Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä (näkövammaiset)

19.3.2025

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 13.5.2025

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esimerkiksi derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Hakasuluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Jos erikseen ei mainita, niin vastauksen hyväksyttävä tarkkuus on yksi merkitsevä numero enemmän tai vähemmän kuin ohjeeseen kirjattu.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37,5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esimerkiksi laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä yllä olevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
    • Teksti STOP tarkoittaa sitä, että sillä rivillä kerrotaan, minkä ehtojen pitää toteutua, jotta jatkosta saa pisteitä.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esimerkiksi tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esimerkiksi e^1, ln (e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esimerkiksi e^1, ln (e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esimerkiksi x =2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esimerkiksi puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

A-osa

1. Lyhyitä tehtäviä 12 p.

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauslaatikkoon voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun.

1.1 Ratkaise yhtälö 5 x -17 =43. 2 p.

  • 12 (2 p.)

1.2 Mikä on lausekkeen -7 x^2 +2 x (4 x -1) arvo kohdassa x =2? 2 p.

  • 0 (2 p.)

1.3 Mikä on pisteiden (-2, -2) ja (1, 4) kautta kulkevan suoran kulmakerroin? 2 p.

  • 2 (2 p.)

1.4 Mikä on edellisen osatehtävän suoran vakiotermi? 2 p.

  • 2 (2 p.)

1.5 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat koordinaatiston pisteissä (1, 1) ja (5, 1) . Mikä on huippukulman x-koordinaatti? 2 p.

  • 3 (2 p.)

1.6 Mikä luku saadaan, kun ensimmäiset 50 positiivista paritonta kokonaislukua lasketaan yhteen, eli kuinka paljon on 1 +3 +… +97 +99? 2 p.

  • 2500 (2 p.)

2. Yhtälö ja lukujono 12 p.

  1. Ratkaise yhtälö (x +3) (2 x -1) =4. (6 p.)
  2. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 2025 ja viides jäsen on 1973. Mikä on lukujonon sadas jäsen? (6 p.)
Osatehtävä 2.1

Sulkujen poisto oikein 2 x^2 -x +6 x -3 =4. (1 p.)

STOP: Ei pisteitä jatkosta, jos yhtälö ei ole toista astetta.

Termit yhdistetty oikein (2 x^2 +5 x -7 =0 TAI 2 x^2 +5 x =7). (1 p.)

Jonkinlainen aloitus yhtälön ratkaisemiseen: Sijoitettu ratkaisukaavaan omat 3 kerrointa (2, 5 ja -7) mahdollisesti väärään paikkaan tai eri merkein. Tällä rivillä kelpaa myös yhtälöstä 2 x^2 +5 x -3 =4 sijoitetut kertoimet 2, 5 ja -3. (1 p.)

Kaikki omaa normaalimuotoa vastaavat kertoimet sijoitettu oikein x =(-5 +-sqrt(5^2 -4 *2 *(-7)) /(2 *2) TAI lisätty kuvakaappaus SpeedCrunchista, josta näkyvät oikeat kertoimet. (1 p.)

Oma diskriminantti sievennetty tai käsitelty oikein. [1 p.]

Saatu juuret oikein melko täsmälleen x =1 ja x =-7/2. (Desimaalimuoto melko täsmälleen x =-3,5 käy myös.) (1 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Saatu vaillinainen toisen asteen yhtälö, a x^2 =b tai a x^2 +b x =0. (1+0+1+1+1+0) tai (0+1+1+1+1+0) (max 4 p.)

Alkupiste (1 p.): x =1 tai x =-7/2 arvattu ja tarkistettu.

Osatehtävä 2.2

(Merkitään lukujonon jäseniä a_1, a_2 jne.) Nyt a_5 -a_1 =1973 -2025 (=-52). Myös 2025 -1973 (=52) käy. (1 p.)

Kahden peräkkäisen jäsenen välinen erotus on siis -52/4 =-13. Oikea idea jakamisesta / oikea jakaja. (2 p.)

Siispä a_100 =2025 -13 *99 =738. Oikea idea vähentämisestä/ kerroin 99/ sievennetty vastaus oikein. (3 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Tyyppivirhe: luku 13 perustelematta. (0+0+3) (max 3 p.)

Tyyppivirhe: luku 13 perustelematta, mutta näytetty, että se toimii, esimerkiksi 2025 -13 -13 -13 -13 =1973. (0+2+3) (max 5 p.)

Alkupiste (1 p): Oikea idea aritmeettisesta jonosta, esimerkiksi a_100 =2025 +(100 -1) d.

3. Kokouspalkkio 12 p.

Järjestön luottamushenkilöiden kokouspalkkioita on korotettu viimeksi vuonna 2009. Vuonna 2023 järjestö päättää korottaa kokouspalkkiotaan 30 eurosta 40 euroon. Ansiotasoindeksi oli 2 717 vuonna 2009 ja 3 667 vuonna 2023. Ylittääkö luottamushenkilöiden ansiokehitys tämän jälkeen yleisen ansiokehityksen? Kuinka suuri uuden kokouspalkkion pitäisi olla, jotta korotus noudattaisi yleistä ansiokehitystä?

Indeksin muutoksen suhde (katso taulukko) TAI indeksin ja palkkion suhde vanhoilla luvuilla (2717 /30 ~~90,57 TAI 30 /2717 ~~0,0110). (lasku 3 p., vastaus 1 p.) (4 p.)

Palkkion muutoksen suhde (katso taulukko) TAI indeksin ja palkkion suhde uusilla luvuilla (3667 /40 =91,675 TAI 40 /3667 ~~0,0109). (lasku 1 p., vastaus 1 p.) (2 p.)

Kahteen oikealla logiikalla saatuun ja keskenään vertailukelpoiseen lukuun perustuen: luottamushenkilöiden ansiokehitys ei ylitä yleistä ansiokehitystä. (2 p.)

Lasketaan oikealla logiikalla yleistä ansiokehitystä noudattava kokouspalkkio (esimerkiksi 30 +0,3497 *30 tai 30 /0,7409) TAI verrantoyhtälöllä (esimerkiksi 30 /x =2717 /3667). (2 p.)

Johtopäätöksenä: Saadaan kokouspalkkioksi ~~40,49 (euroa) (tai 40,50 euroa tai 40,5 euroa, vain nämä tarkkuudet). (vastaus 1 p., pyöristys 1 p.) (2 p.)

Tehtäväkohtaiset erillisohjeet

Kerroin 0,3497/jakaja 0,7409 vähintään tämä tarkkuus tai ei pyöristyspistettä.

Vastaus 40,49 tai 40,50 tai 40,5 euroa löydetty kokeilemalla ja vastaus tarkistettu (4+2+2+1+2).

Ensimmäisen rivin nimittäjässä 3667: vaatii selityksen vertailussa tai -1 p. kolmannella rivillä.

Laskettu 40 euroa vastaava indeksiluku 2717 *40/30 ~~3623: (4+2+...) kahdelta ensimmäiseltä riviltä. Tästä pystyy tekemään johtopäätöksen (4+2+2+...).

Laskettu uuden indeksin mukainen palkkio:

– ei johtopäätöstä (4+0+0+2+2) (max 8 p.)

– tehty johtopäätös (2. riviä ei tarvitse --> sen pisteet saa, vaikka palkkio väärin) (max 12 p.)

– laskettu väärin: kerroin saattaa antaa pisteitä 1. tai 2. riviltä.

Kertoimien laskut puuttuvat mutta luvut näkyvät ja selitetty. (max 11 p.)

Pelkkä vastaus 40,49 euroa (tai vastaava) ja "40 e palkkio ei ylitä yleistä tasoa". (0 p.)

Alla olevassa taulukossa on listattu erilaisia suhteita, joita voi käyttää johtopäätöksen teossa. Myös muista sellaisista suhteista max 6 kahdelta ensimmäiseltä riviltä, joita voi käyttää johtopäätöksen tekemiseen. Suhteiden ei tarvitse olla keskenään vertailukelpoisia.

Indeksi (4 p.)Palkkio (2 p.)
nousu (3667 -2717) /2717 ~~34,97 % ~~35 % (40 -30) /30 ~~33 %
muutoskerroin 3667 /2717 ~~1,3497 ~~1,35 40 /30 ~~1,33
vanha vähemmän kuin nykyinen (3667 -2717) /3667 ~~25,91 % ~~26 % (40 -30) /40 =25 %
vanhan muutoskerroin 2717 /3667 ~~0,7409 ~0,74 30 /40 =0,75

4. Yhtälötyyppejä 12 p.

Lukiomatematiikassa on tärkeää osata erottaa potenssiyhtälöt ja eksponenttiyhtälöt toisistaan. Yksinkertaistettu potenssiyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x^n =t ja yksinkertaistettu eksponenttiyhtälö muodossa a^x =b. Molemmissa esimerkkiyhtälöissä tuntematon muuttuja on x.

  1. Anna esimerkki yksinkertaistettua muotoa olevasta potenssiyhtälöstä, jossa n >= 2 ja t !=0 ja jolla on vain yksi ratkaisu. Ratkaise myös yhtälösi. (6 p.)
  2. Anna esimerkki yksinkertaistettua muotoa olevasta eksponenttiyhtälöstä, jossa a > 1 ja b > 0. Ratkaise myös yhtälösi. (6 p.)
Osatehtävä 4.1

Annettu yhtälö muotoa x^n =t, jossa n >= 2 ja t !=0. (1 p.)

Oikeaa muotoa olevalla yhtälöllä x^n =t on tasan yksi ratkaisu. (1 p.)

STOP: Seuraavat pisteet voi saada vain, jos edeltä saatu kaikki 2 pistettä.

Annettu oman yhtälön oikea ratkaisu. (2 p.)

Yhtälö ratkaistu toimivalla menetelmällä. (2 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Tyyppivirhe: x^2 =4 eli x =sqrt(4) =2. (1+0+stop) (max 1 p.)

Tyyppivirhe: x^2 =4 eli x =+-sqrt(4) =+-2. (1+0+stop) (max 1 p.)

Annettu oman yhtälön oikea ratkaisu, joka testattu sijoittamalla. (1+1+2+1) (max 5 p.)

Vastauksena päättymätön desimaaliluku ja pyöristys. (max 6 p.)

Merkintävirhe, esimerkiksi otettu neliöjuuri kuutiojuuren tms. sijaan. (Ei vähennystä, jos sanallinen selitys on oikein ja juuressa ei ole indeksiä.) (-1 p.)

Osatehtävä 4.2

Annettu muotoa a^x =b oleva yhtälö omilla luvuilla. (1 p.)

Omassa muotoa a^x =b olevassa yhtälössä a > 1 ja b > 0. (1 p.)

STOP: Seuraavat pisteet voi saada vain, jos edeltä saatu kaikki 2 pistettä.

Annettu oman yhtälön oikea ratkaisu. (2 p.)

Yhtälö ratkaistu toimivalla menetelmällä TAI ratkaisu tarkistettu sijoituksella. (2 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Ilmoitettu tehtävänannon mukaiset a:n ja b:n arvot, mutta termit tai yhtälö esittämättä. (+0 p.)

Puuttuva ratkaisumenetelmä (esimerkiksi "6^x =1 eli x =0" tai "6^x =6 joten x =1"). (1+1+2+0) (max 4 p.)

Molemmat puolet esitetty saman kantaluvun avulla (esimimerkiksi "6^x =1 eli x =0, koska 6^0 =1" tai "6^x =6 =6^1, joten x =1"). (1+1+2+2) (max 6 p.)

Merkintävirhe, esimerkiksi jaettu kantaluvut puolittain pois. (-1 p.)

Annettu oman yhtälön oikea ratkaisu tuottaa pisteitä, vaikka ratkaisu olisi saatu virheellisellä laskulla/menetelmällä.

Tyyppivirhe: ylimääräiset miinusmerkit (esimerkiksi -2^x =-8, joten x =3). (0 p.)

5. Pisteitä ympyrässä 12 p.

Koordinaatistoon on piirretty ympyrä x^2 +y^2 =9. Kuinka monta sellaista pistettä on ympyränkaarella, joiden kumpikin koordinaatti on kokonaisluku? Entä ympyrän sisällä, ei kaarella?

Jotta piste voi olla ympyränkaarella, tulee päteä |x| <= sqrt(9) =3 ja |y| <= sqrt(9) =3. (2 p.)

Voidaan testata: Jos x =+-3, niin y^2 =9 –(+-3)^2, eli y =0. Jos x =+-2, niin y^2 =9 -4 =5, eli ei ratkaisua. Jos x =+-1, niin y^2 =9 -1 =8, eli ei ratkaisua. Jos x =0, niin y =3 vastaavasti kuin edellä. (2 p.)

Ainoat ratkaisut ovat siis (0, 3), (0, -3), (3, 0) ja (-3, 0), eli pisteitä on neljä. (1 p.)

Piste on ympyrän sisällä, ei kaarella, jos x^2 +y^2 < 9. (1 p.)

Nyt on siis oltava |x| < sqrt(9) =3, eli |x| <= 2. (2 p.)

Voidaan testata: Jos x =+-2, niin |y| < 9 -(+-2)^2 =5 eli y voi saada kokonaislukuarvot väliltä [-2, 2]. Tällaisia pisteitä on siis 5. (2 p.)

Jos x =+-1, niin |y| < 9 -(+-1)^2 =8, eli y voi saada kokonaislukuarvot väliltä [-2, 2]. Tällaisia pisteitä on jälleen 5. Jos x =0, niin |y| < 9, eli y voi taas saada kokonaislukuarvot väliltä [-2, 2]. Myös tällaisia pisteitä on 5. (1 p.)

Pisteitä on siis yhteensä 15. (1 p.)

6. Klassikko 12 p.

Määritä esimerkiksi derivaatan avulla polynomifunktion p(x) =x^3 -x^2 +x suurin ja pienin arvo, kun 1 <= x <= 2.

Lasketaan derivaatta: p'(x) =3 x^2 -2 x +1. (yksi termi ja derivaatan aste oikein 1 p., kaksi termiä oikein 1 p., kaikki termit oikein 1 p.) (3 p.)

Selvitetään omalle derivaatalle, joka on 2. asteen polynomi, onko sillä nollakohtia:
x =(2 +-sqrt((-2)^2 -4 *3 *1)) /(2 *3) =(2 +-sqrt(-8)) /(2 *3). (sijoitus likimain oikein 1 p., sijoitettu oikein omat kolme nollasta poikkeavaa termiä 1 p., diskriminantti sievennetty oikein [myös 4 -12 käy] 1 p.) (3 p.)

riippumaton Diskriminantti on negatiivinen ja todettu, että derivaatalla ei ole nollakohtia. (1 p.)

Sanallisesti todettu, että koska derivaatalla ei ole nollakohtia (tarkasteluvälillä), riittää tarkastaa määrittelyvälin päätepisteet (3 p.). TAI Käsitelty funktion kulkua tarkasteluvälillä (hieman vajaavainen käsittely 1 p., huolellinen käsittely 2 p.), todettu, että derivaatan positiivisuudesta seuraa että funktio on kasvava 1 p.

Esimerkkejä perustelusta: Derivaatan merkki testipisteessä ja päättely, esimerkiksi p'(1) =3 *1^2 -2 *1 +1 =2 > 0, joten derivaatta on positiivinen. (Ei pisteitä pelkästä derivaatan arvojen laskemisesta.) TAI Koska derivaatta on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia, sen arvot ovat positiivisia.

riippumaton Suurin arvo on p(2) (=2^3 -2^2 +2) =6, ja pienin arvo on p(1) (=1^3 -1^2 +1) =1 (1 p. kummastakin vastauksesta TAI 1 p. jos laskettu p(2) ja p(1).) (2 p.)

Ratkaisukohtaiset erillisohjeet

Havainto p'(x) =3 x^2 -2 x +1 =2 x^2 +(x -1)^2 > 0 osoittaa sekä derivaatan nollakohtien puuttumisen, että derivaatan positiivisuuden samalla kertaa. (max 12 p.)

Löydetty (virheellisesti) derivaatan nollakohtia, esimerkiksi virhe nollakohtien laskemisessa. (3+2+0+2+2) tai (2+3+0+2+2) (max 9 p.)

Tyyppivirhe: p'(x) =3 x^2 -2 x. (2+2+0+2+2) (max 8 p.)

TAI

Esitetty p tarkasteluvälillä kasvavien ja positiivisten komponenttien tulona/summana. Esimerkiksi: p(x) =x^2 (x -1) +x, p(x) =x ((x -1)^2 +x) (1 p.)

Osoitettu, että komponentit (esimerkiksi x^2, x -1 ja x) ovat (tarkasteluvälillä) kasvavia (3 p.)

Osoitettu, että tulon tekijät ovat (tarkasteluvälillä) ei-negatiivisia (3 p.)

Näin ollen p on kasvava. (3 p.)

riippumaton Suurin arvo on p(2) =2^3 -2^2 +2 =6, ja pienin arvo on p(1) =1^3 -1^2 +1 =1. (2 p.)

B-osa

7. Verrannollisuuksia 12 p.

Täydennä virkkeet. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1–2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

7.1 Täydennä virkkeet. 3 p.

7.1.1 1 p.

  • on kääntäen verrannollinen  (1 p.)

7.1.2 2 p.

  • 100  (2 p.)

7.2 Täydennä virkkeet. 3 p.

7.2.1 1 p.

  • ei ole suoraan eikä kääntäen verrannollinen  (1 p.)

7.2.2 2 p.

  • 72  (2 p.)

7.3 Täydennä virkkeet. 3 p.

7.3.1 1 p.

  • on suoraan verrannollinen  (1 p.)

7.3.2 2 p.

  • 240  (2 p.)

7.4 Täydennä virkkeet. 3 p.

7.4.1 1 p.

  • ovat kääntäen verrannolliset  (1 p.)

7.4.2 2 p.

  • 3,5  (2 p.)

8. Superkuu 12 p.

Kun Kuu on täydenkuun aikaan lähellä kiertoratansa Maata lähimpänä olevaa kohtaa (perigeum), sitä kutsutaan superkuuksi. Tämän vuosisadan suurin superkuu nähdään 6.12.2052, jolloin Kuun keskipisteen etäisyys Maan pinnalta on noin 350.000 kilometriä. Vastaava etäisyys Kuun kiertoradan kauimpana olevaan kohtaan (apogeum) on noin 401.000 kilometriä. Kuinka monta prosenttia suuremmassa kulmassa Kuu näkyy 6.12.2052 verrattuna pienimpään mahdolliseen kulmaan? Kuun säde on 1737 kilometriä.

Tilanteen hahmottaminen

Mallinnettu kulmaa sanallisesti tai kuvan avulla. (Ympyrä ja kaksi suoraa, jotka muistuttavat tangentteja.) (1 p.)

Kuvattu sanallisesti tai piirretty suorakulmainen kolmio. Vaaditaan joko suorakulman merkki tai että tekstistä käy ilmi kolmion suorakulmaisuus. (1 p.)

Joko oikea malli TAI maininta, että likimääräinen malli riittää. (Joko 0 tai 2 p.)

Tarkennus: Oikealla mallilla tarkoitetaan, että katselupisteestä piirretään tangentit kuulle, jolloin suorakulmat syntyvät kuun kehäpisteisiin. Likimääräisellä mallilla tarkoitetaan, että suorakulmat ovat kuun keskipisteessä etäisyysjanan ja kuun halkaisijan välillä, ja kuun sivuille tulevat suorat ovat näiden kolmioiden hypotenuusat.

Kulmien laskeminen

ylläolevista riveistä riippumaton piste Superkuun tapaus omaa tilannetta vastaavan trigonometrisen yhtälön avulla (sin(x) =1737 /350.000 TAI tan(x) =1737 /350.000) JA ratkaistu yhtälö (x =0,2843519359... ^@ =0,004962877516...rad TAI x =0,2843484341... ^@ =0,004962816399...rad). (2+1 p.)

Kauimmaisin tapaus omaa tilannetta vastaavan trigonometrisen yhtälön avulla (sin(x) =1737 /401.000 TAI tan(x) =1737 /401.000) JA ratkaistu yhtälö (x =0,2481872324... ^@ =0,004331684369...rad TAI x =0,2481849041... ^@ =0,004331643731...rad). (2+1 p.)

STOP: Seuraavat pisteet vain silloin, jos ratkaisussa on laskettu molempien tapausten kulmat.

Koska halkaisija näkyy kaksinkertaisessa kulmassa kummassakin tapauksessa, tätä ei tarvitse huomioida suhteita vertaillessa TAI kerrottu molempien kulmien suuruudet kahdella. (1 p.)

Kulmien suhde vertailtu prosenttilaskulla

Suhde laskettu oikein (esimerkiksi (0,2843519359... ^@ -0,2481849041... ^@) /(0,2481849041... ^@)) ja saatu ((14,5715406... % ~~)  10 %, 15 % TAI 14,6 %. (vain nämä tarkkuudet) (1 p.)

Ratkaisukohtaiset erillisohjeet

Erikoistapaus: Asteet ja radiaanit sekaisin tai 0,284 astetta muuttuu maagisesti 28,4 asteeseen ja muut vastaavasti, -1 p. (vähennys vain kertaalleen)

Erikoistapaus: Sekoitettu säde ja halkaisija 1+1+0+3+3+1+1 (virhe jo kuvassa) tai 1+1+2+(1+1)+(1+1)+1+1 (virhe vasta laskussa) (max 10 p.)

Erikoistapaus: Vertailtu sivujen pituuksia 1+1+2+0+0+0+0+0+0 (max 4 p.)

Erikoistapaus: Luettu tehtävää väärin ja saatu etäisyyksiksi 350000+1737 ja 401000+1737: 1+1+2+2+2+1+1 (max 10 p.)

Erikoistapaus: Kulmat laskettu eri malleilla (oikea ja likimääräinen) 1+1+0+(2+1)+(2+1)+1+0 (max 9 p.)

TAI (Ohjelmisto)

Mallinnettu molemmat kulmat kuvan avulla tai komennoilla. (2 p.)

Oikea mallinnus (tangentit kuulle) TAI epätarkan mallin selitys. (Joko 0 tai 2 p.)

Kulmien mittaaminen

Kuvan mittakaava vaikuttaa olevan oikein (1 p.)

Mitattu ensimmäinen kulma (1 p.)

Mitattu toinen kulma (1 p.)

Dokumentaatio/komennot

Näkyvissä komennot kulman sivujen (suorien) tuottamiseen (2 p.)

Näkyvissä komennot kulmien tuottamiseen (2 p.)

Kulmia vertailtu prosenttilaskulla

Kulmien suhde laskettu oikein ja saatu ((14,5715406... % ~~)  10 %, 15 % TAI 14,6 % (vain nämä tarkkuudet) (1 p.)

Ratkaisukohtaiset erillisohjeet

Erikoistapaus: Jos ohjelmistoratkaisussa laskettu puolikkailla kulmilla ilman perustelua, niin 2+2+1+0+1+2+2+1 (max 11 p.)

9. Sähkösopimukset 12 p.

Viima on hankkimassa uutta sähkösopimusta. Eräs sähköyhtiö tarjoaa seuraavia sopimuksia:

  1. kiinteähintainen: 9,80 snt/kWh + 5,99 e/kk
  2. kiinteähintainen, jossa huomioidaan käyttövaikutus: 8,99 snt/kWh + käyttövaikutus + 3,99 e/kk.

Sähkösopimuksessa B esiintyvä käyttövaikutus (yksikkönä snt/kWh) lasketaan kuukausittain kaavalla X /Y -Z. Tässä X lasketaan kuukauden ajalta tuntikohtaisten sähkönkulutusten s_k ja tuntikohtaisten pörssisähkön hintojen h_k avulla kaavalla

X =s_1 h_1 +s_2 h_2 +… +s_720 h_720.

Nimittäjä Y on kuukauden kokonaissähkönkulutus ja Z on tuntikohtaisten pörssisähkön hintojen h_k keskiarvo kuukauden ajalta. Käyttövaikutus voi olla myös negatiivinen.

Viima arvioi päätöksensä tueksi syyskuun sähkönkulutustaan. Hän selvittää sähkönkulutuksensa ja pörssisähkön hinnan neljältä tunnilta. Nämä on esitetty taulukossa 9.A. Hän arvioi näiden kuvaavan koko kuukauden sähkönkulutuksen ja pörssisähkön hintaa laskemalla esimerkiksi X =180(s_1 h_1 +s_2 h_2 +s_3 h_3 +s_4 h_4), koska 720 /4 =180.

Kummalla sopimuksella Viiman syyskuun sähkölasku olisi ollut pienempi?

Koska tunteja on kuukaudessa 720, vastaa Viiman otos 4/720 =1/180 osaa kuukaudesta. (1 p.)

Näiden neljän tunnin sähkönkulutus on 0,65 +0,65 +0,42 +0,33 =2,05, joten kuukauden kokonaiskulutus on arviolta 2,05 *180 =369 kWh. (2 p.)

Kiinteähintaisella sopimuksella kustannukset ovat 369 *0,098 +5,99 ~~42,16 euroa. (1 p.)

Lasketaan nyt käyttövaikutuksen suuruus toisessa sopimustyypissä. Aloitetaan laskemalla parametrit X, Y ja Z. Arvo Y =369 kWh, kuten on laskettu jo aiemmin.

Arvo X on kokonaishinta, jos maksetaan tunneittain. Näiltä neljältä tunnilta hinta on 0,65 *11,66344 +0,65 *2,50356 +0,42 *2,45272 +0,33 *2,35228 =11,0149448, joten koko kuukaudelta hinta on 180 *11,0149448 ~~1983,69 senttiä. (2 p.)

Arvo Z on keskihinta, eli (11,66344 +2,50356 +2,45272 +2,35228) /4 =4,743 snt/kWh. (1 p.)

Käyttövaikutus on X /Y -Z =1982,69 /369 -4,743 ~~0,6301 snt/kWh. (2 p.)

Kokonaiskustannus on siis senteissä 369 *(8,99 +0,6301) +399 ~~3949 senttiä, eli 39,49 euroa. (2 p.)

Kiinteähintainen sopimus on siis edullisempi Viiman arvion perusteella. (1 p.)

10. Koulutus 18 p.

Yksi kestävän kehityksen tavoitteista (SDG Tavoite 4.1, lyhenne sanoista Sustainable Development Goal) on tarjota riittävä koulutus mahdollisimman monille ihmisille. Eräs tapa arvioida tämän tavoitteen toteutumista on tarkastella niiden 25–29-vuotiaiden ihmisten prosenttiosuutta p(t), jotka ovat opiskelleet vähintään 12 vuotta.

Logistinen malli on eräs tapa ennustaa funktion p(t) arvoja. Sen mukaan

p(t_2) =p(t_1) +c p(t_1) (100 -p(t_1)) (t_2 -t_1),

kun c on malliin liittyvä vakio.

  1. Mallinnetaan ensin korkean tulotason maiden koulutettujen osuutta. Määritä vakion c arvo niin, että alkuarvolla p(1970) =54 logistinen malli antaa tulokseksi p(2018) =84. (4 p.)
  2. Koko maailman tapauksessa saadaan aikaväliä 1970–2018 käyttämällä vakion arvoksi c =0,000404. Laske logistisen mallin mukainen vuoden 2030 prosenttiosuuden ennuste käyttämällä vain yhtä aikaväliä 2018–2030 ja alkuarvoa 51 %. Miten hyvin tulos vastaa tutkijoiden antamaa ennustetta 61 % vuodelle 2030? (6 p.)
  3. Minä vuonna osatehtävän 10.2 logistisen mallin mukaan koko maailman koulutettujen osuus p(t) saavuttaa 55 %:n rajan? Tutki tilannetta laskemalla vuoden välein alkaen vuodesta 2018. (8 p.)
Osatehtävä 10.1

Sijoitettu kaavaan arvoista  t_1 =1970,  t_2 =2018, p(t_1) =54 ja p(t_2) =84

(84 =54 +c *54(100 -54) *(2018 -1970))

vähintään 2 eri lukua oikeille paikoille (1 p.) ja kaikki oikein (1 p.). (2 p.)

Ratkaistu ohjelmistolla (kuvakaappaus) tai laskemalla c =(p(t_2) -p(t_1))/(p(t_1)(100 -p(t_1)) *(t_2 -t_1) [1 p.]

( =(84 -54) /(54 *(100 -54) *(2018 -1970)) =30 /119.232 =5 /19.872 ~~0,0002516103) ~~ täsmälleen 0,000252. (1 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Vastaukseksi hyväksytään myös tarkat murtolukuarvot.

Osatehtävä 10.2

Sijoitettu kaavaan arvoista t_1 =2018, t_2 =2030, p(t_1) =51 ja c =0,000404

vähintään 2 eri lukua oikeille paikoille (1 p.) ja kaikki oikein (1 p.). (2 p.)

p(2030) =51 +0,000404 *51 *(100 -51) *(2030 -2018) =63,115152 ~~ täsmälleen 63. (2 p.)

Mallin hyvyyden arvioinnin pisteitys: (2 p.)

2 pisteen vastaus: Vertailtu tilannetta monesta näkökulmasta ja 61 % osana vertailua TAI 2 %-yksikköä osana vertailua TAI laskelmilla analysoidaan tilannetta tarkemmin (lasketaan esimerkiksi prosentuaalinen virhe).

1 pisteen vastaus: Vertailu ei ole monipuolinen, mutta vertailussa on mukana 61 % tai kyseessä muuten 2 pisteen vastaus, mutta sotkettu prosenttiyksiköt ja prosentit. Vastauksessa saa olla virheellistä terminologiaa.

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Valittu väärä käyrä (0+2+0+2) (max 4 p.)

Osatehtävä 10.3

Siirtymä seuraavaan vuoteen saadaan laskemalla p(t +1) =p(t) +c p(t) (100 -p(t)), sillä nyt aikavälin pituus on 1. (2 p.)

p(2019) =p(2018) +0,000404 p (2018) (100 −p (2018)) =51 +0,000404 *51 *(100 −51) =52,009596. (2 p.)

Vastaavasti p(2020) =52,009596 +0,000404 *52,009596 *(100 −52,009596) ~~53,017964, p(2021) =53,017964 +0,000404 *53,017964 *(100 −53,017964) ~~54,024284. (2 p.)

Koska p(2022) =54,024284 +0,000404 *54,024284 *(100 −54,024284) ~~55,03, on kysytty vuosi 2022. (2 p.)

Osatehtäväkohtaiset erillisohjeet

Hyväksytään myös ratkaisu, jossa on koko ajan pidetty t_1 =2018.

11. Korrelaation käyttöä 18 p.

  1. Selitä omin sanoin ja esimerkein, mitä tarkoittaa kahden muuttujan välinen korrelaatio. (6 p.)
  2. Auton keskinopeus on 60 km/h, vaihteluvälinä 50–70 km/h ja matka-aika 2 tuntia. Onko auton etenemän matkan ja kuluneen ajan välinen korrelaatio vahvasti positiivinen, vahvasti negatiivinen vai lähellä nollaa? Perustele, miksi näin on. (6 p.)
  3. Eräs kokeellinen aineisto on jakautunut melko tasaisesti origokeskisen yksikköympyrän kaarelle. Arvioi tältä pohjalta, onko aineiston x- ja y-arvojen välinen korrelaatio vahvasti positiivinen, vahvasti negatiivinen vai lähellä nollaa. Perustele, miksi näin on. (6 p.)
Osatehtävä 11.1

Kahden muuttujan korrelaatio on niiden välinen lineaarinen yhteys. Korrelaatiokerroin on luku välillä [-1, 1]. Korrelaatio on vahvasti positiivinen, jos toisen muuttujan kasvaessa toinenkin kasvaa, ja toisen vähentyessä toinenkin vähenee. Korrelaatio on vahvasti negatiivinen, jos toisen muuttujan kasvaessa toinen vähenee, ja toisen vähentyessä toinen taas kasvaa. Korrelaatio on lähellä nollaa, jos tällaista yhteyttä ei löydy. (3 p.)

Esimerkiksi pienen lapsen pituuden ja iän välillä on positiivinen korrelaatio. Vaikka pidemmät lapset eivät aina ole vanhempia kuin lyhyemmät lapset, niin pääpiirteittäin kuitenkin vanhemmat lapset ovat pidempiä kuin nuoremmat lapset. Sen sijaan esimerkiksi ajomatkalla on negatiivinen korrelaatio jäljellä olevan ajomatkan ja jo ajetun ajan välillä, sillä mitä enemmän on ajettu, sitä vähemmän on matkaa jäljellä. Aikuisen ihmisen pituuden ja omistamien kynien lukumäärän välinen korrelaatio on luultavasti aika lähellä nollaa, sillä ei ole todennäköistä, että näiden välillä olisi mitään yhteyttä. (3 p.)

Osatehtävä 11.2

Kun on ajettu x tuntia, on edetty vähintään 50 x kilometriä ja korkeintaan 70 x kilometriä. Ajan kasvaessa siis kasvaa myös matka, ja lisäksi kasvu on melko lineaarista. (4 p.)

Kysytty korrelaatio on siis vahvasti positiivinen. (2 p.)

Osatehtävä 11.3

Jos aineisto on jakautunut melko tasaisesti yksikköympyrälle, niin x-koordinaatin kasvaessa y-koordinaatti voi pienentyä tai kasvaa riippuen siitä onko y-koordinaatti positiivinen vai negatiivinen. (4 p.)

Kysytty korrelaatio on siis lähellä nollaa. (2 p.)