Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä (näkövammaiset)

19.3.2025

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 13.5.2025

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esimerkiksi derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Hakasuluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Jos erikseen ei mainita, niin vastauksen hyväksyttävä tarkkuus on yksi merkitsevä numero enemmän tai vähemmän kuin ohjeeseen kirjattu.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37,5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esimerkiksi laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä yllä olevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
    • Teksti STOP tarkoittaa sitä, että sillä rivillä kerrotaan, minkä ehtojen pitää toteutua, jotta jatkosta saa pisteitä.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esimerkiksi tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esimerkiksi e^1, ln (e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esimerkiksi x =2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esimerkiksi puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

15.5.2025 klo 10.30 lisätty puuttuva piste osatehtävään 13.2.

A-osa

1. Perustehtäviä 12 p.

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauskenttään voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun.

1.1 Ratkaise yhtälö 5 x -17 =43. 2 p.

  • 12 (2 p.)

1.2 Ratkaise potenssiyhtälö 2 x^3 -128 =0. 2 p.

  • 4 (2 p.)

1.3 Ratkaise yhtälö sin x /2 =1/2 , kun 0^@ < x < 90^@. 2 p.

  • 60 (2 p.)

1.4 Määritä f'(2), kun f(x) =x^4 +100. 2 p.

  • 32 (2 p.)

1.5 Määritä integraalin A =int_1^4 3 x^2 dx arvo. 2 p.

  • 63 (2 p.)

1.6 Määritä kolmaskymmenes termi a_30 aritmeettisessa lukujonossa (a_1, a_2, a_3, ...) =(1, 8, 15, ...). 2 p.

  • 204 (2 p.)
  • 211 (1 p.)
  • 197 (1 p.)

2. Sievennyksiä 12 p.

  1. Sievennä lauseke (y^2 -4) (y +1) /(y -2) , kun y !=2. (6 p.)
  2. Sievennä lauseke sqrt((z -1)^2 +2 (z -1) +1). (6 p.)
Osatehtävä 2.1

Termi (y^2 -4) saatu muotoon (y -2) (y +2) (2 p.)

Supistettu (y -2) oikein (esimerkiksi saatu (y +2) (y +1)) (2 p.)

Lauseke saatu muotoon y^2 +y +2 y +2 [1 p.]

Lauseke saatu muotoon y^2 +3 y +2 (1 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Alkupiste: Osoittaja kerrottu auki, vaikka mukana olisi kopiointivirhe. (1 p.)

Merkitty yhtälönä: pisteitä sievennyksen oikeista välivaiheista ja lisäksi -1 p.

Sievennetty y^2 -4 =(y -2)^2 tai muu kahden 1. asteen tekijän tulo. (0+2+1+1) (max 4 p.)

Tehty sievennys oikein, ja jatkettu yhtälöön y^2 +3 y +2 =0. (max 5 p.)

Kopiointivirhe viimeisessä termissä (y +1). (2+2+0+0) (max 4 p.)

Kopiointivirhe: ensimmäinen termi (y^2 -2) tai vastaava. (1+0+0+0) (max 1 p.)

Osatehtävä 2.2

Juurrettava muotoon z^2 -2 z +1 +2 z -2 +1 tai muotoon ((z -1) +1)^2. (2 p.)

Lauseke muotoon sqrt(z^2). (1 p.)

Päätelty tästä vastaus: |z| (3 p.) TAI saatu |z| ja jatkettu virheellisesti eteenpäin (2 p.) TAI vastaus z tai +-z (1 p.) (3 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Alkupiste: Oikealle tai virheellisesti kopioidulle juurrettavalle tehty ainakin toisten sulkujen purku. (1 p.)

Muuttujalle z on annettu virheellinen määrittelyjoukko (esimerkiksi z >= 0). (-1 p.)

Merkitty yhtälönä: pisteitä sievennyksen oikeista välivaiheista ja lisäksi -1 p.

Kopiointivirhe, jossa juurrettavaksi ei tule z^2. (1+0+0) (max 1 p.)

Tehtäväkohtaiset erillisohjeet

Muuttujan nimi vaihtuu systemaattisesti ilman selitystä: -1 p./osatehtävä. Esimerkiksi sqrt(z^2) ja sitten |x| kuuluu tähän kategoriaan.

Yhtäsuuruusmerkit puuttuvat välivaiheiden välistä, mutta välivaiheet esimerkiksi allekkain tai muuten selkeästi. (-0 p.)

3. Suorakulmaiset kolmiot 12 p.

Suorakulmaisen kolmion ABC sivujen pituudet ovat |AB| =3, |AC| =4 ja |BC| =5. Suorasta kulmasta A piirretään korkeusjana kohtisuoraan hypotenuusalle pisteeseen D. Pisteestä D piirretään edelleen kohtisuora jana kateetille AC pisteeseen E.

Määritä suorakulmaisen kolmion ADE kateettien pituudet.

Trigonometria

Oikea kulman trigonometrinen yhtälö, esimerkiksi sin ~a =3/5 tai ~a =arccos(4/5). (2 p.)

Yhtälöstä sin(kulma DBA) =|AD| /3 tai sin(kulma ACD) =|AD| /4 saadaan |AD| =12/5 (=2,4) (2 p.)

ylläolevista riveistä riippumaton piste Kolmiot ADE ja ABC yhdenmuotoiset ja perustelu: kulmat yhtä suuret (kk). (1+1 p.)

Näin ollen sin(kulma ACB) =sin(kulma EDA) ja cos(kulma ACB) =cos(kulma EDA), josta saadaan |AE| /|AD| =|AB| /|BC| ja |ED| /|AD| =|AC| /|BC|. (1+1 p.)

Laskettu tarkkoina arvoina |ED| =48/25 (=1,92) ja |EA| =36/25 (=1,44). (2+2 p.)

Ratkaisukohtaiset erillisohjeet

Likiarvoratkaisussa välivaiheet voivat poiketa yllä olevasta merkittävästi.

TAI Verrannollisuus

Kolmion ala voidaan laskea kateettien avulla ja hypotenuusan |BC| sekä hypotenuusaan nähden kohtisuoran korkeusjanan |AD| avulla (2 p.)

siispä 1/2 |AD| *5 =1/2 *3 *4, joten |AD| =12/5. (2 p.)

TAI

Kolmiot ABC ja DAC ovat yhdenmuotoisia + |AB| /|BC| =|AD| /|AC| tai vastaava verranto (1+1 p.)

verrannon ratkaisuksi saadaan |AD| =12/5 (=2,4). (2 p.)

TAI

Muodostetaan Pythagoraan lauseen avulla yhtälöpari esimerkiksi luvuille
x =|AD| ja y =|DB|: x^2 +y^2 =3^2 ja x^2 +(5 -y)^2 =4^2. (2 p.)

Ratkaisuksi saadaan |AD| =12/5 (=2,4). (2 p.)

ylläolevista riveistä riippumaton piste Kolmiot EAD ja ABC yhdenmuotoiset ja perustelu: kulmat yhtä suuret (kk). (1+1 p.)

saadaan verranto |AE| /|AD| =|AB| /|BC| tai |ED| /|AD| =|AC| /|BC| (2 p.)

josta tarkkoina arvoina saadaan kateetit
|AE| =3/5 *12/5 =36/25 (=1,44) ja |ED| =4/5 *12/5 =48/25 (=1,92). (2+2 p.)

Ratkaisukohtaiset erillisohjeet

Yhdenmuotoisuusväitteessä ei vaadita vastinkulmia samaan järjestykseen, esimerkiksi myös "kolmiot ADE ja ABC ovat yhdenmuotoiset" käy.

TAI Analyyttinen geometria

Asetetaan kolmion kärjet koordinaatistoon,
esimerkiksi pisteisiin A =(4, 0), B =(4, 3) ja C =(0, 0), joita käytetään alla. (1 p.)

Pisteiden B ja C kautta kulkevan suoran yhtälö on y =3/4 x. (1 p.)

Pisteiden A ja D kautta kulkevan suoran yhtälö on y =-4/3 x +16/3
(termit 1+1, laskut tai selitykset 1+1). (4 p.)

Yhtälöparin ratkaisuna suorien leikkauspiste D =(64/25, 48/25)
(hyvä alku 2 p., ratkaisu 2 p.), (2+2 p.)

joten kateetit tarkkoina arvoina ovat
|ED| =48/25 (=1,92) ja |AE| =4 -64/25 =36/25 (=1,44). (1+1 p.)

Tehtäväkohtaiset erillisohjeet

Vastauksessa tai välivaiheissa likiarvoja: vastausriviltä -1 ja riviltä, jossa ensin poiketaan tarkasta arvosta -1 Lisäksi voi soveltua yleisvähennys.

Esimerkiksi cos(arcsin(4/5)) =0,6 ilman perustelua (oletettavasti laskimella saatu). (-2 p.)

Annettu vastauksena myös hypotenuusan pituus ilman että sitä kutsutaan hypotenuusaksi. (-1 p.)

Murtoluku supistamatta (ilman tarkkaa desimaalimuotoa). (-1 p.)

Vastauksena tarkka arvo ja pyöristetty desimaaliluku. (-0 p.)

Janan pituuden merkintä hyväksytään myös ilman itseisarvoja, esimerkiksi AD (-0 p.)

4. EKP:n korkopäätös 12 p.

Euroopan keskuspankki (EKP) on päättämässä eräästä ohjauskorosta, jonka nykyinen taso on 4,25 %. Ryhmä taloustieteilijöitä ennustaa, että 0,25 prosenttiyksikön korotukselle on 50 %:n todennäköisyys ja ohjauskoron pitämiselle muuttumattomana on 50 %:n todennäköisyys. Kun uusi tieto inflaatiosta vuotaa julkisuuteen, taloustieteilijät korjaavat ennustettaan 0,25 prosenttiyksikön korotuksen todennäköisyydestä 65 %:iin, jolloin koron todennäköisyys pysyä muuttumattomana on siis 35 %.

Kuinka monta prosenttiyksikköä ohjauskoron odotusarvo kasvaa uuden tiedon seurauksena?

Kun ohjauskorkoa korotetaan 0,25 prosenttiyksikköä, ohjauskoron suuruudeksi tulee 4,5 %. [1 p.]

Vanhoilla tiedoilla laskettuna ohjauskoron odotusarvo prosenteissa on 0,5 *4,25 +0,5 *4,5 =4,375 (molemmat tulot yhteensä 1 p., summa 1 p., vastaus 1 p.; summasta annetaan pisteitä vain, jos summa on muotoa tn*korko+tn*korko). (3 p.)

Uusilla tiedoilla laskettuna ohjauskoron odotusarvo prosenteissa on 0,35 *4,25 +0,65 *4,5 =4,4125 (tulot 1+1 p., summa 1 p., vastaus 1 p., summasta annetaan pisteitä vain, jos summa on muotoa tn*korko+tn*korko). (4 p.)

Ohjauskoron odotusarvo kasvaa 4,4125 -4,375 = melko täsmälleen 0,0375 tai melko täsmälleen 0,038 tai melko täsmälleen 0,04 prosenttiyksikköä (vain nämä tarkkuudet; oikealla periaatteella laskettujen odotusarvojen erotus 1 p., vastaus 2 p., vastaus prosenttiyksikköinä 1 p.). (4 p.)

Ratkaisukohtaiset erillisohjeet

Laskettu ilman lisäselityksiä 4,25 +0,5 *0,25 =4,375 ja 4,25 +0,65 *0,25 =4,4125 (1+(0+0+1)+(1+1+1)+4). (max 9 p.)

Laskettu alussa ohjauskoron korotus väärin 4,25 *1,0025: (0+3+4+2) (max 9 p.)

TAI

Vanhoilla tiedoilla laskettuna ohjauskoron korotuksen odotusarvo prosenttiyksiköissä on 0,5 *0 +0,5 *0,25 =0,125 (tulot 1+1 p, summa 1 p., vastaus 1 p.; summasta annetaan pisteitä vain, jos summa on muotoa tn*korko+tn*korko). (4 p.)

Uusilla tiedoilla laskettuna ohjauskoron korotuksen odotusarvo prosenttiyksiköissä on 0,35 *0 +0,65 *0,25 =0,1625 (tulot 1+1 p., summa 1 p., vastaus 1 p., summasta annetaan pisteitä vain, jos summa on muotoa tn*korko+tn*korko). (4 p.)

Ohjauskoron odotusarvo kasvaa 0,1625 -0,125 = melko täsmälleen 0,0375 tai melko täsmälleen 0,038 tai melko täsmälleen 0,04 prosenttiyksikköä (vain nämä tarkkuudet; oikealla periaatteella laskettujen odotusarvojen korotusten erotus 1 p., vastaus 2 p., vastaus prosenttiyksikköinä 1 p.). (4 p.)

Ratkaisukohtaiset erillisohjeet

Pelkät laskut ilman mielekkäitä selityksiä 0,5 *0,25 ja 0,65 *0,25 ((1+0+1)+(1+0+1)+4). (max 8 p.)

5. Suurin arvo 12 p.

Määritä funktion f(x) =x^2025 e^-x suurin arvo, kun x >= 0.

Derivoitu x^2025 oikein D(x^2025) =2025 x^2024. (1 p.)

Derivoitu e^-x oikein D(e^-x) =-e^-x (tai osamäärän derivointia käytettäessä e^x derivoitu oikein). (1 p.)

Käytetty tulon/osamäärän derivoimissääntöä oikein kumpaankin termiin.

f'(x) =2025 x^2024 e^-x -x^2025 e^-x (1+1 p.)

Riviltä ei pisteitä, jos f'(0) !=0 tai jos f' ei ole kahden termin summa/erotus: Oma derivaatta muokattu tulomuotoon nollakohtien ratkaisemista varten (e^-x x^2024 (2025 -x)) TAI saatu yhtälö 2025 x^2024 =x^2025 ja edetty huomioiden, että x voi olla nolla. (1 p.)

Näin ollen derivaatan ainoat nollakohdat ovat x =0 ja x =2025. (1+1 p.)

Ei pisteitä jatkosta, jos derivaatalle ei ole saatu vähintään yhtä nollakohtaa x > 0.

Perusteltu funktion kulku oikein, esimerkiksi hyödyntäen tulomuotoa tai seuraavasti:

Laskettu derivaatan arvot kahdessa pisteessä derivaatan nollakohdan molemmin puolin. Esimerkiksi f'(1) =2024 e^-1 > 0 ja f'(2026) =-e^-2026 2026^2024 < 0. (Käytetty järkeviä testipisteitä 1 p., derivaatan arvot näkyvissä testipisteissä tai muuten vakuuttavat perustelut 1 p.) (2 p.)

Todettu, että f on aidosti kasvava, kun (0 <=) x <= 2025 ja f on aidosti vähenevä, kun x >= 2025, tai piirretty merkkikaavio, josta tämä käy ilmi. Merkkikaavioksi riittää +|- missä | on kohta 2025 (1 p.)

Jatkoon vaaditaan, että edellisiltä kahdelta riviltä on saatu vähintään kaksi pistettä ja funktiolla on sopiva maksimikohta.

Näin ollen f saavuttaa maksiminsa pisteessä x =2025. (1 p.)

Kysytty arvo on siis f(2025) =2025^2025 e^-2025. (1 p.)

Tehtäväkohtaiset erillisohjeet

Rivillä 6 testipisteenä negatiivinen luku. (-1 p.)

Vastaukseksi hyväksytään likiarvo 1,16 *10^5816 ilman tarkkaa arvoa muttei muodossa 1,16e5816 tms. Kaikki tarkkuudet käyvät.

Saatu oikea tarkka arvo, jota on sitten sievennetty/pyöristetty väärin. Tällöin ei anneta viimeisen rivin pistettä.

Perustelematon merkkikaavio. (1+1+2+1+2+0+1+0+0) (max 8 p.)

Nollakohdat löydetty arvaamalla. (1+1+2+1+0+2+1+1+1) (max 10 p.)

6. Eukleideen algoritmi 12 p.

Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 5322 ja 342 suurin yhteinen tekijä.

Laskettu 5322 /342 ~~15,6 TAI 5322 =15 *342 +r_1 TAI idea 5322 =q_1 *342 +r_1. [1 p.]

5322 =15 *342 +192 TAI 5322 -=192 (mod 342) (2 p.)

Jatketaan samaa luvuille 342 ja 192. [1 p.]

342 =1 *192 +150 TAI 342 -=150 (mod 192). (1 p.)

192 =1 *150 +42 TAI 192 -=42 (mod 150). (1 p.)

150 =3 *42 +24 TAI 150 -=24 (mod 42). (1 p.)

42 =1 *24 +18 TAI 42 -=18 (mod 24). (1 p.)

24 =1 *18 +6 TAI 24 -=6 (mod 18) (1 p.)

18 =3 *6 (+0) TAI 18 -=0 (mod 6). (1 p.)

Vastattu suurimpana yhteisenä tekijänä omasta laskusta viimeinen nollasta eroava jakojäännös. (1 p.)

Suurin yhteinen tekijä on siis täsmälleen 6. (1 p.)

Tehtäväkohtaiset erillisohjeet

Alkupiste: Perusteltu oikea vastaus esimerkiksi SpeedCrunchin gcd komennolla tai pythonin math.gcd -komennolla. / Löydetty kaikki alkutekijät tai kaikki positiiviset tekijät. (1 p.)

Näytetty vain, että 6 on yhteinen tekijä. (0 p.)

Laskuvirhettä kohden vähennetään 1 p. (ja lisäksi vastausriviltä), ja lisäksi tehdään vähennys, jos virheen seurauksena algoritmissa on

1 rivi vähemmän (-0 p.)

2–3 riviä vähemmän (-1 p.)

4– riviä vähemmän (-3 p.)

B1-osa

7. Funktion kulku 12 p.

Valitse osatehtävissä 7.1–7.6 funktiolle oikea merkkikaavio tai kulkukaavio luettelon 7.A vaihtoehdoista A–H. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

7.1 f(x) =x^2 +2 x -8 2 p.

  • B (2 p.)

7.2 f(x) =3 x +6 2 p.

  • D (2 p.)

7.3 f(x) =2 x^2 +4 x -6 2 p.

  • A (2 p.)

7.4 f(x) =4 -x -x^3 2 p.

  • F (2 p.)

7.5 f(x) =3 x^2 +9 x +6 2 p.

  • H (2 p.)

7.6 f(x) =2 x -5 2 p.

  • E (2 p.)

8. Janojen pituudet 12 p.

Tasossa on pisteet A =(-6, -1), B =(-1, 11) ja C =(8, -1). Valitaan piste X janalta AB, piste Y janalta BC ja piste Z janalta AC niin, että |AX| =|AZ| =a, |BX| =|BY| =b ja |CZ| =|CY| =c.

Muodosta yhtälöryhmä luvuille a, b ja c, ja ratkaise se.

|AC| =14 (ei vaadi perustelua) TAI |AC| =sqrt((8 -(-6))^2 +(-1 -(-1))^2) (1 p.)

|AB| =sqrt((-6 -(-1))^2 +(-1 -11)^2) (=13)
ja |BC| =sqrt((-1-8)^2 +(11 -(-1))^2) (=15).

TAI

|AB| =13 ja |BC| =15 ja (esimerkiksi GeoGebran) käskyt näkyvissä. (2 p.)

Muodostetaan oikeat yhtälöt omilla sivujen pituuksilla, esimerkiksi: a +b =13, a +c =14 ja b +c =15. (2 p./yhtälö) (6 p.)

Yritetty ratkaista oma yhtälöryhmä ja saatu positiivinen ratkaisu. (1 p.)

Esimerkiksi Solve-komennolla tai eliminoimalla saadaan melko täsmälleen a =6, b =7, c =8. (Joko 0 tai 2 p.)

Ratkaisukohtaiset erillisohjeet

Janojen pituudet ilman perustelua. (1+0+6+1+2) (max 10 p.)

Yhtälöt a +b =13, a +c =14, b +c =15 ilmestyvät tyhjästä (0+0+6+1+2) (max 9 p.)

Virheelliset pisteet A, B tai C: kahdelta ensimmäiseltä riviltä max 2 p. kahdesta omilla pisteillä oikein lasketusta pituudesta, ei pisteitä viimeiseltä riviltä. (max 9 p.)

Ratkaistu ilman yhtälöryhmää, esimerkiksi likimääräinen (GeoGebra-)kuva, josta päätelty a =6, b =7, c =8. (1+2+0+0+0) (max 3 p.)

TAI (suorien tai vektorien avulla tai ratkaisematta pituuksia ensin, sisältää ylimääräisiä muuttujia)

Esitetty pisteen X koordinaatit yhden parametrin avulla.
Esimerkiksi pisteiden A ja B välisen suoran yhtälön (-12 x +5 y =67 ja X =(s, 12/5 s +67/5)) tai vektorien avulla (-6 vec i -vec j +s (5 vec i +12 vec j)). (1 p.)

Esitetty pisteen Y koordinaatit yhden parametrin avulla.
Esimerkiksi pisteiden B ja C välisen suoran yhtälön (4 x +3 y =29 ja Y =(t, -4/3 t +29/3)) tai vektorien avulla (-vec i +11 vec j +t (9 vec i -12 vec j)). (1 p.)

Esitetty pisteen Z koordinaatit yhden parametrin avulla.
Esimerkiksi (v, -1) tai -6 vec i -vec j +v vec i. (1 p.)

Muodostettu koordinaattien avulla etäisyyksien yhtälöt
a =sqrt((s -(-6))^2 +(12/5 s +67/5 -(-1))^2) =sqrt((v -(-6))^2 -(-1 -(-1))^2)
b =sqrt((s -(-1))^2 +(12/5 s +67/5 -11)^2) =sqrt((t -(-1))^2 +(-4/3 t +29/3 -11)^2)
c =sqrt((v -8)^2 +(-1 -(-1))^2) =sqrt((t -8)^2 +(-4/3 t +29/3 -(-1))^2)
(1 p./oikea yhtälö) tai vastaavat. (6 p.)

Yritetty ratkaista oma yhtälöryhmä ja saatu positiivinen ratkaisu luvuille a, b, c. (1 p.)

Esimerkiksi Solve-komennolla tai eliminoimalla saadaan melko täsmälleen a =6, b =7, c =8. (Joko 0 tai 2 p.)

Tehtäväkohtaiset erillisohjeet

Yhtälöryhmässä ei eksplisiittisesti muuttujia a, b ja c (yksi piste per muuttuja) TAI yhtälöryhmän sijaan hajanaisia yhtälöitä, joita ei koota yhteen. Aaltosulkumerkintää ei vaadita. Kuuden pisteen riviltä (-3 p.)

9. Afrikan tähti 12 p.

Afrikan tähti -pelissä on 30 pahvikiekkoa: 12 tyhjää, 5 hevosenkenkää, 3 rosvoa, 4 keltaista topaasia, 3 vihreää smaragdia, 2 punaista rubiinia ja 1 Afrikan tähti -timantti. Pelin alussa kiekot sekoitetaan ja asetetaan nurin päin pelilaudalle, jolloin kaikki kiekot näyttävät samanlaisilta. Kun pelaaja kääntää kiekon, se poistetaan pelistä. Pelinappuloita liikutetaan pelilaudalla noppaa heittämällä; pelinappulan sijainti määrää, minkä kiekon voi kääntää.

9.1 Valitse oikea vaihtoehto. 4 p.

Näitä vastauksia ei tarvitse perustella. Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, merkitse jokaiseen osatehtävään vastausvaihtoehto ”En vastaa.”. Oikea vastaus 1 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.
9.1.1 Ensimmäinen kääntämäsi pahvikiekko on tyhjä ja toinen rubiini. 1 p.
  • Tapahtumat ovat toisistaan riippuvia.  (1 p.)
9.1.2 Kääntämäsi pahvikiekko osoittautuu topaasiksi, ja saat seuraavalla heitolla silmäluvun 4. 1 p.
  • Tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia.  (1 p.)
9.1.3 Saat heittovuorollasi nopan silmäluvuksi 6 ja vastapelaaja vuorollaan nopan silmäluvuksi 4. 1 p.
  • Tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia.  (1 p.)
9.1.4 Saat pahvikiekosta rosvon, ja vastapelaaja saa pahvikiekostaan smaragdin. 1 p.
  • Tapahtumat ovat toisistaan riippuvia.  (1 p.)

9.2 Vastaa osatehtävien 9.2.1–9.2.2 kysymyksiin normaalisti perustellen. 8 p.

  1. Millä todennäköisyydellä saat kahdella heitolla noppien silmälukujen summaksi vähintään 10? (4 p.)
  2. Tähän mennessä pelissä on käännetty seitsemän tyhjää, yksi topaasi, yksi rubiini ja yksi rosvo. Millä todennäköisyydellä seuraavan käännetyn pahvikiekon takana on joko Afrikan tähti tai hevosenkenkä? (4 p.)
Osatehtävä 9.2.1

Kahdella nopalla on 36 mahdollista yhdistelmää. Tähän riittää, että 36 näkyy järkevässä yhteydessä, esimerkiksi silmälukuparin todennäköisyys on 1/36 tai pelkkä vastaus on 6/36. (1 p.)

Näistä kelpaavat 4 +6, 5 +5, 6 +4, 5 +6, 6 +5, 6 +6. (Enintään kaksi puuttuvaa tai ylimääräistä: 1 p.) (2 p.)

Kysytty todennäköisyys on siis melko täsmälleen 6/36 (=1/6 ~~0,17). (1 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Pelkkä vastaus 1/6 tai 0,17. (0 p.)

Pelkkä vastaus 6/36 (1+0+0). (1 p.)

Järjestys huomioimatta ja tulos 4/21 (0+1+0). (max 1 p.)

Todettu ilman perusteluja suotuisia tapauksia olevan kuusi (1+0+1). (max 2 p.)

Suotuisia pareja ei tarvitse erikseen luetella, jos on tehty selkeä taulukko, jossa on summat.

Osatehtävä 9.2.2

Pahvikiekkoja kääntämättä 20 on saatu perustellusti. Esimerkiksi on laskettu 20 =30 -10 tai tehty listaus, jossa näkyy jäljellä olevat pahvikiekot. (1 p.)

Suotuisia kiekkoja ovat 5 hevosenkenkää ja 1 Afrikan tähti. (1 p.)

Vastaavat todennäköisyydet ovat 5/20 ja 1/20. [1 p.]

Kysytty todennäköisyys on siis 6/20 (=3/10 =0,3). (1 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Aloitettu todennäköisyyksistä 5/20 ja 1/20 ilman selityksiä (0+0+1+1). (2 p.)

Pelkkä vastaus 6/20, 3/10 tai 0,3. (0 p.)

10. Eksponenttijakauma 12 p.

Eksponenttijakaumaa voi käyttää esimerkiksi hiukkassäteilyn tai asiakasvirtojen mallintamiseen. Jakauman tiheysfunktio (vakiolla ~l > 0) on

f_~l (x) ={~l e^(-~l x), kun x >= 0, 0, muuten}.

Satunnaismuuttuja X noudattaa tätä jakaumaa. Määritä todennäköisyys P(X >= 7), joka riippuu vakiosta ~l.

Pyritään integroimaan tehtävän kannalta mielekästä funktiota, jossa on ~l:
P(X < 7) =int_0^7 ~l e^(-~l x) dx TAI P(X >= 7) =int_7^oo ~l e^(-~l x) dx
Vasen puoli on P(X < 7) tai P(X >= 7) 1 p., rajat ovat oikein 2 p., rajat vastaavat vasenta puolta 1 p., funktio on oikein 1 p. (5 p.)

Hyödynnetään yhdistetyn funktion ketjusääntöä:

int_0^7 ~l e^(-~l x) dx =-int_0^7 (-~l) e^(-~l x) dx =1 -e^(-7 ~l), joten P(X >= 7) (=1 -(1 -e^(-7 ~l)) =e^(-7 ~l)

tai

P(X >= 7) =int_7^oo ~l e^(-~l x) dx =-int_7^oo (-~l) e^(-~l x) dx =e^(-7 ~l)
(yritetty käyttää ketjusääntöä järkevästi 1 p. / integrointi (kerroin -1: 1 p. ja e^(-~l x) 1 p.) / sijoitus 1 p. / sievennys 1 p.)

TAI

Tehdään muuttujanvaihto y =~l x, jolloin dy =~l dx ja integrointirajat ovat 0 ja 7 ~l.

Saatu int_0^7 ~l e^(-~l x) dx =int_0^(7 ~l) e^-y dy =1 -e^(-7 ~l) joten P(X >= 7) =e^(-7 ~l)

tai

Saatu P(X >= 7) =int_7^oo ~l e^(-~l x) dx =int_(7 ~l)^oo e^-y dy =e^(-7 ~l).

(muuttujanvaihto 1 p./ rajat 1+1 p./ lasku (ilman raja-arvoa) 2 p.)

TAI

Integroitu laskimella tehtävän kannalta mielekäs funktio, jossa on ~l 1 p. Integroinnilla on saatu tehtävä ratkaistua 2 p. Johtopäätöksenä: Ratkaisu on hyvin dokumentoitu ja kaikki komennot ja tarvittavat tulokset ovat näkyvissä. 1 p. Ratkaisu on sievennetyssä muodossa. 1 p. (5 p.)

riippumaton Perustelu: P(X >= 7) =1 -P(X < 7) TAI epäoleellisessa raja-arvo käsitelty oikein (esimerkiksi int_7^oo ~l e^(-~l x) dx =lim_(t -> oo) int_7^t ~l e^(-~l x) dx), myös laskinratkaisussa. (2 p.)

Tehtäväkohtaiset erillisohjeet

Alkupiste: Laskettu kertymäfunktion arvo jollakin vakiolla ~l, esimerkiksi ~l =1, TAI kuvakaappaus Geogebrasta.

Ei raja-arvoja integraaleissa, esimerkiksi arvot 7 ja oo sijoitettu suoraan integraalifunktioon. (max 10 p.)

Raja-arvoa käytetty ja sijoitettu ääretön laskettaessa raja-arvoa. (max 11 p.)

Koejärjestelmän kaavakokoelman eksponenttijakauman kaavasta puuttui miinus-merkki. Jos tehtävä on ratkaistu lähtien kaavakokoelman virheellisestä kaavasta ja dokumentointi kaavakokoelman kaavaan on selkeä, niin max 12.

B2-osa

11. Oikein vai väärin? 12 p.

  1. Olivia derivoi funktion f(x) =(x^3 -2 x +1) /10 seuraavasti:

    f'x =(10 D(x^3 -2 x +1) -(D10) (x^3 -2 x +1) / 10^2 =10 D(x^3 -2 x +1) /10^2 =(3 x^2 -2) /10.

    Onko päättely oikein vai väärin? Korjaa mahdolliset virheet. Johda lopputulos myös jollakin yksinkertaisemmalla tavalla. (4 p.)

  2. Leo selvittää seuraavasti, kuinka moneen nollaan luku 2000! -10^300 päättyy:

    Kertomassa kerrotaan peräkkäisiä lukuja ykkösestä alkaen, joten luvun perään saadaan nolla aina, kun tulee vastaan kymmenen. Kymmenellä jaollisia lukuja on tulossa 2000 /10 =200. Lisäksi nolla tulee luvun perään, jos tulon tekijöinä on kahdella jaollinen luku ja viidellä jaollinen luku. Kahdella jaollisia lukuja on niin tiheässä, että riittää tarkastella viidellä jaollisia. Niitä on 2000 /5 =400. Yhteensä ensimmäisessä luvussa on siis 200 +400 =600 nollaa. Toisessa luvussa on 300 nollaa. Erotuksessa on siten 600 -300 =300 nollaa.

    Tämän jälkeen Leo tarkisti laskimella, ja laskin antoi tulokseksi 5736-numeroisen luvun, joka päättyi 300 nollaan. Tästä hän totesi päätelleensä oikein.

    Onko päättely oikein vai väärin? Korjaa mahdolliset virheet. (8 p.)

Osatehtävä 11.1

Ratkaisussa esiintyy kaava D f(x) /g(x) =(f'(x) g(x) -f(x) g'(x)) /(g(x))^2 tai mainittu osamäärän derivointisääntö. (1 p.)

Ratkaisussa on selitetty, miten Olivian laskut liittyvät kaavaan, esimerkiksi toteamalla, että f(x) =x^3 -2 x +1 ja g(x) =10, jolloin f'(x) =3 x^2 -2 ja g'(x) =0 ja todettu ratkaisun siten olevan oikein. (Toteamus voi olla ratkaisun alussa, mutta pisteet saa vain jos se on myös perusteltu.) (1 p.)

riippumaton Helpompi tapa: f'(x) =1/10 D(x^3 -2 x +1) =1/10 (3 x^2 -2) tai muu kaavan D(k f(x)) =k f'(x) käyttö. (2 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Pelkkä vastaus tai oikeellisuuden perusteleminen lopputuloksen (3 x^2 -2) /10 tarkistamisen avulla (esimerkiksi laskimesta tai helpommasta tavasta). (+0 p.)

Mainittu järjestys virheenä, esimerkiksi D(x^3 -2 x +1) *10. (+-0 p.)

Käytetty tulon derivointisääntöä helpompana tapana. (+0 p.)

Osatehtävä 11.2

riippumaton Ratkaisussa on virheellisesti laskettu luvun x -y nollien lukumäärä vähentämällä luvun x nollien lukumäärästä luvun y nollien lukumäärä. (1 p.)

Lisäksi ensimmäisen luvun nollien lukumäärän laskemisessa on tehty virheitä:
riippumaton Jotkin nollat on laskettu moneen kertaan, sillä kaikki kymmenellä jaolliset luvut ovat myös viidellä jaollisia. (1 p.)

riippumaton Jotkin nollat ovat jääneet laskematta, sillä jotkin luvut ovat jaollisia korkeammilla viiden potensseilla, esimerkiksi luku 25 on jaollinen kahdesti viidellä TAI "nollia jäänyt laskematta luvuista 100, 200, ..." (1 p.)

Todettu ratkaisun olevan väärin (yhden tai useamman) löydetyn virheen perusteella tai oikein lasketun nollien lukumäärän perusteella. Toteamus voi olla ratkaisun alussa, mutta pisteet saa vain, jos se on perusteltu. (1 p.)

Korjattu ratkaisu:

Luvun x -y nollien lukumäärä on pienempi lukujen x ja y nollien lukumääristä (jos lukumäärät ovat erisuuret). (1 p.)

Päätelty pätevin perusteluin, että luvun 2000! nollien lukumäärä on yli 300. (2 p.)

Luvussa 10^300 on 300 nollaa (eli vähemmän), joten tämä on myös erotuksen nollien lukumäärä. (1 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Löydetty "virhe", joka ei ole virhe, kaikista yhteensä. (-1 p.)

Jos luvun 2000! nollien lukumäärässä (tai arviossa) on laskuvirheitä, mutta tulos on yli 300: max 1+1+1 kolmelta viimeiseltä riviltä. Tähän kategoriaan kuuluu tapaus "luvussa on täsmälleen 400 nollaa".

Luvun 2000! nollien lukumäärä on 2000 /5 +2000 /25 +2000 /125 + 2000 /625 =499, mutta tälle tiedolle ei ole tarvetta sen jälkeen, kun ratkaisun ensimmäinen askel on korjattu.

Päättelyn oikeellisuutta ei voi perustella sillä, että numeerinen vastaus on oikein. (+0 p.)

Luvun 2000! nollien oikea lukumäärä 499 perusteluineen ja toteamus, että tämä tarkoittaa nollien lukumäärässä olevan jokin virhe antaa myös rivien 2 ja 3 pisteet.

12. Arvioitava integraali 12 p.

Olkoon n >= 0 kokonaisluku. Todista epäyhtälö

int_0^1 sin(~p x) (x (1 +x) (1 -x))^n dx <= 2 /~p *(2 /(3 sqrt(3))^n.

Vihje: Jos f(x) <= g(x) välillä [0, 1], niin int_0^1 f(x) dx <= int_0^1 g(x) dx.

Tarkasteltu jollain tavalla funktiota g(x) =x (1 +x) (1 -x) tai
h(x) =(x (1 +x) (1 -x))^n jollain n > 0. Esimerkiksi sievennetty muotoon g(x) =x -x^3 tai piirretty kuvaaja. [1 p.]

g'(x) =1 -3 x^2, jonka nollakohdat ovat x =+-1 /sqrt(3) (tai perustellen vain positiivinen). (1 p.)

Perusteltu, että x =1 /sqrt(3) on maksimikohta. (1 p.)

riippumaton Suurin arvo välillä [0, 1] on g(1 /sqrt(3)) =2 /(3 sqrt(3)) TAI perusteltu kuvaajilla tai solve-komennolla g(x) <= 2 /(3 sqrt(3)) välillä [0, 1]. (2 p.)

(g(x) >= 0 välillä [0, 1]), joten g(x)^n <= (2 /(3 sqrt(3))^n. (1 p.)

riippumaton Todettu sin(~p x) >= 0 välillä [0, 1] (1 p.)

int_0^1 sin(~p x) (x (1 +x) (1 -x))^n dx <= int_0^1 sin(~p x) *(2 /(3 sqrt(3)))^n dx (1 p.)

=(2 /(3 sqrt(3)))^n int_0^1 sin(~p x) dx (1 p.)

riippumaton int_0^1 sin(~p x) dx (=1 /~p sij_0^1 -cos(~p x)) =2 /~p (1+1 p.)

Johtopäätös int_0^1 sin(~p x) (x (1 +x) (1 -x))^n dx <= 2 /~p (2 /(3 sqrt(3)))^n. (1 p.)

Tehtäväkohtaiset erillisohjeet

Alkupiste: Perusteltu esimerkiksi likiarvojen tai epäyhtälön totuusarvon avulla, että epäyhtälö on tosi jollain n >= 0. Alkupistettä ei saa, jos epäyhtälön oikealla puolella esiintyy ylärajan integraali välillä [0, 1]. (1 p.)

Rivit 2 ja 3 voi korvata fmax-komennolla.

Rivit 2–4 voi korvata Ääriarvopisteet-komennon tarkoilla arvoilla (Geogebra).

Jos on arvioitu sin(~p x) <= 1, jolloin tarkasteltu väitettä
int_0^1 (x (1 +x) (1-x))^n dx <= 2 /~p (2 /(3 sqrt(3)))^n 1+1+1+2+1+1+0 (max 7 p.)

13. Vektorien ristitulo 12 p.

Vektorien vec a =a_x vec i +a_y vec j +a_z vec kjavec b =b_x vec i +b_y vec j +b_z vec k ristitulo määritellään lausekkeella

vec a * vec b =(a_y b_z -a_z b_y) vec i +(a_z b_x -a_x b_z) vec j +(a_x b_y -a_y b_x) vec k.

Todista tätä lauseketta käyttäen seuraavat ristitulovektorin tunnetut ominaisuudet:

  1. Se on kohtisuorassa vektoria vec a vastaan. (3 p.)
  2. Sen pituus on sama kuin vektorien vec a ja vec b virittämän suunnikkaan ala. (9 p.)
Osatehtävä 13.1

Lasketaan ristitulovektorin ja vektorin vec a välinen pistetulo käsin: vec a * (vec a xx vec b)

=a_x (a_y b_z -a_z b_y) +a_y (a_z b_x -a_x b_z) +a_z (a_x b_y -a_y b_x) (2 p.)

=a_x a_y b_z -a_x a_z b_y +a_y a_z b_x -a_y a_x b_z +a_z a_x b_y -a_z a_y b_x =0. (1 p.)

TAI ohjelmistolla:

Esimerkiksi Pistetulo- ja Ristitulo-komennoilla (ratkaisussa pitää todeta, että Ristitulo-komento antaa samat komponentit kuin tehtävänannon määritelmässä, muuten 0 p.) tai a_x (a_y b_z -a_z b_y) +a_y (a_z b_x -a_x b_z) +a_z (a_x b_y -a_y b_x) =0 (3 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Löydetty kohtisuoruusehto koejärjestelmän taulukkoaineistoista. (+0 p.)

Laskettu pistetulo omilla esimerkkivektoreilla. (+0 p.)

Reaalilukujen kertolaskua merkitty * (-0 p.)

Laskujärjestyksen osoittavat sulut puuttuvat (a * a xx b tai a xx b * a), laskettu oikein. (-0 p.)

Osatehtävä 13.2

Vektorien vec a ja vec b välisen kulman ~a kosini on cos ~a =vec a * vec b /(|vec a| |vec b|), [1 p.]

josta saadaan ~a =arc cos (vec a * vec b) /(|vec a| |vec b|) tai sin ~a =sqrt(1 -(vec a * vec b /(|vec a| |vec b|))^2). (1 p.)

Sijoitetaan tämä pinta-alan kaavaan |vec a| |vec b| sin ~a, (1 p.)

jolloin saadaan esimerkiksi
sqrt((1 -cos^2 (~a)) |vec a|^2 |vec b|^2) =sqrt((1 -(vec a * vec b /(|vec a| |vec b|))^2) |vec a|^2 |vec b|^2) =sqrt(|vec a|^2 |vec b|^2 -(vec a * vec b)^2) [1 p.]

Saatu lauseke, joka on neliöjuuri komponenttien polynomista (trigonometriset funktiot eliminoitu). (1 p.)

ylläolevista riveistä riippumaton piste Muodostettu ristitulovektorin pituuden lauseke

sqrt((a_y b_z -a_z b_y)^2 +(a_z b_x -a_x b_z)^2 +(a_x b_y -a_y b_x)^2) käyttäen tehtävänannon ristitulon määritelmää tai käyttäen laskimella laskettua ristituloa, jota on verrattu tehtävänannon ristitulon määritelmään. (2 p.)

Lauseketta (a_y b_z -a_z b_y)^2 +(a_z b_x -a_x b_z)^2 +(a_x b_y -a_y b_x)^2 sievennetty [1 p.]

Muodostettu oikeat pituuden ja pinta-alan (neliöiden) polynomilausekkeet. Vertaillaan niitä (laskin käy) ja todetaan ne yhtä suuriksi. (1 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Tai vastaavat laskut neliöillä (kuten alla olevissa kaavoissa).

Pisteriviltä 6 saa 0 p, jos on käytetty crossP-käskyä (tms.) ilman eksplisiittistä vertailua tehtävänannon määritelmään. Jos lauseke selviää ilman eksplisiittistä vertailua tehtävänantoon, voi vielä saada kahdelta viimeiseltä riviltä pisteet. 1+1+1+1+1+0+1+1 (max 7 p.)

Ristitulovektorin pituuden neliön lauseke ja sen sievennys:
(a_y b_z -a_z b_y)^2 +(a_z b_x -a_x b_z)^2 +(a_x b_y -a_y b_x)^2 =(a_y b_z)^2 +(a_z b_y)^2 +(a_z b_x)^2 + (a_x b_z)^2 +(a_x b_y)^2 +(a_y b_x)^2 -2 a_y b_z a_z b_y -2 a_z b_x a_x b_z -2 a_x b_y a_y b_x

Pinta-alan neliön lauseke:
|vec a|^2 |vec b|^2 -(vec a * vec b)^2 =((a_x)^2 +(a_y)^2 +(a_z)^2) ((b_x)^2 +(b_y)^2 +(b_z)^2) -(a_x b_x +a_y b_y +a_z b_z)^2 =(a_x)^2 (b_x)^2 +(a_x)^2 (b_y)^2 +(a_x)^2 (b_z)^2 +(a_y)^2 (b_x)^2 + (a_y)^2 (b_y)^2 +(a_y)^2 (b_z)^2 +(a_z)^2 +(b_x)^2 +(a_z)^2 (b_y)^2 +(a_z)^2 (b_z)^2 -((a_x)^2 (b_x)^2 +(a_y)^2 (b_y)^2 +(a_z)^2 (b_z)^2 +2 a_x b_x a_y b_y +2 a_x b_x a_z b_z +2 a_y b_y a_z b_z) = (a_x)^2 (b_y)^2 +(a_x)^2 (b_z)^2 +(a_y)^2 (b_x)^2 +(a_y)^2 (b_z)^2 +(a_z)^2 (b_y)^2 -2 a_x b_x a_y b_y -2 a_x b_x a_z b_z -2 a_y b_y a_z b_z