Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

18.3.2026

Alustavat hyvän vastauksen piirteet 18.3.2026

Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti tueksi alustavaa arvostelua varten. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastauksia. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät ole osa Ylioppilastutkintolautakunnan yleisissä määräyksissä ja ohjeissa tarkoitettua tietoa siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu yksittäisen kokelaan koesuoritukseen. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät sido Ylioppilastutkintolautakuntaa lopullisen arvostelun perusteiden laadinnassa.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esimerkiksi derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Hakasuluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Jos erikseen ei mainita, niin vastauksen hyväksyttävä tarkkuus on yksi merkitsevä numero enemmän tai vähemmän kuin ohjeeseen kirjattu.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37,5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esimerkiksi laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä yllä olevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
    • Teksti STOP tarkoittaa sitä, että sillä rivillä kerrotaan, minkä ehtojen pitää toteutua, jotta jatkosta saa pisteitä.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esimerkiksi tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esimerkiksi x =2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esimerkiksi puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

A-osa

1. Pieniä osatehtäviä 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

1.1 Ratkaise yhtälö 4 x -12 =48. 2 p.

  • 15 (2 p.)

1.2 Ratkaise yhtälö x^3 =125. 2 p.

  • 5 (2 p.)

1.3 Ratkaise yhtälö 3^x =243. 2 p.

  • 5 (2 p.)

1.4 Ennen joulua takki maksoi 180 euroa. Joulun jälkeen alennusmyynnissä hintaa laskettiin 126 euroon. Kuinka suuri oli alennusprosentti? 2 p.

  • 30 (2 p.)

1.5 Mikä on lopullinen hinta, kun 150 euron alkuhintaa korotetaan kaksi kertaa peräkkäin 20 prosentilla? 2 p.

  • 216 (2 p.)

1.6 Neliön pinta-ala on 144 cm^2. Mikä on neliön piiri? 2 p.

  • 48 (2 p.)
  • 12 (1 p.)

Tämä tehtävä arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, joten opettaja ei tee alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

2. Puuttuvat luvut 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

Täydennä puuttuvat luvut osatehtävissä 2.1–2.6 niin, että väitteet ovat tosia. Puuttuvat luvut on merkitty neliösymbolilla (#).

2.1 3/4 -2/5 =#/60 2 p.

  • 21 (2 p.)

2.2 Lukujen -5, 4, 13 ja # keskiarvo on 5.. 2 p.

  • 8 (2 p.)

2.3 (2 x +3)^2 =4 x^2 +# x +9 2 p.

  • 12 (2 p.)

2.4 Yhtälön 7 x +# =19 -2 x ratkaisu on x =2. 2 p.

  • 1 (2 p.)

2.5

Luvut x =3 ja y toteuttavat yhtälöparin

{2 x +y =#, x -2 y =9}. 2 p.

  • 3 (2 p.)

2.6 Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 20 ja 21, joten hypotenuusan pituus on #. 2 p.

  • 29 (2 p.)

Tämä tehtävä arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, joten opettaja ei tee alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

3. Ratkaisujen lukumäärät 12 p.

Toisen asteen yhtälöllä 2 x^2 +b x +5 =0 voi olla kaksi, yksi tai nolla ratkaisua kertoimen b arvosta riippuen. Anna jokaisesta eri tapauksesta yksi esimerkki. Muista myös perustella vastauksesi.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla ratkaisut ovat x =(-b +-sqrt(b^2 -4 *2 *5)) /(2 *2). (2 p.)

Tämä antaa kaksi erisuurta ratkaisua, kun b^2 -4 *2 *5 =b^2 -40 > 0. (2 p.)

Esimerkiksi käy b =10, koska silloin 10^2 -40 =60 > 0. (1 p.)

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa täsmälleen yhden ratkaisun, jos sqrt(b^2 -4 *2 *5) =sqrt(b^2 -40) =0, (2 p.)

joten kumpi tahansa vaihtoehto b =+-sqrt(40) käy. (2 p.)

Ratkaisuja ei ole, jos b^2 -40 < 0. (2 p.)

Tämä tapahtuu esimerkiksi, kun b =0. (1 p.)

Kokeiluratkaisu: Toimivasta arvosta annetaan 1 piste silloin, kun ratkaisuja on kaksi tai ei yhtään, ja 2 pistettä, kun ratkaisuja on täsmälleen 1. Perusteluista annetaan 2 pistettä kahden ratkaisun tapauksessa, 4 pistettä, kun ratkaisuja ei ole, ja 2 pistettä, kun ratkaisuja on yksi kappale.

4. Paperipino 12 p.

Helsingin kaupungin verkkolevylle kohdistui vuonna 2024 suuri tietomurto. Onnettomuustutkintakeskus havainnollisti verkkolevyllä ollutta tietomäärää seuraavalla tavalla: Jos materiaali olisi yhdessä pinossa A4-paperiarkkeina, niin paperipinon korkeus vastaisi 17,4:ää Olympiastadionin tornia. Olympiastadionin torni on 72 metriä korkea.

Tavallisen A4-paperiarkin paksuus on 0,10 mm, leveys 21,0 cm ja korkeus 29,7 cm. Oletetaan, että pinotut arkit eivät painu kasaan.

Laske paperipinon massa kilogrammoissa tai tonneissa, kun yhden arkin massa on 5,0 grammaa. Laske myös paperipinon tilavuus kuutiometreinä.

Pinolla on korkeutta 17,4 *72 =1252,8 metriä. [2 p.]

Koska A4-arkin paksuus on 0,1 mm, on sen paksuus metreissä 0,0001. [1 p.]

Arkkeja on siis 1252,8 /0,0001 kappaletta. (2 p.)

Koska yhden arkin paino on 5 grammaa eli 0,005 kg, on yhteenlaskettu massa 1252,8 /0,0001 *0,005 =62.640 ~~63.000 kg eli 63 tonnia. (2 p.)

Koska A4-arkin pinta-ala on 21,0 *29,7 =623,7 cm^2 cm^2 (2 p.)

eli 0,06237 neliömetriä, (1 p.)

on tilavuus 0,06237 *1252,8 ~~78,14 ~~78 kuutiometriä. (2 p.)

5. Lieriö ja särmiö 12 p.

Neliöpohjaisen suorakulmaisen särmiön sisällä on ympyräpohjainen lieriö kuvan 5.A mukaisesti. Lieriö ja särmiö ovat yhtä korkeita. Lieriön pohjan halkaisija on yhtä suuri kuin särmiön pohjaneliön sivun pituus. Särmiön pinta-ala ilman pohjaa ja kantta on 960 cm^2. Lisäksi särmiön kokonaispinta-ala pohja ja kansi mukaan lukien on 1088 cm^2. Laske särmiön ja lieriön väliin jäävän osan tilavuus.

Pinta-alalaskuissa yksikkönä on cm^2.

Särmiön pohjan ja kannen yhteispinta-ala on 1088 -960 =128, (1 p.)

joten kannen pinta-ala on 128/2 =64 ja kannen sivun pituus siis sqrt(64) =8 cm. (2 p.)

Särmiön korkeus on siis 960 /(4 *8) =30 cm. (2 p.)

Särmiön tilavuus on siis 64 *30 =1920 cm^2. (2 p.)

Lieriön kannen säde on 8/2 =4 cm, (1 p.)

joten lieriön tilavuus on 30 *4^2 ~p ~~1507,964 cm^3. (2 p.)

Väliin jäävän osan tilavuus on siis 1920 -1507,964 ~~412 cm^3. (2 p.)

6. Kaakaopakkaukset 12 p.

Tehdas valmistaa puolen kilon kaakaopakkauksia, joiden normaalijakautunutta painoa valvotaan tarkistusotoksilla. Erään otoksen keskiarvo on 503,2 grammaa, keskihajonta 4,1 grammaa ja keskiarvon keskivirhe 0,10 grammaa. Määritä otoksen koko ja 95 prosentin luottamusväli kaakaopakkausten painon keskiarvolle.

Jos otoksen kokoa merkitään kirjaimella n, niin 4,1 /sqrt(n) =0,10, (3 p.)

josta n =(4,1 /0,10)^2 =1681. (Hyväksytään 2–4 numeron tarkkuus.) (3 p.)

Koska 95 prosentin luottamusväliä vastaa kerroin 1,96, [2 p.]

kysytty väli on [503,2 -1,96 *0,10; 503,2 +1,96 *0,10] =[503,004; 503,396] ~~[503,00; 503,40]. (4 p.)

B-osa

7. Lapasia 12 p.

Mummi teki oheisen kuvan lapaset lapsenlapsilleen joululahjaksi. Ensin mummi neuloi lapaset, ja sitten hän huovutti ne. Huovutuksen jälkeen punaisten lapasten pituus oli 17,6 cm ja sinisten lapasten pituus 19,8 cm. Kuinka pitkiä lapaset olivat ennen huovutusta, kun huovutus lyhensi niitä 30 %?

Lapasen ensimmäisen kerroksen silmukoiden lukumäärä on suoraan verrannollinen lapasen pituuteen. Kuinka monta silmukkaa tarvittiin punaisen lapasen ensimmäiseen kerrokseen, kun siniseen lapaseen niitä tarvittiin 36?

Jos alkuperäinen pituus on h, niin huopumisen jälkeinen pituus on (1 -0,3) h =0,7 h. [1 p.]

Punaisten lapasten alkuperäinen pituus oli 17,6 /0,7 ~~25,14 ~~25 cm. (2 p.)

Sinisten lapasten alkuperäinen pituus oli 19,8 /0,7 ~~28,29 ~~28 cm. (3 p.)

Olkoon x punaisen lapasen ensimmäisen kerroksen silmukoiden lukumäärä. Muodostetaan verranto 36 /28,29 =x /25,14 TAI 36 /19,8 =x /17,6, (4 p.)

josta saadaan x =(31,992... ~~) 32 silmukkaa. (2 p.)

8. Muinainen laina 12 p.

Korollisia lainoja oli käytössä jo muinaisessa Lähi-idässä. Säilynyt assyrialainen teksti kuvaa erästä lainaa seuraavasti: "joka kuukausi velkaan lisättiin yksi hopeasekeli velan minaa kohti". Yksi mina on arvoltaan noin 570 grammaa hopeaa ja se jakautuu 60 sekeliin.

Ei ole täysin selvää, miten teksti pitäisi tulkita. Se voidaan tulkita ainakin seuraavilla kahdella eri tavalla:

Tapa 1: Korko lasketaan vain täysistä minoista.

Tapa 2: Korko lasketaan myös osittaisista minoista.

Kuinka paljon 30 minan lainasta kertyy vuodessa korkoa näiden eri tulkintojen mukaan?

Tavassa 1 kertyy korkoa ensimmäisen kuukauden jälkeen 30 sekeliä. (1 p.)

Ensimmäisen kuukauden korko ei lisännyt kokonaista minaa lainaan, joten toisen kuukauden jälkeen kertyy myös 30 sekeliä korkoa. (1 p.)

Tämän jälkeen lainaa on kuitenkin 31 minaa, joten kolmannen kuukauden jälkeen korkoa maksetaan 31 sekeliä. (1 p.)

Jatketaan vastaavasti. Vuoden jälkeen korkoa on kertynyt 2 (30 +31 +32 +33 +34 +35) =390 sekeliä (eli 6 minaa ja 30 sekeliä). (3 p.)

Tavassa 2 on kyse korkoa korolle -periaatteesta. Korkokerroin on 1 +1/60 =61/60. (2 p.)

Vuoden korkokertymä on siis (61/60)^12 *30 *60 -30 *60 (2 p.)

~~395 sekeliä (eli 6 minaa ja 35 sekeliä). (2 p.)

9. Derivaattoja 12 p.

  1. Anna esimerkki polynomifunktiosta, jonka derivaatta saa jossakin kohdassa arvon -1 ja jossakin toisessa kohdassa arvon 1. (6 p.)
  2. Luvut x =-1 ja x =1 ovat erään kolmannen asteen polynomifunktion nollakohtia. Onko mahdollista, että tämän funktion derivaatta saa arvon 100 kohdassa x =0? (6 p.)

1.

Toimivasta esimerkistä annetaan 2 p. ja perusteluista 4 p. Esimerkiksi:

Tarkastellaan polynomifunktiota f(x) =x^2. (2 p.)

Sen derivaatta on f'(x) =2 x,, (2 p.)

joka saa arvon 1 pisteessä x =1/2 ja arvon -1 pisteessä x =-1/2. (2 p.)

2.

Muodostetaan polynomi niin, että sillä on nollakohta x =0. Tällöin polynomi on muotoa g(x) =a x (x -1) (x +1) =a x^3 -a x. (2 p.)

Tämän derivaatta on g'(x) =3 a x^2 -a ja g'(0) =-a. (2 p.)

Nyt g'(0) =100, kun a =-100. Tällainen polynomi on siis esimerkiksi g(x) =-100 x^3 +100 x. (2 p.)

10. Snap 18 p.

Marvel Snap -tietokonepelissä on saatavilla satoja eri kortteja, joista pelaaja valitsee peliin haluamansa 12 eri kortin pakan. Pelaaja sekoittaa pakan ja nostaa ennen ensimmäistä vuoroaan omasta pakastaan kolme päällimmäistä korttia. Pelin aikana pelaaja nostaa jokaisella vuorolla aina yhden kortin omasta pakastaan. Hän voi pelata tämän kortin sillä tai myöhemmillä vuoroilla. Pelissä on tärkeää, että pelaajalla on nostettuna pelitilanteeseen sopivat kortit.

1. Eräs sadan erilaisen kortin kokoelma sisältää yhden Apocalypse-kortin. Kuinka monta erilaista Apocalypse-kortin sisältävää 12 kortin pakkaa näistä korteista voidaan muodostaa? (2 p.)

Jos pelaajan pakassa on America Chavez -kortti, niin se asetetaan pakan pohjalle ja nostetaan automaattisesti kuudennen vuoron korttina. Tämä vaikuttaa muiden korttien nostotodennäköisyyksiin, kuten videolla 10.A pohditaan. Vertaillaan kahta pakkaa, joista toisessa on America Chavez ja toisessa ei. Kummassakaan pakassa ei ole muita kortteja, jotka voisi nostaa vain tietyllä vuorolla.

2. Selitä, miten lasketaan videolla 10.B esiintyvät Korg-kortin nostotodennäköisyydet näillä kahdella eri pakkavaihtoehdolla. (4 p.)

3. Odin-kortti on pakassa, ja se halutaan nostaa viimeistään kuudennella vuorolla. Määritä tämän tapahtuman todennäköisyys kummallakin eri pakkavaihtoehdolla. Kannattaako America Chavez valita pakkaan vai ei? (6 p.)

4. Oletetaan, että halutaan nostaa tietyt kaksi korttia viimeistään viidennellä vuorolla. Määritä tämän tapahtuman todennäköisyys kummallakin eri pakkavaihtoehdolla. Kannattaako America Chavez valita pakkaan vai ei? (6 p.)

1.

Koska pakassa on Apocalypse, voidaan loput 11 korttia valita vapaasti muiden 99 kortin joukosta. Vaihtoehtoja on siis ((99), (11)) =126.050.526.132.804. (2 p.)

2.

Ensimmäiseen vuoroon mennessä on nostettu yhteensä neljä korttia.

Ilman America Chavezia mahdollisia neljän kortin nostoja on ((12), (4)) ja suotuisia nostoja ((11), (3)), koska muut kolme korttia voivat olla mitä tahansa. (2 p.)

America Chavezin kanssa vastaavat luvut ovat ((11), (4)) ja ((10), (3)). (1 p.)

Todennäköisyydet ovat ilman America Chavezia ((11), (3)) /((12), (4)) =1/3 ~~33,3 % ja America Chavezin kanssa ((10), (3)) /((11), (4)) =4/11 ~~36,4 %. (1 p.)

3.

Ilman America Chavezia Odin voidaan nostaa myös kuudennella vuorolla, eli käytettävissä on yhdeksän nostoa. Todennäköisyys on siis ((11), (8)) /((12), (9)) =3/4 =75 %. (3 p.)

America Chavezin kanssa Odin voidaan nostaa viimeistään viidennellä vuorolla, eli käytettävissä on kahdeksan nostoa. Todennäköisyys on siis ((10), (7)) /((11), (8)) =8/11 ~~72,7 %. (2 p.)

America Chavezia ei kannata valita pakkaan. (1 p.)

4.

Käytettävissä on 8 nostoa. Suotuisia kahdeksan kortin nostoja on ilman America Chavezia ((10), (6)) ja America Chavezin kanssa ((9), (6)), sillä on kuusi korttia, jotka voivat olla mitä tahansa, ja ne voidaan valita 10 (ilman America Chavezia) tai 9 (America Chavezin kanssa) kortin joukosta. (2+2 p.)

Koska kaikkien kahdeksan kortin nostojen lukumäärä on ((12), (8)) ilman America Chavezia ja ((11), (8)) America Chavezin kanssa, ovat todennäköisyydet ilman America Chavezia ((10), (6)) /((12), (8)) =14/33 ~~42,4 % ja America Chavezin kanssa ((9), (6)) /((11), (8)) =28/55 ~~50,9 %, eli America Chavez kannattaa valita pakkaan. (2 p.)

11. Verotuksen progressiivisuus 18 p.

Englannin verotusjärjestelmässä marginaaliveroprosentti muuttuu hyppäyksittäin, kun kokonaistulo ylittää 17 500, 50 000, 60 000, 80 000, 100 000 ja 125 000 puntaa. Hyppäysten välissä se on vakio.

Tarvittavat käsitteet on määritelty tekstissä 11.A.

  1. Marginaaliveroprosentti tulovälillä 17 500–50 000 on 28 % ja sitä pienemmistä tuloista 0 %. Kuinka monta puntaa veroja on maksettava, jos kokonaistulot ovat 40 000 puntaa? (4 p.)
  2. Suomessa ansiotuloveron määrä on yleensä ilmaistu taulukkomuodossa verotettavan tulon mukaan. Tekstissä 11.A on esimerkki vuoden 2025 tilanteesta. Tee kuvan 11.B marginaaliveroprosenttikäyrän (punainen eli tummempi käyrä) perusteella vastaava taulukko, joka kuvaa verotusta Englannissa 100 000 punnan kokonaistuloon saakka, olettaen, että verotettava tulo on 12 500 puntaa pienempi kuin kokonaistulo. Selitä myös sanallisesti, miten olet laskenut taulukkosi luvut. (8 p.)
  3. Kuvaan 11.B on lisäksi hahmoteltu kokonaisveroprosenttia (keltainen eli vaaleampi käyrä), joka ei kuitenkaan täysin vastaa marginaaliveroprosenttikäyrää. Mitä virheitä kokonaisveroprosenttikäyrän piirtämisessä on tehty? (6 p.)

1.

Veroja maksetaan 40.000 -17.500 =22.500 punnasta, (2 p.)

eli veroja on maksettava 22.500 *0,28 =6300 puntaa. (2 p.)

2.

Kun kokonaistulot ovat 0–17 500 puntaa, on verotettava tulo 0–5 000 puntaa ja veroja ei makseta. Kun kokonaistulot ovat 17 500–50 000 puntaa, on verotettava tulo 5 000–37 500 puntaa. Vero ala-rajalla on 0 puntaa. Ylimenevästä osasta maksetaan veroja 28 %. (1 p.)

Kun kokonaistulot ovat 50 000–60 000 puntaa, on verotettava tulo 37 500–47 500 puntaa. Tällöin vero on alarajalla 0,28 *(37.500 -5000) =9100 puntaa. Ylimenevästä osasta veroprosentti on 42. (2 p.)

Kun kokonaistulot ovat 60 000–80 000 puntaa, on verotettava tulo 47 500–67 500. Nyt vero alarajalla on 0,42 *(47.500 -37.500) +9100 =13.300 puntaa. Ylimenevästä osasta veroprosentti on 57. (2 p.)

Kun kokonaistulot ovat 80 000–100 000 puntaa, on verotettava tulo 67 500–87 500. Nyt vero alarajalla on 0,57 *(67.500 -47.500) +13.300 =24.700 puntaa. Ylimenevästä osasta veroprosentti on 42. (2 p.)

Edellä olevista luvuista saadaan seuraava taulukko:

Verotettava tuloVero alarajallaVeroprosentti ylimenevästä osasta, %
5 000–37 500028
37 500–47 5009 10042
47 500–67 50013 30057
67 500–87 50024 70042

(1 p.)

3.

Mielekkäistä havainnoista annetaan 2 p./havainto. Esimerkiksi seuraava vastaus antaa 6 pistettä:

Kuvaajan mukaan veroja maksetaan jo alle 17 500 punnan tuloista. Tulovälillä 50 000–100 000 verotus määräytyy useassa palassa, ei yhtenäisesti. Esimerkiksi 60 000 punnan kohdalla käyrän pitäisi muuttua. Keltaisen eli vaaleamman käyrän pitäisi taittua 50 000 punnan kohdalla, mutta se taittuu jo hieman ennen tätä kohtaa. (6 p.)