Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

20.3.2024

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 14.5.2024

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy oikeassa sarakkeessa olevaan pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esim. derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Suluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Jos erikseen ei mainita, niin vastauksen hyväksyttävä tarkkuus on yksi merkitsevä numero enemmän tai vähemmän kuin ohjeeseen kirjattu.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37,5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esim. laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä ylläolevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
    • Teksti STOP tarkoittaa sitä, että sillä rivillä kerrotaan, minkä ehtojen pitää toteutua, jotta jatkosta saa pisteitä.
  • Terminologiaa
    • ''Vastaus riittää'' tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • ''Alkupisteitä'' tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • ''maxN'' tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • ''Vastaus vain likiarvona'' tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esim. tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esim. e^1, ln(e) tai 4^0 -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esim. e^1, ln(e) tai 4^0 -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esim. x =2, y04, tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esim. puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

A-osa

1. Kulmanmetsästys 12 p.

Määritä kuviin merkityt tuntemattomat kulmat asteen tarkkuudella.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku.

1.1 Määritä kulma \alpha. 2 p.

  • 60 (2 p.)

1.2 Määritä kulma \beta. 2 p.

  • 25 (2 p.)

1.3 Määritä kulma \gamma. 2 p.

  • 51 (2 p.)

1.4 Määritä kulma \delta. 2 p.

  • 47 (2 p.)
  • –47 (1 p.)
  • 43 (1 p.)

1.5 Määritä kulma \epsilon. 2 p.

  • 24 (2 p.)

1.6 Määritä kulma \zeta. 2 p.

  • 62 (2 p.)

2. Polynomi 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku.

2.1 3 p.

  • 104 (3 p.)
  • 96 (1 p.)
  • 56 (1 p.)

2.2 3 p.

  • 40 (3 p.)
  • 148 (1 p.)

2.3 3 p.

  • 51 (3 p.)
  • 45 (1 p.)
  • 49 (1 p.)

2.4 3 p.

  • 96 (3 p.)
  • 48 (1 p.)
2.1: 96 (puuttuu 4 x) (1 p.) 56 (laskettu 12 x^2 +4 x) (1 p.)
2.2: 148 (laskettu pisteessä x =2) (1 p.)
2.3: 45 (integroitu 12 x^3) (1 p.) 49 (integroitu 12 x^3, mutta pidetty mukana 4 x) (1 p.)

3. Itseisarvoyhtälöitä 12 p.

Ratkaise algebrallisesti tai geometrisesti seuraavat yhtälöt.

  1. |y +3| =|y +5|. (6 p.)

  2. |x| +|x -5| =7. (6 p.)

Itseisarvoyhtälö toteutuu, kun y +3 =-(y +5) tai y +3 =y +5. (Rivin pisteet edellyttävät, että kumpikin mainitaan. Jos rivit 2–3 on tehty, saa myös nämä pisteet.) 2 p.
riippumaton Jos , niin 2 y =-8, eli y =-4. 2 p.
riippumaton Jos y +3 =y +5, niin 0 =2, eli ei ratkaisuja. 2 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Itseisarvot vain häviävät alussa, saadaan yhtälö y +3 =y +5, josta ei ratkaisuja. (0+0+2) max 2 p.
TAI (jaettu tapauksiin)
riippumaton Saatu -3 -y =-y -5 tai y +3 =y +5 / päätelty, että sillä ei ole ratkaisuja / saatu myös toinen yhtälöistä ja päätelty, ettei silläkään ole ratkaisuja. 3 p.
riippumaton Kun -5 <= y <= -3 / saadaan -3 -y =y +5 / josta ratkaisu y =-4
TAI saatu -3 -y =y +5 / josta ratkaisu y =-4 / tarkistettu alkuperäisessä yhtälössä. 		3 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Ratkaisussa esiintyy neljäs yhtälö y +3 =-y -5. –0 p.
TAI (geometrinen ratkaisu)
Geometrisesti nähdään, että kysytään sitä lukua, jonka etäisyys luvuista -5 ja -3 on sama. 2 p.
Luku -4 toteuttaa tämän ehdon, sillä sen etäisyys kummastakin on 1. 2 p.
Muita ratkaisuja ei ole, sillä muut luvut ovat lähempänä jompaakumpaa näistä luvuista. 2 p.
TAI (ratkaisu korottamalla neliöön)
Korotetaan neliöön / käytetty (|...|)^2 =(...)^2. 1+1 p.
Saadaan y^2 +6 y +9 =y^2 +10 y +25, joka sievenee muotoon 4 y =-16, 2 p.
jonka ratkaisu on y =-4. 2 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Keksitty y =-4 ja tarkistus 1 p.
riippumaton Kun x < 0 (tai tarkistus lopussa) / saadaan -x -x +5 =7, josta x =-1. 2 p.
riippumaton Saatu yhtälö x -x +5 =7 / päätelty, että sillä ei ole ratkaisuja. 2 p.
riippumaton Kun x > 5 (tai tarkistus lopussa) / saadaan x +x -5 =7, josta x =6. 2 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Ratkaisussa esiintyy neljäs yhtälö -x +(x -5) =7. –0 p.
Itseisarvot vain häviävät alussa, saadaan yhtälö 2 x -5 =7, josta x =6. (0+0+1) max 1 p.
TAI
Siirretään termi |x| toiselle puolelle, jolloin yhtälö muuttuu muotoon |x -5| =7 -|x|.
Voidaan korottaa yhtälö neliöön, jolloin saadaan x^2 -10 x +25 =49 -14 |x| +x^2. 1 p.
Sieventämällä saadaan 14 |x| =24 +10 x, eli 7 |x| =12 +5 x. Neliöön korottamalla saadaan 49 x^2 =144 +120 x +25 x^2, 1 p.
joka sievenee muotoon 24 x^2 -120 x -144 =0, eli x^2 -5 x -6 =0, 1 p.
jonka ratkaisut ovat x =-1 ja x =6. 1 p.
Neliöönkorotusehdot (2 kpl) tai tarkistus lopussa (1 p./ratkaisu) 2 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Jos itseisarvot on poistettu aivan väärin, ei pisteitä jatkosta. Esimerkiksi ensimmäisellä rivillä itseisarvot yhdistetään väärin ja saadaan yhtälö |2 x -5| =7 tai (2 x -5)^2 =7^2, josta oikeat ratkaisut x =-1 tai x =6, antaa 0 p., jos ne lisäksi tarkistaa alkuperäisessä yhtälössä 2 p.
TAI
Piirtämällä pisteet lukusuoralle tai hyödyntämällä itseisarvon etäisyystulkintaa huomataan, että haetaan sellaista pistettä, jonka etäisyys nollasta ja luvusta viisi on yhteensä 7. 2 p.
Huomataan, että x =-1 ja x =6 ovat ratkaisuja, sillä |-1| +|-1 -5| =7 ja |6| +|6 -5| =7. 2 p.
Muita ratkaisuja ei ole, sillä etäisyyksien summa kasvaa luvusta x =-1 vasemmalle ja luvusta x =6 oikealle ja niiden välissä se on alle 7. 2 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Keksitty ratkaisu ja tarkistettu, 1 p./ratkaisu. max 2 p.

4. Laskuvarjohyppääjä 12 p.

Mallinnetaan laskuvarjohyppääjän putoamisnopeutta funktiolla

v(t) =80 (e^(t/4) -1) /(e^(t/4) +1),

kun aikaa t mitataan sekunneissa hyppäyshetkestä t =0 alkaen ja nopeuden yksikkö on metriä sekunnissa.

Johda derivaattakaava

D(8 ln(e^(t/4) +1) -t) =(e^(t/4) -1) /(e^(t/4) +1).

Määritä hyppääjän ensimmäisen 20 sekunnin aikana putoama matka, joka saadaan integraalista

h =int_0^20 v(t) dt.
Derivoidaan lauseke 8 *ln(e^(t/4) +1) -t käyttämällä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä. Saadaan 8 *1/(e^(t/4) +1) *1/4 *e^(t/4) -1 (derivoitu 8 ln + sisäfunktion derivaatta + termin t derivointi), 3 p.
joka sievenee muotoon 2 e^(t/4) /(e^(t/4) +1) -1 =(2 e^(t/4) –(e^(t/4) +1)) /(e^(t/4) +1) =(e^(t/4) -1) /(e^(t/4) +1) (järkevä alku + lavennus + loppusievennys) 3 p.
Derivointikaavan nojalla kysytty integraali on int_0^20 80 *D(8 *ln(e^(t/4) +1) -t) dt (käytetty oikeaa ideaa derivaatan ja integraalin yhteydestä tämän tehtävän kontekstissa + oikein kirjoitettu lauseke) (2 p.)
=80 *[8 *ln(e^(t/4) +1) -t]_0^20 1 p.
STOP: Jos edelliset kaksi riviä eivät tuota yhtään pistettä, niin ei pisteitä jatkosta.
=80 *[(8 *ln(e^(20/4) +1) -20) -(8 *ln(e^(0/4) +1) -0)] =1160,68… ~~1200 metriä. (rajojen sijoitus + lasku + pyöristetty vastaus). 3 p.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Vastauspisteen voi antaa vain, jos vastaus on välillä 100 m–10 km.
Jos lauseke on derivoitu väärin, niin sievennyspisteitä annetaan max 2 p.
Kertoimen 80 ei tarvitse näkyä vielä rivillä 3. Jos se kuitenkin puuttuu loppuun asti, niin rivin 3 jälkimmäinen piste pois ja vastauspiste pois, koska vastaus on väärää suuruusluokkaa. Vastaavasti käsitellään ne tapaukset, joissa 80 on mukana, mutta integrointi on väärin.
Integraali on laskettu käyttämättä derivointikaavaa. –0 p.
Jos integraali on pyritty laskemaan käyttämättä derivointikaavaa, mutta integraalin johto on täysin virheellinen (esimerkiksi kirjoitettu vain 80 *int_0^20 (e^(t/4) -1) /(e^(t/4) +1) dt =80 *[ln |e^(t/4) +1|]_0^20), ei anneta pisteitä riveiltä 3 ja 4, eikä myöskään jatkosta.
Yksikkö puuttuu. –0 p.
Integraaleissa puuttuu integrointivakioita, dt tai muuta vastaavaa. –0 p.
Alkupiste: Logaritmi (ilman vakiota 8) tai e^(t/4) on osattu derivoida missä tahansa yhteydessä. 1 p.

B1-osa

5. Lämpötilaruudukko 12 p.

Lämpötilajakaumaa voidaan mallintaa ruudukolla, jossa ruudussa oleva luku on kyseisen ruudun lämpötila celsiusasteina. Lämpötilat noudattavat seuraavaa keskiarvoperiaatetta: jokaisen ruudun lämpötila on neljän naapuriruudun lämpötilan keskiarvo. Ruudut ovat naapuriruutuja, jos niillä on yhteinen sivu.

Tässä tehtävässä tutkitaan taulukon 5.A tilannetta. Siinä esimerkiksi lämpötila 15 toteuttaa keskiarvoperiaatteen mukaisen yhtälön

(0 +10 +20 +30) /4 =15.

Muodosta ruudukon tuntemattomille lämpötiloille x ja y keskiarvoperiaatteen mukaiset yhtälöt ja ratkaise ne.

Tehtävän kehyskertomus viittaa ratkaisun olemassaoloon, mutta matemaattinen tehtävänanto edellyttää kaikkien kolmen yhtälön käsittelyä täysien pisteiden saamiseksi. Kehyskertomuksen puutteellinen muotoilu on huomioitu antamalla matemaattisesti vaillinaisesta kahden yhtälön ratkaisusta peräti 10 pistettä.

Kehyskertomusta ei ole tällaisissa yo-tehtävissä perinteisesti hyväksytty korvaamaan ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden tarkastelua. Esimerkiksi kevään 2023 tehtävässä 5 (Taikaneliö), vähennettiin kaksi pistettä, ellei löydetyn ratkaisun varmistettu toteuttavan kaikkia neljää yhtälöä.

Muodostettu ensimmäinen yhtälö, 4 p.
toinen yhtälö 3 p.
ja kolmas yhtälö. 1 p.
Ratkaistu yhtälöt. 3 p.
riippumaton Todettu, ettei ratkaisuja ole (tai että tehtävässä on virhe). 1 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Oikeat yhtälöt: x =1/4 *(40 +y +50 +30), y =1/4 *(60 +80 +70 +x),
30 =1/4 *(15 +20 +30 +x).
Ennen viimeistä riviä ei vaadita sanallisia selityksiä. –0 p.
Johdettu kolme yhtälöä, mutta käytetty vain kahta ratkaisussa. (4+3+1+2+0) max 10 p.
TAI
Muodostettu ensimmäinen yhtälö 4 p.
ja toinen yhtälö. 3 p.
Ratkaistu yhtälöt (yhden muuttujan ratkaiseminen + sijoitus toiseen yhtälöön + toisen muuttujan ratkaiseminen). 3 p.
Muodostettu kolmas yhtälö ja sijoitettu saadut arvot siihen TAI muodostettu kolmas yhtälö ja ratkaistu yhtälöpari, jossa kolmas yhtälö on mukana. 1 p.
riippumaton Todettu, ettei ratkaisuja ole (tai että tehtävässä on virhe). 1 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Oikeista yhtälöpareista tulevat ratkaisut:
x =46 ja y =64 tai
x =55 ja y =100 tai
x =55 ja y= 66,25 (myös muodot 66#1/4 tai 66,3 tai 66 tai 265/4 kelpaavat).
Tarkasteltu vain kahta yhtälöä. (4+3+3+0+0) 		max 10 p.
Yhtälöparin ratkaisu annettu ilman mitään perusteluja. (4+3+1+0+0) max 8 p.
Yhtälöpari ratkaistu kokeilemalla ilman perustelua, että muita ratkaisuja ei ole. (4+3+2+0+0) max 9 p.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Käytetty yli tai alle neljää naapuria: ei pisteitä tästä, eikä mistään, missä tätä hyödynnetään. + 0 p.
Käytetty vääriä neljää naapuria, esim. vasen, ylä, ylä-oikea, oikea: -2 p./yhtälö kahdesta ensimmäisestä ja -1 p. kolmannesta.
Todennetun ristiriidan ilmaisemisen lisäksi annettu jotkut ratkaisut. –0 p.
Muodostettu lausekkeet, mutta ei oikeita yhtälöitä, esimerkiksi K_x = (40 +y +50 +30) /4, eikä missään kirjoitettu K_x =x, -1 p./vastaava yhtälörivi.

6. Piste hukassa 12 p.

Tason pisteen C etäisyys pisteestä A =(5, 4) on sqrt(20) ja etäisyys pisteestä B =(8, -2) on sqrt(65). Lisäksi pisteen C etäisyys pisteen B kautta kulkevasta, vektorin 5 vec i +2 vec j suuntaisesta suorasta s on alle 7. Määritä pisteen C koordinaatit sekä pisteen C tarkka etäisyys suorasta s.
Kirjoitetaan C =(x ,y) (1 p.)
Muodostetaan yhtälöt (x -5)^2 +(y -4)^2 =20 ja (x -8)^2 +(y +2)^2 =65. 2 p.
Yhtälöparin ratkaisuiksi saadaan esimerkiksi Solve-komennolla vaihtoehdot C =(9, 6) tai C =(1, 2). 2 p.
Pisteen B kautta kulkevan suoran yhtälö on y +2 =2/5 *(x -8) (eli -2 x +5 y +26 =0). 2 p.
Sijoitettu oikein toinen piste kaavaan "pisteen etäisyys suorasta". (1 p.)
Pisteen (9, 6) etäisyys suorasta on |-2 *9 +5 *6 +26| /sqrt((-2)^2 +5^2) (=38 /sqrt(29)) ~~7,06, 1 p.
ja pisteen (1, 2) etäisyys suorasta on |-2 *1 +5 *2 +26| /sqrt((-2)^2 +5^2) =(34 /sqrt(29)) ~~6,31. 1 p.
Kysytty piste on siis (1, 2) ja sen etäisyys suorasta on 34 /sqrt(29). (tai 34 *sqrt(29) /29). 2 p.
TAI ohjelmistolla
Sijoitettu A =(5, 4) ja B =(8, -2) koordinaatistoon. (1 p.)
Piirretty ympyrät, joiden keskipiste A ja säde sqrt(20) sekä keskipiste B ja säde sqrt(65). Yhtälöt tai käsky näkyvissä. 1+1 p.
Ympyröiden leikkauspisteiksi työkalulla tai komennolla (9, 6) ja (1, 2). 2 p.
Piirretty oikea suora ja perustelu. 2 p.
Laskettu toisen pisteen etäisyys suorasta. (1 p.)
Perustellusti pisteen (9, 6) etäisyys suorasta on yli 7 (7,06), 1 p.
ja pisteen (1, 2) etäisyys suorasta on alle 7 (6,31). 1 p.
Kysytty piste on siis (1, 2) ja sen etäisyys suorasta on 34 /sqrt(29) (tai 34 *sqrt(29) /29). 2 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Vertailun voi tehdä piirtämällä 7-säteisen ympyrän tai etäisyys-työkalulla laskemalla etäisyyden.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Väärä suora, mutta ainakin toinen leikkauspiste alle 7 yksikön etäisyydellä: rivin 4 pisteet pois. max 10 p.
Leikkauspisteet ilman perustelua esimerkiksi kokeilemalla (rivin 3 pisteet pois). max 10 p.
Ympyrän säteet likiarvoja (piste pois riviltä 2 ja vastausriviltä). max 10 p.
Jos on löydetty vain yksi piste, ei vastausriviltä voi saada pisteitä. Tyyppitapauksessa tämä on max 7.

7. Scrabble 12 p.

Englanninkielisessä Scrabble-pelissä pussissa on 100 laattaa, joista 2 on tyhjää, 56 konsonanttilaattaa ja 42 vokaalilaattaa. Vokaalilaatoista yhdeksässä on A-kirjain. Pelaaja nostaa pussista 7 laattaa palauttamatta niitä takaisin pussiin.

  1. Millä todennäköisyydellä ainakin yhdessä pelaajan nostamista laatoista on A-kirjain? (6 p.)

  2. Millä todennäköisyydellä ainakin yhdessä pelaajan nostamista laatoista on A-kirjain silloin, kun tiedetään pelaajan nostaneen kolme vokaalia? (6 p.)

(Kertolaskusäännön perusteella)
P(yhdessäkään laatassa ei ole A) =91/100 *90/99 *89/98 *88/97 *87/96 *86/95 (=24.527.243 /48.507.760 =0,50563...)
riippumaton Osoittajat alkavat luvusta 91 ja nimittäjät luvusta 100 ja on käytetty kertolaskua. 1 p.
riippumaton Osoittajat vähenevät aina yhdellä. 1 p.
riippumaton Nimittäjät vähenevät aina yhdellä. 1 p.
riippumaton Tulontekijöitä on seitsemän. 1 p.
TAI (7 laatan osajoukkojen lukumääriä laskemalla)
P(yhdessäkään laatassa ei ole A) =((91), (7)) /((100), (7)) (=24.527.243 /48.507.760 =0,50563...) (osoittajan binomikertoimen ylempi luku 91 + nimittäjän binomikertoimen ylempi luku 100 + kummankin binomikertoimen alempi luku 7 + binomikertoimien osamäärä) 4 p.
yhteinen loppu
P(ainakin yhdessä laatassa on A) =1 -P(yhdessäkään laatassa ei ole A) 1 p.
STOP: Seuraava piste annetaan vain, jos edellisestä 5 pisteestä saatu vähintään 4 pistettä.
(=23.980.517 /48.507.760 =0,494364…) ~~0,49. 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Vastata saa myös tarkalla arvolla tai prosenteilla.
Alkupiste: Luku 91 esiintyy laskuissa. 1 p.
Pelkät laskut ilman mitään selittäviä tekstejä. max 5 p.
Järkevään vastaukseen päädytty Pythonilla toteutetulla simulaatiolla ja vastaus välillä 0,48–0,51. max 4 p.
Laskettu toistokokeena 1 -(91/100)^7. (1+0+0+1+1+0) max 3 p.
Vokaalilaattoja on 42 kappaletta ja vokaalilaatoista 9 on A-laattoja, joten 33 vokaalilaatassa ei ole A-kirjainta. 1 p.
Perusjoukkona on kolmen laatan jonot tai kolmen laatan osajoukot. (1 p.)
(Kertolaskusäännön perusteella tai järjestettyjen jonojen lukumääriä laskemalla.)
P(yhdessäkään laatassa ei ole A) =33/42 *32/41 *31/40 (=682/1435 =0,475261...) 2 p.
TAI (Osajoukkojen lukumääriä laskemalla)
P(yhdessäkään laatassa ei ole A) =((33), (3)) /((42), (3)) (=682/1435 =0,475261...) 2 p.
TAI (1, 2 tai 3 A-kirjainta nostetuissa kolmessa vokaalilaatassa)
P(1 A-kirjain) =3 *9/42 *33/41 *32/40, P(2 A-kirjainta) =3 *9/42 *8/41 *33/40, P(3 A-kirjainta) =9/42 *8/41 *7/40 2 p.
STOP: Seuraavat pisteet vain, jos edelliseltä kahdelta riviltä on saatu vähintään 2 pistettä.
P(ainakin yhdessä laatassa on A) =1 -P(yhdessäkään laatassa ei ole A) (= 753/1435 =0,524738...) ~~0,52 (komplementin idea + vastaus). TAI
P(1 A-kirjain) +P(2 A-kirjainta) +P(3 A-kirjainta) (=753/1435 =0,524738...) ~~0,52 (summa + vastaus). 		2 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Pelkät laskut ilman mitään selittäviä tekstejä. max 4 p.
Laskettu toistokokeena 1 -(33/42)^3. (1+1+0+0) max 2 p.
TAI
Osatehtävä on ymmärretty seuraavasti: Pelaaja on nostanut kolme vokaalia ja nostaa vielä neljä laattaa. Millä todennäköisyydellä laatoista ainakin yksi on A?
Vokaalilaattoja on 42 kappaletta ja vokaalilaatoista 9 on A-laattoja, joten 33 vokaalilaatassa ei ole A-kirjainta. 1 p.
P(ainakin yksi A) =1 -P(ei yhtään A:ta) =
1 -P(kolmessa vokaalissa ei A:ta) *P(lopuissa neljässä laatassa ei A:ta) (pisteet vasta jälkimmäisestä muotoilusta, mutta tämä voi käydä ilmi myös seuraavan rivin lausekkeista) 		(2 p.)
=1 -33/42 *32/41 *31/40 *88/97 *87/96 *86/95 *85/94 ~~0,68014 ~~68 % (3 laatan käsittely + muut laatat + vastaus) 3 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Vastauspisteen voi saada, jos lausekkeesta on tunnistettavissa kolmen laatan ja neljän laatan osa, ja kolmen laatan osan laskuperiaate on oikea.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Kaikki tarkkuudet käyvät.

8. Taivaanmekaniikka 12 p.

Maapallo pyörii akselinsa ympäri. Akselin ja Maan kiertoradan tason (eli ratatason) normaalin välisen kulman suuruus on 23,5 astetta, ja akselin suunta pysyy samana Maan kiertäessä Aurinkoa. Akselin asento on sellainen, että pohjoisnapa on kesäpäivänseisauksena lähimpänä Aurinkoa ja talvipäivänseisauksena kauimpana siitä. Videossa 8.A on havainnollistettu tilannetta.

Määritä Maan akselin ja Auringosta Maahan kulkevan säteen välinen kulma kuukausi kesäpäivänseisauksen jälkeen. Maapallon kiertorata oletetaan tässä ympyräksi.
Ohjelmistolla tehty ratkaisu
riippumaton Kuukaudessa Maa liikkuu ympyräradalla 30 ^@ TAI 30/365 *360 ^@ ~~29,6 ^@. 1 p.
Kuvasta pisteitä seuraavasti (kuva voi olla vapaalla kädellä tai komennoilla piirretty):
Kuva esittää Maan liikettä Auringon ympäri, 1 p.
Kulman 23,5 ^@ (tai 66,5 ^@) merkitys ymmärretty ja se on kuvassa, 1 p.
Maa on kuvassa oikeassa paikassa eli 30 ^@ astetta näkyy kuvassa, 1 p.
Kysytty kulma näkyy kuvassa oikein, 2 p. 		max 5 p.
Kuva piirretty ohjelmistolla ja keskeiset käskyt näkyvissä (joko 0 tai 2 pistettä). 2 p.
Saatu vastaus täsmälleen 69,8 ^@.. \quad (~~69,79825 ^@)) 2 p.
Ratkaisu sisältää selityksen. 2 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Rivin 3 keskeiset käskyt ovat sellaisia, joissa kulmat 23,5 ^@ ja 30 ^@ esiintyvät tarkkoina arvoina esimerkiksi kiertokomennon tai trigonometrian avulla. Rivin 3 pisteitä ei saa mikäli nämä kulmat ovat vain likimäärin oikein. Käskyjen ei tarvitse olla näkyvissä ruudunkaappauksessa, mikäli ne on kerrottu sanallisesti.

Viimeisen rivin pisteet on mahdollista saada vaikkei saisi rivien 3–4 pisteitä esimerkiksi likimääräisellä Geogebra-ratkaisulla, joka selitysten kanssa olisi (1+5+0+0+2)

max 8 p.
TAI (Laskemalla tehty ratkaisu)
Kiinnitetään koordinaatisto, valitaan ratataso ja kesäpäivänseisauksen paikka. 2 p.
riippumaton Kuukaudessa Maa liikkuu ympyräradalla 30 ^@ TAI 30/365 *360 ^@ ~~29,6 ^@. 1 p.
Saatu Maan sijainti kuukausi kesäpäivänseisauksen jälkeen, esimerkiksi (cos(210^@), sin(210^@)) =(-1/2 *sqrt(3), -1/2). 2 p.
Saatu vektori Maasta Aurinkoon, esimerkiksi vec v =sqrt(3) /2 vec i +1/2 vec j +0 vec k. 3 p.
Saatu vektori, joka on samansuuntainen kuin maapallon akseli, esimerkiksi vec u =vec i + 0 vec j +tan(90 ^@ -23,5 ^@) vec k =vec i +0 vec j +tan(66,5 ^@) vec k. 2 p.
Lasketaan vektoreiden välinen kulma, ja saadaan täsmälleen 69,8 ^@ (~~69,79825 ^@). \quad(~~69,79825 ^@)) 2 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet
Esimerkki ensimmäisen rivin pisteistä: Koska tarkastellaan vain kulmia, voidaan normeerata tilanne niin, että Aurinko on origossa ja Maa kiertää Aurinkoa xy-tason yksikköympyrää pitkin. Oletetaan lisäksi, että Maa on kesäpäivänseisauksen aikaan pisteessä (-1, 0). Lisäksi voidaan olettaa, että Maa kiertää positiiviseen kiertosuuntaan.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Käytetty tyhjästä ilmestyvää deklinaatiokaavaa ja saatu vastaukseksi noin 69,6 ^@. 1 p.
Johdetulle deklinaatiokaavalle annetaan pisteitä sen mukaan, mitä ansioita yllä olevasta ohjeen ensimmäisten kuuden pisteen joukosta esiintyy. max 6 p.

9. Kääntyvä, muttei monotoninen 12 p.

Anna esimerkki funktiosta f: A -> B, jolla on käänteisfunktio, mutta joka ei ole monotoninen. Muista kertoa, mitkä ovat funktiosi määrittelyjoukko A ja arvojoukko B.
riippumaton Annettu funktion määrittelyjoukko A ja f(x) on määritelty kaikille x in A. 1 p.
riippumaton Annettu funktion arvojoukko B ={f(x) | x in A} oikein. 1 p.
riippumaton Annettu esimerkkifunktio ei ole monotoninen. 1 p.
riippumaton Annetulla esimerkkifunktiolla on (ainakin melkein) käänteisfunktio, eli funktio saa (melkein) kaikki arvonsa tarkalleen kerran (vertaa max 10 -rivi alla). 1 p.
STOP: Seuraavia perustelupisteitä voi saada vain, jos on saanut edelliset 2 riviä oikein.
Pyritty ratkaisemaan x lausekkeesta y =f(x) (saa ratkaista laskimella esimerkiksi Käänteis(f)-komennolla) TAI yritetty todistaa, että funktio saa kaikki arvonsa tarkalleen kerran. (2 p.)
Matemaattisesti täsmällinen perustelu, miksi funktiolla on käänteisfunktio f^-1: B -> A. 2 p.
Piirretty kuva, jonka mukaan funktio f ei ole monotoninen. (2 p.)
Matemaattisesti täsmällinen perustelu, miksi funktio f ei ole monotoninen. 2 p.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Funktio saa yksittäisiä arvoja enemmän kuin kerran tai virhe paloittain määritellyn funktion välien päätepisteissä (1+1+1+1+2+0+2+2). max 10 p.
Joukkoja A ja B ei ole annettu (0+0+1+1+2+0+2+2). max 8 p.
Esimerkkejä:
f: {1, 2, 3} -> {1, 2, 3}, jolle f(1) =2, f(2) =1 ja f(3) =3. Funktio f on oma käänteisfunktionsa, sillä f(f(1)) =1, f(f(2)) =2 ja f(f(3)) =3. Epämonotoninen: f(1) > f(2) ja 1 < 2, mutta f(3) > f(2), vaikka 2 < 3.
f(x) =1/x, määriteltynä joukoissa RR \\{0} -> RR \\{0}, tai vastaava funktio reaaliluvuilta reaaliluvuille, kun lisätään f(0) =0.
Funktio g: [0, 1] -> [0, 1], joka on määritelty lausekkeella g(x) =1/2 -x, kun 0 <= x <= 1/2, ja lausekkeella g(x) =x, kun x > 1/2.
Esimerkkejä saa myös muun muassa monotonisista funktioista muuttamalla yksittäisten pisteiden arvoja.

B2-osa

10. Tekoäly ja lukuteorian ihmeet 12 p.

Alkulukua q kutsutaan alkulukukaksoseksi, jos myös q +2 tai q -2 on alkuluku. Tekoälyltä kysyttiin, kuinka monta alkulukukaksosta on olemassa, ja sen vastaus on tekstissä 10.A. Vastaa aineiston pohjalta seuraaviin osatehtäviin.

  1. Anna esimerkki alkuluvusta, joka ei ole alkulukukaksonen. (3 p.)

  2. Onko tekoälyn alkulukukaksosen määritelmä yhtäpitävä tehtävän määritelmän kanssa? (3 p.)

  3. Onko tekoälyn perustelu alkulukukaksosten lukumäärän äärettömyydelle matemaattisesti pätevä? (6 p.)

Annettu esimerkki alkuluvusta q, joka ei ole alkulukukaksonen. 1 p.
Todettu, että kumpikaan luvuista q -2 ja q +2 ei ole alkuluku. 1+1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Ei vaadita perusteluja sille, että luvut q -2 ja q +2 eivät ole alkulukuja, ei myöskään sille, että q on alkuluku.
Esimerkki (3 p.): Luku 23 on alkuluku, mutta se ei ole alkulukukaksonen, sillä kumpikaan luvuista 25 =23 +2 tai 21 =23 -2 ei ole alkuluku.
Pisteohjeen toisen rivin perustelun voi tehdä myös niin, että antaa q:ta lähimmän suuremman alkuluvun ja lähimmän pienemmän alkuluvun, ja toteaa näiden olevan kauempana kuin 2 esimerkkinä annetusta alkuluvusta q.
Annettu esimerkkinä luonnollinen luku q, joka ei ole alkuluku, mutta on todettu oikein, että q +2 ja q -2 eivät ole alkulukuja. 1 p.
Yritetty perustella, että määritelmät ovat yhtäpitäviä (esimerkiksi tarkistamalla ne esimerkin tapauksessa). 1 p.
Todettu, että alkulukujen q ja q -2 tai q ja q +2 välissä on vain yksi positiivinen kokonaisluku TAI Tekoälyn selitys, että välissä on yksi luku, tarkoittaa samaa kuin että lukujen välinen etäisyys on kaksi, eli jos p ja q ovat alkulukukaksosia, niin (|p -q| =2 eli) p =q +2 tai p =q -2. 2 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Annettu yhtäpitävyyden perusteluksi esimerkki alkulukukaksosista. +0 p.
Yritetty perustella, että määritelmät eivät ole yhtäpitäviä. max 1 p.
Yritetty perustella, että tekoälyn päättely ei ole pätevä arvioimalla jotakin tekoälyn väitettä. 1 p.
riippumaton Annettu esimerkki epäloogisuudesta tekoälyn päättelyssä. 1 p.
Todettu, että tekoälyn väite siitä, että minkä tahansa kahden annetun alkuluvun välissä on alkulukukaksospari, ei pidä paikkaansa ja perusteltu edellinen vastaesimerkillä. 2+2 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Perustelupisteet yllä voi saada myös toteamalla, että myös alkulukukaksosten välissä pitäisi tekoälyn väitteen mukaan olla alkulukukaksospari, mikä on mahdotonta. Tässä ei tarvita erikseen vastaesimerkkiä.
Esimerkkejä:
Kahden alkuluvun välissä ei välttämättä ole vähintään yhtä positiivista kokonaislukua, kuten tekoäly väittää; alkulukujen 2 ja 3 välissä ei ole. (1+1+2) 4 p.
Kahden alkuluvun välissä ei välttämättä ole vähintään yhtä positiivista kokonaislukua, kuten tekoäly väittää; alkulukujen 1 ja 2 välissä ei ole. (1+0+1) 2 p.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Väitetään, että 1 on alkuluku, mutta ei käytetä tätä jatkossa. –0 p.

11. Brownin liike 12 p.

Vuonna 1827 kasvitieteilijä Robert Brown tutki mikroskoopilla, miten siitepölyhiukkanen liikkuu nykien vedessä. Brownin koe viittasi molekyylien olemassaoloon, ja sillä oli siten tärkeä rooli atomiteorian historiassa.

Tutkitaan yksinkertaistettua Brownin liikettä. Hiukkasen liike tasossa alkaa origosta. Tasaisin väliajoin hiukkanen liikkuu yhden yksikön verran joko ylös, alas, oikealle tai vasemmalle. Jokaisen suunnan todennäköisyys on 1/4. Esimerkiksi ensimmäisen askeleen jälkeen mahdolliset sijainnit ovat (0, 1), (0, -1), (1, 0) ja (-1, 0).

Tutkitaan hiukkasen sijaintia neljän askeleen jälkeen. Kutsutaan tätä päätepisteeksi.

Määritä päätepisteen kaikki mahdolliset x-koordinaatit sekä niiden todennäköisyydet.

Mahdolliset päätepisteet ovat {-4, …, 4} TAI kuva ruudukosta, johon on merkitty 25 tai 41 pistettä TAI 4^4. (1 p.)
Päätepisteen x =4 todennäköisyys on 1/256. 1 p.
riippumaton Symmetrian nojalla sama pätee arvolle x =-4 TAI vastaava päättely kaikille pisteille ilman selvää viittausta symmetriaan TAI laskettu kaikki negatiiviset arvot oikein. 1 p.
Idea, että tiettyyn päätepisteeseen päästään eri reittejä. (1 p.)
Yritys laskea hankalampien reittien lukumääriä ryhmittelemällä niitä tai muilla perusteilla (toteutuksessa mahdollisesti virheitä) +
päätepisteeseen x =3 liittyy 8 reittiä ja todennäköisyys on siis 8/256. 		1+1 p.
Johtopäätöksenä: Oikeat vastaukset: x =2, todennäköisyys 28/256;
x =1, todennäköisyys 56/256 ja x =0, todennäköisyys 70/256
(ensimmäisenä laskettu 2 p., muut 1 p.). 		2+1+1 p.
Selkeät ja oikeat perustelut kaikkien reittien lukumäärille (1 p., jos vain yksi pieni virhe). 2 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Toiseksi viimeiseltä riviltä viimeisen pisteen voi saada myös käyttämällä komplementtia oikein, vaikka muut luvut olisivat väärin ja puutteellisesti perusteltu.

Jos laskut antavat pienen virheen takia systemaattisesti väärät arvot tai ei päästä todennäköisyyksiin asti voi toiseksi viimeisen rivin pisteistä antaa osan virheen/puutteen suuruuden mukaan.

Laskettu todennäköisyydet kaikille xy-tason päätepisteille summaamatta x-koordinaattien mukaan: max 1+1+1+1+(1+0)+(1+0+0)+2

max 8 p.
TAI ohjelmointiratkaisu
Näytetty järkevänoloinen ohjelmakoodi eri vaihtoehtojen laskemiseksi. 3 p.
Oikeat vastaukset tapauksille x in {0, …, 4} (1 p./tapaus). 5 p.
Oikeat vastaukset negatiivisille x. 1 p.
Selkeä kuvaus ohjelmakoodin toimintalogiikasta, joka takaa, että se ratkaisee oikean ongelman. 3 p.
Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Jos ohjelma antaa pienen virheen takia systemaattisesti väärät arvot, voi rivien 2–3 pisteistä antaa osan virheen suuruuden mukaan.

TAI ratkaisu ekvivalenttia prosessia tarkastelemalla

Tutkitaan vaihtoehtoista prosessia, jossa siirretään kahdeksan kertaa puoli askelta oikealle tai vasemmalle, kumpikin todennäköisyydellä 1/2. Kahden tällaisen askeleen jälkeen todennäköisyys liikkua askel oikealle tai vasemmalle on 1/4 ja todennäköisyys pysyä paikallaan on 1/2. Tästä seuraa, että vaihtoehtoisen prosessin päätepisteiden todennäköisyydet ovat samat kuin alkuperäisen prosessin.

8 p.
Johtopäätöksenä: Päätepisteen x =c todennäköisyys on binomijakauman mukaisesti 1 /2^8 *((8), (4 +c)). 4 p.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Kaikki tarkkuudet ja murtoluvut supistettuna tai supistamatta käyvät. Oikeat luvut:
1/256 =0,00390625; \quad 8/256 =1/32 =0,03125; \quad 28/256 =7/64 =0,109375;
56/256 =7/32 =0,21875; \quad 70/256 =35/128 =0,2734375.

12. Potensseja aritmeettisissa lukujonoissa 12 p.

  1. Olkoon k > 0 kokonaisluku. Osoita, että jos päättymätön kasvava aritmeettinen lukujono sisältää luvut k^2 ja k^3, niin se sisältää luvun k^4. (6 p.)

  2. Osoita, että jos r^2, r^3 ja r^4 sisältyvät aritmeettiseen lukujonoon, niin r on rationaaliluku. (6 p.)

Aritmeettisessa jonossa peräkkäisten jäsenten erotus on vakio d TAI ''differenssi on d'' TAI a_(n +1) -a_n =d. 1 p.
Olkoon jonossa jäsenet k^2 ja k^3, jolloin
k^3 =k^2 +L d (missä L on kokonaisluku) TAI k^2 =a_1 +m d ja k^3 =a_1 +n d. 		2 p.
Koska k^4 =k^3 + k L d (ja k L in NN), TAI saatu k ^4 =a_1 +s d, missä s in NN,
on myös k^4 lukujonossa. 		3 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Alkupiste: Annettu esimerkki aritmeettisesta jonosta. 1 p.
Yritetty todistaa tulos jollekin konkreettiselle luvun k arvolle. +0 p.
Kirjoitettu vain k^3 -k^2 =d selittämättä mikä d on. 0+1+0 1 p.
Oletettu, että jonossa on luku k. –1 p.
Oletettu, että k^2 ja k^3 ovat peräkkäiset (L =1). (1+1+1) max 3 p.
Pelkkä Solve(k^4 =k^2 +x (k^3 -k^2), x) --> x =k +1 in NN. (1+1+1) max 3 p.
Esitetyssä todistuksessa ongelma (esimerkiksi jako nollalla), jos k =1. –0 p.
Merkitään lukujonon peräkkäisten jäsenten erotusta muuttujalla d.
Tällöin on olemassa kokonaisluvut n ja m, joille r^3 -r^2 =n d ja r^4 -r^3 =m d aritmeettisen lukujonon määritelmän nojalla. (kokonaislukuisuus + 2 yhtälöä tässä muodossa) 		3 p.
Jos n !=0, niin r =(r^4 -r^3) /(r^3 -r^2) =m /n on rationaaliluku. 2 p.
riippumaton Jos n =0, niin r =0 tai r =1. 1 p.
Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet
Merkitty, että r^4 -r^3 =r^3 -r^2 --> r =0 tai r =1. (0+0+1) max 1 p.

13. Raja-arvo 12 p.

Ohjelmiston mukaan

lim_(x -> 0) (1 /x^2 –(sin x) /x^3) =1/6.

Perustele tämä tulos seuraavien välivaiheiden avulla.

[i] Osoita, että x -sin x -1/6 x^3 <= 0. kun 0 <= x <= 1.

[ii] Osoita, että x -sin x -1/6 x^3 +1/120 x^5 <= 0, kun 0 <= x <= 1.

[iii] Osoita, että 1/6 x^3 -1/120 x^5 <= x -sin x <= 1/6 x^3, kun 0 <= x <= 1.

[iv] Osoita, että 1/6 x^3 -1/120 x^5 <= x -sin x >= 1/6 x^3, kun -1 <= x <=0.

[v] Perustele näiden epäyhtälöiden avulla, että raja-arvo on 1/6.

Välivaiheita voi perustella toisistaan riippumattomasti. Esimerkiksi vaiheen [iv] osapisteet saa osoittamalla, että se seuraa vaiheesta [iii], riippumatta siitä, onko vaihe [iii] todistettu. Sama pätee muihinkin vaiheisiin.

riippumaton (i) Osoitetaan aluksi epäyhtälö x -sin x -1/6 x^3 <= 0. Kirjoitetaan f(x) =x -sin x -1/6 x^3, jolloin f’(x) =1 -cos x -1/2 x^2, f’’(x) =sin x -x ja f’’’(x) =cos x -1 <= 0.

Siispä kolmas derivaatta on korkeintaan nolla, ja koska f’’(0) =0, on toinenkin derivaatta korkeintaan nolla, ja koska f’(0) =0 ja ensimmäinen derivaatta on vähenevä, on alkuperäinen funktio vähenevä.

Lisäksi f(0) =0, joten epäyhtälö pätee.

1+1+1 p.
riippumaton (ii) Osoitetaan nyt epäyhtälö x -sin x -1/6 x^3 +1/120 x^5 >= 0. Kirjoitetaan g(x) =x -sin x -1/6 x^3 +1/120 x^5. Nyt g’’(x) =-f(x). Vastaavalla päättelyllä kuin jolla epäyhtälö osoitettiin funktiolle f, saadaan haluttu epäyhtälö funktiolle g. 3 p.
riippumaton (iii) Koska f(x) <= 0, niin x -sin x <= 1/6 x^3, ja koska g(x) >= 0, on x -sin x >= 1/6 x^3 -1/120 x^5. Siispä 1/6 x^3 -1/120 x^5 <= x -sin x <= 1/6 x^3 välillä 0 <= x <= 1. 2 p.
riippumaton (iv) Koska f ja g ovat parittomia, kääntyvät epäyhtälöt, kun siirrytään välille -1 <= x <= 0, eli tällöin pätee 1/6 x^3 <= x -sin x <= 1/6 x^3 -1/120 x^5. (Ensimmäinen piste ideasta ilman selvää parittomuuden käyttöä, esimerkiksi kertomalla puolittain -1:llä ja toteamalla, että epäyhtälöt kääntyvät.) 2 p.
riippumaton (v) Nyt 1 /x^3 *1/6 x^3 -> 1/6, kun x -> 0, ja 1 /x^3 *(1/6 x^3 -1/120 x^5) -> 1/6, ja tutkittava raja-arvo jää näiden väliin, eli sen on myös oltava 1/6. 2 p.
Tehtäväkohtaiset erillisohjeet
Kohdassa (i) ratkaistu f’(x) =0 numeerisesti ja päätelty siitä epäyhtälö (esimerkiksi testattu derivaatan merkki, todettu f väheneväksi ja f(0) =0 tai Bolzanon lause), 1 p. Sama funktiolle g kohdassa (ii) myös 1 p. 1+1 p.
Yritetty edellisen kommentin päättelyä, mutta päätelty derivaatan nollakohdan puuttuminen ohjelmiston epämääräisestä vastauksesta (''?'' tai vastaava) tai monotonisuus/Bolzano ei tule eksplisiittisesti esiin, kohdista (i) ja (ii) yhteensä max 1 p.
Käytetty ensimmäisen derivaatan numeerista nollakohtaa muissa kohdissa kuin (i) tai (ii). +0 p.
Käytetty osoituksessa fmax- tai fmin-komentoa. +0 p.
Epäyhtälöt voidaan todistaa myös sarjakehitelmiä käyttäen. Esimerkiksi sin x =x -1/3! x^3 +1/5! x^5 -1/7! x^7 +… Tässä 1 /(2 k -1)! x^(2 k -1) -1 /(2 k +1)! x^(2 k +1) =x^(2 k -1) /(2 k -1)! *(1 -x^2 /[2 k *(2 k +1)] > 0 välillä 0 <= x <= 1. Siispä sin x =x -1/3! x^3 +1/5! x^5 -1/7! x^7 +… >= x -1/3! x^3, mikä todistaa ensimmäisen epäyhtälön.