Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, kort lärokurs
25.9.2025
Preliminära beskrivningarna av goda svar 25.9.2025
De preliminära beskrivningarna av goda svar utgör en riktgivande beskrivning av de svar som förväntas på uppgifterna i provet. De är i första hand ämnade som stöd för den preliminära bedömningen. De preliminära beskrivningarna av goda svar innehåller och beskriver inte nödvändigtvis alla godkända svar. De preliminära beskrivningarna av goda svar utgör inte en del av den uppgift om hur bedömningsgrunderna tillämpats på en enskild examinands provprestation som avses i Studentexamensnämndens allmänna föreskrifter och anvisningar. De preliminära beskrivningarna av goda svar är inte bindande för Studentexamensnämnden då grunderna för den slutgiltiga bedömningen fastställs.
Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens karaktär kan däremot sänka antalet poäng avsevärt.
I provet är matematisk programvara ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om programvara använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med programvara utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med ett program i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.
Hur bedömningsanvisningarna ska tolkas
- Strukturen på en anvisning
- I anvisningarna kallas en helhet som avslutas med ett poängantal för en rad.
- Uppdelade poäng i en rad är åtskiljda med /-tecknet. I oklara fall har specificerats från vilken del som man får vilka poäng.
- Det finns ingen specificering om det på raden finns lika många uträkningar som poäng - i så fall ges en poäng per uträkning.
- Om en rad består av en uträkning och en motivering i ord i anknytning till den, så härrör hälften av poängen från uträkningen (avrundande uppåt) och resten från motiveringarna.
- Om det på en rad endast finns en uträkning eller en formel och flera poäng, så får man delpoäng för ett tillräckligt bra försök (till exempel beräkning av derivatan delvis rätt).
- En uträkning eller motivering i parentes på en rad är tilläggsinformation som inte behövs för att ge poäng.
- Examinanden får poäng i hakparentes genom att uppfylla den radens villkor eller villkoret på följande rad, om följande rad är i skick, och det inte framgår explicit att föregående rad har gjorts fel.
- Om inget annat anges, godkänns även en gällande siffra fler eller färre än i anvisningarna.
- I allmänhet drar ett räknefel bort poäng från den rad som felet gäller men man kan få de följande radernas poäng om man gör uträkningarna/slutledningarna korrekt för de egna talen. Undantag är betecknade med texten exakt. Man får dessa poäng endast om detta steg och även de föregående stegen är korrekt utförda. Observera att texten exakt betyder att alla de till dessa föregående rader, som inte är oberoende, inklusive motiveringar behöver vara i skick. (Då ska lösningen bestå av korrekt tal eller uttryck eller motsvarande så när som på den ekvivalenta utformningen.) Det här påverkar inte utdelningen av poäng för avrundningar. Om det till exempel står exakt 37, på svarsraden så duger också 37{,}5 och 40. Texten ganska exakt betyder att talen och uträkningarna måste vara i skick, men att det kan finnas brister i motiveringar och förklaringar.
- Radernas beroende av varandra
- I allmänhet är poänganvisningen skriven enligt lösingens matematiska progression och (fulla) poäng ges bara för motiverade steg. Om raderna är uppenbart oberoende av varandra (till exempel om derivatorna till olika funktioner har beräknats) ges poängen oberoende av prestationsordning utan särskild notering.
- Om svaret är skrivet före motiveringarna betyder det att man redan får poäng för blott det korrekta svaret.
- Beteckningen poäng oberoende av de ovanstående raderna betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter denna rad på normalt sätt.
- Beteckningen oberoende betyder att radens poäng kan ges oberoende av de tidigare raderna; de följande raderna förutsätter inte denna rad.
- Beteckningen som slutsats: poängterar att man får ifrågavarande poäng enbart om de tidigare motiveringarna är i skick.
- Ordet STOP betyder att raden beskriver villkor som måste uppfyllas för att kunna få poäng för den fortsatta lösningen.
- Terminologi
- "Svar räcker" betyder att man kan få poäng för korrekt svar även utan motiveringar. Om svaret är felaktigt så kan man få poäng på basis av motiveringar enligt normala principer.
- "Startpoäng" betyder att man härifrån kan ge radens poäng om examinanden inte får poäng från annat håll. Denna poäng kan alltså inte kombineras med andra poäng.
- "maxN" betyder att för en lösning av denna typ ges N poäng om det inte finns andra fel i lösningen.
- "Svaret endast som närmevärde" betyder att svarets exakta värde inte alls framgår i lösningen.
Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. På ett ställe kan man tillämpa flera avdrag, men man kan inte förlora intjänade poäng.
- Svaret korrekt, men inte i den efterfrågade formen (till exempel noggrannhet, enhet) -1 p.
- Svaret är inte förenklat till slut i en förenklingsuppgift (till exempel e^1, \ln(e) eller 4^0) -2 p.
- Svaret är oförenklat i en annan uppgift (till exempel e^1, \ln(e) eller 4^0) -1 p.
- Uppenbara inmatningsfel i framställningen (till exempel x=2, y04), eller inmatningsfel som korrigeras direkt på följande rad -0 p.
- Kopieringsfel i svaret -1 p.
- Inga flera gällande siffror i en mellanavrundning än i svaret -1 p.
Följande avdrag är av sekundär betydelse för den uppgiftsspecifika poänganvisningen. I en uppgift kan man tillämpa flera avdrag, men vardera avdrag högst en gång.
- Matematiskt bristfällig beteckning (till exempel parenteser som fattas men korrekt beräknat; =-tecknet använt "i kedja", m^2 utan m). Obs! Beroende på situationen så kan en ostandardiserad beteckning godkännas som förklarad. -1 p.
- I lösningen saknas väsentliga förklaringar (läsaren måste gissa vad talen i lösningen betyder) ELLER motiveringarna och slutledningarna är framställda helt lösryckta (läsaren måste kombinera uttryck från olika delar av lösningen) -1 p.
- Betydande överflödig text eller överflödiga beräkningar i en lösning (läsaren måste dra slutsatser om hur lösningen utformas utifrån den givna informationen) -1 p.
Del A
1. Korta uppgifter 12 p.
I den här uppgiften ska du endast ange svaret utan motiveringar. Du kan endast skriva in ett heltal i svarsfältet.
1.1 Hur många procent är 36 av talet 45? 2 p.
- 80 (2 p.)
1.2 En ränta på 3 procent har nyligen blivit betald till ett konto, efter vilket det finns 675,68 euro på kontot. Hur mycket pengar fanns det på kontot innan räntan betalades in? 2 p.
- 656 (2 p.)
1.3 Beräkna f(16) då f(x)=\sqrt{x}-2. 2 p.
- 2 (2 p.)
1.4 Hur många olika stora nollställen har polynomet p(x)=x^2+6x+9? 2 p.
- 1 (2 p.)
1.5 Vilken är sannolikheten att vid ett kast med två mynt få två klave? Ange svaret i procent. 2 p.
- 25 (2 p.)
1.6 På hur många sätt kan man få ögonsumman 6 vid ett kast med en liten och en stor vanlig tärning? 2 p.
- 5 (2 p.)
Denna uppgift bedöms centraliserat i nämnden, vilket betyder att läraren inte utför den preliminära bedömningen. Poängen för det centraliserat bedömda svaret uppdateras automatiskt i bedömningstjänsten under censorarbetets gång. Tills svaret i fråga har bedömts märks svaret med ett streck (-) i bedömningstjänsten.
2. Andel av röster 12 p.
Förhandsrösterna var 0\mathrm{,}32\cdot 2500000=800000 till antalet. (2 p.)
På valdagen gavs alltså 2500000-800000=1700000 röster. (2 p.)
Kandidaten fick på valdagen 0\mathrm{,}127\cdot 1700000=215900 röster (2 p.)
och 0\mathrm{,}073\cdot 800000=58400 röster i förhandsröstningen. (2 p.)
Kandidatens andel röster är alltså \frac{215900+58400}{2500000}= 0\mathrm{,}10972, dvs. cirka 11\ \%. (4 p.)
3. En sänktunnel 12 p.
En dagstidning (HBL, 21.10.2023) rapporterade om den 18 km långa Fehmarn Bält-tunneln som enligt planerna ska vara klar 2029. Sänktunneln förbinder öarna Lolland och Fehmarn och blir världens längsta i sitt slag.
Projektets byggledare berättar att mängden betong som ska användas för tunnelbygget uppskattas till 3 miljoner kubikmeter. Han tillägger att denna mängd skulle räcka till att bygga en gångbana runt ekvatorn. Uppskatta hur hög en sådan gångbana av betong skulle vara om den var 2,0 meter bred. Jordens radie vid ekvatorn är 6 378 km.
Eftersom gångbanan kan antas var mycket låg behöver jordens krökning inte beaktas.
Gångbanans längd är 6378000\cdot 2 \cdot \pi meter. (4 p.)
Eftersom bredden på gångbanan är 2 meter, är dess höjd \frac{3000000}{6378000\cdot 2 \cdot \pi\cdot 2} ELLER vi får ekvationen 6378000\cdot 2 \cdot \pi\cdot 2x=3000000, där x är höjden. (4 p.)
Vi får höjden \approx 0\mathrm{,}037 meter, som är cirka 4 cm. (4 p.)
4. Beräkningar och begrepp 12 p.
4.1 Komplettera meningen. 2 p.
- 6 (2 p.)
4.2 Komplettera meningen. 2 p.
- 6 (2 p.)
4.3 Komplettera meningen. 2 p.
- 0,3 (2 p.)
4.4 Komplettera meningen. 2 p.
4.4.1 1 p.
- additionsregeln (1 p.)
4.4.2 1 p.
- varandra uteslutande (1 p.)
4.5 Komplettera meningen. 2 p.
- ränta på ränta (2 p.)
4.6 Komplettera meningen. 2 p.
- mer än 17 % större (2 p.)
5. Snooker 12 p.
Vi förbinder medelpunkterna för bollarna i hörnen med en radie vinkelrätt till ramens sidor. [1 p.]
Eftersom en sida består av fem bollar är avståndet mellan dessa radier fyra bolldiametrar. (2 p.)
En boll har radien \frac{52\mathrm{,}4}{2}=26\mathrm{,}2 mm. (1 p.)
Vi måste ännu beräkna den längd som blir kvar i hörnen. Ramens vinkelspets, bollens och sidans tangeringspunkt samt bollens medelpunkt bildar en rätvinklig triangel. Triangelns ena spetsiga vinkel är 30 grader och den motstående kateten utgörs av bollens radie. (3 p.)
Utgående från tangens är längden på sidan vi söker \frac{26\mathrm{,}2}{\tan(30^{\circ})} \approx 45\mathrm{,}3797 millimeter. (3 p.)
Den efterfrågade sidan är alltså 4\cdot 52\mathrm{,}4+2\cdot 45\mathrm{,}3797\approx 300\mathrm{,}36 mm, dvs. 300 mm eller 30,0 cm.(2 p.)
6. Nödsamtal 12 p.
Under år 2022 ringdes totalt 2 920 000 samtal till nödcentralen. Av dem var 694 600 oavsiktliga och 37 600 busringningar eller på annat sätt osakliga samtal. Vi kallar dessa för onödiga nödsamtal.
- Hur många onödiga nödsamtal kom det i genomsnitt under en timme? (3 p.)
- Uppskatta genom att använda formeln för binomialfördelningen med vilken sannolikhet högst ett av tio slumpmässigt utvalda samtal var onödigt. (9 p.)
1.
Eftersom ett år utgörs av 365 dygn och ett dygn av 24 timmar, så har det kommit i genomsnitt \frac{694 600+37 600}{365\cdot 24}\approx 84 onödiga samtal per timme. (3 p.)
2.
Ett samtal är onödigt med sannolikheten \frac{694 600+37 600}{2 920 000}=\frac{732200}{2 920 000}(\approx 0\mathrm{,}25075). (2 p.)
Ett samtal är inte onödigt med sannolikheten 1-\frac{732200}{2 920 000}=\frac{2187800}{2920000}. (1 p.)
Fallet "högst ett var onödigt" motsvarar det att ett samtal är onödigt eller att inget samtal är onödigt. (2 p.)
Den sammanlagda sannolikheten för dessa händelser är \left(\frac{2187800}{2 920 000}\right)^{10}+\binom{10}{1}\left(\frac{2187800}{2 920 000}\right)^{9}\cdot \frac{732200}{2920000}\approx 0\mathrm{,}242332\approx 24\ \%. (4 p.)
Allmän anvisning för denna lösning: Om uppgiften är löst genom användning av kommandon i Speedcrunch så får man endast poäng för att man använder korrekta parametrar och uppfattar situationen korrekt, dvs. 2+1+2+1. (max 6 p.)
Del B
7. Proportionalitet 12 p.
- Ett finländskt flyttföretag tog år 2022 i bruk en flyttbil utrustad med solpaneler på taket. Solpanelerna ger ström för flyttbilens övriga funktioner än dess rörelse. Solpanelernas sammanlagda effekt är 2,7 kilowatt om de har en area på 20\, \textrm{m}^2. Hur stor effekt har en solpanel placerad på taket av en långtradare om panelens area är 32\, \textrm{m}^2? Solpanelernas effekt är direkt proportionell mot deras area. (4 p.)
- Belysningsstyrkan hos en ljusterapilampa är 2 500 lux på 45 centimeters avstånd. Hur stor är belysningsstyrkan på 1,0 meters avstånd? Belysningsstyrkan är omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet från lampan. (8 p.)
1.
Eftersom panelens effekt är direkt proportionell mot arean är den större panelens effekt \frac{32}{20}\cdot 2\mathrm{,}7=4\mathrm{,}32\approx 4\mathrm{,}3 kilowatt. (4 p.)
ELLER
Vi bildar proportionalitetsekvationen \frac{x}{2\mathrm{,}7}=\frac{32}{20}, (2 p.)
vilket ger x=2\mathrm{,}7\cdot \frac{32}{20}\approx 4\mathrm{,}3 kilowatt. Även användning av Solve-kommandot är ok. (2 p.)
2.
Vi betecknar belysningen med bokstaven x. (1 p.)
Eftersom 1\ \textrm{m}=100\ \textrm{cm}, [1 p.]
får vi ekvationen \frac{x}{2500}=\frac{45^2}{100^2}, (4 p.)
och då är x=506\mathrm{,}25\approx 510 lux. (2 p.)
8. En motionerande censor 12 p.
En matematikcensor vill ta reda på sin löpfart och gångfart. Hen har följande uppgifter till sitt förfogande:
23.11.2023: Sammanlagt 31,7 min, varav 25,0 min löpning och resten gång. Total sträcka 4,05 km.
25.11.2023: Sammanlagt 39,5 min, varav 28,0 min löpning och resten gång. Total sträcka 4,30 km.
Mellan de här två dagarna hade väglaget förändrats och blivit mycket halt, så censorn uppskattade att farten vid den senare motionsrundan var cirka 7/8 av farten under den föregående rundan på både gångsträckan och löpsträckan.
Bestäm censorns gångfart och löpfart under den första motionsrundan i enheten km/h.
Anta att den normala löpfarten är j och den normala gångfarten är k kilometer i minuten. (1 p.)
Eftersom sträckan är produkten av tiden och farten, (1 p.)
får vi utgående från den första dagen ekvationen 4\mathrm{,}05=25j+(31\mathrm{,}7-25)k (4 p.)
och från den andra dagen ekvationen 4\mathrm{,}3=\frac{7}{8}\cdot 28j+\frac{7}{8}(39\mathrm{,}5-28)k. (4 p.)
Vi får lösningen j\approx 0{,}1366 km/min \approx 8\mathrm{,}2 km/h och k\approx 0{,}09467 km/min \approx 5\mathrm{,}7 km/h. (2 p.)
9. Ett pianoköp 12 p.
Auri vill köpa ett nytt piano. Hon planerar att spara 7\, 500 euro på tre år och sätter in ett lika stort belopp på ett nytt sparkonto den första dagen i varje månad innan bankdagen börjar. Hur mycket ska Auri lägga undan som besparing varje månad, då nettoräntesatsen på hennes sparkonto är 2{,}5~\% och räntan betalas till kontot en gång per år? I uppgiften antas att alla månader är lika långa. Pengarna på kontot ackumulerar ränta under hela den tid som de finns på kontot.
Anta att det belopp som deponeras är x. (1 p.)
Den första depositionen ger räntan x\cdot 0\mathrm{,}025 under det första året. [1 p.]
Eftersom deposition k under det första året ger räntan (13-k)\cdot \frac{0\mathrm{,}025}{12}x under det första året, (2 p.)
finns det efter det första året 12x+\frac{0\mathrm{,}025}{12}(1+2+\cdots +12)x på kontot. (2 p.)
Under det andra och det tredje året beräknas de insatta beloppens inverkan under depositionsåret på motsvarande sätt. (2 p.)
Det andra och det tredje året ackumuleras ränta på depositionen och räntan, dvs. efter det tredje året finns det (12x+\frac{0\mathrm{,}025}{12}(1+2+\cdots +12)x)(1\mathrm{,}025^2+1\mathrm{,}025+1). (2 p.)
Kontots saldo måste vara 7\, 500. Vi löser ekvationen och får depositionens storlek 200\mathrm{,}50 euro. (2 p.)
ELLER (lösning med tabellkalkylprogram)
Räntorna under det första året framgår av tabellen. (3 p.)
Räntorna under det andra och det tredje året framgår av tabellen. (2 p.)
Räntornas helhetsinverkan framgår av tabellen. (2 p.)
Examinanden har fått fram 200\mathrm{,}50 euro som storlek på depositionen. (2 p.)
oberoende Lösningen innehåller tillräckliga förklaringar och kommandon. (3 p.)
10. Tolkning av funktioner 18 p.
Vi undersöker tre olika funktioner som är givna i den vänstra kolumnen i följande tabell.
| Funktion | Ekvation |
| f(t) =6000 t +200.000 | f(t) =300.000 |
| g(t) =50.000 *(0,8)^t | g(t) =5000 |
| h(t) =2^(0,5 t) | h(t) =1.048.576 |
Gemensamt för alla funktioner är att variabeln utgörs av tiden (som exempelvis kan ha enheten år, månad, dygn, timme eller sekund).
-
Undersök funktionen f. (6 p.)
- Presentera ett praktiskt exempel i ord från verkliga livet som funktionen kan utgöra en modell för. Beskriv också vad talen och variabeln i funktionen betyder i ditt exempelfall.
- Utvärdera hur bra och användbar modellen är i det exempel som du valt.
- Lös den givna ekvationen i den högra kolumnen. Tolka i ord vad det i ditt exempel betyder att funktionen får det värde som angetts i ekvationen.
- Undersök funktionen g och utför uppgifterna i–iii, som i fallet för funktionen f ovan. (6 p.)
- Undersök funktionen h och utför uppgifterna i–iii, som i fallet för funktionen f ovan. (6 p.)
Huvuddragen i poänggivningen är följande: Bedömningens tyngdpunkt ligger i hur övertygande motiveringarna är. De första poängen får examinanden genom att beskriva situationen och genom att förklara talen och variablerna. De följande poängen får examinanden genom att klart och grundligt beskriva modellens kvalitet och användbarhet och de sista poängen genom att lösa ekvationen.
1.
Funktionen f(t)=6000t + 200 000 kan exempelvis beskriva en persons poängantal efter t dagar, då hen i långsam takt spelar Pokémon Go. I början av observationen har personen 200000 poäng och hen får ytterligare 6000 poäng varje dag. Här anger alltså t tiden i dagar. (2 p.)
I verkligheten får spelaren sannolikt inte jämnt 6000 poäng varje dag. Troligen kommer det pauser och språng i spelet. Vidare gäller att hur konsekvent spelaren än skulle vara i sitt spelande så skulle det ta slut senast vid hens död. (2 p.)
Lösningen till ekvationen f(t)=300000 är t=\frac{100000}{6000}\approx 17, som anger hur många dagar det tar tills spelaren har 300\, 000 poäng. (2 p.)
2.
Funktionen g kunde beskriva folkmängden i en stad eller en by, där det i början finns 50000 invånare och kvinnornas genomsnittliga fruktsamhetstal är 1\mathrm{,}6=2\cdot 0\mathrm{,}8. Därmed anger t tiden i generationer. (2 p.)
Fruktsamhetstalet växlar säkert med tiden. Dessutom fungerar inte modellen för evigt, eftersom den slutar att fungera senast då det finns färre än en invånare. (2 p.)
Lösningen t\approx 10 till ekvationen 50000\cdot 0\mathrm{,}8^t=5000 anger hur många generationer det ungefär tar innan folkmängden sjunker till 5000. (2 p.)
3.
Funktionen h kan exempelvis beskriva hur bakterier förökar sig i ett laboratorium. Till en början finns det en bakterie i laboratoriet. Bakterien delar sig en gång på två sekunder. Då anger t tiden i sekunder. (2 p.)
Modellen beskriver situationen på ett bra sätt, men bakterierna kan inte dela sig för evigt vilket betyder att mängden bakterier inte kan växa utan gräns. (2 p.)
Lösningen t=40 till ekvationen 2^{0\mathrm{,}5t}=1048576 anger hur många sekunder det tar innan det finns 1048576 bakterier. (2 p.)
11. Polynomfunktion 18 p.
Välj korrekt alternativ i deluppgifterna 11.1–11.6. Svaren behöver inte motiveras. Korrekt svar 1 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p. Om du har börjat besvara uppgiften, men kommer till att du ändå inte vill lämna in den för bedömning, ska du välja alternativet ”Jag svarar inte” för alla påståenden.
Besvara deluppgift 11.7 på normalt sätt med motiveringar.
11.1 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.
En polynomfunktion får alltid sitt största värde i ett nollställe till derivatan.
- Falskt (1 p.)
11.2 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.
- Sant (1 p.)
11.3 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.
- Sant (1 p.)
11.4 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.
- Falskt (1 p.)
11.5 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.
- Falskt (1 p.)
11.6 Är följande påstående sant eller falskt? 1 p.
- Falskt (1 p.)
11.7 Besvara deluppgift 11.7 på normalt sätt med motiveringar. 12 p.
- \frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{24-8}{2}=8. (3 p.)
- f'(x)=4x^3-18x+4 (2 p.)
Vi får med räknare nollställena x=2, x=\sqrt{\frac{3}{2}}-1(\approx 0\mathrm{,}22) och x=-1-\sqrt{\frac{3}{2}}(\approx -2\mathrm{,}22). (1 p.) - Eftersom f'(1)=-10 och f(1)=8 är tangentens ekvation y-8=-10(x-1). Dessutom är f'(1)=-10 den momentana förändringshastigheten. (2 p.)
Vi ritar en figur:
(1 p.) - Vi tar reda på när derivatan är positiv. En testpunkt i intervallet [2,\infty): f'(3)=58>0. En testpunkt i intervallet [\sqrt{\frac{3}{2}}-1,2]: f'(1)=-10<0. En testpunkt i intervallet [-1-\sqrt{\frac{3}{2}},\sqrt{\frac{3}{2}}-1]: f'(0)=4>0. En testpunkt i intervallet (-\infty, -1-\sqrt{\frac{3}{2}}]: f'(-3)=-50. (2 p.)
Funktionen är alltså växande i intervallen [2,\infty) och [-1-\sqrt{\frac{3}{2}},\sqrt{\frac{3}{2}}-1]. (1 p.)
