Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

18.3.2026

Alustavat hyvän vastauksen piirteet 18.3.2026

Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti tueksi alustavaa arvostelua varten. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastauksia. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät ole osa Ylioppilastutkintolautakunnan yleisissä määräyksissä ja ohjeissa tarkoitettua tietoa siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu yksittäisen kokelaan koesuoritukseen. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät sido Ylioppilastutkintolautakuntaa lopullisen arvostelun perusteiden laadinnassa.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esimerkiksi derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Hakasuluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Jos erikseen ei mainita, niin vastauksen hyväksyttävä tarkkuus on yksi merkitsevä numero enemmän tai vähemmän kuin ohjeeseen kirjattu.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37,5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esimerkiksi laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä yllä olevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
    • Teksti STOP tarkoittaa sitä, että sillä rivillä kerrotaan, minkä ehtojen pitää toteutua, jotta jatkosta saa pisteitä.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esimerkiksi tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esimerkiksi x =2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esimerkiksi puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

A-osa

1. Puuttuvat luvut 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

Täydennä puuttuvat luvut osatehtävissä 1.1–1.6 niin, että väitteet ovat tosia. Puuttuvat luvut on merkitty neliösymbolilla (#).

1.1 3/4 -2/5 =#/60 2 p.

  • 21 (2 p.)

1.2 Lukujen -5, 4, 13 ja # keskiarvo on 5.. 2 p.

  • 8 (2 p.)

1.3 (2 x +3)^2 =4 x^2 +# x +9 2 p.

  • 12 (2 p.)

1.4 Yhtälön 7 x +# =19 -2 x ratkaisu on x =2. 2 p.

  • 1 (2 p.)

1.5

Luvut x =3 ja y toteuttavat yhtälöparin

{2 x +y =#, x -2 y =9}. 2 p.

  • 3 (2 p.)

1.6 Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 20 ja 21, joten hypotenuusan pituus on #. 2 p.

  • 29 (2 p.)

Tämä tehtävä arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, joten opettaja ei tee alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

2. Derivaattoja ja yhdistelyä 12 p.

Määritä funktioiden derivaatat ja tutki niiden ominaisuuksia. Valitse kullekin funktiolle kummastakin listasta paras vaihtoehto.

Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, poista vastauksesi valitsemalla pudotusvalikosta tyhjä rivi.

2.1 f(x) =-6 x^2 +12 x +5 4 p.

2.1.1 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Derivaatan kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä (0, 12).  (2 p.)
2.1.2 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Ei mikään yllä olevista.  (2 p.)

2.2 g(x) =-1/2 x^2 +4 x -6 4 p.

2.2.1 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Derivaatan kuvaaja leikkaa x-akselin pisteessä (4, 0).  (2 p.)
2.2.2 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Derivaatan kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on -1.  (2 p.)

2.3 h(x) =3 x^3 -4 x +3 4 p.

2.3.1 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Derivaatan nollakohdat ovat x =-2/3 ja x =2/3.  (2 p.)
2.3.2 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. 2 p.
  • Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.  (2 p.)

3. Logaritmeja 12 p.

  1. Anna esimerkki positiivisista reaaliluvuista a, b ja c, jotka eivät toteuta yhtälöä

    ln(a +b +c) =ln a +ln b +ln c.

    (4 p.)

  2. Anna esimerkki positiivisista reaaliluvuista a, b ja c, jotka toteuttavat yhtälön

    ln(a +b +c) =ln a +ln b +ln c.

    Likiarvot eivät riitä yhtäsuuruuden perustelemiseen. (8 p.)

1.

Esimerkki 1 piste ja perustelut 3 pistettä. Esimerkiksi:

Valitaan a =b =c =3. (1 p.)

Nyt ln 3 +ln 3 +ln 3 =ln 27 ja ln(3 +3+3) =ln 9. (2 p.)

Koska logaritmi on aidosti kasvava ja 9 !=27, ei yhtälö päde. (1 p.)

2.

Esimerkki 2 pistettä ja perustelut 6 pistettä. Esimerkiksi:

Valitaan a =1 ja b =2 ja c =3. (2 p.)

Koska ln 1 +ln 2 +ln 3 =ln(1 *2 *3) =ln 6 (3 p.)

ja ln(1 +2 +3) =ln 6, väite toteutuu. (3 p.)

4. Descartesin menetelmä 12 p.

Ratkaise yhtälö x^4 -5 x^2 +4 =0 ja osoita, että tekstissä 4.A kuvattu Descartesin menetelmä antaa sen positiivisten ratkaisujen lukumäärän oikein.

Yhtälöllä on kaksi merkinvaihtoa: neljännen ja toisen asteen termien välissä sekä toisen asteen termin ja vakiotermin välissä. Descartesin menetelmän perusteella positiivisia juuria tulisi olla kaksi. (2 p.)

Ratkaistaan nyt yhtälö. Tehdään aluksi sijoitus x^2 =t. Yhtälö muuttuu muotoon t^2 -5 t +4 =0. (3 p.)

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan t =1 tai t =4. (2 p.)

Kun t =1, saadaan x =+-1. (2 p.)

Kun t =4, saadaan x =+-2. (2 p.)

Positiivisia ratkaisuja ovat 1 ja 2, eli niitä on kaksi, kuten Descartesin menetelmä kertoi. (1 p.)

5. Paraabeli 12 p.

Paraabeli on tasokäyrä, jonka jokainen piste on yhtä kaukana annetusta suorasta ja sen ulkopuolella sijaitsevasta pisteestä. Näitä kutsutaan johtosuoraksi ja polttopisteeksi.

Kuvan 5.A paraabelin johtosuora on y =-x ja sen polttopiste on (2, 2). Osoita, että paraabelin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

x +y =a (x -y)^2 +b,

ja määritä siinä esiintyvät vakiot a ja b.

Pisteen (x, y) etäisyys polttopisteestä on sqrt((x -2)^2 +(y -2)^2). (2 p.)

Tämän pisteen etäisyys suorasta y =-x, eli suorasta y +x =0, on |x +y| /sqrt(1^2 +1^2) =|x +y| /sqrt(2). (2 p.)

Koska etäisyydet ovat epänegatiivisia, riittää vertailla niiden neliöitä:
(x -2)^2 +(y -2)^2 =(x +y)^2 /2 (2 p.)

Avataan sulut ja kerrotaan puolittain kahdella:
2 x^2 -8 x +8 +2 y^2 -8 y +8 =x^2 +2 xy +y^2. (2 p.)

Tämä voidaan kirjoittaa muodossa x^2 +y^2 -2 xy +16 =8 (x +y), (2 p.)

joka muuttuu muotoon x +y =1/8 (x -y)^2 +2, eli a =1/8 ja b =2. (2 p.)

6. Eiffel-torni 12 p.

Eiffel-tornin muotoa voidaan mallintaa xyz-koordinaatiston kappaleella, jonka rajaavat neljä pintaa

x =a e^(c (h -z)), y =a e^(c (h -z)), x =-a e^(c (h -z)), y =-a e^(c (h -z))

sekä tasot z =0 ja z =h. Mallissa a =4,255, c =0,00892, h =312 ja yksikkönä on metri. Tämä kappale on esitetty kuvassa 6.A. Laske kappaleen tilavuus integraalia käyttäen.

Eiffel-tornin poikkileikkaus korkeudella z on neliö, jonka sivun pituus on 2 a e^(c (h -z)). (3 p.)

Tämän neliön ala on siis 4 a^2 e^(2 c (h -z)). (1 p.)

Tilavuus saadaan integroimalla int_0^312 4 a^2 e^(2 c (h -z)) dz (3 p.)

=4 a^2 e^(2 c h) int_0^312 e^(-2 c z) dz =[(4 a^2 e^(2 c h)) /(-2 c) e^(-2 c z)]_0^312 (3 p.)

~~1.060.000 kuutiometriä. (2 p.)

B1-osa

7. Skotlannin lippu 12 p.

Jalkapallofanilla on Skotlannin lippu, jonka leveys on 50 cm ja korkeus 30 cm. Lipun sinisellä pohjalla on molempien lävistäjien ympärillä valkoinen alue. Se ulottuu vaakasuuntaan 5,8 cm lävistäjältä vasemmalle ja oikealle sekä pystysuuntaan 3,5 cm lävistäjältä ylös ja alas kuten kuvassa 7.A. Kuinka monta prosenttia valkoinen alue on lipun pinta-alasta?

Pituuksissa yksikkönä on cm, ja pinta-alalaskujen yksikkönä on cm^2.

Lipun kokonaispinta-ala on 30 *50 =1500. (1 p.)

Lipun sivuilla olevien sinisten kolmioiden kanta on 30 -2 *3,5 =23 ja korkeus 50/2 -5,8 =19,2 (3 p.)

Ylä- ja alasivuilla olevien sinisten kolmioiden kanta on 50 -2 *5,8 =38,4 ja korkeus 30/2 -3,5 =11,5. (3 p.)

Kolmioiden yhteenlaskettu ala on 2 *1/2 *19,2 *23 +2 *1/2 *38,4 *11,5 =883,2. (2 p.)

Valkoisen värin osuus on (1500 -883,2) /1500 =0,4112 ~~41 %. (3 p.)

8. Muinainen laina 12 p.

Korollisia lainoja oli käytössä jo muinaisessa Lähi-idässä. Säilynyt assyrialainen teksti kuvaa erästä lainaa seuraavasti: "joka kuukausi velkaan lisättiin yksi hopeasekeli velan minaa kohti". Yksi mina on arvoltaan noin 570 grammaa hopeaa ja se jakautuu 60 sekeliin.

Ei ole täysin selvää, miten teksti pitäisi tulkita. Se voidaan tulkita ainakin seuraavilla kahdella eri tavalla:

Tapa 1: Korko lasketaan vain täysistä minoista.

Tapa 2: Korko lasketaan myös osittaisista minoista.

Kuinka paljon 30 minan lainasta kertyy vuodessa korkoa näiden eri tulkintojen mukaan?

Tavassa 1 kertyy korkoa ensimmäisen kuukauden jälkeen 30 sekeliä. (1 p.)

Ensimmäisen kuukauden korko ei lisännyt kokonaista minaa lainaan, joten toisen kuukauden jälkeen kertyy myös 30 sekeliä korkoa. (1 p.)

Tämän jälkeen lainaa on kuitenkin 31 minaa, joten kolmannen kuukauden jälkeen korkoa maksetaan 31 sekeliä. (1 p.)

Jatketaan vastaavasti. Vuoden jälkeen korkoa on kertynyt 2 (30 +31 +32 +33 +34 +35) =390 sekeliä (eli 6 minaa ja 30 sekeliä). (3 p.)

Tavassa 2 on kyse korkoa korolle -periaatteesta. Korkokerroin on 1 +1/60 =61/60. (2 p.)

Vuoden korkokertymä on siis (61/60)^12 *30 *60 -30 *60 (2 p.)

~~395 sekeliä (eli 6 minaa ja 35 sekeliä). (2 p.)

9. Korrelaatiokerroin 12 p.

Anna esimerkki kahden muuttujan aineistosta, jossa on vähintään kymmenen eri datapistettä ja jossa muuttujien välinen korrelaatiokerroin on r =1. Anna vastauksena kuvakaappaus aineistosta, aineiston graafinen esitys ja kuvakaappaukset, jotka osoittavat, että vaaditut ehdot toteutuvat.

Anna vastaavat esimerkit myös tapauksista r =-1 ja r =0.

Tehtävälle on useita eri ratkaisuja. Selityksiä ei tarvita, jos kuvakaappauksista käy ilmi, mikä aineisto on kyseessä, mikä on korrelaatiokerroin, ja jos aineisto on esitetty graafisesti.

(4 p.)

(4 p.)

(4 p.)

10. Collatzin lukujono 12 p.

Collatzin jono on rekursiivinen lukujono, jonka jäsenet ovat positiivisia kokonaislukuja. Jonon seuraava jäsen a_(n +1) saadaan edellisestä jäsenestä a_n seuraavalla tavalla:

  • Jos a_n on parillinen, niin a_(n +1) =1/2 a_n.
  • Jos a_n on pariton ja suurempi kuin 1, niin a_(n +1) =3 a_n +1.
  • Jos a_n =1, niin jono päättyy.

Esimerkiksi luvusta a_1 =20 alkava Collatzin jono on 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Saksalainen Lothar Collatz esitti vuonna 1937 konjektuurin (eli väittämän, jota ei kyennyt todistamaan), jonka mukaan mistä tahansa alkuarvosta alkava Collatzin jono on äärellinen. Tähän päivään mennessä kukaan ei ole kyennyt todistamaan sitä oikeaksi tai vääräksi.

  1. Määritä Collatzin lukujono alkuarvolla a_1 =23. (3 p.)
  2. Selvitä ohjelmiston avulla, mikä alkuarvo välillä 2–100 johtaa pisimpään Collatzin jonoon. Voit kirjoittaa koodisi esimerkiksi Pythonilla tai taulukkolaskentaohjelmalla. Anna vastauksena koodisi, koodin selitys ja taulukko, jossa näkyvät ainakin ne alkuarvot, jotka tuottavat viisi pisintä jonoa, sekä näiden jonojen pituudet. (9 p.)

1.

23 -> 3 *23 +1 =70 -> 70/2 =35 -> 106 -> 53 -> 160 -> 80 -> 40 -> 20 -> 10 ->
5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 (3 p.)

2.

Ohjelmakoodin voi toteuttaa esimerkiksi seuraavasti: Määritetään ensin vektori pituudet joka laskee välivaiheiden määrää. Tämän jälkeen jokaisella 2 <= l <= 100 lasketaan siitä lähtevä jono, ja joka kierroksella kasvatetaan pituuden arvoa yhdellä. Tämä tehdään while-silmukassa. Silmukka pyörii, kunnes lukujonon arvoksi tulee 1. Lopulta tulostetaan kaikki ne pituudet ja lukujen l arvot, joilla jonossa on yli 100 välivaihetta. (2 p.)

Kuva ohjelmakoodista. (3 p.)

Tuloste on tällainen:
Tuloste, jossa on lukuarvoja. [2 p.]

Tästä tulosteesta nähdään, että pisin jono saadaan arvolla 97. Jonon pituus on yksi enemmän kuin välivaiheiden lukumäärä. Tällöin pituus on 119. Viisi pisintä ovat seuraavat:

alkuarvopituus
97119
73116
55113
54113
27112

(2 p.)

B2-osa

11. Integraalin palautuskaava 12 p.

Tarkastellaan epäoleellisia integraaleja

I_n =int_0^oo x^n e^-x dx,

kun n =0, 1, 2, 3,...

  1. Johda palautuskaava

    I_n =n I_(n -1),

    kun n >= 1.

    Vihje: Integroi kaava D(x^n e^-x) =n x^(n -1) e^-x -x^n e^-x puolittain välillä 0 <= x <= R. (6 p.)

  2. Osoita epäoleellisen integraalin määritelmää käyttämällä, että

    I_0 =int_0^oo e^-x dx =1,

    ja päättele integraalin I_5 arvo palautuskaavan I_n =n I_(n -1) avulla. (6 p.)

1.

Integroidaan tehtävässä annettu lauseke puolittain: Vasen puoli antaa int_0^R D(x^n e^-x) dx =R^n e^-R. (1 p.)

Oikealta puolelta saadaan
int_0^R (n x^(n -1) e^-x -x^n e^-x) dx =n int_0^R x^(n -1) e^-x dx -int_0^R x^n e^-x dx. (2 p.)

Kun R -> oo, niin vasen puoli lähestyy nollaa. Oikea puoli lähestyy lauseketta n I_(n -1) -I_n. (2 p.)

Siispä n I_(n -1) -I_n =0, mikä todistaa väitteen. (1 p.)

2.

int_0^R e^-x dx =[-e^-x]_0^R =1 -e^-R (2 p.)

-> 1, kun R -> oo, eli I_0 =1. (2 p.)

Palautuskaavaa käyttämällä saadaan
I_5 =5 I_4 = 5 *4 I_3 =5 *4 *3 I_2 =5 *4 *3 *2 I_1 =5 *4 *3 *2 *1 I_0 =5! =120. (2 p.)

12. Seitsensakarainen tähti 12 p.

George R. R. Martinin luomaan fantasiamaailmaan sijoittuvassa Game of Thrones -sarjassa esiintyy seitsensakarainen tähti (katso oheinen kuva), jonka muotoa mallinnetaan tässä tehtävässä. Tähden seitsemän kärkipistettä asettuvat ympyrän kehälle tasavälein. Tähden sakarat muodostuvat seitsemästä paraabelin kaaresta niin, että jokaista sakaraa rajaa kaksi paraabelia. Yksittäinen paraabeli leikkaa ympyrän kahdessa tähden kärkipisteessä, joiden väliin jää yksi tähden kärkipiste. Leikkauspisteessä ympyrän tangentti ja paraabelin tangentti ovat kohtisuorassa. Tähden keskellä on ympyrä, joka sivuaa paraabeleja.

Määritä tähden keskellä olevan ympyrän ja tähden kärkien kautta kulkevan ympyrän säteiden suhde.

Ajatellaan tähden kärkien kautta kulkeva ympyrä yksikköympyräksi. Asetetaan yksi sakara y-akselille. Olkoon tehtävän kuvassa korostetun paraabelin yhtälö y =a x^2 +b. Yhtälö on tätä muotoa, sillä se on symmetrinen y-akselin suhteen. (1 p.)

Tällöin b on paraabelin etäisyys origosta. (1 p.)

Ensimmäisessä neljänneksessä sijaitseva kärki on pisteessä
(cos (~p /2 -2 ~p /7), sin (~p /2 -2 ~p /7)) =(cos (3 ~p /14), sin (3 ~p /14)). (2 p.)

Koska ympyrän tangentti on kohtisuorassa paraabelin tangenttia vastaan, on paraabelin tangentin oltava samansuuntainen kuin ympyrälle tähän pisteeseen piirretty säde. Paraabelin kulmakerroin pisteessä (cos (3 ~p /14), sin (3 ~p /14)) on (sin (3 ~p /14)) /(cos (3 ~p /14)). (2 p.)

Derivaatan avulla saadaan pisteessä (cos (3 ~p /14), sin (3 ~p /14)) paraabelin kulmakertoimeksi 2 a *cos (3 ~p /14). (1 p.)

Saadaan yhtälö 2 a *cos (3 ~p /14) =(sin (3 ~p /14)) /(cos (3 ~p /14)), joten a =(sin (3 ~p /14)) /(2 cos^2 (3 ~p /14)). (1 p.)

Koska paraabelin on kuljettava pisteen (cos (3 ~p /14), sin (3 ~p /14)) kautta, saadaan yhtälö sin (3 ~p /14) =(sin (3 ~p /14)) /(2 cos^2 (3 ~p /14)) *cos^2 (3 ~p /14) +b. (2 p.)

Saadaan b =(sin (3 ~p /14)) /2. (1 p.)

Kysytty suhde on siis (sin (3 ~p /14)) /2. (1 p.)

13. Ääriarvokohdat 12 p.

Määritellään funktio f: [0, 1] -> RR kaavalla

f(x) =int_0^x sin(2 ~p z^2) dz.

Missä kohdissa funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa?

Voit tutkia tilannetta ohjelmistojen avulla, mutta vastaus täytyy perustella täsmällisesti. Perusteluiksi eivät riitä ohjelmistolla lasketut integraalien likiarvot eikä fMax- tai fMin-käskyjen käyttäminen.

Välillä [0, 1] funktiolla g(z) =sin(2 ~p z^2) on nollakohdat pisteissä z =0, z =1 /sqrt(2) ja z =1. Kahden ensimmäisen nollakohdan välissä se on positiivinen ja kahden jälkimmäisen välissä negatiivinen. (1 p.)

Funktio f(x) =int_0^x g(z) dz voi siis saavuttaa suurimman arvonsa vain pisteessä x =1 /sqrt(2), sillä tähän pisteeseen asti funktio on aidosti kasvava ja tämän pisteen jälkeen aidosti vähenevä. (2 p.)

Funktio f(x) voi saavuttaa pienimmän arvonsa vain pisteessä x =0 tai x =1. Lisäksi f(0) =0. (1 p.)

Osoitetaan, että f(1) > 0.

Tapa 1: Muuttujanvaihdolla

Kirjoitetaan u =z^2, eli z =sqrt(u), jolloin integroimisrajat pysyvät samoina ja dz =1 /(2 sqrt(u)) du. Tällöin int_0^1 sin(2 ~p z^2) dz =1/2 int_0^1 (sin(2 ~p u) /sqrt(u) du (3 p.)

=1/2 int_0^1/2 sin(2 ~p u) /sqrt(u) du +1/2 int_1/2^1 sin(2 ~p u) /sqrt(u) du =1/2 int_0^1/2 sin(2 ~p u) (1 /sqrt(u) -1 /sqrt(u +1/2)) du. (3 p.)

Koska 1 /sqrt(u) -1 /sqrt(u +1/2) > 0, integraalin arvo on positiivinen, ja pienin arvo saavutetaan siis kohdassa x =0. (2 p.)

Tapa 2: Pinta-aloja arvioiden

Arvioidaan ensin negatiivisen alueen pinta-alaa. Tällöin x-arvot ovat välillä [1 /sqrt(2), 1]. Koska sin(2 ~p z^2) =-1/2, kun z =sqrt(7) /(2 sqrt(3)) ja z =sqrt(11) /(2 sqrt(3)), ja sin(2 ~p z^2) =-1 /sqrt(2), kun z =sqrt(5) /(2 sqrt(2)) ja z =sqrt(7) /(2 sqrt(2)), on pinta-ala korkeintaan
(sqrt(7) /(2 sqrt(3)) -1 /sqrt(2) +1 -sqrt(11) /(2 sqrt(3))) *1/2 +(sqrt(5) /(2 sqrt(2)) -sqrt(7) /(2 sqrt(3)) +sqrt(11) /(2 sqrt(3)) -sqrt(7) /(2 sqrt(2))) *1 /sqrt(2) +(sqrt(7) /(2 sqrt(2)) -sqrt(5) /(2 sqrt(2))) < 0,229. (4 p.)

Arvioidaan nyt positiivisen alueen pinta-alaa, jolle tarvitaan alaraja. Tällöin x-arvot ovat välillä [0, 1 /sqrt(2)]. Koska sin(2 ~p z^2) =1/2, kun z =1 /(2 sqrt(3)) ja z =sqrt(5) /(2 sqrt(3)), ja sin(2 ~p z^2) =1 /sqrt(2), kun z =1 /(2 sqrt(2)) ja z =sqrt(3) /(2 sqrt(2)), on pinta-ala vähintään
(1 /(2 sqrt(2)) -1 /(2 sqrt(3)) +sqrt(5) /(2 sqrt(3)) -sqrt(3) /(2 sqrt(2))) *1/2 +(sqrt(3) /(2 sqrt(2)) -1 /(2 sqrt(2))) *1 /sqrt(2) > 0,232,
eli positiivinen ala on suurempi kuin negatiivinen. Pienin arvo saavutetaan siis kohdassa x =0. (4 p.)

Alla olevaan kuvioon on hahmoteltu approksimaatioihin liittyvää geometriaa.