Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, lång lärokurs

1.

Bedömningsprincip: fungerande exempel 1 p. och motiveringar 3 p.

Till exempel:

Vi väljer a =b =c =3. (1 p.)

Nu fås ln 3 +ln 3 +ln 3 =ln 27 och ln(3 +3+3) =ln 9 ELLER \ln3+\ln3+\ln3\approx3{,}296 och \ln(3+3+3)\approx2{,}197. (2 p.)

Eftersom \ln9\ne\ln27 ELLER 2{,}197\ne3{,}296, gäller inte ekvationen. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgift: Det räcker att exempeltalen framkommer ur ekvationen. (-0 p.)

2.

Bedömningsprincip: fungerande exempel 2 p. och motiveringar 6 p. Till exempel:

Vi väljer a =1 och b =2 och c =3. (2 p.)

Eftersom ln 1 +ln 2 +ln 3 =ln(1 *2 *3) =ln 6 (2+1 p.)

och ln(1 +2 +3) =ln 6, gäller ekvationen. (1+2 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgift:

Närmevärden har använts. (+0 p.)

Gemensamt schema för svar genom ekvationslösning:
Eftersom \ln a+\ln b+\ln c=\ln(abc) (lagen tillämpas på tre variabler), (2 p.)

kan man betrakta ekvationen a+b+c=abc. (2 p.)

Ekvationen gäller inte för till exempel a=b=c=3, (1 p.)

för 3+3+3=9 och 3\cdot3\cdot3=27 (2 p.)

samt 9\ne27 (och den ursprungliga ekvationen gäller endast om a+b+c=abc). (2 p.)

Ekvationen gäller exempelvis för a=1 och b=2 och c=3. ELLER En ekvation med endast en okänd variabel utformas med hjälp av ekvationen a+b+c=abc (till exempel genom att fästa värdena på två utav variablerna eller genom att likställa värdena: 3a=a^3). (2 p.)

Motivering: 1+2+3(=6)=1\cdot2\cdot3. ELLER Den enligt föregående raden utformade ekvationen löses rätt. (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Det givna exemplet innehåller icke-positiva tal. (0 p.)
Det räcker att exempeltalen framkommer ur ekvationen. (-0 p.)

Talet 10 används som logaritmens bastal. (-1 p.)

Den naturliga logaritmen betecknas med \log. (-0 p.)

Det räcker att exempeltalen framkommer ur ekvationen. (-0 p.)

Ekvationer till exempel på formen 2{,}197=3{,}296 formuleras och konstateras vara osanna ELLER små notationsfel. (-0 p.)

Lösningssätt 1: Substitution

Andragradsekvationen x^2-5x+4=0 löses ELLER x^2 löses ur ekvationen x^4-5x^2+4=0 + som lösningarna fås 1 och 4. (1+1 p.)

Andragradsekvationen har fåtts på rätt sätt (substitutionen t=x^2) ELLER detta förklaras med ord. (2 p.)

När t=1, fås x=\pm1. När t=4, fås x=\pm2. (2+2 p.)

Särskilda anvisningar för detta lösnigssätt

Typfel: kvadratrot tas av båda leden i ekvationen x^4-5x^2+4=0, och då fås x^2-5x+4=0. Max (2+0+0), om inte förklaringar eller annat visar att det endast är frågan om en dålig beteckning. (max 2)

Lösningssätt 2: Faktorisering och produktens nollregel

Idéen om rätt användning av produktens nollregel (kan framkomma implicit). (1 p.)

Minst en polynomfaktor (av andra eller första grad) har hittats, till exempel genom att skriva polynomet i formen x^2(x^2-4)-(x^2-4), eller genom att märka att x-1 delar polynomet, eller på motsvarande sätt. (1 p.)

En faktorisering ges, där alla faktorer är av gradtal högst 2. (2 p.)

Som lösningarna får x=\pm1 och x=\pm2. (2+2 p.)

Lösningssätt 3: Gissning + verifiering

Det har påståtts att x=\pm1 och x=\pm2 är ekvationens rötter. [1 p.]

Det har visats genom insättning att x=\pm1 och x=\pm2 är ekvationens rötter (1 p./rot). (4 p.)

Poäng oberoende av de ovanstående raderna "en fjärdegradsekvation har högst fyra rötter" ELLER funktionens förlopp har undersökts med en noggrannhet som räcker för slutsatsen att den har högst fyra nollställen (1 p. undersökning + 1 p. slutsats.) (2 p.)

Slutsatsen dras att alla rötter har hittats. (1 p.)

Lösningssätt 4: Med derivatan (delvis lösning)

Polynomet har deriverats (4x^3-10x). (1 p.)

Rätt teckenschema har utformats (-|+|-|+, rötterna 0, \pm\sqrt{\frac{5}{2}}). Ur svaret måste framgå att funktionen byter sitt tecken två gånger på den positiva x-axeln. (1 p.)

Det har motiverats att polynomet har minst två positiva rötter

OCH högst två positiva rötter. (1+1 p.)

Teckenbyten (3 p.)

Det har konstaterats att ekvationen har två teckenbyten (mellan fjärde- och andragradstermen och mellan andragradstermen och den konstanta termen.) (1 p.)

Enligt Descartes' metod borde ekvationen ha två positiva rötter. (2 p.)

Slutsats (1 p.)

Det har visats rigoröst att ekvationen har två positiva rötter i enlighet med Descartes' metod. Man kan få detta poäng även om man begick slarvfel i ekvationslösningen, men svar där ekvationslösningen innehåller principiella fel belönas inte med det sista poänget. (1 p.)

Uttrycken (x-2)^2 och (y-2)^2 (eller ekvivalenta former). [1 p.]

Avståndet från punkten (x, y) till parabelns brännpunkt är sqrt((x -2)^2 +(y -2)^2). (1 p.)

Linjen y =-x, det vill säga linjen y +x =0, [1 p.]

är på avståndet |x +y| /sqrt(1^2 +1^2) =|x +y| /sqrt(2) från punkten \left(x{,}\ y\right). (1 p.)

Avstånden likställs: \sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}. [1 p.]

STOPP Poänget på rad 5 utdelas endast om ekvationen är av formen "punktens avstånd till brännpunkten = samma punkts avstånd till styrlinjen". I annat fall utdelas inte heller efterföljande poäng.

Ekvationen (x-2)^2+(y-2)^2=\frac{(x+y)^2}{2} fås genom att kvadrera ledvis. (1 p.)

STOPP Om ovanstående ekvation inte går att förenkla till en form där såväl x och y som x^2 och y^2 har samma icke-nolla koefficienter, utdelas inte efterföljande poäng.

Vi öppnar parenteserna: x^2-4x+4+y^2-4y+4=\frac{x^2+2xy+y^2}{2} (1 p.)

och ekvationen multipliceras ledvis med två: 2 x^2 -8 x +8 +2 y^2 -8 y +8 =x^2 +2 xy +y^2. (1 p.)

Ett försök att faktorisera med avseende på x+y [1 p.]

leder till x^2 +y^2 -2 xy +16 =8 (x +y), (2 p.)

som förenklas till x+y=\frac{1}{8}(x-y)^2+2 (det vill säga a=\frac{1}{8} och b=2). (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Startpoäng: En figur med (koordinatsystem,) parabel, brännpunkt och styrlinje. (1 p.)

Utifrån bilagans figur konstateras att parabeln tangerar koordinataxlarna och denna vetskap används i lösningen. (+0 p.)

Alternativt, ofullständigt lösningssätt: Två poäng på parabeln hittas och deras avstånd till brännpunkten och styrlinjen kontrolleras samt med hjälp av punkterna och ett ekvationspar (1 p./stycke) löses a=\frac{1}{8} och b=2 (1 p./stycke). (max 2+2 p.)

Det har insetts att ett tvärsnitt av Eiffeltornet på höjden z är en kvadrat. [1 p.]

Som sidlängd på kvadraten på höjden z fås 2ae^{c(h-z)} (=2\cdot4{,}255e^{0{,}00892(312-z)}=8{,}51\cdot e^{2{,}78304-0{,}00892z}). [1 p.]

Som kvadratens area formas (1 p.) och förenklas (1 p.) uttrycket (2ae^{c(h-z)})^2=4a^2\cdot e^{2c(h-z)}\ (=8{,}51^2\cdot e^{(2{,}78304-0{,}00892z)\cdot2}=72{,}4201e^{5{,}56608-0{,}01784z}). (1+1 p.)

oberoende Det har insetts att integranden skall vara tvärsnittsytans area på höjden z. (1 p.)

STOPP De efterföljande poängen utdelas endast, om det i svaret har integrerats arean av tvärsnittsytor som är kvadrater och det har insetts att tvärsnittet beror på höjden z.

En rätt typs integral \int_0^{312}A(z)dz: integranden är den egna tvärsnittsfunktionen (1 p.) och gränserna är rätta (1 p.). (1+1 p.)

Ett försök att integrera med hjälp av integralformeln för exponentialfunktionen, där man även har insett att en sammansatt funktions derivata -2c=-0{,}01784 behövs. [1 p.]

En med rätt logik erhållen exponentialfunktion integreras rätt

\Big(4a^2e^{2ch}\int_0^{312}e^{-2cz} \, dz och då fås {\left[\frac{4a^2e^{2ch}}{-2c}e^{-2cz}\right]_0^{312}} = \left[ \frac{72,4201 e^{5{,}56608}}{-0{,}01784} e^{-0{,}01784z} \right]_0^{312} \approx \left[-1\,061\,163{,}0\cdot e^{-0{,}01784z} \right]_0^{312}\Big). (1 p.)

Egna vettiga integreringsgränser har substituerats rätt ELLER -\frac{4a^2}{2c}\left(1-e^{2ch}\right). (1 p.)

Svaret blir ganska exakt {1\,057\,104} (avrundningsvärden till vilken som helst noggrannhet godkänns). (1 p.)

Ett på vettigt sätt erhållet svar har avrundats rätt och anges med enheter (1 \, 060 \, 000\ m^3). (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Enbart volymens integralformel V=\int_a^bA(x)dx. (0 p.)

Felaktig modellering, där tornet exempelvis tänks vara en kon eller en rotationskropp. (+0 p.)

Bottenarean beräknas. (+0 p.)

Svaret får anges i en tio-potensform. (max 12 p.)

men inte till exempel i formen 1{,}06E6m^3. (max 11 p.)

Avskrivningsfel vid insättningen av värdena på a, c eller h: avdrag endast på rad 9. (max 11 p.)

SÄTT 1: Vita områdets area genom de blåa trianglarna

Flaggans totala area är (30\cdot50=)1500. (1 p.)

Den blåa triangeln intill flaggans vänstra/högra sida har basen 30-2\cdot3\mathrm{{,}}5=23 och höjden \frac{50}{2}-5\mathrm{{,}}8=19\mathrm{{,}}2 och arean \frac{1}{2}\cdot23\cdot19\mathrm{{,}}2\left(=220\mathrm{{,}}8\right). (3 p.)

Den blåa triangeln intill flaggans nedre/övre sida har basen 50-2\cdot5\mathrm{{,}}8=38\mathrm{{,}}4 och höjden \frac{30}{2}-3\mathrm{{,}}5=11\mathrm{{,}}5 och arean \frac{1}{2}\cdot38\mathrm{{,}}4\cdot11\mathrm{{,}}5(=220\mathrm{{,}}8). (3 p.)

Trianglarnas sammanladga area är 2\cdot\frac{1}{2}\cdot19\mathrm{{,}}2\cdot23+2\cdot\frac{1}{2}\cdot38\mathrm{{,}}4\cdot11\mathrm{{,}}5=883\mathrm{{,}}2 (uttryck + värde). (2 p.)

Det vita områdets area är 1500-883\mathrm{{,}}2=616\mathrm{{,}}8. [1 p.]

Kvoten av de beräknade areorna (vita/hela) \frac{616\mathrm{{,}}8}{1500}=0\mathrm{{,}}4112\approx ganska exakt 41\, \%. (1+1 p.)

Särskilda anvisningar för detta lösningssätt

Om triangelns bas (23 eller 38\mathrm{{,}}4) eller höjd (19\mathrm{{,}}2 eller 11\mathrm{{,}}5) på rad 2 eller 3 uppenbarar sig i svaret utan motivering: (1+2+2+2+1+2). (max 10 p.)

Typfel: trianglarnas baser (eller höjder) beräknas fel (till exempel \frac{30}{2}-5\mathrm{{,}}8=9\mathrm{{,}}2 och \frac{50}{2}-3\mathrm{{,}}5=21\mathrm{{,}}5) (1+2+2+2+1+1). (max 9 p.)

SÄTT 2: Direkt beräkning av det vita områdets area

Det vita området har delats upp i trianglar och fyrhörningar (till exempel 8 parallellogram + en rektangel i mitten ELLER 4 trianglar i hörnen + 2 dels överlappande eller 5 disjunkta parallellogram (med en romb i mitten)). (1 p.)

Flaggans totala area är (30\cdot50=)1500. (1 p.)

Arean av rektangeln i mitten ELLER av de små trianglarna i hörnen. (1 p.)

Parallellogrammets/parallellogrammens areor är rätt beräknade. Romben, om en sådan behöver studeras, är värd ett poäng. (6 p.)

Det vita områdets area har beräknats rätt med de egna talen (=616\mathrm{{,}}8). (1 p.)

Kvoten av de beräknade areorna (vita/hela) \frac{616\mathrm{{,}}8}{1500}=0\mathrm{{,}}4112\approx ganska exakt 41\, \%. (1+1 p.)

Särskilda anvisningar för detta lösningssätt

Poängen på rad 4 kan delas endast delvis om räknefel har begåtts. Om principen för beräkningen av basen eller höjden är felaktig delas inga poäng.

Typfel: längden på hypotenusan på de små trianglarna i hörnen används som parallellogrammets och rombens höjd (1+1+1+0+1+1). (max 5 p.)

SÄTT 3: Med programvara

Flaggans totala area är (30\cdot50=)1500. (1 p.)

Flaggan har ritats och ritningen har dokumenterats. (1+2 p.)

Arean/areorna har beräknats och kommandona visas. (2+2 p.)

Det vita områdets area (=616\mathrm{{,}}8) (idéen om summa/differens + värde) (2 p.)

Kvoten av de beräknade areorna (vita/hela) \frac{616\mathrm{{,}}8}{1500}=0\mathrm{{,}}4112\approx ganska exakt 41\, \%. (1+1 p.)

Särskilda anvisningar för detta lösningssätt

Om kommandona/dokumentationen saknas (1+1+2+2+2). (max 8 p.)

SÄTT 4: Genom att slå ihop de blåa områdena fås en rektangel.

Flaggans area 1 p. + sidorna på den blåa rektangeln 2 p. + blåa arean 2 p. + vita arean 1 p. + vita andelen 2 p. + idéen om strategin 3 p. + motivering 1 p. (max. 12 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

På grund av symmetrin räcker det att betrakta hälften eller en fjärdedel av flaggan, men symmetrin ska hänvisas till. Utan hänvisning (max 11 p.)

De i uppgiftstexten givna talen är närmevärden, så svaren (i korrekta lösningar med olika strategier) kan skilja med ca 0,5 procent (rätta svar i intervallet [0,41017 ; 0,41222]).

Den första månaden ackumuleras 30 siklar ränta (eller 30,5 minor kapital) + samma den andra månaden (eller 31 minor kapital). (1+1 p.)

När månadsräntan bestämts, noterat att lånets värde uppgår till 31 minor. [1 p.]

Tredje månadens ränta: 31 siklar ELLER total summa 31 minor och 31 siklar. (1 p.)

Månadsräntan är korrekt till slutet av den tionde månaden, till exempel 2(30+31+32+33+34+35) ELLER efter den tionde månaden är den totala summan 35 minor och 20 siklar. (1 p.)

Årsräntan är 390 siklar eller 6 minor och 30 siklar eller 6,5 minor. (Noggrannhet 2–4 gällande siffror) (1 p.)

Sätt 1: Särskilda anvisningar

Beräkningarna är enkla, så de korrekta värdena behöver inte förklaras.

Konstant ränta 30 siklar/månad (och svar 360 siklar eller 6 minor) ([1+1]+0+0+0+0). (max 2 p.)

Månadsräntan beräknad enligt fel princip (till exempel fel ränteprocent) men beaktat antalet hela minor korrekt. ((0+0)+1+1+1+1). (max 4 p.)

Indexfel (2+1+1+1+0) (max 5 p.)

Månatlig amortering av lånet. (1+0+0+0+0) (max 1 p.)

Endast svar (0 p.).

Sätt 2

Löst med formeln för ränta på ränta.

Räntekoefficienten är 1+1/60(=61/60\approx1{,}01667). (2 p.)

Total summa efter ett år: \big(\frac{61}{60}\big)^{12} \cdot 30 \cdot 60 (siklar) ELLER \big(\frac{61}{60}\big)^{12} \cdot 30 (minor). (2 p.)

Beräknat räntans andel av summan genom att subtrahera 30 minor från den totala skulden. (1 p.)

På ett år ackumuleras 395 siklar (eller 6 minor och 35 siklar) ELLER 394 siklar (eller 6 minor och 34 siklar) och förklaring till avrundningen. (Svar med antal minor på decimalform, till exempel 6{,}58, godkänns inte.) (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna lösning

Fel räntekoefficient (till exempel \frac{1}{60} eller 1+(1-\frac{60}{61})\approx1{,}01639 ) (0+2+1+1). (max 4 p.)

Använt rätt räntekoefficient i annuitetsformeln. (2+0+0+0) (max 2 p.)

Beräknat 30\cdot q^{12} utan värde på q. (0+2+0+0) (max 2 p.)

ELLER Tabellösning.

Andra månadens ränta 30{,}5 siklar/0{,}51 minor ELLER total skuld: 31{,}01 minor. (1 p.)

Tredje månadens ränta korrekt (31{,}01 siklar eller 0{,}52 minor) ELLER den totala skulden korrekt (1891{,}51 siklar eller 31{,}53 minor). (1 p.)

Tionde månadens ränta korrekt (34{,}81 siklar eller 0{,}58 minor) ELLER den totala skulden korrekt (2123{,}53 siklar eller 35{,}39 minor). (1 p.)

På ett år ackumuleras 395 siklar (eller 6 minor och 35 siklar) ELLER 394 siklar (eller 6 minor och 34 siklar) och förklaring till avrundningen. (Svar med antal minor på decimalform, till exempel 6{,}58.) (1 p.)

Rätt beräkningsformler synliga eller en iteration förklarad. (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna lösning

Endast rätt tabell där svaret framgår (1+1+1+1+0). (max 4 p.)

Månatlig amortering av lånet (1+0+0+0+0). (max 1 p.)

Typiska anledningar att i denna uppgift ge allmänt avdrag för bristande förklaringar:
-Kolumnerna har inga namn och deras innehåll framgår inte på annat sätt.
-Månatliga räntorna/summorna avrundade till hela siklar utan förklaring.

Indexfel (1+1+1+0+2) (max 5 p.)

Sätt 2: Särskilda anvisningar

Svarets noggrannhet 3–4 gällande siffror.

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Svaret kan även ges i en massaenhet av silver.

De olika sätten bedöms enligt den tolkning som ger bättre slutpoäng.

Samma felaktiga räntesats i båda tolkningarna: poängavdrag bara en gång. (max 10 p.)

Fallen r=1 ELLER r=-1 ELLER r=0 (3\times4p).

Minst 10 datapunker (till exempel i en tabell), som kan ge det efterfrågade värdet på korrelationskoefficienten. (1 p.)

STOPP De efterföljande poängen ges endast om de angivna datapunkterna på ögonmått ser ut att kunna ge det efterfrågade värdet på korrelationskoefficienten och antalet datapunkter är minst 8.

En grafisk framställning av datapunkterna. (1 p.)

Korrelationskoefficienten från mjukvaran/beräknad och nära på det rätta värdet (r\ge0{,}99) ELLER r\le-0{,}99 ELLER r\in[-0{,}01;0{,}01]. (1 p.)

Som slutsats: Korrelationkoefficienten är den rätta. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Antalet datapunkter är 8 eller 9 (0+1+1+1) ELLER typfel: korrelationskoefficienter beräknas utifrån endast en del av datapunkterna OCH/ELLER endast en del av datapunkterna framställs grafiskt. (max 3 p.)

7 eller färre datapunkter. (0 p.)

Den sista radens poäng kan fås endast om den föregående raden uppfylls.

Korrelationskoefficienten betraktas som rätt om den av examinanden använda programvaran avrundar den till det efterfrågade värdet.

Specialfall, r=0: Minst 10 datapunkter ges så att den ena koordinaten är konstant. Korrelationskoefficienten kan inte beräknas. (1+0+0+0) (1 p.)

Som motivering i fallet r=0 räcker en från Graphical Analysis -programvaran avläst riktingskoefficient 0 för en regressionslinje, frånsett max1-specialfallet.

Tvetydig eller felaktig terminologi: "växande/avtagande beroende", "omvänt proportionalitet", osv. (-0 p.)

1.

oberoende Åtminstone en utav rekursionsreglerna har använts och skrivits ut (till exempel 3\cdot23+1=70 eller 70/2=35) (1 p.)

oberoende Den till föregående komplemetära rekursionsregeln har använts korrekt i en talföljd som börjar från talet 23 (till exempel det tredje talet är 35) (1 p.)

oberoende Alla rätta och inga extra tal. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgift

Ett exempel på de rätta talen:

23 -> 3 *23 +1 =70 -> 70/2 =35 -> 106 -> 53 -> 160 -> 80 -> 40 -> 20 -> 10 ->
5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1

Det räcker att följdens element framgår ur svaret; svaret behöver ej betecknas som följd. (-0 p.)

Endast de rätta talen anges. 0+1+1 (2 p.)

En lista utskriven av ett datorprogram godkänns som svar om koden är förståelig.

2.

Kodlösning

Oberoende poäng för rätta idéer:

oberoende En slinga som går igenom åtminstone värdena 2–100 (till exempel range(2,101).) (1 p.)

oberoende Paritetstestet n%2==0 eller n%2!=0. (1 p.)

oberoende I de rätta fallen beräknas \verb$n/2$ och \verb$3*n+1$. (1 p.)

oberoende Idéen om en rekursion (en variabels värde uppdateras i slingan och det nya värdet används i följande iterationssteg). (1 p.)

De ovannämnda fyra idéerna finns i koden och den producerar de rätta värdena. Att koden fungerar har dokumenterats på något sätt, exempelvis i form av kodens utskrifter, eller i form av åtminstone 1 utdelat poäng från nedanstående rad. (3 p.)

Begynnelsevärdena och längderna för de längsta följderna har plockats (till exempel för hand). Inga motiveringar krävs här. Längsta är rätt ELLER minst 3 rätta 1 p. + resten rätt 1 p. (1+1 p.)

Särskilda anvisningar för detta lösningssätt

Slingan över 2–100 saknas, men koden används 99 gånger med olika begynnelsevärden. (-0 p.)

Pseudokod eller ofungerande kod: endast de poäng som ges för idéen utdelas för denna deluppgift. Tolkning: Koden är ofungerande om inget belägg ges för att den är fungerande (utskrifter eller rätta plockade värden). (max 4 p.)

Observera att den sista raden medför direkt att en del av den andra sista radens krav uppfyllts, men inte alla. Frånsett de ovannämnda sammanfallande kraven förutsätter den sista raden att de föregående raderna har uppfyllts och motiverats.

Lösning med kalkylblad

Kalkylbladets logik förklaras (till exempel ett lämpligt if-kommando). Detta kan även framgå ur ett skärmklipp. (4 p.)

En sådan del av tabellen visas att läsaren kan inse hur tabellen fungerar (till exempel de första följderna är korrekta). (3 p.)

De längsta följdernas begynnelsevärden har plockats (poängen uppdelas på samma sätt som för kodlösningar). (1+1 p.)

Särskilda anvisningar för detta lösningssätt

Tabell med endast en utav rekursionsreglerna. (0 p.)

Talen beräknas för hand (det vill säga, if-kommandot används inte) eller tabellen är rätt men kommandona visas inte (2 p. svar + 2 p. tabell) (max 4 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgift

Delade placeringar räknas som en (svar: 97, 73, 54/55, 27, 82/83). (-0 p.)

Koden förklaras inte alls och inga förtydligande kommentarer har tillagts i den. (-1 p.)

För kort slinga (till exempel\ \verb$range(2,100)$) eller en konsistent avvikelse med ett i längderna på följderna (indexeringsfel); för denna deluppgift (max 8 p.)

Som svar anges endast begynnelsevärden, inga längder. (-1 p.)

Exempelkod nedan.

De rätta begynnelsevärdena och längderna på de längsta följderna och några extra:

97 ~> 119; 73 ~> 116; 54/55 ~>113; 27 ~> 112; (82/83 ~> 111; 41 ~> 110).

Exempelkod:

            langder=[1 for k in range(0,101)]
            for l in range(2,101):
              s=l
              while s>1:
                  if s%2==0:
                    s=s/2
                  else:
                    s=3*s+1
                  langder[l]=langder[l]+1
            for l in range(2,101):
              if langder[l]>100:
                  print(l,langder[l])
        

1. (I lösningen antas att I_n konvergerar.)

Det beräknas att \int_0^R D(x^ne^{-x})\, dx = \bigl[x^n e^{-x}\bigr]_0^R \to 0, när R\to\infty. (2 p.)

Det beräknas att \int_0^\infty (nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x})\, dx = \lim\limits_{R\to \infty} \int_0^R (nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x})\, dx= n \lim\limits_{R\to \infty} \int_0^R x^{n-1}e^{-x}\, dx- \lim\limits_{R\to \infty} \int_0^R x^n e^{-x} \, dx = nI_{n-1} - I_n.

Uppdelning av poängen: användningen av formeln för integralen av en summa 1 p. + båda integralerna överförs till beteckningen I_n 1 p. + användningen av gränsvärden 1 p. (3 p.)

Som slutsats: Således nI_{n-1}-I_n=0, vilket bevisat påståendet. ELLER Således I_n=nI_{n-1}. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgift

Startpoäng: Någon utav deluppgiftens oegentliga integraler har framställts som ett gränsvärde. (1 p.)

Inga motiveringar krävs för gränsvärdet \lim_{R\to \infty} R^n e^{-R} = 0. Felaktiga motiveringar (-0 p.)

Om övre gränserna på integralerna inte har behandlats som gränsvärden (2+2+1). (max 5 p.)

Övre gränsen beräknas med hjälp av variabeln R, men inga gränsvärden tas (1+1+0). (max 2 p.)

Rekursionsformeln kan även härledas direkt från definitionen för I_n genom partiell integrering. Beräkningarna är motsvarande.

2. \int_0^\infty e^{-x}\, dx = \lim\limits_{R\to \infty} \int_0^R e^{-x}\, dx (1 p.)

\int_0^R e^{-x}\, dx\; \Bigl (=\left[-e^{-x}\right]_0^R\Bigr)\; =1-e^{-R} (integral (1 p.) + substitution 1 p.) (2 p.)

\lim\limits_{R\to \infty} (1- e^{-R}) = 1 (så I_0=1). (1 p.)

Rekursionsformeln används en gång, till exempel I_5=5I_4 eller I_1=1I_0. (1 p.)

Beräkningen I_5 = 5I_4 = 5\cdot 4I_3=\cdots = 5! =120. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgift

Typfel: I_4 beräknas som en integral. Då utdelas inte det sista poänget. (max 5 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Substitutionen av \infty, till exempel e^{-\infty}: allmänt avdrag för bristfälliga beteckningar.

SÄTT 1: Med analytisk geometri

En matematisk beskrivning av geometrin (4 p.)

En cirkel placeras i (x{,}y)-koordinatplanet (nedan används enhetscirkeln). Cirkelns ekvation (till exempel x^2+y^2=r^2) måste finnas i svaret, illustration krävs ej. Mittpunkten för cirkeln måste vara fixad. (1 p.)

En av parablerna i stjärnan betraktas och dess ekvation ges i förenklad form (till exempel kan y-axeln tas som parabelns symmetriaxel (används nedan) och då blir ekvationen y=ax^2+b). (1 p.)

oberoende Vinkeln mellan två uddar på stjärnan som är grannar är 2\pi/7 rad ELLER den mellan skärningspunkterna av cirkeln och en parabel är 4\pi/7 rad. (Detta kan också framgå som båglängder.) (1 p.)

Koordinaterna för en sådan skärningspunkt ges (till exempel den som ligger i koordinatplanet första fjärdedel är \left(\cos\big(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{7}\big),\sin\big(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{7}\big)\right)=\left(\cos\big(\frac{3\pi}{14}\big),\sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)\right) =: P). (1 p.)

Koefficienten a i parabelns ekvation löses (4 p.)

Riktningskoefficienten för parabelns tangentlinje erhålls genom att derivera (y' =2ax) OCH i ekvationen insätts skärningspunktens x-koordinat. (1 p.)

Erhållandet av riktningskoefficienten för den radie som skär cirkelbågen i punkten P \big(k=\frac{\sin(3\pi/14)}{\cos(3\pi/14)}\big) ELLER riktningskoefficienten för cirkelns tangentlinje i punkten P (till exempel genom att derivera: y'=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y}) och substituera skärningspunktens x-koordinat). (1 p.)

Poäng för idéen: Användningen av vetskapen om att parabelns tangent i skärningspunkten P är parallell med cirkelns radie ELLER vinkelrät mot cirkelns tangent. (Förklaring med ord eller ekvation i den betraktade situationen.) [1 p.]

En ekvation fås, till exempel 2a\cdot \cos\big(\frac{3\pi}{14}\big)=\frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{\cos(\frac{3\pi}{14})}, OCH löses: a=\frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{2\cos^2(\frac{3\pi}{14})}. (1 p.)

Koefficienten b i parabelns ekvation löses (3 p.)

Insättningen av koordinaterna för punkten P (1 p.) samt koefficienten a (1 p.) i parabelns ekvation (då fås \sin\big(\frac{3\pi}{14}\big)=\frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{2\cos^2(\frac{3\pi}{14})}\cdot \cos^2\big(\frac{3\pi}{14}\big)+b). (1+1 p.)

Ekvationen löses: b=\frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{2}. (1 p.)

Beräkning ELLER konstatering om man har valt enhetscirkeln i början: det efterfrågade förhållandet är \frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{2} \,(=0{,}31174490 \ldots = (3{,}207750943 \ldots)^{-1}). (1 p.)

Särskilda anvisningar för detta lösningssätt

Ett godtycligt tal (eller variabel) väljs som den stora eller lilla cirkelns radie. (-0 p.)

Grader får användas som vinkelenhet.

Uträkningar med närmevärden: avdrag från den rad där närmevärden introduceras och från sista raden. (max 10 p.)

Svaret anges i en oförenklad form eller förenklingen "ersätts" med närmevärde på sista raden. (max 11 p.)

Även förhållandet mellan den stora och lilla cirkelns radie godkänns som svar. (max 12 p.)

SÄTT 2: Med klassisk geometri

En regelbunden sjuhörning ritas motiverat ELLER en cirkel och sju punkter på den med jämna mellanrum ELLER en cirkel och två punkter på den med en 4 \pi/7 radianers båge mellan dem. (1 p.)

En parabel p ritas, som på ögonmått ser ut att skära av en 4\pi/7 radianers båge ur (någon) cirkel ELLER sju parabler som på ögonmått ser ut att tangera varandra enligt uppgiftens beskrivning. (1 p.)

En cirkel c som går genom stjärnans spetsar ritas, så att parabeln p motiverat skär den i punkter, som förenas av en 4\pi/7 radianers cirkelbåge. En mindre cirkel ritas som motiverat skär parabels vertex. (2 p.)

Vi betraktar skärningspunkten P av parabeln p och cirkeln c.

Poäng för idéen: Det studeras om tangenterna till parabeln p och cirkeln c skär varandra i en rät vinkel i punkten P (till exempel genom att mäta vinkeln mellan dem) ELLER om tangenten till parabeln p är parallell med radien till cirkeln c i punkten P. (1 p.)

I punkten P ritas motiverat tangenterna till parabeln p och cirkeln c (1 p.). Det bevisas att tangenterna skär varandra i en rät vinkel (3 p.). ELLER På ett annat sätt motiveras att tangenterna till parabeln p och cirkeln c skär varandra i en rät vinkel i punkten P. (4 p.)

Ett närmevärde för uppgiftsbeskrivningens förhållande mellan två de två cirklarnas radier bestäms (0{,}31174490\ldots=(3{,}207750943\ldots)^{-1}) med minst två betydande siffrors noggrannhet [1 p.]

samt dess exakta värde \frac{\sin(\frac{3\pi}{14})}{2}. (2 p.)

Särskilda anvisningar för detta lösningssätt