Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, kort lärokurs

25.9.2025

Slutgiltiga beskrivningar av goda svar 13.11.2025

Grunderna enligt vilka bedömningen gjorts framkommer i de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar. Uppgiften om hur bedömningsgrunderna tillämpats på examinandens provprestation utgörs av de poäng som examinanden fått för sin provprestation, de slutgiltiga beskrivningarna av goda svar och de föreskrifter gällande bedömningen som nämnden gett i sina föreskrifter och anvisningar. De slutgiltiga beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svarsalternativ eller alla godkända detaljer i ett godkänt svar. Eventuella bedömningsmarkeringar i provprestationerna anses vara jämställbara med anteckningar och sålunda ger de, eller avsaknaden av markeringar, inte direkta uppgifter om hur bedömningsgrunderna tillämpats på provprestationen.

Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.

I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.

Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas

  • Strukturen på en anvisning
    • I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal för en rad.
    • Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
    • Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
    • Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
    • Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
    • En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
    • Examinanden får poäng i hakparentes genom att uppfylla den radens villkor eller villkoret på följande rad, om följande rad är i skick, och det inte framgår explicit att föregående rad har gjorts fel.
  • Om inget annat anges, godkänns även en gällande siffra fler eller färre än i anvisningarna.
  • I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med texten exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40. Texten ganska exakt betyder att talen och uträkningarna måste vara i skick, men att det kan finnas brister i motiveringar och förklaringar.
  • Radernas beroende av varandra
    • I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
    • Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
    • Beteckningen poäng oberoende av de ovanstående raderna betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter denna rad på normalt sätt.
    • Beteckningen oberoende betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad.
    • Beteckningen som slutsats: poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
    • Ordet STOP betyder att raden beskriver villkor som måste uppfyllas för att kunna få poäng för den fortsatta lösningen.
  • Terminologi
    • "Svar räcker" betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
    • "Startpoäng" betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
    • "maxN" betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
    • "Svaret endast som närmevärde" betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.

  • Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (till exempel noggrannhet, enhet) -1 p.
  • Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (till exempel e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
  • Svaret är oförenklat i en annan uppgift (till exempel e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
  • Uppenbara inmatningsfel i framställningen (till exempel x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
  • Kopieringsfel i svaret -1 p.
  • Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.

Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.

  • Matematiskt bristfällig beteckning (till exempel parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt "i kedja", m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
  • I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
  • Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.

Del A

1. Korta uppgifter 12 p.

I den här uppgiften ska du endast ange svaret utan motiveringar. Du kan endast skriva in ett heltal i svarsfältet.

1.1 Hur många procent är 36 av talet 45?  2 p.

  • 80 (2 p.)

1.2 En ränta på 3 procent har nyligen blivit betald till ett konto, efter vilket det finns 675,68 euro på kontot. Hur mycket pengar fanns det på kontot innan räntan betalades in?  2 p.

  • 656 (2 p.)

1.3 Beräkna f(16) då f(x)=\sqrt{x}-2.  2 p.

  • 2 (2 p.)
  • 4 (1 p.)
Felaktigt svar som bedöms med 1 p.: 4 (vilket fås om subtraktionen glömts bort).

1.4 Hur många olika stora nollställen har polynomet p(x)=x^2+6x+9?  2 p.

  • 1 (2 p.)

1.5 Vilken är sannolikheten att vid ett kast med två mynt få två klave? Ange svaret i procent.  2 p.

  • 25 (2 p.)

1.6 På hur många sätt kan man få ögonsumman 6 vid ett kast med en liten och en stor vanlig tärning?  2 p.

  • 5 (2 p.)

2. Andel av röster 12 p.

Presidentkandidat A fick 7,3 % av alla förhandsröster och 12,7 % av alla röster på valdagen. Totalt gavs 2 500 000 godkända röster, av vilka 32 % var förhandsröster. Hur stor procentuell andel fick kandidat A av alla godkända röster?

Förhandsröster: 0,32 *2.500.000 =800.000. (2 p.)

Röster på valdagen: 2.500.000 -800.000 =1.700.000
ELLER (1-0.32)\cdot 2.500.000(=0.68\cdot 2.500.000)=1.700.000 (2 p.)

På valdagen fick kandidat A: 0,127 *1.700.000 =215.900 (2 p.)

och i förhandsröstningen 0,073 *800.000 =58.400 röster. (2 p.)

Kandidatens andel av alla röster var därför (215.900 +58.400) /2.500.000 =(274.300/2.500.000), (summa + kvot) (2 p.)

= ganska exakt 0,10972 dvs. cirka 11 % ELLER 10 % ELLER 11,0 % (bara dessa närmevärden). (2 p.)

Särskilda anvisningar för uppgiften

På de fyra första raderna uppdelas poängen enligt: "rätt idé 1 p. + rätt utförande av den rätta idéen 1 p.".

Om något av talen som fås som mellansteg på raderna 1–4 presenteras utan motivering, bedöms den motsvarande raden med 1 p. Ett felaktigt tal som presenteras utan motivering ger inga poäng, oavsett om det är så nära det rätta talet att man kunde tänka sig att den underliggande logiken har varit den rätta.

Rätt noggrannhet i avrundningen av "egna tal" ger 1 p. så länge idéen bakom kvoten inte är fel.

3. En sänktunnel 12 p.

En dagstidning (HBL, 21.10.2023) rapporterade om den 18 km långa Fehmarn Bält-tunneln som enligt planerna ska vara klar 2029. Sänktunneln förbinder öarna Lolland och Fehmarn och blir världens längsta i sitt slag.

Projektets byggledare berättar att mängden betong som ska användas för tunnelbygget uppskattas till 3 miljoner kubikmeter. Han tillägger att denna mängd skulle räcka till att bygga en gångbana runt ekvatorn. Uppskatta hur hög en sådan gångbana av betong skulle vara om den var 2,0 meter bred. Jordens radie vid ekvatorn är 6 378 km.

oberoende Rätt enhetsomvandling till exempel mellan metrar och kilometrar, 6 378 km = 6 378 000 m ELLER mellan volymenheter (kan också framgå från beräkningarna). För denna rads poäng räcker en korrekt enhetsomvandling var som helst i uppgiften. (1 p.)

Trottoarens längd är ELLER jordklotets omkrets är ELLER det framgår på ett annat sätt att en omkrets beräknas / 6378000\cdot 2\pi (=40074155\mathrm{,}8\ldots meter). (1 + 2  p.)

oberoende Den rätta ekvationen för att lösa ut trottoarens höjd h har utformats \text{volym}=\text{omkrets}\cdot2\cdot h ELLER trottoarens höjd är \frac{\textrm{volym}}{\textrm{omkrets}\cdot 2} ELLER annan korrekt förklaring för uttrycket för höjden på trottoaren. För den här radens poäng räcker den rätta idéen, ekvationen eller formeln med (rätta eller felaktiga) tal. (2 p.)

Höjden på trottoaren är 3.000.000 /(6.378.000 *2 *~p *2) ELLER egna vettiga tal har substituerats korrekt i uttrycket för höjden (volym 1 p., omkrets 1 p., bredd 1 p.). (3 p.)

Avrundningen av ett med rätt logik framräknat svar till en eller två betydande siffrors noggrannhet/rätt svar 0\mathrm{,}037\,430\,60\approxganska exakt 4 ELLER ganska exakt 3{,}7/enheterna anges och de är i enighet med de egna beräkningarna. (1 p. + 1 p. + 1 p.)

Särskilda anvisningar för uppgiften

Lösningen till ekvationen prövas fram (1+3+2+2+2). (max 10 p.)

Felaktiga värden för omkretsen:
– 6\,378\,000 \textrm{ m} ELLER 6\,378\,000 \textrm{ m}\cdot 2 (1+0+2+[1+0+1]+[0+0+1]) (max 6 p.)

– 6\,378\,000 \textrm{ m} som diameter (1+[1+1]+2+3+[1+0+1]) (max 10 p.)

Fel volym, t.ex. V=3\,000\,000\,000 \textrm{ m}^3 (1+3+2+2+2) (max 10 p.)

Beräkning med hjälp av formeln för volymen på en cirkulär cylinder. (max 12 p.)

Eftersom trottoaren är mycket låg, behöver man inte ta i beaktande jordytans kurvatur.

4. Beräkningar och begrepp 12 p.

Välj korrekt alternativ. Svaren behöver inte motiveras. Korrekt svar 1–2 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p. Om du har börjat besvara uppgiften men kommer till att du ändå inte vill lämna in den för bedömning kan du radera ditt svar genom att välja den tomma raden i rullgardinsmenyn.

4.1 Komplettera meningen. 2 p.

  • 6  (2 p.)

4.2 Komplettera meningen. 2 p.

  • 6  (2 p.)

4.3 Komplettera meningen. 2 p.

  • 0,3  (2 p.)

4.4 Komplettera meningen. 2 p.

4.4.1 1 p.

  • additionsregeln  (1 p.)

4.4.2 1 p.

  • varandra uteslutande  (1 p.)

4.5 Komplettera meningen. 2 p.

  • ränta på ränta  (2 p.)

4.6 Komplettera meningen. 2 p.

  • mer än 17 % större  (2 p.)

5. Snooker 12 p.

I biljardspelet snooker placerar man i startsituationen 15 röda klot på bordet. De ordnas i en triangelformad grupp med hjälp av en likformig triangulär ram för att göra gruppen så tät som möjligt (figur nedan). Hur lång är den inre sidan av ramtriangeln? Ett klot har diametern 52,4 mm.

oberoende Uppdelningen av triangeln/ramen till en inre del och de övriga hörndelarna har uppfattats (poäng för idéen) (1 p.)

oberoende Triangeln med vinklarna 30, 60 och 90 grader har hittats + framräkningen av längden på den längre kateten, t.ex. med hjälp av tangens eller minnestriangeln (2 \times poäng för idéen) (1+1 p.)

Mot triangelns sida ortogonala linjesegment har dragits till mittpunkterna på de intill hörnen närmast liggande kloten ELLER ett annat sätt att uppdela triangeln sidlängd till beräkneliga delar framgår klart. (2 p.)

STOP Följande poäng ges endast om den senast föregående raden bedömdes med 1–2 p.:

Sträckan mellan skärningspunkterna med linjesegmenten är 4\cdot 52{,}4=209{,}6 (mm). (2 p.)

poäng oberoende av de ovanstående raderna Utöver denna sträcka blir det kvar i vart hörn \frac{26\mathrm{,}2}{\tan(30^{\circ})} \approx 45\mathrm{,}3797 (mm).

(en formel på fel form, t.ex. sinus istället för tangens, -2 p.) (4 p.)

Summering av de egna värdena för en inre del och två hörndelar (2–4 betydande siffror i svaret; 209{,}6 +2\cdot 45{,}3797= 300{,}36\ldots\approx 300 (mm) eller 30\mathrm{,}0\approx 30 cm). (1 p.)

Särskilda anvisningar för uppgiften

Inga poäng för framräkningen av en area, volym eller radie. (+0 )

Startpoäng: 5\cdot 52{,}4 ELLER 4\cdot 52\mathrm{,}4 ELLER 6\cdot 52\mathrm{,}4. (1 p.)

Nästsista raden: kalkylatorn inställd till radianer, \tan(30) anges som negativt, raden högst 2 p. (max 10 p.)

I examstexten användes ordet "likformig" felaktigt, där det borde ha stått "liksidig". Från figuren som ingick i uppgiften framgår det att triangeln var liksidig, och en feltolkning av ordet "likformig" (som en egenskap av en samling på fler trianglar) är inte möjlig, eftersom det inte fanns någon annan triangel att jämföra med.

6. Nödsamtal 12 p.

Under år 2022 ringdes totalt 2 920 000 samtal till nödcentralen. Av dem var 694 600 oavsiktliga och 37 600 busringningar eller på annat sätt osakliga samtal. Vi kallar dessa för onödiga nödsamtal.

  1. Hur många onödiga nödsamtal kom det i genomsnitt under en timme? (3 p.)
  2. Uppskatta genom att använda formeln för binomialfördelningen med vilken sannolikhet högst ett av tio slumpmässigt utvalda samtal var onödigt. (9 p.)

1.

Eftersom ett år består av 365\cdot24(=8\,760) timmar (1 p.)

och de onödiga nödsamtalen var sammanlagt 694\, 600+37\, 600(=732\,200) stycken, [1 p.]

har det på en timme kommit i genomsnitt \frac{694\, 600+37\, 600}{365\cdot 24}\approx 84 (eller 80 eller 83\mathrm{,}6) onödiga samtal. (1 p.)

Särskilda anvisningar för deluppgiften

Typfel: \frac{694\, 600}{365\cdot 24}\approx 79 eller \frac{37\, 600}{365\cdot 24}\approx 4\mathrm{,}3. (max 2 p.)

2.

Ett samtal är onödigt med sannolikheten (694.000 +37.600) /2.920.000 =732.300 /2.920.000 (~~0,25075). (2 p.)

Ett samtal är inte onödigt med sannolikheten 1 -732.2007 /2.920.000 =2.187.800 /2.920.000 (~~0,74925). (1 p.)

Händelsen ''högst ett onödigt samtal'' betyder att antingen ett eller inget av samtalen var onödigt. [1 p.]

Den sammanlagda sannolikheten är (2.187.800 /2.920.000)^10 +((10), (1)) *(2.187.800 /2.920.000)^9 *(732.200/2.920.000)
(första summanden 1 p., två faktorer utav tre rätt i den andra summanden 1 p., resten av andra summanden rätt 2 p.). (4 p.)

Avrundningen till 2–4 betydande siffrors noggrannhet, av ett svar som fåtts från ett frånsett eventuella räknefel korrekt uttryck (\approx 0\mathrm{,}242332\approx 24{,}2\,\%). (1 p.)

Särskilda anvisningar för deluppgiften

Lösning utan formeln för binomialfördelningen, t.ex. \text{binompmf}(10;10;p)+\text{binompmf}(9;10;p)\approx 24. (2+1+1+1+1). (max 6 p.)

Binomialkoefficienten saknas (2+1+1+2+0). (max 6 p.)

Fallet ''inga onödiga samtal'' saknas (2+1+0+3+0). (max 6 p.)

Fel värden som ärvs från den första deluppgiften. (max 9 p.)

För poängen på raderna 1–2 krävs att beräkningarna anges. De kan även förekomma i deluppgift 6.1 eller i den fjärde radens beräkning.

Lösning med programvara: den andra radens poäng ges automatiskt om p är rätt inmatat i programvaran (talet 1-p matas inte in).

Variabelbeteckningarna i formeln för binomialfördelningen behöver inte förklaras; det räcker att rätta värden substitueras till rätta platser.

Del B

7. Proportionalitet 12 p.

  1. Ett finländskt flyttföretag tog år 2022 i bruk en flyttbil utrustad med solpaneler på taket. Solpanelerna ger ström för flyttbilens övriga funktioner än dess rörelse. Solpanelernas sammanlagda effekt är 2,7 kilowatt om de har en area på 20\, \textrm{m}^2. Hur stor effekt har en solpanel placerad på taket av en långtradare om panelens area är 32\, \textrm{m}^2? Solpanelernas effekt är direkt proportionell mot deras area. (4 p.)
  2. Belysningsstyrkan hos en ljusterapilampa är 2 500 lux på 45 centimeters avstånd. Hur stor är belysningsstyrkan på 1,0 meters avstånd? Belysningsstyrkan är omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet från lampan. (8 p.)

1.

Panelernas effekt är 32 /20 *2,7 =4,32 ~~4,3 kW (rätt kvot, t.ex. \tfrac{32}{20} eller \tfrac{2,7}{20} 2 p. (antingen 0 eller 2 p.), rätt produkt 1 p., svar 1 p.). (4 p.)

ELLER

x /2,7 =32 /20, [2 p.]

vilket ger x\approx2\mathrm{,}7\cdot \frac{32}{20}\approx 4\mathrm{,}3 kW. (2 p.)

Särskilda anvisningar för deluppgiften

Endast beräkningen 2,7 *(32 /20) ~~4,3 kW (eller motsvarande) (max 4 p.)

Kvadrerade areor \frac{x}{2\mathrm{,}7}=\frac{32^2}{20^2}\Rightarrow x\approx6{,}9 kW, (0+2). (max 2 p.)

2.

Rätt enhetsomvandling (1 m =100 cm,). [1 p.]

Avstånden är kvadrerade (100^2 och 45^2) rätt. (1+1 p.)

Omvänd proportionalitet av den rätta typen, t.ex. \frac{2500}{100^2}=\frac{x}{45^2} eller \frac{2500}{x}=\frac{100^2}{45^2} eller 2500\cdot 45^2=100^2x (3 p.) ELLER uttryck och motivering till exempel \frac{2500\cdot 45^2}{100^2} och en tabell (2 p.+ 1 p.). (3 p.)

Det fås x\approx 506\mathrm{,}25\approx\, ganska exakt 510 lux (uträkning + avrundning och enhet; se även Anmärkning. 1 nedan). (1+1 p.)

Särskilda anvisningar för deluppgiften

Omvänd proportionalitet av den rätta typen där kvoten av avstånden kvadreras, \frac{2500}{x}=(\frac{100}{45})^2, -0 p. (max 8 p.)

Endast beräkningen 2500\cdot 45^2/100^2\approx 510 lux (1+2+2+2). (max 7 p.)

Kvadraterna saknas, \frac{2500}{100}=\frac{x}{45}, eller annan felaktig potens används istället för kvadraten (1+0+3+0). (max 4 p.)

Felaktig proportionalitetsakvation, t.ex. \frac{x}{45^2}=\frac{100^2}{2500} (1+2+0+0). (max 3 p.)

Särskilda anvisningar för uppgiften

Anmärkning 1: Fel eller saknade enheter; avdrag -1 p. för hela uppgiften

Felaktig användning av matematiska beteckningar, t.ex. "20\, \mathrm{m}^2=2{,}7 kW" -1 p.

8. En motionerande censor 12 p.

En matematikcensor vill ta reda på sin löpfart och gångfart. Hen har följande uppgifter till sitt förfogande:

23.11.2023: Sammanlagt 31,7 min, varav 25,0 min löpning och resten gång. Total sträcka 4,05 km.

25.11.2023: Sammanlagt 39,5 min, varav 28,0 min löpning och resten gång. Total sträcka 4,30 km.

Mellan de här två dagarna hade väglaget förändrats och blivit mycket halt, så censorn uppskattade att farten vid den senare motionsrundan var cirka 7/8 av farten under den föregående rundan på både gångsträckan och löpsträckan.

Bestäm censorns gångfart och löpfart under den första motionsrundan i enheten km/h.

oberoende Någon sorts introduktion av beteckingarna, t.ex. j löpfart och ja k gångfart. (1 p.)

Utifrån det sammanlagda rörda avståndet på den första motionsrundan fås 4,05 =25 j +(31,7 -25) k ELLER 4{,}05=25j+6{,}7k. Uppdelning: en motivering som hänvisar till det rörda avståndet (1 p.), differensen 31\mathrm{,}7-25 ELLER gångtiden 6{,}7 (1 p.), en rätt produkt av tid och fartvariabel (1 p.) och övriga termer rätt (1 p.). (4 p.)

Utifrån den trögare farten på den andra rundan fås 4\mathrm{,}3= 28 \cdot \frac{7}{8}j+(39\mathrm{,}5-28) \cdot \frac{7}{8} k ELLER 4\mathrm{,}3= 28 \cdot \frac{7}{8} j+ 11\mathrm{,}5 \cdot \frac{7}{8}k.

Uppdelning: rätta produkter av tider och fartvariabler (1+1 p.), faktorn \frac{7}{8} rätt minst en gång (1 p.), fel i ekvationen, max 2. (3 p.)

Dokumenteringen av lösandet av ett linjärt ekvationspar (inmatnings- eller räknefel -0 p., rätt svar: j \approx 0{,}137 km/min, k \approx 0{,}095 km/min.) (1 p.)

oberoende Enhetsomvandlingen km/min\tokm/h anges korrekt ELLER åtminstone två för lösningen relevanta tider omvandlas till timmar. (1 p.)

Svaret blir j\approx 8{,}19777\approx ganska exakt 8{,}2\,\text{km/h} och k\approx5{,}67997 \approx ganska exakt 5{,}7\,\text{km/h} (svaren 1 p. + avrundning av med rätt logik härledda svar 1 p.). (1+1 p.)

Särskilda anvisningar för uppgiften

Om en ekvation härleds endast utifrån den andra motionsrundan, poängsätts den enligt den andra raden.

Typfel: Endast genomsnittsfarten beräknas (0+0+0+0+1+0). (max 1 p.)

Typfel: Andelarna av tiden för löpning respektive gång beräknas och antas felaktigt vara lika med andelarna av det rörda avståndet i vilket fall gångfarten blir samma som löpfarten (0+1+0+0+1+0). (max 2 p.)

9. Ett pianoköp 12 p.

Auri vill köpa ett nytt piano. Hon planerar att spara 7\, 500 euro på tre år och sätter in ett lika stort belopp på ett nytt sparkonto den första dagen i varje månad innan bankdagen börjar. Hur mycket ska Auri lägga undan som besparing varje månad, då nettoräntesatsen på hennes sparkonto är 2{,}5~\% och räntan betalas till kontot en gång per år? I uppgiften antas att alla månader är lika långa. Pengarna på kontot ackumulerar ränta under hela den tid som de finns på kontot.

Lösning med ekvation

Ur lösningen framgår räntekoefficienten 1{,}025 och månadsräntan \frac{0{,}025}{12}\,(=0{,}00208333\ldots). (1+1 p.)

Introduktionen av den efterfrågade pengosumman som variabel, t.ex. "låt x beteckna den på sparkontot månatligen insatta summan". (1 p.)

STOP Lösningar utan vare sig variabel eller ekvation poängsätts enligt det nedre schemat.

Till den första bankinsättningen läggs en ränta på x *0,025 under det första året. [1 p.]

Efter det första året är saldot för sparkontot 12x+\frac{0\mathrm{,}025}{12}(1+2+\cdots +12)x. (3 p.)

Räntans inverkan på de under andra jämte tredje året insatta summorna under insättningsåret beräknas på samma sätt (studenten inser att räntan alltid har en likadan inverkan under insättningsåret + beräknar den med rätt princip). (1+1 p.)

Rätt idé om ränta på ränta, [1 p.]

dvs. efter tre år är saldot för kontot (12 x +(0,025 /12) *(1 +2 +... +12) x) (1,025^2 +1,025 +1). (1 p.)

Saldot efter tre år skall bli 7500. Genom att lösa ekvationen fås den månatligen insatta summan som 200\mathrm{,}50 euro. (1 p.)

Särskilda anvisningar för uppgiften

Typfel: Den årligen insatta summan beräknas som 2379{,}05 euro och den delas med 12 för att få den månatliga summan. Svaret blir 198{,}25 euro (1+0+1+0+1+1+0+0). (max 4 p.)

Obs! I det ovanstående typfelet kan den årliga sammanlagda insättningen ibland betecknas som 12x. Om variabelns betydelse som den månatliga insättningen förklaras, delas också den andra radens poäng. (max 5 p.)

Typfel: Endast en insättning som antas samla ränta i 3 år: x \cdot 1{,}025^3 = 7500, så x=6964{,}5, och svaret ges som 6964{,}5/36 = 193{,}46. (1+0+1+0+0+1+0+0) (max 3 p.)

ELLER Lösning med kalkylbladsprogram eller "en euros insättning och skalning"

Ur lösningen framgår räntekoefficienten 1{,}025. (1 p.)

Ur kalkylbladet framgår (eventuellt implicit) den ovanpå den första insättningen under första året tillagda räntan. [1 p.]

Det första året är korrekt beräknat och dokumeteringen visar att kommandona är rätta. (1+1 p.)

Ur kalkylbladet framgår andra och tredje årets räntor och de är rätta. (2 p.)

Att ränta läggs på ränta framgår ur kalkylbladet och de rätta kommandona är dokumenterade. (1+1 p.)

Den totala inverkan är rätt i beräkningen av slutsaldot. (1 p.)

Som den månatligen insatta summan fås 200\mathrm{,}50 euro. (1 p.)

Till lösningen fogas en förklaring som klargör att det inte finns andra lösningar. (2 p.)

Särskilda anvisningar för uppgiften

Fallet att ränta läggs på ränta i lösningen varje månad poängsätts i det första schemat som 2+1+0+0+1+1+0+0. Motsvarande fall kan förekomma i kalkylbladslösningar. (max 5 p.)

Startpoäng: Som svar anges en månatlig insättningssumma i intervallet 198 − 203 euro, och svaret motiveras med beräkningar eller kalkyltabeller. Obs! Detta startpoäng tilldelas inte om svaret ligger i detta intervall endast efter avrundning. (1 p.)

10. Tolkning av funktioner 18 p.

Vi undersöker tre olika funktioner som är givna i den vänstra kolumnen i följande tabell.

Funktion Ekvation
f(t) =6000 t +200.000 f(t) =300.000
g(t) =50.000 *(0,8)^t g(t) =5000
h(t) =2^(0,5 t) h(t) =1.048.576

Gemensamt för alla funktioner är att variabeln utgörs av tiden (som exempelvis kan ha enheten år, månad, dygn, timme eller sekund).

  1. Undersök funktionen f. (6 p.)
    1. Presentera ett praktiskt exempel i ord från verkliga livet som funktionen kan utgöra en modell för. Beskriv också vad talen och variabeln i funktionen betyder i ditt exempelfall.
    2. Utvärdera hur bra och användbar modellen är i det exempel som du valt.
    3. Lös den givna ekvationen i den högra kolumnen. Tolka i ord vad det i ditt exempel betyder att funktionen får det värde som angetts i ekvationen.
  2. Undersök funktionen g och utför uppgifterna i–iii, som i fallet för funktionen f ovan. (6 p.)
  3. Undersök funktionen h och utför uppgifterna i–iii, som i fallet för funktionen f ovan. (6 p.)

1.

Ett konkret exempel ges, där det har insetts att 6\,000 är ändringen under någon tidsenhet. [1 p.]

Det är rimligt att det beskrivna fenomenet följer en linjärt växande modell som ges av funktionen f. Talen 200\,000, 6\,000 samt tiden t och deras enheter klargörs. (1 p.)

oberoende En någorlunda vettig modells användbarhet har utvärderats med matematiska motiveringar (1 p.) ELLER en trovärdig modells användbarhet har utvärderats på ett vettigt sätt genom någon konkret observation (2p; exempel: det ges belägg för att tillväxttakten inte är alldeles jämn eller för att tillväxten inte kan fortgå för evigt). (2 p.)

oberoende Ur ekvationen 6\,000t+200\,000 = 300\,000 löses t \approx 17. (1 p.)

oberoende Att f antar värdet 300\,000 vid tiden t tolkas i det egna (eventuellt felaktiga) exemplets fall. (1 p.)

2.

Ett konkret exempel ges, där det har insetts att 0{,}8 är förändringskoefficienten eller att storheten ifråga minskar med 20\,\% under någon tidsenhet. [1 p.]

Det är rimligt att det beskrivna fenomenet följer en avtagande exponentiell modell som ges av funktionen g. Talen 0{,}8 och 50\,000 samt tiden t och deras enheter klargörs. (1 p.)

oberoende En någorlunda vettig modells användbarhet har utvärderats med matematiska motiveringar (1 p.) ELLER en trovärdig modells användbarhet har utvärderats på ett vettigt sätt genom någon konkret observation (2p; exempel: det ges belägg för att förändringskoefficienten inte är alldeles konstant eller för att avtagandet inte kan fortgå för evigt). (2 p.)

oberoende Ur ekvationen 50\,000\cdot 0\mathrm{,}8^t=5\,000 löses t\approx 10. (1 p.)

oberoende Att g antar värdet 5\,000 vid tiden t tolkas i det egna (eventuellt felaktiga) exemplets fall. (1 p.)

3.

Ett konkret exempel ges, där det har insetts att storhetens värde fördubblas med jämna mellanrum. [1 p.]

Det är rimligt att det beskrivna fenomenet följer en exponentiellt växande modell som ges av funktionen h. Talen 2 och 0{,}5 samt tiden t och deras enheter klargörs. (1 p.)

oberoende En någorlunda vettig modells användbarhet har utvärderats med matematiska motiveringar (1 p.) ELLER en trovärdig modells användbarhet har utvärderats på ett vettigt sätt genom någon konkret observation (2 p.; exempel: det ges belägg för att förändringskoefficienten inte är alldeles konstant eller för att tillväxten inte kan fortgå för evigt). (2 p.)

oberoende Ur ekvationen 2^(0,5 t) =1.048.576 löses t =40. (1 p.)

oberoende Att h antar värdet 1\,048\,576 vid tiden t tolkas i det egna (eventuellt felaktiga) exemplets fall. (1 p.)

Särskilda anvisningar för deluppgiften

"Om t är udda, så är h(t) inte ett heltal, och modellen är därför mindre bra/användbar." (+0 p.)

Särskilda anvisningar för uppgiften

I varje deluppgift kan man få poängen på raderna 1, 4 och 5 även om modellen i det egna exemplet inte alls vore realistisk.

"En någorlunda rimlig modell" kännetecknas av att startvärdet eller förändringstakten är plausibla i det givna exemplet. T.ex. en stad kan ha invånarantalet 200 000, medan en människa kan inte vara 200 000 meter lång.

Om t inte är tiden: i varje deluppgift max1 =(0+0+0+1+0).

Om enheten för tiden framgår implicit avdras -1 p. för hela uppgiften. Om enheterna saknas helt, tilldelas inte poängen på rad 2 i var deluppgift.

Ekvationerna löses på rätt sätt, men lösningen ges inte i en vettig form (t.ex. som exakt uttryck i deluppgift 10.2) totalt -1 p. från 4. raderna.

Funderingar kring i vilka modelleringssammanhang funktionen kan användas. (+0 p.)

11. Polynomfunktion 18 p.

Välj korrekt alternativ i deluppgifterna 11.1–11.6. Svaren behöver inte motiveras. Korrekt svar 1 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p. Om du har börjat besvara uppgiften, men kommer till att du ändå inte vill lämna in den för bedömning, ska du välja alternativet ”Jag svarar inte” för alla påståenden.

Besvara deluppgift 11.7 på normalt sätt med motiveringar.

11.1 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.

En polynomfunktion får alltid sitt största värde i ett nollställe till derivatan. 

  • Falskt  (1 p.)

11.2 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.

  • Sant  (1 p.)

11.3 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.

  • Sant  (1 p.)

11.4 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.

  • Falskt  (1 p.)

11.5 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.

  • Falskt  (1 p.)

11.6 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.

  • Falskt  (1 p.)

11.7 Besvara deluppgift 11.7 på normalt sätt med motiveringar. 12 p.

  1. Uträkning av f(1)=8 och f(3)=24 ELLER f(3)-f(1)=16. (1 p.)

    (f(3) -f(1)) /(3 -1) =(24 -8) /2 =8 (idé om differenskvot + förkortning av den egna kvoten). (1+1 p.)

    ELLER (till exempel med programvara)

    f(1)=8 och f(3)=24 evalueras ELLER koordinaterna (1, 8) och (3, 24) är synliga i lösningen. (1 p.)

    Motivering för att linjen som skär dessa två punkter är y=8x (kommandon synliga). (1 p.)

    Den genomsnittliga förändringshastigheten är linjens riktningskoefficient 8. (1 p.)

    Särskilda anvisningar för deluppgiften

    Medelvärdet på funktionsvärdena \frac{f(1) +f(3)}{2} =\frac{8+24}{2} =16. (1+0+0 p.)
    Medelvärdet på värdena på derivatafunktionen \frac{f'(1) +f'(3)}{2} =\frac{-10 +58}{2} =24. (0 p.)

  2. f'(x) =4 x^3 -18 x +4 (2 termer rätt (ej avdrag för extra termer) + allt rätt). (1+1 p.)

    Nollställena är ganska exakt x =2, ganska exakt x =\frac{-2+\sqrt{6}}{2} \,(\approx 0{,}22) och ganska exakt x =\frac{-2-\sqrt{6}}{2} \,(\approx -2{,}22). (1 p.)

    Särskilda anvisningar för deluppgiften

    Nollställena ges som koordinater, till exempel (2,0). (max 3 p.)

    Nollställena ges endast som närmevärden ELLER lösning med kalkylator saknar dokumentation (2+0). (max 2 p.)

  3. En på ögonmått rätt funktions graf och på ögonmått rätt tangentlinje har ritats med programvara på ett intervall som innehåller punkten x=1. Tangeringspunkten måste vara synlig i bilden (exempel nedan). (1 p.)

    Rätt motivering för tangentens ekvation y -8 =-10 (x -1) ELLER y =-10 x + 18.

    (Exempel: eftersom f'(1) =-10 och f(1) =8, är tangentens ekvation y -8 =-10 (x -1) ELLER kommandona och tangentens ekvation är synliga.) (1 p.)

    Den momentana förändringshastigheten är -10, eftersom f'(1) =-10 ELLER det har konstaterats vara tangentens riktningskoefficient. (1 p.)

    Särskilda anvisningar för deluppgiften

    Fel funktion (t.ex. konstanta termen saknas i polynomet eller f' betraktas istället för f) studeras annars rätt. (max 2 p.)

  4. Den egna derivatafunktionens, som är ett tredjegradspolynom, tecken utreds i ett vettigt intervalls innerpunkt.

    (De rätta intervallen: (-\infty, -1 -\sqrt{3/2}], [-1 -\sqrt{3/2}, \sqrt{3/2} -1], [\sqrt{3/2} -1, 2] och [2, \infty).) (1 p.)

    Samma härledning upprepas för andra vettiga intervall ELLER det konstateras att ett tredragradspolynom med tre nollställen inte kan ha dubbla rötter och således byter det tecken vid varje nollställe. (1 p.)

    Slutsats: Funktionen f är växande på intervallen [2, \infty) och [-1 -\sqrt{3/2}, \sqrt{3/2} -1]. (1 p.)

    Särskilda anvisningar för deluppgiften

    Ändpunkterna på intervallen ges som närmevärden: avdrag endast i deluppgift ii. (max 3 p.)

    Öppna intervall godkänns som svar. (max 3 p.)

    Olikheten f'(x)>0 löses med kalkylator och rätt slutsats dras. (max 3 p.)

    (På ett annat sätt) motiverat teckenschema och svar. (max 3 p.)

    Exempel: På intervallet [2, \infty) väljs testpunkten f'(3) =58 > 0. På [\sqrt{3/2} -1, 2] punkten f'(1) =-10 < 0. På [-1 -\sqrt{3/2}, \sqrt{3/2} -1] punkten f'(0) =4 > 0. På (-\infty, -1 -\sqrt{3/2}] punkten f'(-3) =-50.

    Svaret motiveras med graf ELLER teckenschema utan motivering. (0 p.)