Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, lång lärokurs

20.3.2024

Slutgiltiga beskrivningar av goda svar 14.5.2024

Grunderna enligt vilka bedömningen gjorts framkommer i de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar. Uppgiften om hur bedömningsgrunderna tillämpats på examinandens provprestation utgörs av de poäng som examinanden fått för sin provprestation, de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar och de föreskrifter gällande bedömningen som nämnden gett i sina föreskrifter och anvisningar. De slutgiltiga beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svarsalternativ eller alla godkända detaljer i ett godkänt svar. Eventuella bedömningsmarkeringar i provprestationerna anses vara jämställbara med anteckningar och sålunda ger de, eller avsaknaden av markeringar, inte direkta uppgifter om hur bedömningsgrunderna tillämpats på provprestationen.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal i den högra kolumnen för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Examinanden får poäng i parentes genom att uppfylla den radens villkor eller villkoret på följande rad, om följande rad är i skick, och det inte framgår explicit att föregående rad har gjorts fel.
  • Om inget annat anges, godkänns även en gällande siffra fler eller färre än i anvisningarna.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med texten exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40. Texten ganska exakt betyder att talen och uträkningarna måste vara i skick, men att det kan finnas brister i motiveringar och förklaringar.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Beteckningen poäng oberoende av de ovanstående raderna betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter denna rad på normalt sätt.
    • Beteckningen oberoende betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad.
    • Beteckningen som slutsats: poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
    • Ordet STOP betyder att raden beskriver villkor som måste uppfyllas för att kunna få poäng för den fortsatta lösningen.
  • Terminologi
    • ''Svar räcker'' betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • ''Startpoäng'' betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • ''maxN'' betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • ''Svaret endast som närmevärde'' betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (t.ex. noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (t.ex. e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (t.ex. x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (t.ex. parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt ''i kedja'', m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.

Del A

1. Vinkeljakt 12 p.

Bestäm de sex obekanta vinklar som är betecknade i figurerna med en grads noggrannhet.

I den här uppgiften ska du endast skriva in de slutliga resultaten av uträkningarna utan mellansteg och motiveringar i svarsfälten. Svaret på varje deluppgift är ett heltal.

1.1 Bestäm vinkeln \alpha. 2 p.

  • 60 (2 p.)

1.2 Bestäm vinkeln \beta. 2 p.

  • 25 (2 p.)

1.3 Bestäm vinkeln \gamma. 2 p.

  • 51 (2 p.)

1.4 Bestäm vinkeln \delta. 2 p.

  • 47 (2 p.)
  • –47 (1 p.)
  • 43 (1 p.)

1.5 Bestäm vinkeln \epsilon. 2 p.

  • 24 (2 p.)

1.6 Bestäm vinkeln \zeta. 2 p.

  • 62 (2 p.)

2. Polynom 12 p.

I den här uppgiften ska du endast skriva in de slutliga resultaten av uträkningarna utan mellansteg och motiveringar i svarsfälten. Svaret på varje deluppgift är ett heltal.

2.1 3 p.

  • 104 (3 p.)
  • 96 (1 p.)
  • 56 (1 p.)

2.2 3 p.

  • 40 (3 p.)
  • 148 (1 p.)

2.3 3 p.

  • 51 (3 p.)
  • 45 (1 p.)
  • 49 (1 p.)

2.4 3 p.

  • 96 (3 p.)
  • 48 (1 p.)
2.1: 96 (saknas 4x) (1 p.) 56 (har räknat 12x^2+4x) (1 p.)
2.2: 148 (beräknat i x = 2) (1 p.)
2.3: 45 (integrerat 12x^3) (1 p.) 49 (integrerat 12x^3, men har kvar 4x) (1 p.)

3. Absolutbeloppsekvationer 12 p.

Lös följande ekvationer algebraiskt eller geometriskt.

  1. |y+3|=|y+5|. (6 p.)

  2. |x|+|x-5|=7. (6 p.)

Absolutbeloppsekvationen uppfylls då y+3=-(y+5) eller y+3=y+5. (Båda måste nämnas för att få poäng på den här raden. Om man gjort raderna 2–3, får man också de här poängen.) 2 p.
oberoende Om y+3=-(y+5), så är 2y=-8, dvs y=-4. 2 p.
oberoende Om y+3=y+5, så är 0=2, dvs lösning saknas. 2 p.
Denna lösning har specialanvisningar
Absolutbeloppen bara försvinner i början och vi får ekvationen y+3=y+5 som saknar lösning. (0+0+2) max 2 p.
ELLER (uppdelat i fall)
oberoende Fått -3-y=-y-5 eller y+3=y+5 / konstaterat att ekvationen saknar lösning / även fått den andra ekvationen och konstaterat att den också saknar lösning. 3 p.
oberoende Då -5\leq y\leq -3 / får vi -3-y=y+5 / som har lösningen y=-4
ELLER har fått -3-y=y+5 / som har lösningen y=-4 / kontrollerat lösningen i den ursprungliga ekvationen. 		3 p.
Denna lösning har specialanvisningar
I lösningen ingår även en fjärde ekvation y+3=-y-5. –0 p.
ELLER (geometrisk lösning)
Geometriskt sett söker vi efter ett tal vars avstånd till talen -5 och -3 är lika stora. 2 p.
Talet -4 uppfyller villkoret eftersom avståndet till båda talen är 1. 2 p.
Det finns inga andra lösningar eftersom alla andra tal är närmare någotdera av talen. 2 p.
ELLER (kvadrering som lösningsmetod)
Vi kvadrerar / använt (|\ldots|)^2 = (\ldots)^2. 1+1 p.
Vi får y^2+6y+9=y^2+10y+25, som förenklas till formen 4y=-16, 2 p.
och har lösningen y=-4. 2 p.
Specialanvisningar för deluppgift
Hittat y=-4 och kontrollerat lösningen 1 p.
oberoende Då x<0 (eller kontroll i slutet) / får vi ekvationen -x-x+5=7 med lösningen x=-1. 2 p.
oberoende Fått x-x+5=7 / konstaterat att ekvationen saknar lösning. 2 p.
oberoende Då x>5 (eller kontroll i slutet) / får vi ekvationen x+x-5=7 med lösningen x=6. 2 p.
Denna lösning har specialanvisningar
I lösningen ingår även en fjärde ekvation -x+(x-5)=7. –0 p.
Absolutbeloppen bara försvinner i början och vi får ekvationen 2x-5=7 med lösningen x=6. (0+0+1) max 1 p.
ELLER
Vi flyttar termen |x| till andra ledet varvid ekvationen antar formen |x-5|=7-|x|.
Vi kan kvadrera båda leden och få x^2-10x+25=49-14|x|+x^2. 1 p.
Förenkling ger 14|x|=24+10x, dvs 7|x|=12+5x. Kvadrering ger 49x^2=144+120x+25x^2, 1 p.
som går att förenkla till 24x^2-120x-144=0, dvs x^2-5x-6=0, 1 p.
med lösningarna x=-1 och x=6. 1 p.
Tilläggsvillkoren för kvadrering (2 st) eller kontroll i slutet (1 p./lösning) 2 p.
Denna lösning har specialanvisningar
Om absolutbeloppen avlägsnats helt fel ges inga poäng för fortsättningen. Om man till exempel på första raden kombinerar absolutbeloppen felaktigt och får ekvationen |2x-5|=7 eller (2x-5)^2=7^2 med lösningen x=-1 eller x=6, så får man 0 p., men om man dessutom kontrollerar dem i den ursprungliga ekvationen så får man 2 p.
ELLER
Genom att rita punkterna på en tallinje eller genom att tolka absolutbeloppet som ett avstånd, ser vi att vi söker punkter vars sammanlagda avstånd från talen 0 och 5 är 7. 2 p.
Vi märker att x=-1 och x=6 är lösningar eftersom |-1|+|-1-5|=7 och |6|+|6-5|=7. 2 p.
Det finns inga andra lösningar eftersom summan av avstånden växer då vi befinner oss till vänster om x=-1 eller till höger om x=6, medan summan av avstånden är mindre än 7 då vi är mellan dem. 2 p.
Specialanvisningar för deluppgift
Hittat en lösning och kontrollerat den, 1 p./lösning. max 2 p.

4. En fallskärmshoppare 12 p.

Vi gör en modell av fallhastigheten för en fallskärmshoppare med funktionen

v(t) = 80\, \frac{e^{t/4}-1}{e^{t/4}+1},

där tiden t mäts i sekunder från hoppögonblicket t=0 och enheten för hastigheten är meter per sekund.

Härled derivataformeln

D\left(8\ln \bigl(e^{t/4}+1\bigr)-t\right) = \frac{e^{t/4}-1}{e^{t/4}+1}.

Bestäm den sträcka som hopparen faller under de 20 första sekunderna, vilken beräknas med integralen

h = \int_0^{20} v(t)\, dt.

Vi deriverar uttrycket 8\ln (e^{t/4}+1)-t genom att använda deriveringsregeln för en sammansatt funktion. Vi får 8\cdot \frac{1}{e^{t/4}+1}\cdot \frac{1}{4}e^{t/4}-1 (deriverat 8\ln + inre funktionens derivata + derivering av termen t), 3 p.
som går att förenkla till \frac{2e^{t/4}}{e^{t/4}+1}-1=\frac{2e^{t/4}-(e^{t/4}+1)}{e^{t/4}+1}=\frac{e^{t/4}-1}{e^{t/4}+1} (vettig början + förlängning + slutförenkling) 3 p.
Utifrån deriveringsformeln är den efterfrågade integralen \int_0^{20} 80\, D\big(8\ln (e^{t/4}+1)-t\big) \;dt (använt rätt idé vad gäller sambandet mellan derivata och integral i kontext till denna uppgift + korrekt skrivet uttryck) (2 p.)
= 80\left[8\ln (e^{t/4}+1)-t\right]_0^{20} 1 p.
STOP: Om de två föregående raderna inte ger en enda poäng så får man inga poäng för resten.
=80\left((8\ln(e^{20/4}+1)-20)-(8\ln (e^{0/4}+1)-0)\right)=1160{,}68\ldots \approx 1 \, 200 meter. (insättning av integrationsgränserna + uträkning + avrundat svar). 3 p.
Uppgiftsspecifika specialanvisningar
Svarspoängen ges endast om svaret ligger i intervallet 100 m–10 km.
Om uttrycket är fel deriverat ger förenklingarna max 2 p.
Faktorn 80 behöver inte ännu synas på rad 3. Om den däremot saknas ända till slutet så får man inte den senare poängen på rad 3 och inte heller svarspoängen eftersom svarets storleksordning är fel. På motsvarande sätt behandlas de fall där talet 80 är med men integreringen är felaktig.
Integralen har beräknats utan att använda deriveringsformeln. –0 p.
Då man försökt beräkna integralen utan deriveringsformeln, men integreringen är helt felaktig (exempelvis om man enbart skrivit 80\int_0^{20}\frac{e^{t/4}-1}{e^{t/4}+1}dt=80\left[\ln|e^{t/4}+1|\right]_0^{20}), ges inga poäng från raderna 3 och 4 och inte heller för fortsättningen.
Enheten saknas. –0 p.
I integralerna saknas integrationskonstanter, dt eller motsvarande. –0 p.
Startpoäng: Man har kunnat derivera logaritmen (utan konstanten 8) eller e^{t/4} i vilket sammanhang som helst. 1 p.

Del B1

5. Temperaturrutfält 12 p.

Man kan göra en modell av en temperaturfördelning med ett rutfält, där talet i en ruta är ifrågavarande rutas temperatur i celsiusgrader. Temperaturerna följer följande medelvärdesprincip: varje rutas temperatur är medelvärdet av de fyra grannrutornas temperaturer. Rutorna är grannrutor om de har en gemensam sida.

I den här uppgiften undersöks situationen i tabell 5.A. Där uppfyller exempelvis temperaturen 15 enligt medelvärdesprincipen ekvationen

\frac{0+10+20+30}4 =15.

Bilda de ekvationer som uppfyller medelvärdesprincipen för de obekanta temperaturerna x och y i rutfältet och lös ekvationerna.

Uppgiftsbeskrivningen syftar språkligt sett på att det finns en lösning men matematiskt sett krävs att alla tre ekvationerna behandlas för att få fulla poäng. Den språkligt vaga formuleringen har beaktats genom att ge så mycket som 10 poäng för en matematiskt ofullständig lösning.

Språkliga motiveringar har inte heller tidigare godkänts som motivering för lösningars existens eller som undersökning av entydighet. Exempelvis i uppgift 5 (En magisk kvadrat) våren 2023, förlorade man två poäng om man inte kontrollerade att den funna lösningen uppfyller alla fyra ekvationerna.

Har bildat första ekvationen 4 p.
och andra ekvationen 3 p.
och tredje ekvationen. 1 p.
Har löst ekvationerna. 3 p.
oberoende Har konstaterat att lösning saknas (eller att det finns ett fel i uppgiften). 1 p.
Denna lösning har specialanvisningar
De korrekta ekvationerna: x=\frac{1}{4}(40+y+50+30), y=\frac{1}{4}(60+80+70+x),
30=\frac{1}{4}(15+20+30+x).
Före sista raden krävs inga förklaringar med ord. –0 p.
Man har härlett tre ekvationer men endast använt två av dem i lösningen. (4+3+1+2+0) max 10 p.
ELLER
Har bildat första ekvationen 4 p.
och andra ekvationen. 3 p.
Löst ekvationerna (löst den ena variabeln + insättning i den andra ekvationen + löst den andra variabeln). 3 p.
Har bildat den tredje ekvationen och satt in värdena i den ELLER har bildat den tredje ekvationen och löst ett ekvationspar där den tredje ekvationen ingår. 1 p.
oberoende Konstaterat att lösning saknas (eller att det är ett fel i uppgiften). 1 p.
Denna lösning har specialanvisningar
De korrekta ekvationsparen har lösningarna:
x=46 och y=64 eller
x=55 och y=100 eller
x=55 och y=66{,}25 (även formerna 66 \,\frac14 eller 66,3 eller 66 eller \frac{265}{4} duger).
Har endast beaktat två ekvationer. (4+3+3+0+0) 		max 10 p.
Har gett lösningen till ekvationsparet helt utan motiveringar. (4+3+1+0+0) max 8 p.
Har löst ekvationsparet genom prövning utan att motivera att det inte finns andra lösningar. (4+3+2+0+0) max 9 p.
Uppgiftsspecifika specialanvisningar
Använt fler eller färre än fyra grannar: inga poäng för detta och inte heller för något där detta används. + 0 p.
Har använt fyra felaktiga grannar, exempelvis vänster, ovanför, ovanför till höger och höger: -2 p./ekvation för de två första ekvationerna och -1 p. för den tredje.
Har konstaterat att det finns en motstridighet men ändå gett något svar. –0 p.
Har bildat korrekta uttryck, exempelvis K_x=\frac{40+y+50+30}{4}, men har inte skrivit K_x=x någonstans, -1 p./ifrågavarande ekvation.

6. En borttappad punkt 12 p.

Avståndet från punkten C i planet till punkten A=(5, 4) är \sqrt{20} och avståndet till punkten B=(8, -2) är \sqrt{65}. Dessutom är avståndet från punkten C till den linje s, som går genom punkten B och som är parallell med vektorn 5\,\overline{i}+2\,\overline{j} mindre än 7. Bestäm koordinaterna för punkten C samt det exakta avståndet från punkten C till linjen s.

Vi skriver C =(x ,y). (1 p.)
Vi bildar ekvationerna (x -5)^2 +(y -4)^2 =20 och (x -8)^2 +(y +2)^2 =65. 2 p.
Vi löser ekvationsparet till exempel med kommandot Solve och får alternativen C =(9, 6) eller C =(1, 2). 2 p.
Linjen som går genom punkten B har ekv. y+2=\frac{2}{5}(x-8) (dvs -2x+5y+26=0). 2 p.
Korrekt insättning av en punkt i formeln "avstånd från en punkt till en linje". (1 p.)
Avståndet från punkten (9,6) till linjen är \frac{|-2\cdot 9+5\cdot 6+26|}{\sqrt{(-2)^2+5^2}} \ \Big(= \frac{38}{\sqrt{29}} \Big)\approx 7{,}06, 1 p.
och avståndet från punkten (1,2) till linjen är \frac{|-2\cdot 1+5\cdot 2+26|}{\sqrt{(-2)^2+5^2}}\ \Big(=\frac{34}{\sqrt{29}} \Big) \approx 6{,}31. 1 p.
Den efterfrågade punkten är alltså (1, 2) och avståndet till linjen är 34 /sqrt(29). (eller \frac{34\sqrt{29}}{29}). 2 p.
ELLER med programvara
Insättning av punkterna A = (5, 4) och B = (8, -2) i ett koordinatsystem. (1 p.)
Ritat cirklar med medelpunkten A och radien \sqrt{20} respektive medelpunkten B och radien \sqrt{65}. Ekvationerna eller kommandot syns. 1+1 p.
Cirklarnas skärningspunkter med verktyg eller kommando: (9,6) och (1,2). 2 p.
Ritat korrekt linje och motivering. 2 p.
Beräknat avståndet från en av punkterna till linjen. (1 p.)
Beräknat/motiverat varför avståndet från punkten (9,6) till linjen är större än 7 (7{,}06) 1 p.
och avståndet från punkten (1,2) till linjen är mindre än 7 (6{,}31). 1 p.
Den efterfrågade punkten är alltså (1,2) och avståndet till linjen är \frac{34}{\sqrt{29}} (eller \frac{34\sqrt{29}}{29}). 2 p.
Denna lösning har specialanvisningar
Jämförelsen kan göras genom att rita en cirkel med radien 7 eller genom att beräkna avståndet med verktyget avstånd.
Uppgiftsspecifika specialanvisningar
Fel linje men åtminstone den ena skärningspunktens avstånd till linjen är mindre än 7: poängen på rad 4 tas bort. max 10 p.
Fått skärningspunkterna utan motivering exempelvis med prövning (poängen på rad 3 tas bort). max 10 p.
Använt närmevärden för cirklarnas radier (en poäng bort på rad 2 och en poäng bort på svarsraden). max 10 p.
Om endast en punkt hittats får man inga poäng på svarsraden. I typiska fall är detta max 7.

7. Scrabble 12 p.

I påsen som ingår i det engelskspråkiga spelet Scrabble finns 100 brickor, av vilka 2 är tomma, 56 är konsonantbrickor och 42 vokalbrickor. På nio av vokalbrickorna står bokstaven A. En spelare tar upp 7 brickor ur påsen utan att lägga dem tillbaka.

  1. Med vilken sannolikhet står bokstaven A på minst en av de brickor som spelaren tar upp? (6 p.)

  2. Med vilken sannolikhet står bokstaven A på minst en av brickorna som spelaren tar upp, då vi vet att spelaren har tagit upp tre vokaler? (6 p.)

(Med multiplikationsregeln)
P(\textrm{ingen bricka har A)}=\frac{91}{100}\cdot\frac{90}{99}\cdot \frac{89}{98}\cdot \frac{88}{97}\cdot \frac{87}{96}\cdot \frac{86}{95}\cdot \frac{85}{94}\,\, (=\frac{24527243}{48507760}=0\mathrm{,}50563\dots)
oberoende Täljarna börjar från talet 91 och nämnarna från talet 100 och man har använt multiplikation. 1 p.
oberoende Täljarna minskar alltid med 1. 1 p.
oberoende Nämnarna minskar alltid med 1. 1 p.
oberoende Antalet faktorer är 7. 1 p.
ELLER (med delmängder av 7 brickor)
P(\textrm{ingen bricka har A)}=\frac{\binom{91}{7}}{\binom{100}{7}}(=\frac{24527243}{48507760}=0\mathrm{,}50563\dots) (det övre talet i täljarens binomialkoefficient är talet 91 + det övre talet i nämnarens binomialkoefficient är talet 100 + båda binomialkoefficienternas nedre tal är talet 7 + binomialkoefficienternas kvot) 4 p.
gemensamt slut
P(\textrm{åtminstone en bricka har A)}=1-P(\textrm{ingen bricka har A)} 1 p.
STOP: Följande poäng ges endast om man fått minst 4 poäng av föregående 5 poäng.
(=\frac{23980517}{48507760}=0\mathrm{,}494364\dots )\approx 0\mathrm{,}49. 1 p.
Specialanvisningar för deluppgift
Svaret får också ges exakt eller i procent.
Startpoäng: Talet 91 syns i uträkningarna. 1 p.
Endast beräkningar utan förklarande texter. max 5 p.
Simulering med Python som har lett till ett vettigt svar i intervallet 0,48–0,51. max 4 p.
Beräknat som ett upprepat försök 1-\left(\frac{91}{100}\right)^7. (1+0+0+1+1+0) max 3 p.
Det finns 42 vokalbrickor och 9 av dem är A-brickor, vilket betyder att 33 av vokalbrickorna inte har bokstaven A. 1 p.
Som utfallsrum köer med tre brickor eller delmängder med tre brickor. (1 p.)
(Med multiplikationsregeln eller genom att beräkna ordnade köer.)
P(\textrm{ingen bricka har A}) =\frac{33}{42}\cdot \frac{32}{41}\cdot \frac{31}{40}\, (=\frac{682}{1435}=0{,}475261…) 2 p.
ELLER (Med delmängder)
P(\textrm{ingen bricka har A)}=\frac{\binom{33}{3}}{\binom{42}{3}}\,\, (=\frac{682}{1435}=0\mathrm{,}475261\dots) 2 p.
ELLER (1, 2 eller 3 A-bokstäver bland de tre vokalbrickorna)
P(\textrm{1 A-bokstav)}=3\frac{9}{42}\frac{33}{41}\frac{32}{40}, P(\textrm{2 A-bokstäver)} = 3\frac{9}{42}\frac{8}{41}\frac{33}{40}, P(\textrm{3 A-bokstäver)} = \frac{9}{42}\frac{8}{41}\frac{7}{40} 2 p.
STOP: Följande poäng fås endast om man fått minst 2 poäng på de föregående två raderna.
P(\textrm{åtminstone en bricka har A})=1-P(\text{ingen bricka har A}) (=\frac{753}{1435}=0{,}524738…)\approx 0{,}52 (idé om komplement + svaret). ELLER
P(\textrm{1 A-bokstav}) + P(\text{2 A-bokstäver}) + P(\text{3 A-bokstäver}) (=\frac{753}{1435}=0{,}524738…)\approx 0{,}52 (summan + svaret). 		2 p.
Specialanvisningar för deluppgift
Endast beräkningar utan förklarande texter. max 4 p.
Beräknat som upprepat försök 1-(\frac{33}{42})^3. (1+1+0+0) max 2 p.
ELLER
Deluppgiften har tolkats på följande sätt: Spelaren har tagit upp 3 vokaler och lyfter ännu 4 brickor. Med vilken sannolikhet är åtminstone en av brickorna A?
Det finns 42 vokalbrickor och 9 av dem är A-brickor, vilket betyder att 33 av vokalerna inte har bokstaven A. 1 p.
P(\text{åtminstone ett A}) = 1- P(\text{inga A:n}) =
1- P(\text{ingen av de tre första vokalerna har A})P(\text{ingen av de fyra sista brickorna har A}) (poäng fås först för den senare formuleringen men detta kan också framgå i uttrycket på följande rad) 		(2 p.)
= 1- \frac{33}{42}\frac{32}{41}\frac{31}{40} \cdot \frac{88}{97}\frac{87}{96}\frac{86}{95}\frac{85}{94} \approx 0{,}68014 \approx 68\, \% (behandlat 3 brickor + de 4 sista brickorna + svaret) 3 p.
Denna lösning har specialanvisningar
Svarspoängen kan endast fås om man i uttrycket kan känna igen delarna med 3 brickor och 4 brickor och räkneprincipen med 3 brickor är korrekt.
Uppgiftsspecifika specialanvisningar
Alla noggrannheter duger.

8. Himlavalvets mekanik 12 p.

Jordklotet roterar runt sin axel. Vinkeln mellan axeln och normalen till planet för jordens omloppsbana (dvs. banplanet) har storleken 23,5 grader, och axelns riktning hålls oförändrad då jorden roterar runt solen. Axelns position är sådan att nordpolen är närmast solen vid sommarsolståndet och längst bort från den vid vintersolståndet. Situationen åskådliggörs i video 8.A.

Bestäm vinkeln mellan jordens axel och en stråle som går från solen till jorden en månad efter sommarsolståndet. Vi antar här att jordklotets omloppsbana är en cirkel.
Lösning med programvara
oberoende På en månad rör sig jorden i omloppsbanan 30^{\circ} ELLER \frac{30}{365} \cdot 360^\circ \approx 29{,}6^\circ. 1 p.
Bilden ger poäng enligt följande (bilden kan vara ritad för hand eller med kommandon):
Bilden visar jordens rörelse kring solen, 1 p.
Har förstått innebörden av vinkeln 23{,}5^\circ (eller 66{,}5^\circ) och den syns i bilden, 1 p.
Jorden är på korrekt ställe, dvs 30^\circ syns i figuren, 1 p.
Den efterfrågade vinkeln syns i bilden, 2 p. 		max 5 p.
Bilden är ritad med ett program och de centrala kommandona syns (0 eller 2 poäng). 2 p.
Fått svaret exakt 69{,}8^\circ. \quad (\approx 69{,}79825^\circ) 2 p.
Lösningen innehåller en förklaring. 2 p.
Denna lösning har specialanvisningar

De centrala kommandona på rad 3 är sådana där vinklarna 23{,}5^\circ och 30^\circ syns som exakta värden exempelvis med kommandot med rotera eller hjälp av trigonometri. Inga poäng fås på rad 3 om de här vinklarna endast är ungefär korrekta. Kommandona behöver inte synas i skärmdumpen om de är beskrivna med ord.

Sista radens poäng är möjliga att få trots att man inte skulle få poäng på raderna 3–4 exempelvis med en ungefärlig GeoGebra-lösning, som med förklaringar skulle vara (1+5+0+0+2)

max 8 p.
ELLER (Lösning med beräkningar)
Vi fäster ett koordinatsystem, väljer banplanet och positionen för sommarsolståndet. 2 p.
oberoende På en månad rör sig jorden i omloppsbanan 30^{\circ} ELLER \frac{30}{365} \cdot 360^\circ \approx 29{,}6^\circ. 1 p.
Fått jordens position en månad efter sommarsolståndet, exempelvis (\cos(210^{\circ}),\sin(210^{\circ}))=(-\frac12\sqrt{3},- \frac12). 2 p.
Fått vektorn från jorden till solen, exempelvis \overline{v}=\frac{\sqrt{3}}{2}\overline{i}+\frac{1}{2}\overline{j}+0\overline{k}. 3 p.
Fått en vektor som har samma riktning som jordens axel, exempelvis \overline{u}=\overline{i}+0\overline{j}+\tan(90^{\circ}-23\mathrm{,}5^{\circ})\overline{k}=\overline{i}+0\overline{j}+\tan(66\mathrm{,}5^{\circ})\overline{k}. 2 p.
Vi beräknar vinkeln mellan vektorerna och får exakt 69\mathrm{,}8^{\circ}. \quad(\approx 69{,}79825^\circ) 2 p.
Denna lösning har specialanvisningar
Exempel på första radens poäng: Eftersom vi endast betraktar vinklar, så kan vi normera situationen så att solen är i origo och jorden kretsar kring solen längs med enhetscirkeln i xy-planet. Vi antar vidare att jorden befinner sig i punkten (-1,0) då det är sommarsolstånd. Vi kan dessutom anta att jorden kretsar i positiv rotationsriktning.
Uppgiftsspecifika specialanvisningar
Man har använt en deklinationsformel utan motivering och fått svaret 69{,}6^\circ. 1 p.
För en härledd deklinationsformel ges poäng enligt de punkter som uppfylls av de 6 första poängen i anvisningarna för denna uppgift. max 6 p.

9. Inverterbar men inte monoton 12 p.

Ge ett exempel på en funktion f:A\to B som har en invers funktion men som inte är monoton. Kom ihåg att ange vilken definitionsmängden A och vilken värdemängden B är för din funktion.

oberoende Gett funktionens definitionsmängd A och f(x) är definierad för alla x \in A. 1 p.
oberoende Gett funktionens värdemängd B=\{ f(x) \mid x \in A \} korrekt. 1 p.
oberoende Den givna exempelfunktionen är inte monoton. 1 p.
oberoende Den givna exempelfunktionen har (åtminstone nästan) en invers funktion, dvs funktionen antar (nästan) alla sina värden exakt en gång (jämför max 10 -raden nedan). 1 p.
STOP: Följande poäng för motiveringar kan man endast få om de två föregående raderna är korrekta.
Man har försökt lösa ut x ur uttrycket y = f(x) (får utföras med räknare exempelvis med kommandot Invers(f)) ELLER försökt bevisa att funktionen antar alla sina värden exakt en gång. (2 p.)
En matematiskt exakt motivering till varför funktionen f har en invers funktion f^{-1}: B \to A. 2 p.
Ritat en bild enligt vilken funktionen f inte är monoton. (2 p.)
En matematiskt exakt motivering till varför funktionen f inte är monoton. 2 p.
Uppgiftsspecifika specialanvisningar
Funktionen antar enskilda värden mer än en gång eller ett fel i intervalländpunkterna för en styckvis definierad funktion (1+1+1+1+2+0+2+2). max 10 p.
Mängderna A och B är inte givna (0+0+1+1+2+0+2+2). max 8 p.
Exempel:
f: \ \{1,2,3\}\rightarrow \{1,2,3\}, där f(1)=2, f(2)=1 och f(3)=3. Funktionen f är sin egen invers eftersom f(f(1))=1, f(f(2))=2 och f(f(3))=3. Icke-monoton: f(1)>f(2) och 1<2, men f(3)>f(2) trots att 2<3.
f(x)=\frac{1}{x} är definierad för \mathbb{R}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}, eller motsvarande funktion från de reella talen till de reella talen, då vi lägger till att f(0)=0.
Funktionen g:\ [0,1]\rightarrow [0,1], som definieras av uttrycket g(x)=\frac{1}{2}-x, då 0\leq x\leq \frac{1}{2}, och av uttrycket g(x)=x, då x>\frac{1}{2}.
Man kan också få exempel av bland annat monotona funktioner där man ändrat på enskilda funktionsvärden.

Del B2

10. AI och talteorins under 12 p.

Ett primtal q kallas en primtalstvilling, om även q+2 eller q-2 är ett primtal. Vi frågade en AI hur många primtalstvillingar det finns, och svaret finns i text 10.A. Besvara utifrån materialet följande deluppgifter.

  1. Ge ett exempel på ett primtal som inte är en primtalstvilling. (3 p.)

  2. Är AI:ns definition av en primtalstvilling överensstämmande med definitionen i uppgiften? (3 p.)

  3. Är AI:ns motivering för att antalet primtalstvillingar är oändligt matematiskt giltig? (6 p.)

Gett ett exempel på ett primtal q, som inte är en primtalstvilling. 1 p.
Konstaterat att både q-2 och q+2 inte är primtal. 1+1 p.
Specialanvisningar för deluppgift
Det behövs inga motiveringar till att q-2 och q+2 inte är primtal och inte heller att q är ett primtal.
Exempel (3 p.): Talet 23 är ett primtal men det är inte en primtalstvilling eftersom varkendera av talen 25=23+2 och 21=23-2 är primtal.
Motiveringen på andra raden i poänganvisningarna kan också göras så att man ger det närmaste primtalet som är mindre än q och det närmaste primtalet som är större än q. Sedan konstaterar man att de båda ligger på ett avstånd som är större än 2 från primtalet q.
Gett ett exempel på ett naturligt tal q, som inte är ett primtal, men man har konstaterat att q+2 och q-2 inte är primtal. 1 p.
Försökt motivera att definitionerna är överensstämmande (exempelvis genom att studera ett exempel). 1 p.
Konstaterat att mellan primtalen q och q-2 eller q och q+2 finns bara ett positivt heltal ELLER AI:ns påstående att det finns ett heltal mellan primtalen innebär att avståndet mellan talen är 2, dvs om p och q är primtalstvillingar, så är |p-q|=2 dvs p=q+2 eller p=q-2. 2 p.
Specialanvisningar för deluppgift
Motiverat överensstämmandet med ett exempel på primtalstvillingar. +0 p.
Försökt motivera att definitionerna inte är överensstämmande. max 1 p.
Försökt motivera att AI:ns resonemang inte är korrekt genom att ta ställning till något av AI:ns påståenden. 1 p.
oberoende Gett ett exempel på något ologiskt i AI:ns resonemang. 1 p.
Konstaterat att AI:ns påstående, att det alltid mellan två godtyckligt valda primtal finns ett primtalstvillingpar, inte stämmer och motiverat detta med ett motexempel. 2+2 p.
Specialanvisningar för deluppgift
Motiveringspoängen ovan kan man också få genom att konstatera att det också mellan primtalstvillingar borde finnas ett primtalstvillingpar enligt AI:n, vilket är omöjligt. Här behövs inte något specifikt motexempel.
Exempel:
Mellan två primtal finns inte alltid minst ett positivt heltal som AI:n påstår; mellan primtalen 2 och 3 finns inte något heltal. (1+1+2) 4 p.
Mellan två primtal finns inte alltid minst ett positivt heltal som AI:n påstår; mellan primtalen 1 och 2 finns inte något heltal. (1+0+1) 2 p.
Uppgiftsspecifika specialanvisningar
Man påstår att 1 är ett primtal men använder inte det i fortsättningen. –0 p.

11. Brownsk rörelse 12 p.

År 1827 studerade botanikern Robert Brown med mikroskop hur pollenkorn knyckigt rör sig i vatten. Browns experiment indikerade att molekyler existerar och hade därför en viktig roll i atomteorins historia.

Vi undersöker Brownsk rörelse i förenklad form. En partikels rörelse i planet startar från origo. Med jämna mellanrum rör sig partikeln en enhet antingen uppåt, nedåt, till höger eller till vänster. Sannolikheten för varje riktning är \frac14. Exempelvis är de möjliga positionerna efter det första steget (0, 1), (0, -1), (1, 0) och (-1, 0).

Vi undersöker partikelns position efter fyra steg. Vi kallar positionen slutpunkten.

Bestäm alla de möjliga x-koordinaterna för slutpunkten och sannolikheterna för dem.

De möjliga slutpunkterna är \{-4, \ldots, 4\} ELLER bild av ett rutfält med 25 eller 41 punkter ELLER 4^4. (1 p.)
Sannolikheten för slutpunkten x=4 är \frac{1}{256}. 1 p.
oberoende Utifrån symmetri gäller samma för x=-4 ELLER motsvarande resonemang för alla punkter utan direkt hänvisning till symmetri ELLER har beräknat alla negativa värden korrekt. 1 p.
Idé om att det finns olika rutter att ta för att komma till en specifik slutpunkt. (1 p.)
Ett försök att beräkna antalet rutter för de svårare punkterna genom att gruppera dem eller genom att motivera på annat sätt (får innehålla fel) +
till ändpunkten x=3 finns det 8 rutter och sannolikheten är alltså \frac{8}{256}. 		1+1 p.
Slutsats: Korrekta svar: x=2, sannolikheten \frac{28}{256};
x=1, sannolikheten \frac{56}{256} och x=0, sannolikheten \frac{70}{256}
(den första beräknade 2 p., de övriga 1 p.). 		2+1+1 p.
Klara och korrekta motiveringar för antalet rutter till alla punkter (1 p., om det endast finns ett litet fel). 2 p.
Denna lösning har specialanvisningar

På nästsista raden kan man också få den sista poängen genom att använda komplement på ett korrekt sätt även om de övriga talen skulle vara felaktiga eller bristfälligt motiverade.

Då beräkningarna ger systematiskt felaktiga värden på grund av ett litet fel eller om man inte kommer ända fram till sannolikheter, kan en del av poängen på nästsista raden ges beroende av felets/bristens storlek.

Beräknat sannolikheterna för alla punkter i xy-planet utan att addera enligt x-koordinaterna mukaan: max 1+1+1+1+(1+0)+(1+0+0)+2

max 8 p.
ELLER programmeringslösning
Visat programkod som verkar vettigt för att beräkna de olika alternativen. 3 p.
Korrekta svar för fallen x\in \{0, \ldots, 4\} (1 p./fall). 5 p.
Korrekta svar för negativa x. 1 p.
En klar beskrivning för hur programkoden fungerar och att den garanterat löser ifrågavarande problem. 3 p.
Denna lösning har specialanvisningar

Då programmet ger systematiskt felaktiga värden på grund av ett litet fel, kan man få en del av poängen på raderna 2–3 beroende av felets storlek.

ELLER löst en ekvivalent process

Vi undersöker en alternativ process där vi flyttar oss åtta gånger ett halft steg åt höger eller vänster, båda med sannolikheten \frac12. Efter två sådana steg är sannolikheten att flytta åt höger eller vänster \frac14 och sannolikheten att stanna på stället är \frac12. Av detta följer att sannolikheterna för slutpunkterna i den alternativa processen är samma som för den ursprungliga processen.

8 p.
Slutsats: Sannolikheten för slutpuntken x=c är enligt binomialfördelningen \frac1{2^8} {8\choose 4+c}. 4 p.
Uppgiftsspecifika specialanvisningar
Alla noggrannheter och bråktal (förkortade eller inte) duger. De korrekta talen:
\frac{1}{256}=0{,}00390625; \quad \frac{8}{256}=\frac{1}{32}=0{,}03125; \quad \frac{28}{256}=\frac{7}{64}=0{,}109375;
\frac{56}{256}=\frac{7}{32}=0{,}21875; \quad \frac{70}{256}=\frac{35}{128}=0{,}2734375.

12. Potenser i en aritmetisk talföljd 12 p.

  1. Anta att k>0 är ett heltal. Visa att om en oändlig växande aritmetisk talföljd innehåller talen k^2 och k^3, så innehåller den talet k^4. (6 p.)

  2. Visa att om r^2, r^3 och r^4 ingår i en aritmetisk talföljd, så är r ett rationellt tal. (6 p.)

I en aritmetisk talföljd är differensen d mellan två på varandra följande element konstant ELLER ''differensen är d'' ELLER a_{n+1}-a_n=d. 1 p.
Anta att elementen k^2 och k^3 är i talföljden. Då gäller
k^3=k^2+Ld (där L är ett heltal) ELLER k^2=a_1+m d och k^3=a_1+n d. 		2 p.
Eftersom k^4 =k^3 + k L d (och k L \in \mathbb{N}), ELLER fått k^4 =a_1 + s d, där s \in \mathbb{N},
är även k^4 i talföljden. 		3 p.
Specialanvisningar för deluppgift
Startpoäng: Gett ett exempel på en aritmetisk talföljd. 1 p.
Försökt bevisa påståendet med ett konkret värde för talet k. +0 p.
Endast skrivit k^3-k^2=d utan att förklara vad d är. 0+1+0 1 p.
Antagit att talet k är i talföljden. –1 p.
Antagit att k^2 och k^3 är på varandra följande (L= 1). (1+1+1) max 3 p.
Enbart \operatorname{Solve}(k^4=k^2+x (k^3-k^2),x) \Rightarrow x=k+1 \in \mathbb{N}. (1+1+1) max 3 p.
Det finns ett problem i bevisföringen (exempelvis division med 0) då k=1. –0 p.
Vi betecknar differensen mellan två på varandra följande element med variabeln d.
Då finns det heltal n och m, för vilka r^3 -r^2 =n d och r^4 -r^3 =m d, utifrån definitionen för en aritmetisk talföljd. (heltalsförklaringen + två ekvationer i denna form) 		3 p.
Då n\neq 0, så är r =\frac{r^4 -r^3}{r^3 -r^2} =\frac{m}{n} rationellt tal. 2 p.
oberoende Då n=0, så är r=0 eller r=1. 1 p.
Specialanvisningar för deluppgift
Betecknat att r^4-r^3=r^3-r^2 \Rightarrow r=0 \text{ eller } r=1. (0+0+1) max 1 p.

13. Gränsvärde 12 p.

Enligt en programvara gäller

\lim_{x\to 0}\left( \frac{1}{x^2}-\frac{\sin x}{x^3}\right) = \frac16.

Motivera detta resultat med hjälp av följande mellansteg.

[i] Visa att \displaystyle x-\sin x - \frac{1}{6}x^3\le 0, då 0\le x\le 1.

[ii] Visa att \displaystyle x-\sin x - \frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5\ge 0, då 0\le x\le 1.

[iii] Visa att \displaystyle\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{120}x^5\le x- \sin x \le \frac{1}{6}x^3, då 0\le x\le 1.

[iv] Visa att \displaystyle\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{120}x^5\ge x- \sin x \ge \frac{1}{6}x^3, då -1\le x\le 0.

[v] Motivera med hjälp av dessa olikheter att gränsvärdet är \displaystyle\frac16.

De här stegen kan motiveras oberoende av varandra. Exempelvis får man delpoängen för steg [iv] genom att visa att det följer av steg [iii], oberoende av om steg [iii] har bevisats. Detsamma gäller de övriga stegen.

oberoende (i) Vi börjar med att bevisa olikheten x -sin x -1/6 x^3 <= 0. Vi betecknar f(x) =x -sin x -1/6 x^3, varvid f’(x) =1 -cos x -1/2 x^2, f’’(x) =sin x -x och f’’’(x) =cos x -1 <= 0.

Med andra ord är den tredje derivatan högst 0 och eftersom f’’(0) =0, är även den andra derivatan högst 0. Och eftersom f’(0) =0 och den första derivatan är avtagande så är funktionen avtagande.

Dessutom gäller f(0) =0, dvs olikheten gäller.

1+1+1 p.
oberoende (ii) Vi bevisar nu olikheten x -sin x -1/6 x^3 +1/120 x^5 >= 0. Vi betecknar g(x) =x -sin x -1/6 x^3 +1/120 x^5. Nu är g’’(x) =-f(x). På motsvarande sätt som vi bevisade olikheten för funktionen f, får vi nu att olikheten gäller för funktionen g. 3 p.
oberoende (iii) Eftersom f(x) <= 0, så är x -sin x <= 1/6 x^3, och eftersom g(x) >= 0, är x -sin x >= 1/6 x^3 -1/120 x^5. Med andra ord är 1/6 x^3 -1/120 x^5 <= x -sin x <= 1/6 x^3 i intervallet 0 <= x <= 1. 2 p.
oberoende (iv) Eftersom f och g är udda funktioner svänger olikheterna då vi övergår till intervallet -1 <= x <= 0, dvs då gäller 1/6 x^3 <= x -sin x <= 1/6 x^3 -1/120 x^5. (Den första poängen för idén utan klar användning av udda funktioner, exempelvis genom att ledvis multiplicera med -1 och konstatera att olikheterna svänger.) 2 p.
oberoende (v) Nu gäller att 1 /x^3 *1/6 x^3 -> 1/6, då x -> 0 och 1 /x^3 *(1/6 x^3 -1/120 x^5) -> 1/6, och gränsvärdet vi ska undersöka ligger mellan dessa värden, dvs det måste också vara 1/6. 2 p.
Uppgiftsspecifika specialanvisningar
I del (i) har man löst f'(x)=0 numeriskt och därifrån dragit slutsatsen att olikheten gäller (exempelvis testat derivatans tecken, konstaterat att f är avtagande och att f(0)=0 eller använt Bolzanos sats), 1 p. Samma för funktionen g i del (ii) ger 1 p. 1+1 p.
Försökt sig på resonemanget i föregående kommentar men dragit slutsatsen att derivatan saknar nollställen på grund av programvarans diffusa svar (''?'' eller motsvarande) eller om monotoniteten/Bolzanos sats inte explicit framkommer, så ger delarna (i) och (ii) totalt max 1 p.
Använt derivatans numeriska nollställe i andra delar än i delarna (i) eller (ii). +0 p.
Använt \texttt{fmax}- eller \texttt{fmin}-kommandon i bevisföringen. +0 p.
Olikheterna kan också bevisas med hjälp av serieutveckling. Exempelvis sin x =x -1/3! x^3 +1/5! x^5 -1/7! x^7 +…. Här är 1 /(2 k -1)! x^(2 k -1) -1 /(2 k +1)! x^(2 k +1) =x^(2 k -1) /(2 k -1)! *(1 -x^2 /[2 k *(2 k +1)] > 0 i intervallet 0 <= x <= 1. Med andra ord är sin x =x -1/3! x^3 +1/5! x^5 -1/7! x^7 +… >= x -1/3! x^3, vilket bevisar den första olikheten.