Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

18.3.2026

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 12.5.2026

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esimerkiksi derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Hakasuluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Jos erikseen ei mainita, niin vastauksen hyväksyttävä tarkkuus on yksi merkitsevä numero enemmän tai vähemmän kuin ohjeeseen kirjattu.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37,5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esimerkiksi laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä yllä olevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
    • Teksti STOP tarkoittaa sitä, että sillä rivillä kerrotaan, minkä ehtojen pitää toteutua, jotta jatkosta saa pisteitä.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esimerkiksi tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esimerkiksi x =2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esimerkiksi puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

A-osa

1. Puuttuvat luvut 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

Täydennä puuttuvat luvut osatehtävissä 1.1–1.6 niin, että väitteet ovat tosia. Puuttuvat luvut on merkitty neliösymbolilla (#).

1.1 3/4 -2/5 =#/60 2 p.

  • 21 (2 p.)
  • 7 (1 p.)

(7: Ajateltu nimittäjään 20.)

1.2 Lukujen -5, 4, 13 ja # keskiarvo on 5.. 2 p.

  • 8 (2 p.)

1.3 (2 x +3)^2 =4 x^2 +# x +9 2 p.

  • 12 (2 p.)

1.4 Yhtälön 7 x +# =19 -2 x ratkaisu on x =2. 2 p.

  • 1 (2 p.)

1.5

Luvut x =3 ja y toteuttavat yhtälöparin

{2 x +y =#, x -2 y =9}. 2 p.

  • 3 (2 p.)

1.6 Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 20 ja 21, joten hypotenuusan pituus on #. 2 p.

  • 29 (2 p.)

2. Derivaattoja ja yhdistelyä 12 p.

Määritä funktioiden derivaatat ja tutki niiden ominaisuuksia. Valitse kullekin funktiolle kummastakin listasta paras vaihtoehto.

Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

2.1 f(x) =-6 x^2 +12 x +5 4 p.

2.1.1 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Derivaatan kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä (0, 12).  (2 p.)
2.1.2 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Ei mikään yllä olevista.  (2 p.)

2.2 g(x) =-1/2 x^2 +4 x -6 4 p.

2.2.1 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Derivaatan kuvaaja leikkaa x-akselin pisteessä (4, 0).  (2 p.)
2.2.2 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Derivaatan kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on -1.  (2 p.)

2.3 h(x) =3 x^3 -4 x +3 4 p.

2.3.1 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Derivaatan nollakohdat ovat x =-2/3 ja x =2/3.  (2 p.)
2.3.2 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.  (2 p.)

3. Logaritmeja 12 p.

  1. Anna esimerkki positiivisista reaaliluvuista a, b ja c, jotka eivät toteuta yhtälöä

    ln(a +b +c) =ln a +ln b +ln c.

    (4 p.)

  2. Anna esimerkki positiivisista reaaliluvuista a, b ja c, jotka toteuttavat yhtälön

    ln(a +b +c) =ln a +ln b +ln c.

    Likiarvot eivät riitä yhtäsuuruuden perustelemiseen. (8 p.)

1.

Pisteitysohje: toimiva esimerkki 1 piste ja perustelut 3 pistettä.

Esimerkiksi:

Valitaan a =b =c =3. (1 p.)

Nyt ln 3 +ln 3 +ln 3 =ln 27 ja ln(3 +3+3) =ln 9. TAI ln 3 +ln 3 +ln 3 ~~3,296 ja ln(3 +3 +3) ~~2,197. (2 p.)

Koska ln 9 !=ln 27 TAI 2,197 !=3,296, niin yhtälö ei päde. (1 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Riittää, että esimerkkinä annetut luvut käyvät ilmi yhtälöstä. (-0 p.)

2.

Pisteitysohje: toimiva esimerkki 2 pistettä ja perustelut 6 pistettä. Esimerkiksi:

Valitaan a =1 ja b =2 ja c =3. (2 p.)

Koska ln 1 +ln 2 +ln 3 =ln(1 *2 *3) =ln 6 (2+1 p.)

ja ln(1 +2 +3) =ln 6, väite toteutuu. (1+2 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Käytetty likiarvoja. (+0 p.)

Yhteinen skeema yhtälönratkaisutavalle:

Koska ln a +ln b +ln c =ln(a b c) (sovellettu kolmeen muuttujaan), (2 p.)

niin voidaan tarkastella yhtälöä a +b +c = a b c. (2 p.)

Yhtälö ei toteudu, esimerkiksi, kun a =b =c =3, (1 p.)

sillä 3 +3 +3 =9 ja 3 *3 *3 =27 (2 p.)

sekä 9 !=27 (ja alkuperäinen yhtälö toteutuu vain, kun a +b +c =a b c). (2 p.)

Yhtälö toteutuu, esimerkiksi, kun a =1 ja b =2 ja c =3. TAI Muodostettu yhtälön a +b +c =a b c avulla yhden muuttujan yhtälö (esimerkiksi kiinnitetty kahden muuttujan arvot tai asettamalla yhtä suuriksi 3 a =a^3). (2 p.)

Perustelu: 1 +2 +3 (=6) =1 *2 *3. TAI Ratkaistu edellisellä rivillä muodostettu yhtälö oikein. (2 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Annetussa esimerkissä ei-positiivisia lukuja. (0 p.)

Riittää, että esimerkkinä annetut luvut käyvät ilmi yhtälöstä. (-0 p.)

Käytetään kymmenkantaista logaritmia. (-1 p.)

Merkitään luonnollista logaritmia log. (-0 p.)

Riittää, että esimerkkinä annetut luvut käyvät ilmi yhtälöistä. (-0 p.)

Kirjoitetaan 2,197 =3,296 ja todetaan, että epätosi. TAI Lievästi virheelliset merkinnät. (-0 p.)

4. Descartesin menetelmä 12 p.

Ratkaise yhtälö x^4 -5 x^2 +4 =0 ja osoita, että tekstissä 4.A kuvattu Descartesin menetelmä antaa sen positiivisten ratkaisujen lukumäärän oikein.

TAPA 1: Sijoitus

Ratkaistu toisen asteen yhtälö x^2 -5 x +4 =0 tai x^2 yhtälöstä x^4 -5 x^2 +4 =0 + saatu ratkaisuiksi 1 ja 4 (1+1 p.)

Toisen asteen yhtälöön on päästy oikeaoppisesti (sijoitus t =x^2) TAI tämä on selitetty sanallisesti (2 p.)

Kun t =1, saadaan x =+-1. Kun t =4, saadaan x =+-2. (2+2 p.)

Tähän ratkaisutapaan liittyvät erillisohjeet

Tyyppivirhe: Kirjoitettu x^4 -5 x^2 +4 =0, josta otettu neliöjuuri puolittain ja saatu x^2 -5 x +4 =0. Max (2+0+0), ellei sanallisista selityksistä tai muuten käy ilmi, että on vain huono merkintä. (max 2)

TAPA 2: Tekijöihinjako ja tulon nollasääntö

Tulon nollasäännön oikeaoppisen käytön idea (voi käydä ilmi implisiittisesti). (1 p.)

Löydetty polynomille vähintään yksi tekijä (joko ensimmäistä tai toista astetta), esimerkiksi huomattu, että polynomi voidaan kirjoittaa muodossa x^2 (x^2 -4) -(x^2 -4) tai x -1 on tekijä, tms. (1 p.)

Tehty tekijöihinjako, jossa kaikki tekijät ovat korkeintaan astetta 2. (2 p.)

Saadaan ratkaisut x =+-1 ja x =+-2. (2+2 p.)

TAPA 3: Arvaus + tarkistus

Väitetty, että x =+-1 ja x =+-2 ovat yhtälön juuria. [1 p.]

Osoitettu sijoituksella, että x =+-1 ja x =+-2 ovat yhtälön juuria (1 p./juuri). (4 p.)

Yllä olevista riveistä riippumaton piste "4. asteen yhtälöllä on korkeintaan 4 juurta" TAI funktion kulun tarkastelu sillä tarkkuudella, että juuria voidaan päätellä olevan korkeintaan neljä (1 p. tarkastelu +1 p. johtopäätös.) (2 p.)

Johtopäätös, että nämä ovat kaikki neljä juurta. (1 p.)

TAPA 4: Derivaatalla (osittainen ratkaisu)

Derivoitu polynomi (4 x^3 -10 x). (1 p.)

Muodostettu oikea kulkukaavio (- + - +, juuret 0, +-sqrt(5/2)). Tarkastelusta on käytävä ilmi että funktio vaihtaa merkkiä kahdesti positiivisella x-akselilla. (1 p.)

Perusteltu ainakin kaksi positiivista juurta JA korkeintaan

kaksi positiivista juurta. (1+1 p.)

Merkkivaihtelut (3 p.)

Todettu, että yhtälöllä on kaksi merkinvaihtoa (neljännen ja toisen asteen termien välissä sekä toisen asteen termin ja vakiotermin välissä.) (1 p.)

Descartesin menetelmän perusteella positiivisia juuria tulisi olla kaksi. (2 p.)

Johtopäätös (1 p.)

Osoitettu täsmällisesti, että positiivisia ratkaisuja on kaksi, kuten Descartesin menetelmä kertoi. Tämän pisteen voi saada, vaikka tekee yhtälön ratkaisussa huolimattomuusvirheen, mutta periaatevirhe yhtälön ratkaisussa vie viimeisen pisteen pois. (1 p.)

5. Paraabeli 12 p.

Paraabeli on tasokäyrä, jonka jokainen piste on yhtä kaukana annetusta suorasta ja sen ulkopuolella sijaitsevasta pisteestä. Näitä kutsutaan johtosuoraksi ja polttopisteeksi.

Kuvan 5.A paraabelin johtosuora on y =-x ja sen polttopiste on (2, 2). Osoita, että paraabelin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

x +y =a (x -y)^2 +b,

ja määritä siinä esiintyvät vakiot a ja b.

Lausekkeet (x -2)^2 ja (y -2)^2 (tai ekvivalentit muodot). [1 p.]

Pisteen (x, y) etäisyys polttopisteestä on sqrt((x -2)^2 +(y -2)^2). (1 p.)

Suorasta y =-x, eli suorasta y +x =0, [1 p.]

pisteen (x, y) etäisyys on |x +y| /sqrt(1^2 +1^2) =(|x +y| /sqrt(2)). (1 p.)

Merkitty etäisyydet yhtäsuuriksi sqrt((x -2)^2 +(y -2)^2) =|x +y| /sqrt(2). [1 p.]

STOP Rivin 5 piste annetaan vain, jos yhtälö on muotoa "pisteen etäisyys polttopisteestä = saman pisteen etäisyys johtosuorasta". Jos näin ei ole niin ei pisteitä myöskään jatkosta.

Saatu yhtälö (x -2)^2 +(y -2)^2 =(x +y)^2 /2 puolittain toiseen korottamalla. (1 p.)

STOP Jos edellä oleva yhtälö ei sievene muotoon, jossa x:llä ja y:llä on samat nollasta poikkeavat kertoimet ja x^2:lla ja y^2:lla on samat nollasta poikkeavat kertoimet, niin ei pisteitä jatkosta.

Avataan sulut x^2 -4 x +4 +y^2 -4 y +4 =(x^2 +2 x y +y^2) /2 (1 p.)

ja kerrotaan puolittain kahdella: 2 x^2 -8 x +8 +2 y^2 -8 y +8 =x^2 +2 x y +y^2. (1 p.)

Yritetään ottaa x +y yhteiseksi tekijäksi, [1 p.]

saadaan x^2 +y^2 -2 x y +16 =8 (x +y), (1 p.)

joka muuttuu muotoon x^2 +y^2 -2 x y +16 =8 (x +y), (eli a =1/8 ja b =2). (2 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Alkupiste: Kuva, jossa (koordinaatisto,) paraabeli, polttopiste ja johtosuora. (1 p.)

Aineiston kuvan perusteella todettu, että paraabeli sivuaa koordinaattiakseleita,ja käytetty tätä tietoa hyväksi ratkaisussa. (+0 p.)

Vaihtoehtoinen, vaillinainen ratkaisu: Löydetty kaksi pistettä paraabeliltä ja tarkistettu etäisyydet polttopisteeseen ja johtosuoraan sekä edellisten avulla päätelty yhtälöparista (1p/kpl), että a =1/8 ja b =2 (1 p./kpl). (max 2+2 p.)

6. Eiffel-torni 12 p.

Eiffel-tornin muotoa voidaan mallintaa xyz-koordinaatiston kappaleella, jonka rajaavat neljä pintaa

x =a e^(c (h -z)), y =a e^(c (h -z)), x =-a e^(c (h -z)), y =-a e^(c (h -z))

sekä tasot z =0 ja z =h. Mallissa a =4,255, c =0,00892, h =312 ja yksikkönä on metri. Tämä kappale on esitetty kuvassa 6.A. Laske kappaleen tilavuus integraalia käyttäen.

Oivallettu, että Eiffel-tornin poikkileikkaus korkeudella z on neliö. [1 p.]

Saatu korkeudella z neliön sivun pituudeksi 2 a e^(c (h -z)) (=2 *4,255 e^(0,00892 (312 -z)) =8,51 *e^(2,78304 -0,00892 z)). [1 p.]

Muodostettu (1 p.) ja sievennetty (1 p.) neliön alaksi (2 a e^(c (h -z))^2 =4 a^2 *e^(2 c (h -z))(=8,51^2 *e^((2,78304 -0,00892 z) *2) =72,4201 e^(5,56608 -0,01784 z)). (1+1 p.)

riippumaton Ymmärretty, että integroitavana funktiona on poikkileikkauksen pinta-ala korkeudella z (1 p.)

STOP Jatkosta pisteitä vain, jos on integroitu neliönmuotoisen poikkileikkauksen pinta-alaa ja ymmärretty, että poikkileikkaus riippuu korkeudesta z.

Oikeanlainen integraali int_0^312 A(z) dz: integroitavana oma poikkileikkausfunktio (1 p.) ja oikeat rajat (1 p.). (1+1 p.)

Pyritään integroimaan eksponenttifunktion integrointikaavan mukaan ja on hahmotettu, että siihen tarvitaan sisäfunktion derivaatta -2 c =-0,01784. [1 p.]

Integroitu oikein oikealla logiikalla saatu eksponenttifunktio

(4 a^2 e^(2 c h) int_0^312 e^(-2 c z) dz ja saatu [(4 a^2 e^(2 c h)) /(-2 c) e^(-2 c z)]_0^312 =[(72,4201 e^5,56608) /-0,01784 e^(-0,01784 z)]_0^312 ~~[-1.061.163,0 *e^(-0,01784 z)]_0^312). (1 p.)

Omat järkevät rajat sijoitettu oikein TAI -4 a^2 /(2 c) (1 -e^(2 c h)). (1 p.)

Vastaus melko täsmälleen 1.057.104 (kaikki tarkkuudet käyvät). (1 p.)

Järkevästi saatu vastaus oikein pyöristetty ja yksiköt mukana (1.060.000 m^3). (1 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Pelkkä tilavuusintegraalin kaava V =int_a^b A(x) dx. (0 p.)

Väärä mallinnus, esimerkiksi ajateltu torni kartioksi tai pyörähdyskappaleeksi. (+0 p.)

Laskettu pohjan pinta-ala. (+0 p.)

Vastaus voi olla kymmenpotenssimuodossa (max 12 p.)

mutta ei esimerkiksi muodossa 1,06E6m^3. (max 11 p.)

Lukujen a, c tai h sijoituksessa kopiointivirhe: vähennys vain 9. riviltä. (max 11 p.)

B1-osa

7. Skotlannin lippu 12 p.

Jalkapallofanilla on Skotlannin lippu, jonka leveys on 50 cm ja korkeus 30 cm. Lipun sinisellä pohjalla on molempien lävistäjien ympärillä valkoinen alue. Se ulottuu vaakasuuntaan 5,8 cm lävistäjältä vasemmalle ja oikealle sekä pystysuuntaan 3,5 cm lävistäjältä ylös ja alas kuten kuvassa 7.A. Kuinka monta prosenttia valkoinen alue on lipun pinta-alasta?

TAPA 1: Valkoisen pinta-ala sinisten kolmioiden kautta

Lipun kokonaispinta-ala on (30 *50 =) 1500. (1 p.)

Lipun oikealla/vasemmalla olevan sinisen kolmion kanta on 30 -2 *3,5 =23 ja korkeus 50/2 -5,8 =19,2 ja pinta-ala 1/2 *23 *19,2 (=220,8). (3 p.)

Ylä-/alasivuilla olevan sinisen kolmion kanta on 50 -2 *5,8 =38,4 ja korkeus 30/2 -3,5 =11,5 ja pinta-ala 1/2 *38,4 *11,5 (=220,8). (3 p.)

Kolmioiden yhteenlaskettu ala on 2 *1/2 *19,2 *23 +2 *1/2 *38,4 *11,5 =883,2 (lauseke+arvo). (2 p.)

Valkoisen alueen pinta-ala 1500 -883,2 =616,8. [1 p.]

Laskettujen pinta-alojen suhde (valkoinen/koko) 616,8 /1500 =0,4112 ~~ melko täsmälleen 41 %. (1+1 p.)

Tähän ratkaisutapaan liittyvät erillisohjeet

Jos riveillä 2 ja 3 kanta (23 tai 38,4) ja korkeus (19,2 tai 11,5) ilmestyvät ilman perusteluja (1+2+2+2+1+2). (max 10 p.)

Tyyppivirhe: kolmioiden korkeudet (tai kannat) laskettu väärin (esimerkiksi 30/2 -5,8 =9,2 ja 50/2 -3,5 =21,5) (1+2+2+2+1+1). (max 9 p.)

TAPA 2: Valkoisen pinta-ala suoraan

Valkoinen alue on jaettu kolmioihin ja nelikulmioihin (esimerkiksi 8 suunnikasta + keskellä suorakulmio TAI 4 nurkkakolmiota + 2 leikkaavaa tai 5 erillistä suunnikasta (keskellä neljäkäs)). (1 p.)

Lipun kokonaispinta-ala on (30 *50 =) 1500. (1 p.)

Keskiosan (suorakulmion) pinta-ala TAI kulmien pikkukolmioiden pinta-ala. (1 p.)

Suunnikkaan/suunnikkaiden pinta-ala(t) laskettu oikein. Neljäkäs, jos sellainen on, on yhden pisteen arvoinen. (6 p.)

Valkoisen alueen pinta-ala laskettu omilla luvuilla oikein (=616,8). (1 p.)

Laskettujen pinta-alojen suhde (valkoinen/koko) 616,8 /1500 =0,4112 ~~ melko täsmälleen 41 %. (1+1 p.)

Tähän ratkaisutapaan liittyvät erillisohjeet

Riveillä 4 voi antaa osapisteitä johtuen laskuvirheistä. Jos korkeus tai kanta on laskettu väärällä periaatteella ei riviltä anneta pisteitä.

Tyyppivirhe: Kulmien pikkukolmioiden hypotenuusa käytetään suunnikkaan ja neljäkkään korkeutena (1+1+1+0+1+1). (max 5 p.)

TAPA 3: Ohjelmistolla

Lipun kokonaispinta-ala on (30 *50 =) 1500. (1 p.)

Lippu piirretty ja piirros dokumentoitu. (1+2 p.)

Pinta-ala(t) laskettu oikein ja komennot ovat näkyvillä. (2+2 p.)

Valkoisen alueen pinta-ala (=616,8) (erotuksen/summan idea + arvo) (2 p.)

Laskettujen pinta-alojen suhde (valkoinen/koko) 616,8 /1500 =0,4112 ~~ melko täsmälleen 41 %. (1+1 p.)

Tähän ratkaisutapaan liittyvät erillisohjeet

Jos komennot/dokumentaatio puuttuu (1+1+2+2+2). (max 8 p.)

TAPA 4: Yhdistetään siniset alueet ja saadaan suorakulmio.

Lipun ala 1 p. + sinisen suorakulmion sivut 2 p. + sininen ala 2 p. + valkoinen ala 1 p. + valkoisen osuus 2 p. + oivallus 3 p. + perustelu 1 p. (max. 12 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Symmetrian perusteella riittää tarkastella lipun puolikasta tai neljäsosaa, mutta siihen pitää vedota. Ilman mainintaa (max 11 p.)

Tehtävän lukuarvot ovat likiarvoja, joten eri ratkaisutavoilla saadut oikeat vastaukset voivat poiketa toisistaan noin 0,5 prosenttia (välillä [0,41017 ; 0,41222]).

8. Muinainen laina 12 p.

Korollisia lainoja oli käytössä jo muinaisessa Lähi-idässä. Säilynyt assyrialainen teksti kuvaa erästä lainaa seuraavasti: "joka kuukausi velkaan lisättiin yksi hopeasekeli velan minaa kohti". Yksi mina on arvoltaan noin 570 grammaa hopeaa ja se jakautuu 60 sekeliin.

Ei ole täysin selvää, miten teksti pitäisi tulkita. Se voidaan tulkita ainakin seuraavilla kahdella eri tavalla:

Tapa 1: Korko lasketaan vain täysistä minoista.

Tapa 2: Korko lasketaan myös osittaisista minoista.

Kuinka paljon 30 minan lainasta kertyy vuodessa korkoa näiden eri tulkintojen mukaan?

Ensimmäiseltä kuukaudelta korkoa kertyy 30 sekeliä (tai pääoma 30,5 minaa) + samoin toiselta kuukaudelta (tai pääoma 31 minaa). (1+1 p.)

Käytetty kuukausikoron määräämisessä tietoa, että laina saavuttaa 31 minaa. [1 p.]

3. kuukauden korko: 31 sekeliä TAI kokonaismäärä 31 minaa ja 31 sekeliä. (1 p.)

Kuukauden korko on oikein 10. kuukauden loppuun, esimerkiksi 2 (30 +31 +32 +33 +34 +35) TAI 10. kuukauden jälkeen kokonaismäärä on 35 minaa ja 20 sekeliä. (1 p.)

Vuoden korko 390 sekeliä tai 6 minaa ja 30 sekeliä tai 6,5 minaa. (Tarkkuus 2–4 merkitsevää numeroa) (1 p.)

Tapaan 1 liittyvät erillisohjeet

Laskutoimitukset ovat helppoja, joten oikeita lukuja ei tarvitse perustella.

Vakiokorko 30 sekeliä/kk (ja vastaus 360 sekeliä tai 6 minaa) ([1+1]+0+0+0+0). (max 2 p.)

Kuukausikorko väärällä periaatteella (esimerkiksi väärä korkoprosentti), mutta huomioitu tasaminat oikein. ((0+0)+1+1+1+1) (max 4 p.)

Indeksivirhe (2+1+1+1+0) (max 5 p.)

Lainaa lyhennetty kuukausittain. (1+0+0+0+0) (max 1 p.)

Pelkkä vastaus (0 p).

Tapa 2:

Ratkaistu korkoa korolle -kaavalla.

Korkokerroin on 1 +1/60 (=61/60 ~~1,01667). (2 p.)

Kokonaismäärä vuoden päästä: (61/60)^12 *30 *60 (sekeliä) TAI (61/60)^12 *30 (minaa). (2 p.)

Lasketaan koron osuutta vähentämällä kokonaismäärästä 30 minaa. (1 p.)

Vuodessa korkoa kertyy 395 sekeliä (tai 6 minaa ja 35 sekeliä) TAI 394 sekeliä (tai 6 minaa 34 sekeliä) ja perustelu pyöristykselle. (Vastaukseksi ei kelpaa desimaalilukuna annettu minojen määrä kuten 6,58.) (1 p.)

Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Väärä korkokerroin (esimerkiksi 1/60 tai 1 +(1 -60/61) ~~1,01639) (0+2+1+1). (max 4 p.)

Käytetty annuiteettikaavassa oikeaa korkokerrointa. (2+0+0+0) (max 2 p.)

Laskettu 30 *q^12 ilman q:n arvoa. (0+2+0+0) (max 2 p.)

TAI Ratkaistu taulukoimalla.

2. kuukauden korko: 30,5 sekeliä/0,51 minaa TAI kokonaismäärä: 31,01 minaa. (1 p.)

3. kuukauden korko on oikein (31,01 sekeliä tai 0,52 minaa) TAI lainan kokonaismäärä on oikein (1891,51 sekeliä tai 31,53 minaa). (1 p.)

10. kuukauden korko on oikein (34,81 sekeliä tai 0,58 minaa) TAI lainan kokonaismäärä on oikein (2123,53 sekeliä tai 35,39 minaa). (1 p.)

Vuodessa korkoa kertyy 395 sekeliä (tai 6 minaa ja 35 sekeliä) TAI 394 sekeliä (tai 6 minaa 34 sekeliä) ja perustelu pyöristykselle. (Vastaukseksi ei kelpaa desimaalilukuna annettu minojen määrä, esimerkiksi 6,58.) (1 p.)

Oikeat laskukaavat ovat näkyvissä tai yksi iteraatio selitetty. (2 p.)

Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Pelkkä oikea taulukko, josta vastaus näkyy (1+1+1+1+0). (max 4 p.)

Lainaa lyhennetty kuukausittain (1+0+0+0+0). (max 1 p.)

Tehtävälle tyypillisiä yleisvähennykseen huonoista selityksistä johtavia syitä:
-Sarakkeita ei nimetty, eikä sarakkeiden sisältö muutenkaan käy ilmi.
-Kuukausittaiset korot/pääomat pyöristetty kokonaisiin sekeleihin perusteluitta.

Indeksivirhe (1+1+1+0+2) (max 5 p.)

Tapaan 2 liittyvät erillisohjeet

Vastauksen tarkkuus 3–4 merkitsevää numeroa.

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Vastaukset voi antaa myös hopeassa massayksiköinä.

Arvioidaan tavat niin päin, kumpi antaa enemmän pisteitä.

Sama väärä korkoprosentti molemmissa tavoissa: vähennys vain kerran. (max 10 p.)

9. Korrelaatiokerroin 12 p.

Anna esimerkki kahden muuttujan aineistosta, jossa on vähintään kymmenen eri datapistettä ja jossa muuttujien välinen korrelaatiokerroin on r =1. Anna vastauksena kuvakaappaus aineistosta, aineiston graafinen esitys ja kuvakaappaukset, jotka osoittavat, että vaaditut ehdot toteutuvat.

Anna vastaavat esimerkit myös tapauksista r =-1 ja r =0.

Tapaukset r =1 TAI r =-1 TAI r =0 ( 3 *4 p).

Vähintään 10 datapistettä (esimerkiksi taulukossa), jotka saattavat antaa halutun korrelaatiokertoimen. (1 p.)

STOP Jatkosta pisteitä vain, jos annetut datapisteet silmämääräisesti arvioituna saattavat antaa halutun korrelaatiokertoimen ja datapisteitä on vähintään 8.

Graafinen esitys datapisteistä. (1 p.)

Korrelaatiokerroin ohjelmistosta/laskettu ja lähellä oikeata (r >= 0,99) TAI r <= -0,99 TAI r in [-0,01; 0,01]. (1 p.)

Johtopäätöksenä: Korrelaatiokerroin on oikein. (1 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Datapisteitä 8 tai 9 (0+1+1+1) TAI tyyppivirhe: laskettu korrelaatio vain osasta pisteitä JA/TAI graafisessa esityksessä vain osa pisteistä. (max 3 p.)

Datapisteitä 7 tai vähemmän. (0 p.)

Viimeisen rivin pisteet voi saada vain jos edellinen rivi on kunnossa.

Korrelaatiokerroin on oikein, kun kokelaan käyttämä laskinohjelma pyöristää korrelaatiokertoimen haluttuun lukuarvoon.

Erikoistapaus r =0: Annettu vähintään 10 datapistettä, joiden toinen koordinaatti on vakio. Korrelaatiokerrointa ei voi laskea. (1+0+0+0) (1 p.)

Graphical Analysis -ohjelmasta korrelaatiokertoimen r =0 perusteluksi riittää regressiosuoran kulmakerroin 0, poislukien max1-tapaus.

Epämääräinen tai virheellinen terminologia: "nouseva riippuvuus", "laskeva riippuvuus", "kääntäen verrannollisuus", jne. (-0 p.)

10. Collatzin lukujono 12 p.

Collatzin jono on rekursiivinen lukujono, jonka jäsenet ovat positiivisia kokonaislukuja. Jonon seuraava jäsen a_(n +1) saadaan edellisestä jäsenestä a_n seuraavalla tavalla:

  • Jos a_n on parillinen, niin a_(n +1) =1/2 a_n.
  • Jos a_n on pariton ja suurempi kuin 1, niin a_(n +1) =3 a_n +1.
  • Jos a_n =1, niin jono päättyy.

Esimerkiksi luvusta a_1 =20 alkava Collatzin jono on 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Saksalainen Lothar Collatz esitti vuonna 1937 konjektuurin (eli väittämän, jota ei kyennyt todistamaan), jonka mukaan mistä tahansa alkuarvosta alkava Collatzin jono on äärellinen. Tähän päivään mennessä kukaan ei ole kyennyt todistamaan sitä oikeaksi tai vääräksi.

  1. Määritä Collatzin lukujono alkuarvolla a_1 =23. (3 p.)
  2. Selvitä ohjelmiston avulla, mikä alkuarvo välillä 2–100 johtaa pisimpään Collatzin jonoon. Voit kirjoittaa koodisi esimerkiksi Pythonilla tai taulukkolaskentaohjelmalla. Anna vastauksena koodisi, koodin selitys ja taulukko, jossa näkyvät ainakin ne alkuarvot, jotka tuottavat viisi pisintä jonoa, sekä näiden jonojen pituudet. (9 p.)

1.

riippumaton Käytetty ja näytetty ainakin yksi sääntö (esimerkiksi 3 *23 +1 =70 tai 70/2 =35) (1 p.)

riippumaton Käytetty oikein toista sääntöä lähtien luvusta 23 (esimerkiksi kolmas luku 35) (1 p.)

riippumaton Kaikki luvut oikein eikä ylimääräisiä. (1 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Esimerkki oikeista luvuista

23 -> 3 *23 +1 =70 -> 70/2 =35 -> 106 -> 53 -> 160 -> 80 -> 40 -> 20 -> 10 ->
5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1

Riittää kertoa jonon termien arvot, ei tarvitse kirjoittaa jonona. (-0 p.)

Pelkät oikeat luvut 0+1+1 (2 p.)

Ohjelmalla tuotettu lista kelpaa perusteluksi, jos koodi on ymmärrettävä.

2.

Koodiratkaisu

Riippumattomia ideapisteitä:

riippumaton Silmukka käy läpi ainakin arvot 2–100 (esimimerkiksi range(2, 101).) (1 p.)

riippumaton Parillisuustesti n%2==0 tai parittomuustesti n%2!=0. (1 p.)

riippumaton Laskettu oikeassa tapauksessa n /2 ja 3 *n +1. (1 p.)

riippumaton Rekursion idea (muuttujan arvoa päivitetään silmukassa ja uutta arvoa käytetään seuraavalla iteraatiolla). (1 p.)

Yllä olevat neljää ideaa ovat koodissa, ja se tuottaa oikeat arvot. Oikeasta toiminnasta on jotain dokumentaatiota, esimerkiksi ohjelman tulosteita tai seuraavalta riviltä vähintään 1 p. (3 p.)

Pisimpien jonojen alkuarvot ja pituudet poimittu (esimerkiksi käsin). Tätä askelta ei tarvitse perustella. Pisin oikein TAI ainakin 3 oikein 1 p. + kaikki oikein 1 p. (1+1 p.)

Tähän ratkaisutapaan liittyvät erillisohjeet

Silmukka 2-100 puuttuu, mutta ohjelma ajettu oikein 99 kertaa eri alkuarvoilla. (-0 p.)

Pseudokoodi tai koodi joka ei pyöri: vain ideapisteet tästä osatehtävästä. Tulkinta: Koodi ei pyöri, jos ei ole näyttöä toiminnasta (tuloste tai oikeanlaiset poiminnat). (max 4 p.)

Huomaa, että viimeinen rivi täyttää osan toiseksi viimeisen rivin vaatimuksesta, mutta ei kaikkea. Viimeisen rivin pisteet edellyttävät muilta osin aiemmat rivit perusteluina.

Taulukkoratkaisu

Selitetty taulukon logiikka (esimerkiksi sopiva if-käsky). Voi ilmetä myös ruutukaappauksesta. (4 p.)

Näytetty taulukon osa, josta lukija hahmottaa oikean taulukkoratkaisun toimintalogiikan (esimerkiksi ensimmäiset jonot oikein). (3 p.)

Pisimpien jonojen alkuarvot ja pituudet poimittu (pisteet kuten koodiratkaisussa). (1+1 p.)

Tähän ratkaisutapaan liittyvät erillisohjeet

Taulukko, jossa on vain toinen rekursiosääntö (0 p.)

Laskettu luvut manuaalisesti (ei if-käskyä) tai käskyjä ei näy, jos vastaus oikein (2 p. vastaus + 2 p. taulukko) (max 4 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Laskettu jaetut sijat vain yhtenä (vastaus 97, 73, 54/55, 27, 82/83). (-0 p.)

Koodia ei selitetä lainkaan eikä siinä ole selventäviä kommentteja. (-1 p.)

Liian suppea silmukka (esimerkiksirange(2, 100)) tai pituudessa yksi pielessä (indeksointivirhe), tästä osatehtävästä (max 8 p.)

Vastauksena annettu vain alkuarvoja, ei pituuksia. (-1 p.)

Alla esimerkki koodista.

Oikeat pituudet ja alkuarvot sisältäen muutaman ylimääräinen:

97 ~> 119; 73 ~> 116; 54/55 ~>113; 27 ~> 112; (82/83 ~> 111; 41 ~> 110).

Esimerkkikoodi:

            pituudet=[1 for k in range(0,101)]
            for l in range(2,101):
               s=l
               while s>1:
                  if s%2==0:
                    s=s/2
                  else:
                    s=3*s+1
                  pituudet[l]=pituudet[l]+1
            for l in range(2,101):
              if pituudet[l]>100:
                  print(l,pituudet[l])

B2-osa

11. Integraalin palautuskaava 12 p.

Tarkastellaan epäoleellisia integraaleja

I_n =int_0^oo x^n e^-x dx,

kun n =0, 1, 2, 3,...

  1. Johda palautuskaava

    I_n =n I_(n -1),

    kun n >= 1.

    Vihje: Integroi kaava D(x^n e^-x) =n x^(n -1) e^-x -x^n e^-x puolittain välillä 0 <= x <= R. (6 p.)

  2. Osoita epäoleellisen integraalin määritelmää käyttämällä, että

    I_0 =int_0^oo e^-x dx =1,

    ja päättele integraalin I_5 arvo palautuskaavan I_n =n I_(n -1) avulla. (6 p.)

1. (Ratkaisussa oletetaan, että I_n suppenee.)

Laskettu int_0^R D(x^n e^-x) dx =[x^n e^-x]_0^R -> 0, kun R -> oo. (2 p.)

Laskettu int_0^oo (n x^(n -1) e^-x -x^n e^-x) dx =lim_(R -> oo) int_0^R (n x^(n -1) e^-x -x^n e^-x) dx=n lim_(R -> oo) int_0^R x^(n -1) e^-x dx -lim_(R -> oo) int_0^R x^n e^-x dx =n I_(n -1) -I_n.

Pisteet: integraalin summakaavan käyttö 1 p. + molemmat integraalit I_n-merkintään 1 p. + raja-arvon käyttäminen 1 p. (3 p.)

Johtopäätöksenä: Täten n I_(n -1) -I_n =0, mikä todistaa väitteen. TAI Täten I_n =n I_(n -1). (1 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Alkupiste: Jokin osatehtävän epäoleellisista integraaleista esitetty raja-arvon avulla. (1 p.)

lim_(R -> oo) R^n e^-R =0 ei vaadi perusteluja. Virheellinen perustelu (-0 p.)

Jos integraalien ylärajoja ei ole käsitelty raja-arvoina (2+2+1). (max 5 p.)

Laskettu ylärajalla R, mutta raja-arvoja ei ole otettu (1+1+0). (max 2 p.)

Palautuskaavan voi johtaa myös osittaisintegroimalla lähtien I_n:n määritelmästä. Laskut ovat vastaavat kuin yllä.

2. int_0^oo e^-x dx =lim_(R -> oo) int_0^R e^-x dx (1 p.)

int_0^R e^-x dx (=[-e^-x]_0^R) =1 -e^-R (integraali (1 p.) + sijoitus 1 p.) (2 p.)

lim_(R -> oo) (1 -e^-R) =1 (joten I_0 =1). (1 p.)

Käytetty kerran palautuskaavaa, esimerkiksi I_5 =5 I_4 tai I_1 =1 I_0 (1 p.)

Laskettu I_5 =5 I_4 =5 *4 I_3 =... =5! =120. (1 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Tyyppivirhe: Laskettu I_4 integraalina, jolloin ei saa viimeistä pistettä. (max 5 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Sijoitettu oo, esimerkiksi e^-oo: yleisvähennys huonoista merkinnöistä.

12. Seitsensakarainen tähti 12 p.

George R. R. Martinin luomaan fantasiamaailmaan sijoittuvassa Game of Thrones -sarjassa esiintyy seitsensakarainen tähti (katso oheinen kuva), jonka muotoa mallinnetaan tässä tehtävässä. Tähden seitsemän kärkipistettä asettuvat ympyrän kehälle tasavälein. Tähden sakarat muodostuvat seitsemästä paraabelin kaaresta niin, että jokaista sakaraa rajaa kaksi paraabelia. Yksittäinen paraabeli leikkaa ympyrän kahdessa tähden kärkipisteessä, joiden väliin jää yksi tähden kärkipiste. Leikkauspisteessä ympyrän tangentti ja paraabelin tangentti ovat kohtisuorassa. Tähden keskellä on ympyrä, joka sivuaa paraabeleja.

Määritä tähden keskellä olevan ympyrän ja tähden kärkien kautta kulkevan ympyrän säteiden suhde.

TAPA 1: Analyyttisella geometrialla

Geometrian matemaattinen muotoilu (4 p.)

Sijoitettu ympyrä (alla yksikköympyrä) (x{,}y)-koordinaatistoon. Ympyrän yhtälön (esimerkiksi x^2+y^2=r^2) on oltava näkyvissä, kuvan ei välttämättä. Ympyrän keskipisteen tulee olla kiinnitetty. (1 p.)

Tarkasteltu yhtä tähden paraabelia ja annettu sen sievennetty yhtälö (esimerkiksi y-akseli paraabelin pystyakselina (käytetty alla) ja yhtälö y=ax^2+b). (1 p.)

riippumaton Kahden vierekkäisen tähden sakaran välinen kulma on 2\pi/7 rad TAI paraabelin ja ympyrän leikkauspisteiden välistä kaarta vastaava keskuskulma on 4\pi/7 rad. (Tämä voi käydä ilmi myös kaaren pituudesta.) (1 p.)

Annettu paraabelin ja ympyrän leikkauspisteen koordinaatit, (esimerkiksi 1. neljänneksessä pisteessä \left(\cos\big(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{7}\big),\sin\big(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{7}\big)\right)=\left(\cos\big(\frac{3\pi}{14}\big),\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)\right) =: P). (1 p.)

Ratkaistu paraabelin kerroin a (4 p.)

Derivoimalla muodostettu paraabelin tangentin kulmakerroin (y' =2ax) JA sijoitettu leikkauspisteen x-koordinaatti. (1 p.)

Saatu ympyrän säteen kk pisteessä TAI ympyrän tangentin kk pisteessä P \big(k=\frac{\sin(3\pi/14)}{\cos(3\pi/14)}\big) (esimerkiksi derivoimalla y'=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y}) ja sijoitettu leikkauspisteen x-koordinaatti. (1 p.)

Ideapiste: Hyödynnetty paraabelin tangentin yhdensuuntaisuutta säteeseen TAI tangenttien kohtisuoruutta pisteessä P (sanallinen selitys tai yhtälö tarkasteltavassa tilanteessa). [1 p.]

Saatu yhtälö, esimerkiksi 2a\cdot \cos\big(\frac{3\pi}{14}\big)=\frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{\cos(\frac{3\pi}{14})}, JA ratkaistu a=\frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{2\cos^2(\frac{3\pi}{14})}. (1 p.)

Ratkaistu paraabelin vakio b (3 p.)

Sijoitettu pisteen P koordinaatit (1 p.) ja kerroin a (1 p.) paraabelin yhtälöön (jolloin saadaan \sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)=\frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{2\cos^2(\frac{3\pi}{14})}\cdot \cos^2\big(\frac{3\pi}{14}\big)+b). (1+1 p.)

Ratkaistu b=\frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{2}. (1 p.)

Laskettu TAI todettu jos alussa valittu yksikköympyrä: kysytty suhde on siis \frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{2} \,(=0{,}31174490 \ldots = (3{,}207750943 \ldots)^{-1}). (1 p.)

Tähän ratkaisutapaan liittyvät erillisohjeet

Valittu oma luku ison tai pienen ympyrän säteeksi. (-0 p.)

Kulmat voi antaa myös asteina.

Laskettu likiarvoilla: vähennys siltä riviltä, jolla likiarvot otetaan käyttöön, sekä vastausriviltä. (max 10 p.)

Vastaus sieventämättä tai viimeisen rivin sieventäminen "korvattu" likiarvolla. (max 11 p.)

Säteiden suhteen voi antaa kummin päin tahansa. (max 12 p.)

TAPA 2: Klassisella geometrialla

Piirretty perustellusti säännöllinen seitsenkulmio TAI ympyrä ja sille tasavälein seitsemän pistettä TAI ympyrä ja sille kaksi pistettä, joiden välistä kaarta vastaava keskuskulma on 4 \pi/7. (1 p.)

Piirretty paraabeli p, joka silmämääräisesti leikkaa (jostakin) ympyrästä 4\pi/7 radiaanin kaaren TAI seitsemän paraabelia, jotka silmämääräisesti sivuavat toisiaan tehtävänannon mukaisesti. (1 p.)

Piirretty tähden kärkien kautta kulkeva ympyrä c, jota paraabeli p perustellusti leikkaa pisteissä, joiden välillä on 4\pi/7 radiaanin kaari. Piirretty pienempi ympyrä, joka perustellusti sivuaa paraabelin p huippua. (2 p.)

Tarkastellaan paraabelin p ja ympyrän c leikkauspistettä P.

Ideapiste: Tarkasteltu pisteessä P paraabelin p ja ympyrän c tangenttien kohtisuoruutta (esimerkiksi mittaamalla suorien väliset kulmat) TAI paraabelin p tangentin yhdensuuntaisuutta ympyrän c säteeseen. (1 p.)

Piirretty perustellusti pisteeseen P paraabelille p ja ympyrälle c tangentit (1 p.). Osoitettu, että tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan (3 p). TAI Muuten perusteltu paraabelin p ja ympyrän c tangenttien kohtisuoruus pisteessä P. (4 p.)

Määritetty tehtävänannon ympyröiden säteiden suhteen oikea likiarvo (0{,}31174490\ldots=(3{,}207750943\ldots)^{-1}) vähintään 2 numeron tarkkuudella [1 p.]

ja tarkka arvo \frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{2}. (2 p.)

Tähän ratkaisutapaan liittyvät erillisohjeet

Rivien 1–5 perustelut voi tehdä ohjelmistolla kunhan komennot on dokumentoitu tai selitetty uskottavasti sanallisesti.

Rivin 6 pisteen voi saada, jos konstruktio on silmämääräisesti kunnossa, vaikka dokumentaatiossa olisi puutteita.

Paraabeli p väärä (esimerkiksi paraabeli p leikkaa isosta ympyrästä väärän pituisen kaaren) (1+1+0+1+(1+1)+0+0) (max 5 p.)

13. Ääriarvokohdat 12 p.

Määritellään funktio f: [0, 1] -> RR kaavalla

f(x) =int_0^x sin(2 ~p z^2) dz.

Missä kohdissa funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa?

Voit tutkia tilannetta ohjelmistojen avulla, mutta vastaus täytyy perustella täsmällisesti. Perusteluiksi eivät riitä ohjelmistolla lasketut integraalien likiarvot eikä fMax- tai fMin-käskyjen käyttäminen.

Funktion derivaatta on g(z) =sin(2 ~p z^2) TAI tarkasteltu funktion g(x) ja x-akselin rajoittamaa pinta-alaa. (1 p.)

Välillä [0,1] funktion ääriarvot ovat pisteissä (esimerkiksi derivaatan nollakohdat) z =0, z =1 /sqrt(2) ja z =1 (vaaditaan tarkka arvo 1 /sqrt(2) =sqrt(2) /2). (1 p.)

Perusteltu, että derivaatta kahden ensimmäisen nollakohdan välissä on positiivinen ja kahden jälkimmäisen välissä negatiivinen (laskemalla testipisteet laskimella, jatkuvuutta ei tarvitse mainita) TAI perusteltu (esimerkiksi pinta-alan avulla), että funktio on f(x) kasvava välillä [0, 1 /sqrt(2)] ja sen jälkeen vähenevä. (1 p.)

Funktio f(x) =int_0^x g(z) dz voi siis saavuttaa suurimman arvonsa vain pisteessä x =1 /sqrt(2). (1 p.)

Funktio f(x) voi saavuttaa pienimmän arvonsa vain pisteessä x =0 tai x =1. (1 p.)

Osoitetaan, että f(1) > f(0) =0

Tapa 1: Pinta-aloja arvioiden

Jaettu integraali kahteen osaan eli välien [0, 1 /sqrt(2)] ja [1 /sqrt(2), 1] yli.

(int_0^1 sin(2 ~p z^2) dz =int_0^(1 /sqrt(2)) sin(2 ~p z^2) dz +int_(1 /sqrt(2))^1 sin(2 ~p z^2) dz). (1 p.)

Arvioidaan jälkimmäisen välin pinta-alaa. Valittu sopivat testipisteet oikein ja selitetty ja laskettu arviot oikein. (Esimerkiksi x in [1 /sqrt(2), 1]. Koska sin(2 ~p z^2) =-1/2, kun z =sqrt(7) /(2 sqrt(3)) ja z =sqrt(11) /(2 sqrt(3)), ja sin(2 ~p z^2) =-1 /sqrt(2), kun z =sqrt(5) /(2 sqrt(2)) ja z =sqrt(7) /(2 sqrt(2)) on pinta-ala korkeintaan

(sqrt(7) /(2 sqrt(3)) -1 /sqrt(2) +1 -sqrt(11) /(2 sqrt(3))) *1/2 +(sqrt(5) /(2 sqrt(2)) -sqrt(7) /(2 sqrt(3)) +sqrt(11) /(2 sqrt(3)) -sqrt(7) /(2 sqrt(2))) *1 /sqrt(2) +(sqrt(7) /(2 sqrt(2)) -sqrt(5) /(2 sqrt(2))) < 0,229). (1+1+1 p.)

Arvioidaan ensimmäisen välin pinta-alaa. Valittu sopivat testipisteet oikein ja laskettu arviot oikein. (Esimerkiksi tällöin x in [0, 1 /sqrt(2)]. Koska sin(2 ~p z^2) =1/2, kun z =1 /(2 sqrt(3)) ja z =sqrt(5) /(2 sqrt(3)), ja sin(2 ~p z^2) =1 /sqrt(2), kun z =1 /(2 sqrt(2)) ja z =sqrt(3) /(2 sqrt(2)), on pinta-ala vähintään

(1 /(2 sqrt(2)) -1 /(2 sqrt(3)) +sqrt(5) /(2 sqrt(3)) -sqrt(3) /(2 sqrt(2))) *1/2 +(sqrt(3) /(2 sqrt(2)) -1 /(2 sqrt(2))) *1 /sqrt(2) > 0,232). (1+1 p.)

Johtopäätöksenä: Positiivinen ala on suurempi kuin negatiivinen. Pienin arvo saavutetaan siis kohdassa x =0. (1 p.)

Tapa 2: Muuttujanvaihdolla

Kirjoitetaan u =z^2, eli z =sqrt(u), jolloin integroimisrajat pysyvät samoina ja dz =1 /(2 sqrt(u)) du. (2 p.)

Tällöin int_0^1 sin(2 ~p z^2) dz =1/2 int_0^1 sin(2 ~p u) /sqrt(u) du (1 p.)

=1/2 int_0^1/2 sin(2 ~p u) /sqrt(u) du +1/2 int_1/2^1 sin(2 ~p u) /sqrt(u) du =1/2 int_0^1/2 sin(2 ~p u) (1 /sqrt(u) -1 /sqrt(u +1/2) du. (2 p.)

Koska 1 /sqrt(u) -1 /sqrt(u +1/2) > 0, integraalin arvo on positiivinen, (1 p.)

Johtopäätöksenä: ja pienin arvo saavutetaan siis kohdassa x =0 (1 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Integroitu väärin tai väärä derivaattafunktio. (+0 p.)

Derivoitu laskimella, saatu g(x). (-0 p.)

Derivoitu, löydetty derivaatan nollakohdat, laskettu integraalin arvoja laskimella (eli laskimella f(0), f(1) ja f(1 /sqrt(2))) ja todettu tulos tämän perusteella (1+1+0+1+1+0+0+0+0). (max 4 p.)

Derivoitu, löydetty derivaatan nollakohdat, kulkukaavio perusteltu ja perusteltu, miksi 1 /sqrt(2) on maksimi, mutta f(0) ja f(1) laskimella ja siitä johtopäätös, että x =0 on minimi. (1+1+1+1+1+0+0+0+0) (max 5 p.)

Käytetty alasumma-komentoa (1+1+1+1+1+1+0+0+0). (max 6 p.)

Alla olevaan kuvioon on hahmoteltu approksimaatioihin liittyvää geometriaa.