Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, lång lärokurs

25.9.2025

Preliminära beskrivningarna av goda svar 25.9.2025

De preliminära beskrivningarna av goda svar utgör en riktgivande beskrivning av de svar som förväntas på uppgifterna i provet. De är i första hand ämnade som stöd för den preliminära bedömningen. De preliminära beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svar. De preliminära beskrivningarna av goda svar utgör inte en del av den uppgift om hur bedömningsgrunderna tillämpats på en enskild examinands provprestation som avses i Studentexamensnämndens allmänna föreskrifter och anvisningar. De preliminära beskrivningarna av goda svar är inte bindande för Studentexamensnämnden då grunderna för den slutgiltiga bedömningen fastställs.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Examinanden får poäng i hakparentes genom att uppfylla den radens villkor eller villkoret på följande rad, om följande rad är i skick, och det inte framgår explicit att föregående rad har gjorts fel.
  • Om inget annat anges, godkänns även en gällande siffra fler eller färre än i anvisningarna.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med texten exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40. Texten ganska exakt betyder att talen och uträkningarna måste vara i skick, men att det kan finnas brister i motiveringar och förklaringar.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Beteckningen poäng oberoende av de ovanstående raderna betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter denna rad på normalt sätt.
    • Beteckningen oberoende betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad.
    • Beteckningen som slutsats: poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
    • Ordet STOP betyder att raden beskriver villkor som måste uppfyllas för att kunna få poäng för den fortsatta lösningen.
  • Terminologi
    • "Svar räcker" betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • "Startpoäng" betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • "maxN" betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • "Svaret endast som närmevärde" betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (till exempel noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (till exempel e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (till exempel e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (till exempel x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (till exempel parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt "i kedja", m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.

Del A

1. Ett, två, tre, fyra 12 p.

Välj korrekt alternativ. Svaren behöver inte motiveras. Korrekt svar 2 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p. Om du har börjat besvara uppgiften men ändå inte vill lämna in uppgiften för bedömning ska du radera ditt svar genom att välja den tomma raden i rullgardinsmenyn.

1.1 Hur mycket är 12 procent av talet 34?  2 p.

  • 4,08  (2 p.)

1.2 Vilken är lösningen till ekvationen 12+x^3=4?  2 p.

  • x =-2  (2 p.)

1.3 I en rätvinklig triangel är längden på den ena kateten 12 och storleken på den motsatta vinkeln till kateten 34^\circ. Vilken är längden på triangelns hypotenusa avrundat till ett heltal?  2 p.

  • 21  (2 p.)
  • 23  (1 p.)

1.4 En cirkel har medelpunkten (1, 2), och punkten (3, 4) ligger på cirkeln. Vilken är cirkelns radie?  2 p.

  • sqrt(8)  (2 p.)

1.5 Förenkla \log_a 1+\log_a 2^3+\log_a 4, då a>0.  2 p.

  • 5 log_a 2  (2 p.)

1.6 Anta att g(x)=1+2x-x^3. Beräkna g'(4).  2 p.

  • -46  (2 p.)

2. Basuppgifter 12 p.

  1. En rät linje går genom punkterna (5, 0) och (0, -3). Bestäm linjens ekvation. (4 p.)

  2. Bestäm derivatan till funktionen f(x)=3x^2+e^{4x}. (4 p.)

  3. Bestäm integralfunktionen \displaystyle\int \cos(5x)\, dx. (4 p.)

1.

Linjens riktningskoefficient är \frac{0-(-3)}{5-0}=\frac{3}{5}. (2 p.)

Eftersom linjen går genom punkten (0,-3) är dess ekvation y=\frac{3}{5}x-3. (2 p.)

ELLER

Linjens ekvation har formen y=kx-3, eftersom den går genom punkten (0,-3). (2 p.)

Vi sätter in punkten (5,0) i ekvationen genom vilket vi får 0=5k-3, dvs. k=\frac{3}{5}. Linjens ekvation är alltså y=\frac{3}{5}x-3. (2 p.)

2.

f'(x)=6x+4e^{4x} (Den första termen ger 2 p. I den senare ges en poäng vardera för den yttre och för den inre funktionen. För överflödiga termer avdras 1 poäng.) (4 p.)

3.

\int \cos(5x)\, dx=\frac{1}{5}\sin(5x)+C (Koefficienten \frac{1}{5} + \sin(5x) + C + uttrycket exakt rätt.) (4 p.)

3. Olikhet och ekvation 12 p.

  1. Lös olikheten (x-1)(x+3)>-3. (6 p.)

  2. Lös ekvationen (x+e)(x^2-\pi^2)=0. (6 p.)

1.

Vi avlägsnar parenteserna genom vilket vi får x^2+2x-3>-3, dvs. x^2+2x>0. (2 p.)

Vi löser ut nollställena: x^2+2x=0, dvs. x(x+2)=0, vilket ger x=0 eller x=-2. (2 p.)

Det är fråga om en uppåtvänd parabel, vilket betyder att de tal som uppfyller olikheten är x<-2 och x>0. (2 p.)

2.

(x+e)(x^2-\pi^2)=0, dvs. (x+e)(x-\pi)(x+\pi)=0. (2 p.)

Nollregeln för en produkt (1 p.)

oberoende ger lösningarna x=-e, x=\pi och x=-\pi. (3 p.)

4. Trigonometrisk ekvation 12 p.

Lös ekvationen 1-(\cos x)^2 = (\sin 2x)^2, då x\in [-\pi, \pi].

I vänstra ledet kan uttrycket 1-(\cos x)^2 ersättas med uttrycket (\sin x)^2. (2 p.)

I högra ledet kan formeln för dubbla vinkelns sinus \sin (2x)=2\sin x\cos x användas. (2 p.)

Vi får alltså ekvationen i formen (\sin x)^2=(2\sin x\cos x)^2 dvs. (\sin x)^2(1-4(\cos x)^2)=0. (2 p.)

Vi använder nollregeln för en produkt.

Antingen är \sin x=0, som i det givna intervallet uppfylls av punkterna x=0 och x=\pm \pi, (2 p.)

eller \cos x=\pm \frac{1}{2}, av vilket vi får x=\pm \frac{\pi}{3} och x=\pm \frac{2\pi}{3}. (2+2 p.)

5. Statistiska nyckeltal 12 p.

  1. Medelvärdet av talen x_1, \ldots, x_n är a och b>a. Visa att medelvärdet av talen x_1, \ldots, x_n, b är större än a. (6 p.)

  2. Ge ett exempel på tal som uppfyller följande villkor eller visa att det inte finns sådana tal: talens typvärde är 1, medelvärde 10 och median 100. (6 p.)

1.

Medelvärdet av den nya mängden är \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+b}{n+1}. (1 p.)

Eftersom a=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}, så är x_1+x_2+\cdots +x_n=an. (1 p.)

Medelvärdet av talen x_1,x_2,\dots x_n,b kan uppskattas på följande sätt: \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+b}{n+1}=\frac{na+b}{n+1} (2 p.)

>\frac{na+a}{n+1}=a. (2 p.)

ELLER

Den olikhet som ska bevisas är a<\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+b}{n+1}, dvs. \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}<\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+b}{n+1}. (2 p.)

Det här är överensstämmande med olikheten (n+1)(x_1+x_2+\cdots +x_n)<n(x_1+x_2+\cdots +x_n+b), och den förenklas i sin tur till formen x_1+x_2+\cdots +x_n<bn. (2 p.)

Den här olikheten är ekvivalent med olikheten \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}<b, som är sann eftersom a<b. (2 p.)

ELLER

Den olikhet som ska bevisas är a<\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+b}{n+1}, dvs. a(n+1)<x_1+x_2+\cdots +x_n+b. (2 p.)

Eftersom \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}=a, förenklas denna till formen a(n+1)<na+b, (2 p.)

som är sann, eftersom b>a. (2 p.)

2.

Baspoängsättning: För ett fungerande exempel ges 2 poäng och för motiveringen för att exemplet fungerar ges 4 poäng ELLER för en meningsfull konstruktionsidé ges 2 poäng + genomförandet av konstruktionen 3 poäng och för ett exempel 1 poäng. (6 p.)

Exempel på poängsättning:

Exempelvis kan talen a, 1, 1, 100, 101, 102, 103 väljas om man väljer a så att medelvärdet är 10 och a är mindre än 100, (2 p.)

eftersom mängdens typvärde då är 1 och medianen 100. (2 p.)

Vi löser ekvationen \frac{a+1+1+100+101+102+103}{7}=10, (1 p.)

och får a=-338. (1 p.)

6. En funktion som är begränsad till en cirkel 12 p.

Vi undersöker funktionen f: \mathbf{R}^2\to \mathbf{R}, som är definierad genom uttrycket f(x,y)=xy. Bestäm alla värden som funktionen får på cirkeln x^2 + y^2=4.

Vi granskar först funktionens värden i cirkelns första kvadrant, dvs. då x,y\in [0,2].

Vi löser ut x ur cirkelns ekvation: x=\sqrt{4-y^2}. (2 p.)

Vi sätter in i uttrycket: f(\sqrt{4-y^2}, y)=y\sqrt{4-y^2}. Uttrycket är kontinuerligt, vilket betyder att det räcker att ta reda på det största och det minsta värdet. (1 p.)

Vi deriverar uttrycket: D(y\sqrt{4-y^2})=\sqrt{4-y^2}+\frac{y\cdot (-2y)}{2\sqrt{4-y^2}}(=\sqrt{4-y^2}-\frac{y^2}{\sqrt{4-y^2}}), då y<2. (2 p.)

Nu är \sqrt{4-y^2}-\frac{y^2}{\sqrt{4-y^2}}=\frac{4-2y^2}{\sqrt{4-y^2}}=0, då y=\pm \sqrt{2}. (2 p.)

Vi förkastar det negativa nollstället eftersom vi granskar positiva värden. Vi beräknar värdena i derivatans nollställe och i ändpunkterna: f(0,2)=0, f(0,2)=0 och f(\sqrt{2},\sqrt{2})=2. (2 p.)

Eftersom funktionens minsta värde i den här kvadranten är 0 och det största är 2, får funktionen värdena [0,2]. Eftersom f(x,-y)=f(-x,y)=-f(x,y) och f(x,y)=f(-x,-y), får funktionen alla värden i intervallet [-2,2]. (3 p.)

Del B1

7. Geometriska räkneuppgifter 12 p.

I den här uppgiften ska du endast ange svaret utan motiveringar. Du kan endast skriva in ett heltal i svarsfältet.

Beräkna i varje deluppgift närmevärdet på den obekanta avrundat till ett heltal.

7.1 Hörnen i en triangel ligger i punkterna (12, 3), (-2, 9) och (4, 20), och triangelns area är A_1.   2 p.

  • 95 (2 p.)

7.2 Hörnen i en triangel ligger i punkterna (12, 3), (-2, 9) och (4, 20), och triangelns omkrets är p.   2 p.

  • 47 (2 p.)

7.3 En rak cylinder har höjden 13, radien 4, och arean på cylinderns mantel är A_2.   2 p.

  • 327 (2 p.)

7.4 Avståndet från punkten (-20, 6) till linjen 2x+y+5=0 är d.   2 p.

  • 13 (2 p.)

7.5 Anta att \overline u=\overline i + 2\,\overline j och \overline v=2\,\overline i - 2\,\overline j. Vinkeln mellan vektorerna \overline u och \overline v i grader är \alpha.   2 p.

  • 108 (2 p.)

7.6 Anta att \overline u och \overline v är desamma som i deluppgift 7.5. Längden på vektorn 4\,\overline u - 7\,\overline v är L.   2 p.

  • 24 (2 p.)

Denna uppgift bedöms centraliserat i nämnden, vilket betyder att läraren inte utför den preliminära bedömningen. Poängen för det centraliserat bedömda svaret uppdateras automatiskt i bedömningstjänsten under censorarbetets gång. Tills svaret i fråga har bedömts märks svaret med ett streck (-) i bedömningstjänsten.

8. Ett pianoköp 12 p.

Aura vill köpa ett nytt piano. Hon planerar att spara 7\,500 euro på tre år, och sätter in ett lika stort belopp på ett nytt sparkonto den första dagen i varje månad innan bankdagen börjar. Hur mycket ska Aura lägga undan som besparing varje månad, då netto­räntesatsen på hennes sparkonto är 2{,}5~\% och räntan betalas till kontot en gång per år? I uppgiften antas att alla månader är lika långa. Pengarna på kontot ackumulerar ränta under hela den tid som de finns på kontot.

Anta att den summa som sätts in är x. (1 p.)

Den första depositionen ger räntan x\cdot 0\mathrm{,}025 under det första året. [1 p.]

Eftersom deposition k under det första året ger räntan (13-k)\cdot \frac{0\mathrm{,}025}{12}x, (2 p.)

finns det efter det första året 12x+\frac{0\mathrm{,}025}{12}(1+2+\cdots +12)x på kontot. (2 p.)

Under det andra och det tredje året beräknas de insatta beloppens inverkan under depositionsåret på motsvarande sätt. (2 p.)

Det andra och det tredje året ackumuleras ränta på deposition och ränta, dvs. efter det tredje året finns det (12x+\frac{0\mathrm{,}025}{12}(1+2+\cdots +12)x)(1\mathrm{,}025^2+1\mathrm{,}025+1) på kontot. (2 p.)

Kontots saldo måste vara 7500. Vi löser ekvationen och får fram att depositionens storlek är 200\mathrm{,}50 euro. (2 p.)

ELLER (lösning med tabellkalkylprogram)

Räntorna under det första året framgår av tabellen. (3 p.)

Räntorna under det andra och det tredje året framgår av tabellen. (2 p.)

Räntornas helhetsinverkan framgår av tabellen. (2 p.)

Examinanden har fått fram 200\mathrm{,}50 euro som storlek på depositionen. (2 p.)

oberoende Lösningen innehåller tillräckliga förklaringar och kommandon. (3 p.)

9. Tvivelaktiga slutledningar 12 p.

  1. Gizas stora pyramid har höjden 146{,}6 meter och sidan på dess kvadratiska basyta har längden 230{,}3 meter. Sirius har beräknat pyramidens volym på följande sätt:

    Eftersom en pyramid är hälften av en oktaeder så kan man använda formeln för oktaederns volym V=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}. Pyramidens volym är alltså

    \frac{1}{2}\cdot\frac{(230{,}3)^3\sqrt{2}}{3}=2\,879\,025{,}83 \ (\textrm{m}^3).

    Sirius misstänker dock att hen har gjort ett tankefel, eftersom resultatet inte motsvarar den volym på Gizas stora pyramid som anges i en källa. Förklara med motiveringar vilket fel Sirius gjorde och beräkna den korrekta volymen. (6 p.)

  2. Vega beräknar det största värdet av funktionen g(x)=x^3-2x+1 i intervallet [-1,1] på följande sätt:

    Derivatan är g'(x)=3x^2-2. Derivatans nollställen är x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}, och de ligger båda i det intervall som granskas. Eftersom g\Big(\sqrt{\frac{2}{3}}\,\Big)=1-\frac{4\sqrt{6}}{9}\approx -0{,}09 och g\Big(-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\Big)=1+\frac{4\sqrt{6}}{9}\approx 2{,}1, så är det efterfrågade största värdet 1+\frac{4\sqrt{6}}{9}.

    Om Vega har gjort en korrekt slutledning ska du motivera varför så är fallet. Om slutledningen är felaktig ska du korrigera den så att den blir korrekt. (6 p.)

1.

Slutledningen har ett fel, eftersom pyramiden i fråga inte är hälften av en oktaeder. I en oktaeder är varje kant lika lång, och i detta fall är det inte så. (2 p.)

Hälften av bottnens diameter är \frac{230\mathrm{,}3}{\sqrt{2}}, vilket betyder att vi med Pythagoras sats får att sidokantens längd är \sqrt{\left(\frac{230\mathrm{,}3}{\sqrt{2}}\right)^2+146\mathrm{,}6^2}\approx 219\mathrm{,}1, som inte är lika stor som längden på bottnens sida. (2 p.)

Den verkliga volymen är \frac{1}{3}\cdot 230\mathrm{,}3^2\cdot 146\mathrm{,}6\approx 2592000 kubikmeter. (2 p.)

Startpoäng: Svaret innehåller för mycket eller ett oförnuftigt antal decimaler. ELLER En pyramid i naturen har inte formen av en matematisk pyramid. (1 p.)

2.

Problemet i lösningen är att Vega inte har granskat intervallets ändpunkter. En deriverbar funktion kan förutom i derivatans nollställen även få sitt största värde i intervallets ändpunkter. (2 p.)

Den korrekta lösningen skulle alltså utföras så här: g'(x)=3x^2-2, vilket betyder att nollställena är x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}. Vi får alltså det största värdet i någon av punkterna x=\pm 1 eller x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}. (1 p.)

Ett schema för funktionens förlopp samt granskning av väsentliga punkter ELLER granskning av värdet i alla punkter: g\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=1-\frac{4\sqrt{6}}{9}, g\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=1+\frac{4\sqrt{6}}{9}, g(-1)=2 och g(1)=0. (2 p.)

Eftersom 1+\frac{4\sqrt{6}}{9}\approx 2\mathrm{,}1, är det största värdet 1+\frac{4\sqrt{6}}{9}. (1 p.)

Examinanden har hittat ett fel i slutledningen, men har också hävdat att den är korrekt eftersom svaret är korrekt. (-1 p.)

10. Euklides algoritm 12 p.

Bestäm med Euklides algoritm den största gemensamma faktorn för talen 121 110 987 654 321 och 123 456 789 101 112. Du kan använda programvara förutsatt att algoritmens mellansteg är synliga i lösningen.

Uppgiften kan exempelvis lösas för hand eller med Python. Här presenteras en lösning med tabellkalkylprogram.

I cellerna A1 och B1 finns de ursprungliga talen. (1 p.)

Cellen C1 består av kvoten av talen avrundat till två decimalers noggrannhet. (2 p.)

Cellen D1 består av talet C1 avrundat nedåt tilll närmaste heltal. (2 p.)

För rad 2 har man gjort definitioner som kopieras till de nedre raderna fram till det att divisionen går jämnt ut (dvs. tills cellen i kolumn 2 får värdet 0).

I cell A2 finns en kopia av cell B1, dvs. föregående rads andra cell. På motsvarande sätt är värdet i n:e radens A-cell alltid en kopia av B-cellen i rad n-1. (2 p.)

I cell B2 finns uttrycket \verb"=A1-D1*B1". I cell B3 finns uttrycket \verb"=A2-D2*B2" och så vidare. (2 p.)

Värdena i cellerna C2 och D2 är enligt den ovanstående raden. (1 p.)

Vi får den största gemensamma faktorn från kolumn A. Den är 3. (2 p.)

Examinanden har exempelvis använt sgf-kommandot med en programvara. (+0 p.)

Del B2

11. Ekvationen för en ellips 12 p.

Anta att P och Q är punkter i planet. En ellips är den kurva som bildas av de punkter Z i planet för vilka summan av avstånden |PZ| och |QZ| är konstant k>|PQ|. Punkterna P och Q kallas för ellipsens brännpunkter.

Vi undersöker en ellips som är symmetrisk med avseende på koordinataxlarna och som skär dem i punkterna (\pm a, 0) och (0, \pm 1), då a>1. Då ligger brännpunkterna på x-axeln. Bestäm brännpunkterna P och Q med hjälp av parametern a och visa att ekvationen för denna ellips är

x^2 /a^2 +y^2 =1

utan att använda någon annan information om ellipser än den ovan givna definitionen.

Anta att bränpunkternas koordinater är (p,0) och (q,0).

Vi visar först att brännpunkterna är belägna symmetriskt med avseende på y-axeln.

Vi observerar först att a > p och a > q, eftersom exempelvis i fallet a =p skulle ellipsen vara en sträcka mellan punkterna (a, 0) och (a, 0). På motsvarande sätt gäller p > -a och q > -a. (1 p.)

Eftersom a -p +a -q =p -(-a) +q -(-a) dvs. -p -q =p +q, måste -q =p gälla, vilket betyder att brännpunkterna ligger symmetriskt med avseende på y-axeln. (2 p.)

Eftersom (a,0) ligger på ellipsen och summan av avstånden från ellipsens punkter till brännpunkterna är konstant får vi a-p+a-(-p)=2a som avstånd. (2 p.)

Eftersom punkten (0,1) dessutom ligger på ellipsen får vi ekvationen 2a=2\sqrt{1^2+p^2}, dvs. a=\sqrt{1+p^2}, dvs. vi får (\pm \sqrt{a^2-1},0) som brännpunkter. (2 p.)

Anta att (x,y) är en punkt på ellipsen. Vi antar för enkelhetens skull att x\geq 0. Nu är 2a=\sqrt{y^2+(x-\sqrt{a^2-1})^2}+\sqrt{y^2+(x+\sqrt{a^2-1})^2}. (1 p.)

Genom att kvadrera ledvis får vi 4a^2=2y^2+(x+\sqrt{a^2-1})^2+(x-\sqrt{a^2-1})^2+2\sqrt{(y^2+(x-\sqrt{a^2-1})^2)(y^2+(x+\sqrt{a^2-1})^2)}, (1 p.)

som förenklas till formen

4a^2=2y^2+2x^2+2a^2-2+2\sqrt{(y^2+(x-\sqrt{a^2-1})^2)(y^2+(x+\sqrt{a^2-1})^2)}, dvs. a^2-y^2-x^2+1=\sqrt{(y^2+(x-\sqrt{a^2-1})^2)(y^2+(x+\sqrt{a^2-1})^2)}. (1 p.)

Genom att kvadrera ledvis får vi a^4+y^4+x^4+1-2a^2y^2-2a^2x^2+2a^2+2y^2x^2-2y^2-2x^2=
y^4+x^4+a^4+1 +2x^2-2a^2x^2-2a^2 +2y^2x^2+2y^2a^2-2y^2, (1 p.)

som förenklas till formen 4a^2= 4x^2+4y^2a^2. Denna ekvation är överensstämmande med ekvationen y^2+\frac{x^2}{a^2}=1. (1 p.)

12. Ortogonala funktioner 12 p.

De kontinuerliga funktionerna f:[a, b]\to \mathbf R och g:[a, b]\to \mathbf R är ortogonala, om

int_a^b f(x) g(x) dx =0.

I den här uppgiften undersöker vi endast kontinuerliga funktioner som inte är nollfunktioner (det vill säga funktionerna får även andra värden än noll).

  1. Ge ett exempel på en funktion g:[1, 2]\to\mathbf{R}, som är ortogonal mot funktionen f(x)=3x+2. (6 p.)
  2. Om funktionerna f och g är ortogonala och även funktionerna g och h är ortogonala, är då funktionerna f och h nödvändigtvis ortogonala? (6 p.)

1.

Vi får ett möjligt exempel genom att sätta g(x)=x-c som den andra funktionen och välja ett lämpligt c. (2 p.)

Nu är \int_1^2 f(x)g(x)\, dx=\int_1^2 (3x+2)(x-c)\, dx=10-\frac{13c}{2}. (2 p.)

Vi väljer c så att svaret är noll: 10-\frac{13c}{2}=0, då c=\frac{20}{13}. (2 p.)

2.

Funktionerna f och g är inte nödvändigtvis ortogonala, eftersom vi exempelvis kan välja f(x)=h(x)=3x+2 och g(x)=x-\frac{20}{13} i intervallet [1,2]. Därmed är f och g ortogonala i enlighet med föregående deluppgift, och detsamma gäller g och h. (3 p.)

Det gäller dock att \int_1^2 (3x+2)(3x+2)\, dx=43 \neq 0, vilket betyder att f och g inte är ortogonala. (3 p.)

13. En funktion som är deriverbar nästan överallt 12 p.

Anta att f:\mathbf{R}\to \mathbf{R} är en funktion för vilken f'(x)>0, då x\ne 0. Motivera vart och ett av följande påståenden eller visa med ett motexempel att påståendet inte gäller.

  1.  Funktionen f är kontinuerlig.
  2.  Funktionen f är växande.
  3.  Om f är kontinuerlig, så är den växande.
  4.  Om f är växande, så är den kontinuerlig.

Delpoängen är inte synliga, eftersom de kan avslöja om påståendet ska ges ett motexempel eller en motivering.

i. Funktionen är inte nödvändigtvis kontinuerlig. Vi undersöker exempelvis funktionen f(x)=x, då x\ne 0 och f(0)=1. Den är inte kontinuerlig i punkten x=0, men f'(x)=1>0, då x\ne 0. (2 p.)

ii. Funktionen är inte nödvändigtvis växande. Vi undersöker exempelvis funktionen f(x)=-\frac{1}{x}, då x\ne 0 och f(0)=0. Den är inte växande överallt eftersom f(-1)=1 och f(1)=-1. Det gäller dock att f'(x)=\frac{1}{x^2}>0, då x\ne 0. (2 p.)

iii. Om funktionen är kontinuerlig så är den växande, eftersom det först och främst gäller att dess derivata är positiv i övriga punkter än i punkten x = 0, vilket betyder att funktionen är växande i intervallen (-\infty, 0) och (0,\infty). (2 p.)

Det räcker alltså att granska punkten x=0, dvs. vi visar att f(-x)\leq f(0)\leq f(x) för alla positiva x. (1 p.)

Nu räcker det att granska olikheten f(0)\leq f(x). Vi gör det motsatta antagandet att det finns ett x_0>0, för vilket f(x_0)<f(0). (1 p.)

Eftersom funktionen är växande i intervallet (0,x_0], är f(x)\leq f(x_0) för alla x\in (0,x_0]. Eftersom funktionen är kontinuerlig i punkten x=0 är det här inte möjligt, eftersom f(0)>f(x_0)\geq f(x) för alla x\in (0,x_0), varvid funktionen skulle ha en diskontinuitetspunkt då x=0. (2 p.)

iv. Funktionen är inte nödvändigtvis kontinuerlig även om den skulle vara växande. Vi undersöker funktionen f, som vi definierar genom att sätta f(x)=x-1, då x<0, och f(x)=x+1, då x>0, och f(0)=0. Där är f'(x)=1, då x\ne 0, och f är växande eftersom den är växande för negativa värden, positiva värden och även över noll. (2 p.)