+2t\\z=0-2s-2t\end{cases} 2 p.
Erhållit normalformen (2x+4y+5z=0). (Löst t eller s, satt in lösningen i en annan ekvation, löst den andra parametern, satt in båda och förenklat.) 1+1+1+1 p.
Beräknat avståndet från punkten (6,7,1) till planet med formeln \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{2\cdot 6+4\cdot 7+5\cdot 1+0}{\sqrt{2^2+4^2+5^2}} 2 p.
= exakt 3\sqrt{5} ELLER exakt \sqrt{45} ELLER exakt \frac{45}{\sqrt{45}}. 1 p.
ELLER Metod 4: Normalform med hjälp av tre punkter
oberoende Origo ligger i planet, så konstanten i normalformen är d=0. 1 p.
Ekvationspar bildat med två andra punkter i planet. 2 p.
Löst ut koefficienterna och erhållit planets normalform 2x+4y+5z=0. 3 p.
Avståndet mellan planet och punkten fås med formeln \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{2\cdot 6+4\cdot 7+5\cdot 1+0}{\sqrt{2^2+4^2+5^2}} 2 p.
= exakt 3\sqrt{5} ELLER exakt \sqrt{45} ELLER exakt \frac{45}{\sqrt{45}}. 1 p.
Specifika anvisningar för denna lösning
Normalvektorn och/eller planets normalform kan vara multiplicerad med en konstant.
Endast formeln för avståndet mellan en punkt och ett plan utan några beräknade koefficienter. +0 p.

Del B1

5. Beteckningar i matematiken 12 p.

Hur kan följande beskrivningar i ord uttryckas med symboler?

Välj det mest lämpliga alternativet. Svaren behöver inte motiveras. Rätt svar 1 p. eller 2 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

Om du har börjat besvara uppgiften men kommer till att du ändå inte vill lämna in den för bedömning kan du radera ditt svar genom att välja den tomma raden i rullgardinsmenyn.

5.1 Kubikroten av talet 6. 1 p.

  • \sqrt[3]{6}  (1 p.)

5.2 De jämna heltalen. 1 p.

  • 2k,\ k\in\mathbf{Z}  (1 p.)

5.3 Absolutbeloppet av summan av det inverterade och det motsatta talet till talet \frac{7}{5}. 2 p.

  • |\frac{5}{7}+(-\frac{7}{5})|  (2 p.)

5.4 Talen A och B är direkt proportionella mot varandra med proportionalitetskonstanten k. 1 p.

  • A:B=k  (1 p.)

5.5 Då två potenser med samma bas multipliceras så adderar man exponenterna. 1 p.

  • x^nx^m=x^{n+m}  (1 p.)

5.6 Det slutliga priset på en produkt då det ursprungliga priset 129 € först sänks med 10 % och det sänkta priset senare ytterligare sänks med 20 %. 1 p.

  • 0{,}8\cdot 0{,}9\cdot 129 €  (1 p.)

5.7 Avståndet mellan punkten x och punkten -2 på tallinjen är 3. 1 p.

  • |x-(-2)|=3  (1 p.)

5.8 Avståndet mellan punkten (x,y) och punkten (1,-3) i planet är 4. 2 p.

  • \sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}=4  (2 p.)

5.9 Skärningspunkten mellan linjerna 2x-3y=1 och -x+4y=-2. 1 p.

  • \begin{cases} 2x-3y=1\\ -x+4y=-2 \end{cases}  (1 p.)

5.10 Värdet av funktionen f i punkten 2 är större än värdet av funktionen g i punkten -3. 1 p.

  • f(2)>g(-3)  (1 p.)

6. Apelsinskal 12 p.

I en butik säljs hela apelsiner för kilopriset 1,50 euro och skalade apelsiner för kilopriset 9,50 euro. Omkretsen på de oskalade apelsinerna är 25,0 cm och skalets tjocklek är 6,0 mm.

  1. Hur stor andel av en apelsins volym är skal? Vi antar att apelsinen är ett klot och att skalet är jämntjockt. (6 p.)

  2. Hur stor är skalningsarbetets andel av priset i procent? Vi antar att skalet har samma densitet som den ätbara delen och att skalets värde är noll euro. (6 p.)

Apelsinens radie är \frac{25}{2\pi} \ (\approx 3\mathrm{,}979) (cm) 1 p.
och volymen är \frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{25}{2\pi}\right)^3 \ (\approx 263\mathrm{,}9) \ (\textrm{cm}^3). 1 p.
Radien av en apelsin utan skal är \frac{25}{2\pi}-0\mathrm{,}6 \ (\approx 3{,}379) (cm). 1 p.
Volymen av en apelsin utan skal är därför \frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{25}{2\pi}-0\mathrm{,}6\right)^3 \ (\approx 161,6)\ (\textrm{cm}^3). 1 p.
Skalets andel av apelsinen är \frac{\frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{25}{2\pi}\right)^3-\frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{25}{2\pi}-0\mathrm{,}6\right)^3}{\frac{4\pi}{3}\cdot\left(\frac{25}{2\pi}\right)^3}\approx 0\mathrm{,}38759968\approx 0{,}39 = 39 %. 2 p.
ELLER
Förhållandet mellan klotens volymer är motsvarande förhållande mellan radierna upphöjt till tre. 2 p.
Apelsinens radie är \frac{25}{2\pi} (cm). 1 p.
Radien av en apelsin utan skal är \frac{25}{2\pi}-0\mathrm{,}6 (cm). 1 p.
Skalets andel av apelsinen är alltså \frac{\left(\frac{25}{2\pi}\right)^3-\left(\frac{25}{2\pi}-0\mathrm{,}6\right)^3}{\left(\frac{25}{2\pi}\right)^3}\approx 0\mathrm{,}387599683\approx 0{,}39 = 39 %. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Apelsiner med och utan skal i fel ordning max 5 p.
Fel beräknad radie max 5 p.
Grovt modellfel: apelsinens skal betraktat som ett kompakt klot av radie 0{,}3 eller 0{,}6 cm. (1+1+0+0+1). max 3 p.
Annat grovt modellfel, till exempel tvådimensionella apelsiner: Högst en poäng från raden med förhållandeberäkningen. Övriga poäng enligt vad som förtjänats.
Svaret kan ges i decimalform eller som en procentsats.
För att framställa ett kilogram skalade apelsiner, behövs \frac{1}{1-0\mathrm{,}387599683}\approx 1\mathrm{,}632918815 kilogram apelsiner med skal. (förklaring med ord 1 p. + korrekt beräkning 2 p.) 3 p.
Deras pris är 1\mathrm{,}632918815\cdot 1\mathrm{,}50\approx 2\mathrm{,}4494 (euro). 1 p.
Skalningsarbetets andel av priset är alltså 9\mathrm{,}50-2\mathrm{,}4494=7\mathrm{,}0506 (euro). 1 p.
Skalningsarbetets andel av priset är alltså \frac{7\mathrm{,}0506}{9\mathrm{,}50}\approx 74 %. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Poäng från de sista raderna ges endast om examinanden kommit fram till dem på ett meningsfullt sätt.
Svar som en procentsats.
Specifika anvisningar för uppgiften
Apelsinens densitet antagen som ett specifikt värde, exempelvis 1. Hela uppgiften –1 p.

7. Ken Guru hoppar 12 p.

Ken Guru befinner sig i ruta A i det vänstra övre hörnet av ett 3\times 3-rutsystem, och han ska genom att hoppa ta sig till ruta B i det högra nedre hörnet. Ett enskilt hopp är möjligt endast till grannrutan närmast rakt till höger eller närmast rakt nedåt, men inte diagonalt eller utanför rutsystemet. Om det finns två möjliga alternativ hoppar Ken till vardera alternativet med sannolikheten 0,5. Annars hoppar han till den enda möjliga rutan.

  1. Bestäm sannolikheten för varje möjlig rutt. (8 p.)

  2. Ken återvänder från ruta B tillbaka till ruta A genom att i övrigt hoppa enligt samma princip, men nu är endast hopp till rutan närmast till vänster eller närmast uppåt möjliga. Med hur stor sannolikhet återvänder Ken längs samma rutt (men i motsatt riktning) som på vägen ner? (4 p.)

Ritat en bild eller på annat sätt listat alla möjligheter (två rutter korrekt 1 p., två olika sorters rutter 2 p., bara en rutt saknas eller överflödig rutt 3 p.). 4 p.
Examinander noterar att sannolikheten för en rutt som går via ett hörn är \frac{1}{4}, ty Ken Guru kommer till hörnet med sannolikhet \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} och då Ken anlänt till hörnet kan han bara fortsätta i en riktning. 2 p.
Sannolikheten för var och en av de fyra övriga rutterna är \frac18, ty i dessa rutter finns det tre riktningsval, och vart och ett av dessa val har sannolikhet \frac12. 2 p.
ELLER
Varje rutt motsvarar en sträng av bokstäverna h och n. Bokstaven h betyder hopp till höger och n betyder hopp ner. 2 p.
Strängen har fyra bokstäver, varav två h och två n 2 p.
Om de två första bokstäverna är aa eller oo, är slutet av strängen bestämt. Sannolikheten för dessa strängar är alltså \frac14. (Dessa strängar svarar mot rutter som går via ett hörn.) 2 p.
Sannolikheten för de övriga rutterna är \frac{1}{8}. 2 p.
Varje rutt på vägen ner motsvaras av en rutt tillbaka. (1 p.)
Sannolikheterna för turrutten och returrutten är lika stora. 1 p.
Sannolikhheten för att Ken Guru väljer samma rutt är alltså \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{8}\cdot 4=\frac{3}{16}. (Poängfördelning på denna rad: sannolikheter 1 p. + koefficienter och svar 1 p.) 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Svaret kan också ges som ett exakt decimaltal 0{,}1875. Avrundade närmevärden godkänns som svar, om exakta värden framgår av mellanleden. Om mellanleden inte innehåller exakta värden (till exempel om \frac{1}{8} har skrivits som 0{,}13), så -1 poäng för hela deluppgiften.
Specifika anvisningar för uppgiften
Bara en sorts rutter (1+2+0+1+1+0) eller (1+0+2+1+1+0). max 5 p.
Två sorters rutter (men inte alla) (2/3+2+2+1+1+2). max 11 p.
Startpoäng: En rutt korrekt ritad ELLER rätt antal rutter utan motivering och utan fortsättning. 1 p.

8. Delbarheten för ett stort tal 12 p.

  1. Bestäm det största talet k\in \mathbf N, för vilket 1023\equiv -1\ (\text{mod }2^k). (3 p.)

  2. Bevisa att talet 2^{12345678910}-1 är delbart med talet 1023. (9 p.)

Det givna villkoret är liktydigt med att 1023+1\equiv 0\pmod{2^k} ELLER 1024\equiv 0\pmod{2^k}. 1 p.
oberoende Eftersom 1024=2^{10}, så gäller kongruensen då k=10. 1 p.
Motiverat varför k=10 är det största möjliga värdet på talet k. (Till exempel: \frac{1024}{2^k} är inte ett heltal då k\ge11.) 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Gått från kongruensen till ekvationen 1024=2^k utan förklaring. –1 p.
oberoende 2^{x}-1 är delbart med 1023 exakt då 2^{x}\equiv 1\pmod{1023} ELLER 2^{x}-1\equiv 0\pmod{1023}. 1 p.
Eftersom 2^{10}\equiv 1\pmod{1023}, 2 p.
så gäller 2^{12345678910}=(2^{10})^{1234567891}\equiv 1^{1234567891}=1\pmod{1023}. 6 p.
(2 p./likhet eller kongruens)
Specifika anvisningar för deluppgiften
Lösning med programvara möjlig. max 9 p.

9. Ett konstmuseums böljande staket 12 p.

Ett staket runt ett konstmuseum ska målas och man skapar en modell av staketets area med integralen

\int_0^4 \bigg(\frac{\cos (10 x+x^2)}2+1\bigg)\, dx.

Uppskatta integralens värde med hjälp av trapetsregeln genom att använda 10 och 100 delintervall. Beräkna de relativa felen för dessa uppskattningar då integralens värde med fem decimalers noggrannhet är 3,98636.

Trapetsregeln poängsätts enligt följande (10 och 100 intervall): 4+4 p.
Med kommandon i kalkylprogram – från lösningen bör det på något sätt framgå att programvara använts
oberoende Kommandot Trapetssumma() i GeoGebra eller annat kalkylprogram, eller angett att detta kommando använts. 1 p.
oberoende uttrycket (\cos(10x+x^2)/2+1) 1 p.
oberoende ändpunkter och antalet intervall (0 eller 4, 10 eller 100) 1 p.
oberoende svar (4\mathrm{,}28823\approx 4\mathrm{,}29 eller 3\mathrm{,}98699\approx 3\mathrm{,}99) 1 p.
ELLER med tabellering eller summaformel
Intervallens längd beräknad (eller syns). 1 p.
Uttrycket (\cos(10x+x^2)/2+1) är korrekt inmatat. 1 p.
Korrekt summering (summan förefaller innehålla rätt antal termer med rätt vikt och av ungefär rätt form). 1 p.
Svar, till vilket man kommit med korrekt logik (4\mathrm{,}28823\approx 4\mathrm{,}29 eller 3\mathrm{,}98699\approx 3\mathrm{,}99). 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Noggrannhet: minst tre gällande siffror
Endast svar 1+1 p.
Det relativa felet poängsätts enligt följande (10 och 100 intervall): 2+2 p.
\frac{\textrm{uppskattning} -\textrm{äkta värde}}{\textrm{äkta värde}} eller \frac{\textrm{uppskattning}}{\textrm{äkta värde}} -1 eller \frac{\textrm{uppskattning}}{\textrm{äkta värde}} eller \frac{\textrm{äkta värde}-\textrm{uppskattning} }{\textrm{äkta värde}} eller 1-\frac{\textrm{uppskattning}}{\textrm{äkta värde}} 1 p.
Svaret är beräknat och positivt (med tio intervall \frac{4\mathrm{,}28823-3\mathrm{,}98636}{3\mathrm{,}98636}\approx 7\mathrm{,}6 %
och med hundra intervall \frac{3\mathrm{,}98699-3\mathrm{,}98636}{3\mathrm{,}98636}\approx 0\mathrm{,}02 %). 		1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Minst en gällande siffra. I mellanstegen minst en gällande siffra mer.
Svaret kan ges som precentsats eller på decimalform.
Uppskattningen i nämnaren –1 p.
Absolutbelopp runt det relativa felet godkäns.
Beräkningar i formeln för feltermen (E_n = \dots). +0 p.

Del B2

10. Jämna och udda funktioner 12 p.

Funktionen h: \mathbf{R}\to\mathbf{R} är jämn, om h(-x)=h(x) för varje x\in \mathbf{R}, och udda, om h(-x)=-h(x) för varje x\in \mathbf{R}.

I deluppgifterna 10.1–10.4 ska du välja det korrekta alternativet. Svaren behöver inte motiveras. Rätt svar 1 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

Om du har börjat besvara uppgiften men kommer till att du ändå inte vill lämna in den för bedömning kan du radera ditt svar genom att välja den tomma raden i rullgardinsmenyn.

Skriv svaren på deluppgifterna 10.5 och 10.6 med motiveringar i svarsfältet.

10.1 1 p.

  • är udda  (1 p.)

10.2 1 p.

  • är jämn  (1 p.)

10.3 1 p.

  • är jämn  (1 p.)

10.4 1 p.

  • är varken jämn eller udda  (1 p.)

10.5 8 p.

10.5 oberoende Villkoret för udda funktioner i punkten x=0 (f(-0)=-f(0) eller med ord) 1 p.
oberoende Noterat -0=0 ELLER f(-0)=f(0) (eller med ord) 1 p.
Kombinerat föregående (f(0)=-f(0)) 1 p.
Erhållit rätt slutresultat (f(0)=0) med motivering 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Geometriska symmetriargument: +0 p.
10.6 Försökt beräkna Dg(-x). 1 p.
Dg(-x)=-g'(-x) 1 p.
poäng oberoende av de ovanstående raderna Tillämpat villkoret för jämna funktioner korrekt (Dg(-x)=Dg(x)=g'(x)) 1 p.
Erhållit rätt slutresultat (g'(x)=-g'(-x)) 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Symmetriargument för riktningskoefficienter max 1 p.
Specifika anvisningar för uppgiften
Exempelfunktioner +0 p.

11. Villkoren för medelvärdessatsen 12 p.

I den här uppgiften undersöker vi när en funktion f som är definierad i intervallet [-1,1] uppfyller villkoret för medelvärdessatsen:

f'(a)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} \qquad\text{för något tal } a\in {}]{-1},1[\,.

Besvara följande deluppgifter och motivera dina svar.

  1. Ge ett exempel på en funktion som är kontinuerlig i det slutna intervallet [-1,1], deriverbar i det öppna intervallet ]{-1},1[ och som uppfyller villkoret för medelvärdessatsen. (4 p.)

  2. Ge ett exempel på en funktion som är kontinuerlig i det slutna intervallet [-1,1] men som inte är deriverbar i det öppna intervallet ]{-1},1[ och inte uppfyller villkoret för medelvärdessatsen. (4 p.)

  3. Ge ett exempel på en funktion som är deriverbar i det öppna intervallet ]{-1},1[ men som inte är kontinuerlig i det slutna intervallet [-1,1] och inte uppfyller villkoret för medelvärdessatsen. (4 p.)

Examinanden har angett ett exempel på en funktion f som är deriverbar på intervallet ]{-}1, 1[ och kontinuerlig på intervallet [-1,1]. 1 p.
Beräknat \frac{f(1)-f(-1)}{2} korrekt. 1 p.
Beräknat f'(x) korrekt. 1 p.
Visat att f'(a)=\frac{f(1)-f(-1)}{2} för något a\in\, ]{-}1, 1[. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Till exempel f(x)=x och a=0.
Tredje radens poäng kan ges oberoende av andra radens poäng.
Ett fungerande exempel med hänvisning till medelvärdessatsen. 4 p.
Examinanden har angett ett exempel på en funktion f som inte är deriverbar på intervallet ]{-}1, 1[, men som är kontinuerlig på intervallet [-1,1]. 1 p.
Funktionen f uppfyller inte villkoret i medelvärdessatsen. 1 p.
Beräknat \frac{f(1)-f(-1)}{2} korrekt. 1 p.
Visat att \frac{f(1)-f(-1)}{2}\neq f'(a) för varje a\in\, ]{-}1, 1[. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Till exempel f(x)=|x|.
Examinanden har angett ett exempel på en funktion f som är deriverbar på intervallet ]{-}1, 1[, men som inte är kontinuerlig på intervallet [-1,1]. 1 p.
Funktionen f uppfyller inte villkoret i medelvärdessatsen. 1 p.
Beräknat \frac{f(1)-f(-1)}{2} korrekt. 1 p.
Visat att \frac{f(1)-f(-1)}{2}\neq f'(a) för varje a\in\, ]{-}1, 1[. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Till exempel f(x)=x, då x\in {]}{-}1,1{[}, och f(1)=f(-1)=0.
Tredje radens poäng ges ej, om andra raden saknas.
Specifika anvisningar för uppgiften
Första raden i varje deluppgift bör vara i ordning, för att övriga poäng ska kunna delas ut. I synnerhet måste funktionen vara definierad på intervallet [-1, 1].
Exempelfunktionernas deriverbarhet eller kontinuitet behöver inte speciellt påpekas.
Inga extrapoäng eller avdrag för att ha bevisat kontinuitet eller deriverbarhet.
Endast giltiga exempel (1+2+2). max 5 p.

12. Rekursionsformler 12 p.

  1. Anta att f_n(x)=x^n\sin x och g_n(x)=x^n\cos x, då n=0,1,2,\dots Beräkna derivatorna f_n'(x) och g_n'(x). (2 p.)

  2. Vi betecknar

    S_n=\int_0^{\pi}x^n\sin x\, dx \quad\text{och}\quad C_n=\int_0^{\pi}x^n\cos x\, dx .

    Beräkna S_0 och C_0. (2 p.)

  3. Vi antar att följande rekursionsformler gäller för integralerna S_n och C_n:

    S_n=nC_{n-1}+\pi^n \quad\text{och}\quad C_n =-nS_{n-1},

    då n=1,2,3,\dots Beräkna värdet på integralen S_4 genom att använda dessa formler. (2 p.)

  4. Integrera de derivataformler som du fått i deluppgift 1 ledvis i intervallet [0,\pi] och härled med hjälp av resultaten de båda rekursionsformlerna i deluppgift 3. (6 p.)

f_n'(x)=nx^{n-1}\sin x+x^n\cos x. 1 p.
g_n'(x)=nx^{n-1}\cos x-x^n \sin x. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Räknaren inställd på grader, koefficient \pi/180 i svaret, eller dylikt. 0 p.
Formlerna innehåller x i nämnaren, totalt –1 p.
S_0=\int_0^{\pi}\sin x\,dx=2. 1 p.
C_0=\int_0^{\pi}\cos x\,dx=0. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Integrerat x^0\sin x och x^0\cos x (med räknare) utan förenkling. –0 p.
Räknaren inställd på grader, koefficient \pi/180 i svaret, eller dylikt. 0 p.
Examinanden har använt någon av rekursionsformlerna korrekt en gång (med värden på indexen). 1 p.
Med hjälp av båda rekursionsformlerna beräknat S_4=48-12\pi^2+\pi^4. (Svaret bör vara korrekt med de egna startvärdena, det vill säga inget avdrag om ett fel ärvts från föregående deluppgift, men annars godkänns endast korrekt svar.) 1 p.
Korrekt uträkning: S_4=4C_3+\pi^4=4(-3S_2)+\pi^4=-12S_2+\pi^4=-12(2C_1+\pi^2)+\pi^4
=24S_0-12\pi^2+\pi^4=48-12\pi^2+\pi^4 \ (\approx 26\mathrm{,}97).
Specifika anvisningar för deluppgiften
För första radens poäng räcker det exempelvis om C_3 beräknats med räknare och därefter S_4 med rekursionsformel, eller om C_1 beräknats med rekursionsformel från S_0.
Genom att integrera funktionen f_n' får man \int_0^{\pi}f_n'(x)\, dx=\int_0^{\pi}(nx^{n-1}\sin x+x^n\cos x)\, dx=nS_{n-1}+C_{n}. 1 p.
Dessutom gäller \int_0^{\pi}f_n'(x)\, dx=f_n(\pi)-f_n(0)=0. 1 p.
Genom att integrera funktionen g_n' får man \int_0^{\pi}g_n'(x)\, dx=\int_0^{\pi}(nx^{n-1}\cos x-x^n \sin x)\, dx=nC_{n-1}-S_{n}. 1 p.
Dessutom gäller \int_0^{\pi}g_n'(x)\, dx=g_n(\pi)-g_n(0)=-\pi^n. 1 p.
Sammantaget gäller alltså nS_{n-1}+C_{n}=0 och nC_{n-1}-S_{n}=-\pi^n. 1 p.
Den första likheten ger C_n=-nS_{n-1} och S_n=nC_{n-1}+\pi^n. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Mellanleden av insättningarna bör synas i integralen av derivatan, eftersom resultaten annars kan gissas från formlerna i problemformuleringen.

13. Uppskattning av ett tals fakultet 12 p.

Motivera följande olikheter.

  1. \quad\displaystyle\ln k\le \int_k^{k+1} \ln x\, dx,   då k=1, 2, 3, \ldots (3 p.)

  2. \quad\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ln k\leq \int_1^{n+1} \ln x\, dx,   då n=1, 2, 3, \ldots (3 p.)

  3. \quad\displaystyle n!\leq e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1},   då n=1, 2, 3, \ldots (6 p.)

oberoende Eftersom \ln x är växande gäller \int_k^{k+1} \ln k\, dx\leq \int_k^{k+1} \ln x\, dx. 1 p.
oberoende Dessutom gäller \ln k=\int_k^{k+1} \ln k\,dx. 1 p.
Alltså gäller \ln k\leq \int_k^{k+1} \ln x\,dx. 1 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
God grafisk motivering utan att det nämnts att funktionen är växande. max 2 p.
God grafisk motivering, där det nämns att funktionen är växande. max 3 p.
Uträkning av integralen. +0 p.
Olikheterna summerade: \sum_{k=1}^n \ln k\leq \sum_{k=1}^n\int_k^{k+1} \ln x\,dx =\int_1^{n+1}\ln x\, dx. (idé 2 p. + genomförande 1 p.) 3 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
God grafisk motivering utan att det nämnts att funktionen är växande. max 2 p.
God grafisk motivering, där det nämns att funktionen är växande. max 3 p.
Eftersom \ln n!=\sum_{k=1}^n \ln k (och eftersom exp är strängt växande), 1 p.
så gäller n!\leq \exp\left(\int_1^{n+1}\ln x\, dx\right). 2 p.
oberoende Integralen uträknad och förenklad: \int_1^{n+1}\ln x\, dx=(n+1)\ln (n+1)-(n+1)-1\ln(1)+1=(n+1)\ln (n+1)-n. 1 p.
Alltså gäller n! \leq e^{(n+1)\ln (n+1)-n}=e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}. 2 p.
Specifika anvisningar för deluppgiften
Integralen kan räknas med programvara (möjligen i deluppgift 2), detta ger i tredje raden +1.
Specifika anvisningar för uppgiften
Testat (små) värden på konstanten k eller n. +0 p.