Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, lång lärokurs

Denna uppgift bedöms centraliserat i nämnden, vilket betyder att läraren inte utför den preliminära bedömningen. Poängen för det centraliserat bedömda svaret uppdateras automatiskt i bedömningstjänsten under censorarbetets gång. Tills svaret i fråga har bedömts märks svaret med ett streck (-) i bedömningstjänsten.

1.

Exempel 1 poäng och motiveringar 3 poäng. Till exempel:

Vi väljer a=b=c=3. (1 p.)

Då är \ln 3+\ln 3+\ln 3=\ln 27 och \ln (3+3+3)=\ln 9. (2 p.)

Eftersom logaritmen är strängt växande och 9\ne 27 så gäller inte ekvationen. (1 p.)

2.

Exempel 2 poäng och motiveringar 6 poäng. Till exempel:

Vi väljer a=1 och b=2 och c=3. (2 p.)

Eftersom \ln 1+\ln 2 +\ln 3 =\ln (1\cdot 2 \cdot 3)=\ln 6 (3 p.)

och \ln (1+2+3)=\ln 6, så uppfylls påståendet. (3 p.)

Ekvationen har två teckenbyten: mellan fjärdegradstermen och andragradstermen samt mellan andragradstermen och konstanttermen. Utgående från Descartes metod bör ekvationen ha två positiva rötter. (2 p.)

Vi löser nu ekvationen. Vi gör först substitutionen x^2=t. Ekvationen ändras till formen t^2-5t+4=0. (3 p.)

Med lösningsformeln för en andragradsekvation får vi t=1 eller t=4. (2 p.)

Då t=1 får vi x=\pm 1. (2 p.)

Då t=4 får vi x=\pm 2. (2 p.)

De positiva lösningarna är 1 och 2, och de är två till antalet i enlighet med Descartes metod. (1 p.)

Avståndet från punkten (x,y) till brännnpunkten är \sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}. (2 p.)

Avståndet från denna punkt till linjen y=-x, det vill säga linjen y+x=0, är \frac{|x+y|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}. (2 p.)

Eftersom avstånden är icke-negativa så räcker det att jämföra deras kvadrater:
(x-2)^2+(y-2)^2=\frac{(x+y)^2}{2}. (2 p.)

Vi avlägsnar parenteser och multiplicerar ledvis med två:
2x^2-8x+8+2y^2-8y+8=x^2+2xy+y^2. (2 p.)

Det här kan skrivas i formen x^2+y^2-2xy+16=8(x+y), (2 p.)

som förändras till formen x+y=\frac{1}{8}(x-y)^2+2, det vill säga a=\frac{1}{8} och b=2. (2 p.)

Eiffeltornets tvärsnitt på höjden z är en kvadrat, vars sida har längden 2ae^{c(h-z)}. (3 p.)

Den här kvadratens area är alltså 4a^2e^{2c(h-z)}. (1 p.)

Vi får volymen genom att integrera: \int_0^{312}4a^2e^{2c(h-z)}\, dz (3 p.)

=4a^2e^{2ch}\int_0^{312}e^{-2cz} \, dz=\left[\frac{4a^2e^{2ch}}{-2c}e^{-2cz}\right]_0^{312} (3 p.)

\approx 1\,060\,000 kubikmeter. (2 p.)

Längdernas enhet är \mathrm{cm}, och areaberäkningarnas enhet är \mathrm{cm}^2.

Flaggans totala area är 30\cdot 50=1500. (1 p.)

Basen på de blå trianglarna på flaggans sidor är 30-2\cdot 3\mathrm{,}5=23 och höjden \frac{50}{2}-5\mathrm{,}8=19\mathrm{,}2. (3 p.)

Basen på de blå trianglarna vid de övre och nedre sidorna är 50-2\cdot 5\mathrm{,}8=38\mathrm{,}4 och höjden \frac{30}{2}-3\mathrm{,}5=11\mathrm{,}5. (3 p.)

Trianglarnas sammanlagda area är 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 19\mathrm{,}2\cdot 23+2\cdot \frac{1}{2}\cdot 38\mathrm{,}4\cdot 11\mathrm{,}5=883\mathrm{,}2. (2 p.)

Andelen vit färg är \frac{1500-883\mathrm{,}2}{1500}=0\mathrm{,}4112\approx 41\, \%. (3 p.)

Med sätt 1 ackumuleras en ränta på 30 sikel efter den första månaden. (1 p.)

Den första månadens ränta ökade inte alls på antalet hela mina, vilket betyder att det även efter den andra månaden ackumuleras en ränta på 30 sikel. (1 p.)

Efter det här är lånets storlek emellertid 31 mina, vilket betyder att man efter den tredje månaden betalar 31 sikel i ränta. (1 p.)

Vi fortsätter på motsvarande sätt. Efter ett år har en ränta på 2(30+31+32+33+34+35)=390 sikel ackumulerats (det vill säga 6 mina och 30 sikel). (3 p.)

I sätt 2 är det fråga om principen ränta på ränta. Räntefaktorn är 1+\frac{1}{60}=\frac{61}{60}. (2 p.)

Den totala räntan under ett år är alltså \left(\frac{61}{60}\right)^{12}\cdot 30\cdot 60-30\cdot 60 (2 p.)

\approx 395 sikel (det vill säga 6 mina och 35 sikel). (2 p.)

Uppgiften har flera olika lösningar. Förklaringar behövs inte om det utifrån skärmdumparna framgår vilket material det är fråga om, vilken korrelationskoefficienten är, och om materialet är presenterat grafiskt.

(4 p.)

(4 p.)

(4 p.)

1.

23\rightarrow 3\cdot 23+1=70\rightarrow \frac{70}{2}=35\rightarrow 106\rightarrow 53\rightarrow 160\rightarrow 80\rightarrow 40\rightarrow 20\rightarrow 10\rightarrow
5\rightarrow 16\rightarrow 8\rightarrow 4\rightarrow 2\rightarrow 1 (3 p.)

2.

Programkoden kan implementeras på exempelvis följande sätt: Vi bestämmer först vektorn \verb"langder", som beräknar antalet mellansteg. Efter detta beräknas för varje 2\leq l\leq 100 den från detta utgående talföljden, och för varje omgång ökar värdet på längden med ett. Det här görs med en \verb"while"-iteration. Iterationen pågår tills talföljden får värdet 1. Till sist görs en utskrift på alla de längder och värden på talen l, för vilka det gäller att talföljden har mer än 100 mellansteg. (2 p.)

(3 p.)

Utskriften är den här:
[2 p.]

Utifrån den här utskriften ser vi att man får den längsta talföljden med värdet 97. Talföljdens längd är ett mer än antalet mellansteg. Därmed är längden 119. De fem längsta är följande:

1.

Vi integrerar ledvis uttrycket som givits i uppgiften: Det vänstra ledet ger \int_0^RD(x^ne^{-x})\, dx=R^ne^{-R}. (1 p.)

Ur det högra ledet får vi
\int_0^R (nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x})\, dx=n\int_0^R x^{n-1}e^{-x}\, dx-\int_0^R x^n e^{-x} \, dx. (2 p.)

Då R\rightarrow \infty, närmar sig vänstra ledet noll. Det högra ledet närmar sig uttrycket nI_{n-1}-I_n. (2 p.)

Alltså är nI_{n-1}-I_n=0, vilket bevisar påståendet. (1 p.)

2.

\int_0^R e^{-x}\, dx=\left[-e^{-x}\right]_0^R=1-e^{-R} (2 p.)

\rightarrow 1, då R\rightarrow \infty, det vill säga I_0=1. (2 p.)

Genom att använda rekursionsformeln får vi
I_5=5I_4=5\cdot 4I_3=5\cdot 4\cdot 3 I_2 = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 I_1 = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 I_0 = 5! =120. (2 p.)

Vi tänker oss att den cirkel som går genom stjärnans spetsar är en enhetscirkel. Vi placerar en av stjärnans uddar på y-axeln. Anta att ekvationen för den parabel som är markerad i uppgiftens bild är y=ax^2+b. Ekvationen har denna form eftersom den är symmetrisk med avseende på y-axeln. (1 p.)

Då är b den mindre cirkelns radie. (1 p.)

Spetsen i den första kvadranten ligger i punkten
\left(\cos\big(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{7}\big),\sin\big(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{7}\big)\right)=\left(\cos\big(\frac{3\pi}{14}\big),\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)\right). (2 p.)

Eftersom cirkelns tangent är vinkelrät mot parabelns tangent måste parabelns tangent vara parallell med den radie till cirkeln som är ritad till denna punkt. Parabelns riktningskoefficient i punkten \left(\cos\big(\frac{3\pi}{14}\big),\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)\right) är \frac{\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)}{\cos\big(\frac{3\pi}{14}\big)}. (2 p.)

Med hjälp av derivatan får vi att parabelns riktningskoefficient i punkten \left(\cos\big(\frac{3\pi}{14}\big),\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)\right) är 2a\cdot \cos\big(\frac{3\pi}{14}\big). (1 p.)

Vi får ekvationen 2a\cdot \cos\big(\frac{3\pi}{14}\big)=\frac{\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)}{\cos\big(\frac{3\pi}{14}\big)}, det vill säga a=\frac{\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)}{2\cos^2\big(\frac{3\pi}{14}\big)}. (1 p.)

Eftersom parabeln ska gå genom punkten \left(\cos\big(\frac{3\pi}{14}\big),\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)\right) får vi ekvationen \sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)=\frac{\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)}{2\cos^2\big(\frac{3\pi}{14}\big)}\cdot \cos^2\big(\frac{3\pi}{14}\big)+b. (2 p.)

Vi får b=\frac{\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)}{2}. (1 p.)

Det efterfrågade förhållandet är alltså \frac{\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)}{2}, eftersom den större cirkeln är enhetscirkeln. (1 p.)

I intervallet [0,1] har funktionen g(z)=\sin(2\pi z^2) nollställen i punkterna z=0, z=\frac{1}{\sqrt{2}} och z=1. Mellan de två första nollställena är funktionen positiv och mellan de två senare är den negativ. (1 p.)

Funktionen f(x)=\int_0^x g(z)\, dz kan alltså anta sitt största värde endast i punkten x=\frac{1}{\sqrt{2}}, eftersom funktionen fram till den här punkten är strängt växande och efter den här punkten strängt avtagande. (2 p.)

Funktionen f(x) kan anta sitt minsta värde endast i punkten x=0 eller x=1. Dessutom är f(0)=0. (1 p.)

Vi visar att f(1)>0.

Metod 1: Variabelbyte

Vi skriver u=z^2, det vill säga z=\sqrt{u}, varvid integrationsgränserna hålls lika och dz=\frac{1}{2\sqrt{u}}\, du. Då är \int_0^1 \sin(2\pi z^2)\, dz=\frac12 \int_0^1 \frac{\sin (2\pi u)}{\sqrt{u}} \, du (3 p.)

=\frac12\int_0^{1/2} \frac{\sin (2\pi u)}{\sqrt{u}} \, du +\frac12 \int_{1/2}^1 \frac{\sin (2\pi u)}{\sqrt{u}} \, du =\frac12\int_0^{1/2}\sin (2\pi u)\big(\frac{1}{\sqrt{u}}-\frac{1}{\sqrt{u+1/2}}\big) du. (3 p.)

Eftersom \frac{1}{\sqrt{u}}-\frac{1}{\sqrt{u+1/2}}>0, är integralens värde positivt, och det minsta värdet antas alltså i punkten x=0. (2 p.)

Metod 2: Uppskattning av areor

Vi uppskattar först det negativa områdets area. Då ligger x-värdena i intervallet [\frac{1}{\sqrt{2}},1]. Eftersom \sin (2\pi z^2)=-\frac{1}{2} då z=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} och z=\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}, och \sin (2\pi z^2)=-\frac{1}{\sqrt{2}}, då z=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} och z=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}, är arean högst
\big(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+1-\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}\big)\cdot \frac{1}{2}+\big(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}\big)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\big(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\big)<0\mathrm{,}229. (4 p.)

Vi uppskattar nu det positiva områdets area, för vilket vi behöver en nedre gräns. Då ligger x-värdena i intervallet [0,\frac{1}{\sqrt{2}}]. Eftersom \sin (2\pi z^2)=\frac{1}{2}, då z=\frac{1}{2\sqrt{3}} och z=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}, och \sin (2\pi z^2)=\frac{1}{\sqrt{2}}, då z=\frac{1}{2\sqrt{2}} och z=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}, är arean minst
\big(\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\big)\cdot \frac{1}{2}+\big(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\big)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}>0\mathrm{,}232,
vilket betyder att den positiva arean är större än den negativa. Det minsta värdet antas alltså i punkten x=0. (4 p.)

I figuren nedan är den geometri som åskådliggör approximationerna skisserad.