Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

18.3.2026

Lopulliset hyvän vastauksen piirteet 12.5.2026

Lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ilmenevät perusteet, joiden mukaan koesuorituksen lopullinen arvostelu on suoritettu. Tieto siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu kokelaan koesuoritukseen, muodostuu kokelaan koesuorituksestaan saamista pisteistä, lopullisista hyvän vastauksen piirteistä ja lautakunnan määräyksissä ja ohjeissa annetuista arvostelua koskevista määräyksistä. Lopulliset hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastausvaihtoehtoja tai hyväksytyn vastauksen kaikkia hyväksyttyjä yksityiskohtia. Koesuorituksessa mahdollisesti olevat arvostelumerkinnät katsotaan muistiinpanoluonteisiksi, eivätkä ne tai niiden puuttuminen näin ollen suoraan kerro arvosteluperusteiden soveltamisesta koesuoritukseen.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esimerkiksi derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Hakasuluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Jos erikseen ei mainita, niin vastauksen hyväksyttävä tarkkuus on yksi merkitsevä numero enemmän tai vähemmän kuin ohjeeseen kirjattu.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37,5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esimerkiksi laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä yllä olevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
    • Teksti STOP tarkoittaa sitä, että sillä rivillä kerrotaan, minkä ehtojen pitää toteutua, jotta jatkosta saa pisteitä.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esimerkiksi tarkkuus, yksikkö) -1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) -2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) -1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esimerkiksi x =2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä -0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe -1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa -1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esimerkiksi puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. -1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) -1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) -1 p.

A-osa

1. Pieniä osatehtäviä 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

1.1 Ratkaise yhtälö 4 x -12 =48. 2 p.

  • 15 (2 p.)

1.2 Ratkaise yhtälö x^3 =125. 2 p.

  • 5 (2 p.)

1.3 Ratkaise yhtälö 3^x =243. 2 p.

  • 5 (2 p.)

1.4 Ennen joulua takki maksoi 180 euroa. Joulun jälkeen alennusmyynnissä hintaa laskettiin 126 euroon. Kuinka suuri oli alennusprosentti? 2 p.

  • 30 (2 p.)
  • -30 (2 p.)
  • 70 (1 p.)
  • -70 (1 p.)

1.5 Mikä on lopullinen hinta, kun 150 euron alkuhintaa korotetaan kaksi kertaa peräkkäin 20 prosentilla? 2 p.

  • 216 (2 p.)
  • 96 (1 p.)

96: Hintaa pudotetaan 20 prosentilla kaksi kertaa.

1.6 Neliön pinta-ala on 144 cm^2. Mikä on neliön piiri? 2 p.

  • 48 (2 p.)
  • 12 (1 p.)

(Sivun pituus on 12, joten tehtävä on ratkaistu osittain.)

2. Puuttuvat luvut 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

Täydennä puuttuvat luvut osatehtävissä 2.1–2.6 niin, että väitteet ovat tosia. Puuttuvat luvut on merkitty neliösymbolilla (#).

2.1 3/4 -2/5 =#/60 2 p.

  • 21 (2 p.)
  • 7 (1 p.)

(7: Ajateltu nimittäjään 20.)

2.2 Lukujen -5, 4, 13 ja # keskiarvo on 5.. 2 p.

  • 8 (2 p.)

2.3 (2 x +3)^2 =4 x^2 +# x +9 2 p.

  • 12 (2 p.)

2.4 Yhtälön 7 x +# =19 -2 x ratkaisu on x =2. 2 p.

  • 1 (2 p.)

2.5

Luvut x =3 ja y toteuttavat yhtälöparin

{2 x +y =#, x -2 y =9}. 2 p.

  • 3 (2 p.)

2.6 Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 20 ja 21, joten hypotenuusan pituus on #. 2 p.

  • 29 (2 p.)

3. Ratkaisujen lukumäärät 12 p.

Toisen asteen yhtälöllä 2 x^2 +b x +5 =0 voi olla kaksi, yksi tai nolla ratkaisua kertoimen b arvosta riippuen. Anna jokaisesta eri tapauksesta yksi esimerkki. Muista myös perustella vastauksesi.

riippumaton Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla ratkaisut ovat x =(-b +-sqrt(b^2 -4 *2 *5)) /(2 *2) (=(-b +-sqrt(b^2 -40)) /4) (kaavassa b muuttujana, a:n ja c:n arvot sijoitettu) TAI yhtälön diskriminantti on b^2 -4 *2 *5 =b^2 -40 (kaavassa b muuttujana, a:n ja c:n arvot sijoitettu) TAI löydetty luku sqrt(40) TAI 6,3245... (vähintään 3 desimaalia) (2 p.)

STOP Jos diskriminantissa ei ole termiä b^2 (muuttujana tai sijoitettuna) TAI diskriminantissa on muuttuja x mukana, ei pisteitä diskriminanttiin nojaavista perusteluista jatkossa.

riippumaton Annettu esimerkki luvusta b, jolla ratkaisuja on kaksi, ja käy ilmi, että tätä tarjotaan vastaukseksi tähän tilanteeseen (|b| > 6,3245...) (1 p.)

Perusteltu, että ratkaisuja on tällöin kaksi (esimerkiksi sijoitettu b:n arvo diskriminanttiin ja osoitettu se positiiviseksi tai kuvakaappaus ohjelmistosta tai sijoitettu b:n arvo yhtälöön ja ratkaistu yhtälö ratkaisukaavalla) TAI todettu, että ratkaisuja on kaksi, kun b^2 -40 > 0. (2 p.)

riippumaton Annettu esimerkki luvusta b jolla ratkaisuja ei ole, ja käy ilmi, että tätä tarjotaan vastaukseksi tähän tilanteeseen (|b| < 6,3245...) (1 p.)

Perusteltu, että ratkaisuja ei tällöin ole (esimerkiksi sijoitettu b:n arvo diskriminanttiin ja osoitettu se negatiiviseksi tai sijoitettu b:n arvo yhtälöön ja ratkaistu yhtälö ratkaisukaavalla) TAI todettu, että ratkaisuja on nolla, kun b^2 -40 < 0. (2 p.)

riippumaton Annettu esimerkki luvusta b, jolla ratkaisuja on yksi, ja käy ilmi, että tätä tarjotaan vastaukseksi tähän tilanteeseen (b =+-sqrt(40) TAI b =sqrt(40) TAI b =-sqrt(40)). (2 p.)

Perusteltu, että ratkaisuja on tällöin yksi (esimerkiksi sijoitettu b:n arvo diskriminanttiin ja osoitettu se nollaksi tai sijoitettu b:n arvo yhtälöön ja ratkaistu yhtälö ratkaisukaavalla) TAI todettu, että ratkaisuja on yksi, kun b^2 -40 =0. (2 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Pyöristykset:

  • Jos annettu yhden ratkaisun tapauksessa b:n arvo vain desimaalilukuna, 0 p. riviltä 6 (max 2+1+2+1+2+0+1) (max 9 p.)

  • Jos b =sqrt(40) tai neliöjuuren otto yhtälöstä b^2 =40 on näkyvissä, vaikka sitten b:n arvo pyöristetty, 2 p. riviltä 6. (max 12 p.)

  • Jos yhden ratkaisun tapauksen perustelu tehty vähintään kolmedesimaalisella likiarvolla, 1 p. riviltä 7 (max 2+1+2+1+2+2+1) (max 11 p.)

Kahden tai nollan ratkaisun tapauksessa ei ole annettu konkreettista luvun arvoa, vaan on annettu vastauksena parametrin b arvoja, jotka toteuttavat tietyn ehdon, esimerkiksi -sqrt(40) < b < sqrt(40) (+0 p.)

Laskin antaa undefined tms. ja tulkittu tämä perusteluksi ''ei yhtään ratkaisua''. (+0 p.)

Laskuvirheen vuoksi diskriminantti on aina positiivinen. (1+1+2+0+2+0+2) (max 8 p.)

Riittää, että b käy ilmi polynomista tai yhtälöstä. Jos polynomiakaan ei näy (b vain sijoitettuna ratkaisukaavaan tai diskriminanttiin), 0 p. kyseisestä esimerkkiarvosta, perustelupisteet voi saada.

4. Paperipino 12 p.

Helsingin kaupungin verkkolevylle kohdistui vuonna 2024 suuri tietomurto. Onnettomuustutkintakeskus havainnollisti verkkolevyllä ollutta tietomäärää seuraavalla tavalla: Jos materiaali olisi yhdessä pinossa A4-paperiarkkeina, niin paperipinon korkeus vastaisi 17,4:ää Olympiastadionin tornia. Olympiastadionin torni on 72 metriä korkea.

Tavallisen A4-paperiarkin paksuus on 0,10 mm, leveys 21,0 cm ja korkeus 29,7 cm. Oletetaan, että pinotut arkit eivät painu kasaan.

Laske paperipinon massa kilogrammoissa tai tonneissa, kun yhden arkin massa on 5,0 grammaa. Laske myös paperipinon tilavuus kuutiometreinä.

Pinolla on korkeutta 17,4 *72 =1252,8 (metriä). [2 p.]

Arkin paksuus ja pinon korkeus samaan yksikköön (esimerkiksi paksuus 0,0001 metriä). [1 p.]

Arkkeja on siis 1252,8 /0,0001 (=12.528.000) kappaletta. (2 p.)

Yhden arkin massa on 5 grammaa eli 0,005 kg TAI lopussa massa yksikköön kg/t. [1 p.]

Yhteenlaskettu massa on 1252,8 /0,0001 *0,005 (=62.640) (1 p.)

~~63.000 kg TAI 63 tonnia (jompi kumpi näistä yksiköistä). (1 p.)

Arkin sivujen pituudet metreiksi TAI lopussa tilavuus kuutiometreiksi. (1 p.)

Sovellettu pinta-alan tai tilavuuden kaavaa pituuksilla. (1 p.)

Pinon tilavuus on 0,21 *0,297 *1252,8 (=78,137136) (1 p.)

~~78 (kuutiometriä, nimenomaan tässä yksikössä). (1 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Tyyppivirhe: A4-arkit pystyssä pinossa (2+1+2+1+1+0+1+1+1+0) (max 10 p.)

Tyyppivirhe: Käytetty korkeutena stadionin tornia (0+1+2+1+1+1+1+1+1+1) (max 10 p.)

Yksikkömuunnos puuttuu/väärin: muunnoksen riviltä -1 p. ja vastauksesta -1 p. (max 10 p.)

Rivi 3: Jakolasku kokeilemalla (1 p.)

5. Lieriö ja särmiö 12 p.

Neliöpohjaisen suorakulmaisen särmiön sisällä on ympyräpohjainen lieriö kuvan 5.A mukaisesti. Lieriö ja särmiö ovat yhtä korkeita. Lieriön pohjan halkaisija on yhtä suuri kuin särmiön pohjaneliön sivun pituus. Särmiön pinta-ala ilman pohjaa ja kantta on 960 cm^2. Lisäksi särmiön kokonaispinta-ala pohja ja kansi mukaan lukien on 1088 cm^2. Laske särmiön ja lieriön väliin jäävän osan tilavuus.

Särmiön pohjan ja kannen yhteispinta-ala on 1088 -960 =128 (cm^2), (1 p.)

joten kannen pinta-ala on 128 /2 =64 (cm^2) (1 p.) ja kannen sivun pituus on sqrt(64) =8 (cm) (1 p.). (2 p.)

Särmiön korkeus on siis 960 /(4 *8) =30 (cm). (2 p.)

Särmiön tilavuus on 64 *30 =1920 (cm^3). (2 p.)

Lieriön kannen säde on (8/2 =) 4 (cm). (1 p.)

Oma säde ja korkeus sijoitettu lieriön tilavuuden lausekkeeseen (vakio *h r^2 1 p., ~p h r^2 1 p. TAI pohjaympyrän pinta-ala laskettu (1 p.) ja kerrottu korkeudella (1 p.)). (2 p.)

Väliin jäävä tilavuus on siis 1920 -1507,964 melko täsmälleen ~~410 cm^3 (oikealla periaatteella muodostettu erotus (1 p.), vastaus ja yksikkö (1 p.)). (2 p.)

Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Tulkittu lieriön kokonaispinta-alaksi 1088 ja vaipan pinta-alaksi 960. (1+1+1+2+1+2+(1+0)) (max 9 p.)

TAI

Muodostetaan yhtälöt särmiön korkeudelle ja pohjaneliön sivunpituudelle (esimerkiksi 4 s h =960 ja 4 s h +2 S^2 =1088). (1+1 p.)

Ratkaistaan tuntemattomat s =8 ja h =30 (ensimmäisestä 2 p., toisesta 1 p.). (3 p)

Särmiön tilavuuden lauseke h s^2 omilla korkeuden ja sivunpituuden arvoilla. (2 p.)

Lieriön pohjan säde r =s /2 omalla sivunpituudella. (1 p.)

Oma säde ja korkeus sijoitettu lieriön tilavuuden lausekkeeseen (vakio *h r^2 1 p., ~p h r^2 1 p. TAI pohjaympyrän pinta-ala laskettu (1 p.) ja kerrottu korkeudella (1 p.)). (2 p.)

Oikealla periaatteella muodostettu erotus (1 p.) ja vastaus sekä yksikkö melko täsmälleen ~~410 cm^3 (1 p.). (2 p.)

Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Tulkittu lieriön kokonaispinta-alaksi 1088 ja vaipan pinta-alaksi 960. (0+3+2+1+2+(1+0)) (max 9 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Oikeat korkeuden ja sivun pituuden arvot ilmestyvät tyhjästä (0+0+0+2+1+2+1/0+0+2+1+2+(1+0)) (max 6 p.)

Laskuissa väärä yksikkö. (-1 p.)

Välivaiheet ilman yksikköä. (-0 p.)

Oikea periaate viimeisellä rivillä edellyttää, että dimensiot ovat kunnossa (esimerkiksi "pituus = pinta-ala/4 " ei ole oikea periaate).

6. Kaakaopakkaukset 12 p.

Tehdas valmistaa puolen kilon kaakaopakkauksia, joiden normaalijakautunutta painoa valvotaan tarkistusotoksilla. Erään otoksen keskiarvo on 503,2 grammaa, keskihajonta 4,1 grammaa ja keskiarvon keskivirhe 0,10 grammaa. Määritä otoksen koko ja 95 prosentin luottamusväli kaakaopakkausten painon keskiarvolle.

Saadaan 4,1 /sqrt(n) =0,10, missä n on otoksen koko. [Oikean muotoinen yhtälö, johon on sijoitettu jotain 1 p. Oikean muotoiseen yhtälöön sijoitettu 4,1 (1 p.) ja 0,10 (1 p.) oikein] (3 p.)

Tällöin sqrt(n) =4,1 /0,10 (1 p.)

eli n =(4,1 /0,10)^2 = melko täsmälleen 1681 (~~1700). (Hyväksytään vain 2–4 numeron tarkkuus. Neliöönkorotus 1 p. + oikea tulos 1 p.) (2 p.)

Ylläolevista riveistä riippumaton piste: Koska 95 %:n luottamusväliä vastaa kerroin 1,96, [1 p.]

kysytty väli on [503,2 -1,96 *0,10; 503,2 +1,96 *0,10]

(Sijoitettu oikein: 503,2 (1 p.) + 1,96 (1 p.) + 0,10 tai 4,1 /sqrt(n) omalla otoksen koolla (n in NN_(>=2) antaa 2 p., n =1 tai n >= 1 ja n !in ZZ antaa 1 p.)) (4 p.)

=[503,004; 503,396] ~~[503,00; 503,40] tai 503,00 -503,40 (tai muu selkeä tapa) Hyväksytään vain 4 tai 5 numeron tarkkuus. (1 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Väliä laskettaessa oma keskiarvo. (3+1+2+1+(0+1+2)+0) (max 10 p.)

Laskettu vain toinen rajoista. (3+1+2+1+2+0) (max 9 p.)

n ilmestyy tyhjästä, verifioitu laskulla 4,1 /sqrt(1681) =0,10. (3+0+1+1+4+1) (max 10 p.)

Oikea tai väärä n ilmestyy tyhjästä, ei verifioitu ja sitä käytetään. (0+0+0+1+(1+1+1)+1) (max 5 p.)

Huom. Viimeisen rivin pisteen saa omalla välillä, jos edellisellä riviltä laskettu oikein ja keskiarvo 503,2 kuuluu välille.

B-osa

7. Lapasia 12 p.

Mummi teki oheisen kuvan lapaset lapsenlapsilleen joululahjaksi. Ensin mummi neuloi lapaset, ja sitten hän huovutti ne. Huovutuksen jälkeen punaisten lapasten pituus oli 17,6 cm ja sinisten lapasten pituus 19,8 cm. Kuinka pitkiä lapaset olivat ennen huovutusta, kun huovutus lyhensi niitä 30 %?

Lapasen ensimmäisen kerroksen silmukoiden lukumäärä on suoraan verrannollinen lapasen pituuteen. Kuinka monta silmukkaa tarvittiin punaisen lapasen ensimmäiseen kerrokseen, kun siniseen lapaseen niitä tarvittiin 36?

Jos alkuperäinen pituus on h, niin huovutuksen jälkeinen pituus on (1 -0,3) h =0,7 h (esimerkiksi 0,7 *h =17,6 tai 0,7 *h =19,8). (2 p.)

Punaisten lapasten alkuperäinen pituus on siis 17,6 /0,7 ~~25,14 ~~25,1 cm. (2 p.)

Sinisten lapasten alkuperäinen pituus on siis 19,8 /0,7 ~~28,29 ~~28,3 cm. (2 p.)

Tähän osaan ratkaisua liittyvät erillisohjeet

  • Yksiköt väärin/puuttuvat vastauksessa. (-1 p.)

  • Vastauksen tarkkuus 2 tai 3 merkitsevää numeroa.

  • Vastauksessa väärä tarkkuus (vähennys yhteensä vastausriveiltä) (-1 p.)

  • Jakolasku korvattu verifioivalla kertolaskulla. (2+1+1) (max 4 p.)

Tehty verrannollisuutta havainnollistava taulukko oikein. [1 p.]

(Olkoon x punaisen lapasen ensimmäisen kerroksen silmukoiden lukumäärä.)

Muodostettu verranto 36 /28,28... =x /25,14...

TAI 36 /19,8 =x /17,6 TAI laskettu peräkkäisinä lausekkeina osissa TAI yhtenä lausekkeena. (3 p.)

(Ratkaisuksi saadaan) 32 silmukkaa. (2 p.)

Tähän osaan ratkaisua liittyvät erillisohjeet

  • Tehty verranto väärin, mutta luvut tehtävänannosta tai omista alkuosan laskuista. (1+0+0) (1 p.)

  • Verrannon saa ratkaista kokeilemalla.

  • Oikeaa vastausta ei ole pyöristetty kokonaislukuun 32. (-1 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Väärä kerroin < 1, oikea laskuperiaate (esimerkiksi 17,6 /0,3) (0+2+2+1+3+2) (max 10 p.)

Väärä kerroin > 1, oikea laskuperiaate (esimerkiksi 17,6 /1,3) (0+1+1+1+3+2) (max 8 p.)

Prosenttilaskussa väärä periaate (esimerkiksi 1,3 *17,6) (0+0+0+1+3+2) (max 6 p.)

8. Muinainen laina 12 p.

Korollisia lainoja oli käytössä jo muinaisessa Lähi-idässä. Säilynyt assyrialainen teksti kuvaa erästä lainaa seuraavasti: "joka kuukausi velkaan lisättiin yksi hopeasekeli velan minaa kohti". Yksi mina on arvoltaan noin 570 grammaa hopeaa ja se jakautuu 60 sekeliin.

Ei ole täysin selvää, miten teksti pitäisi tulkita. Se voidaan tulkita ainakin seuraavilla kahdella eri tavalla:

Tapa 1: Korko lasketaan vain täysistä minoista.

Tapa 2: Korko lasketaan myös osittaisista minoista.

Kuinka paljon 30 minan lainasta kertyy vuodessa korkoa näiden eri tulkintojen mukaan?

Ensimmäiseltä kuukaudelta korkoa kertyy 30 sekeliä (tai pääoma 30,5 minaa) + samoin toiselta kuukaudelta (tai pääoma 31 minaa). (1+1 p.)

Käytetty kuukausikoron määräämisessä tietoa, että laina saavuttaa 31 minaa. [1 p.]

3. kuukauden korko: 31 sekeliä TAI kokonaismäärä 31 minaa ja 31 sekeliä. (1 p.)

Kuukauden korko on oikein 10. kuukauden loppuun, esimerkiksi 2 (30 +31 +32 +33 +34 +35) TAI 10. kuukauden jälkeen kokonaismäärä on 35 minaa ja 20 sekeliä. (1 p.)

Vuoden korko 390 sekeliä tai 6 minaa ja 30 sekeliä tai 6,5 minaa. (Tarkkuus 2–4 merkitsevää numeroa) (1 p.)


Tapaan 1 liittyvät erillisohjeet

Laskutoimitukset ovat helppoja, joten oikeita lukuja ei tarvitse perustella.

Vakiokorko 30 sekeliä/kk (ja vastaus 360 sekeliä tai 6 minaa) ([1+1]+0+0+0+0). (max 2 p.)

Kuukausikorko väärällä periaatteella (esimerkiksi väärä korkoprosentti), mutta huomioitu tasaminat oikein. ((0+0)+1+1+1+1). (max 4 p.)

Indeksivirhe (2+1+1+1+0) (max 5 p.)

Lainaa lyhennetty kuukausittain. (1+0+0+0+0) (max 1 p.)

Pelkkä vastaus (0 p.).

Tapa 2

Ratkaistu korkoa korolle -kaavalla.

Korkokerroin on 1 +1/60 (=61/60 ~~1,01667). (2 p.)

Kokonaismäärä vuoden päästä: (61/60)^12 *30 *60 (sekeliä) TAI (61/60)^12 *30 (minaa). (2 p.)

Lasketaan koron osuutta vähentämällä kokonaismäärästä 30 minaa. (1 p.)

Vuodessa korkoa kertyy 395 sekeliä (tai 6 minaa ja 35 sekeliä) TAI 394 sekeliä (tai 6 minaa 34 sekeliä) ja perustelu pyöristykselle. (Vastaukseksi ei kelpaa desimaalilukuna annettu minojen määrä kuten 6,58.) (1 p.)


Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Väärä korkokerroin (esimerkiksi 1/60tai 1 +(1 -60/61) ~~1,01639 ) (0+2+1+1). (max 4 p.)

Käytetty annuiteettikaavassa oikeaa korkokerrointa. (2+0+0+0) (max 2 p.)

Laskettu 30 *q^12 ilman q:n arvoa. (0+2+0+0) (max 2 p.)

TAI Ratkaistu taulukoimalla.

2. kuukauden korko: 30,5 sekeliä/0,51 minaa TAI kokonaismäärä: 31,01 minaa. (1 p.)

3. kuukauden korko on oikein (31,01 sekeliä tai 0,52 minaa) TAI lainan kokonaismäärä on oikein (1891,51 sekeliä tai 31,53 minaa). (1 p.)

10. kuukauden korko on oikein (34,81 sekeliä tai 0,58 minaa) TAI lainan kokonaismäärä on oikein (2123,53 sekeliä tai 35,39 minaa). (1 p.)

Vuodessa korkoa kertyy 395 sekeliä (tai 6 minaa ja 35 sekeliä) TAI 394 sekeliä (tai 6 minaa 34 sekeliä) ja perustelu pyöristykselle. (Vastaukseksi ei kelpaa desimaalilukuna annettu minojen määrä, esimerkiksi 6,58.) (1 p.)

Oikeat laskukaavat ovat näkyvissä tai yksi iteraatio selitetty. (2 p.)


Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Pelkkä oikea taulukko, josta vastaus näkyy (1+1+1+1+0). (max 4 p.)

Lainaa lyhennetty kuukausittain (1+0+0+0+0). (max 1 p.)

Tehtävälle tyypillisiä yleisvähennykseen huonoista selityksistä johtavia syitä:
-Sarakkeita ei nimetty, eikä sarakkeiden sisältö muutenkaan käy ilmi.
-Kuukausittaiset korot/pääomat pyöristetty kokonaisiin sekeleihin perusteluitta.

Indeksivirhe (1+1+1+0+2) (max 5 p.)

Tapaan 2 liittyvät erillisohjeet

Vastauksen tarkkuus 3–4 merkitsevää numeroa.


Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Vastaukset voi antaa myös hopeassa massayksiköinä.

Arvioidaan tavat niin päin, kumpi antaa enemmän pisteitä.

Sama väärä korkoprosentti molemmissa tavoissa: vähennys vain kerran. (max 10 p.)

9. Derivaattoja 12 p.

  1. Anna esimerkki polynomifunktiosta, jonka derivaatta saa jossakin kohdassa arvon -1 ja jossakin toisessa kohdassa arvon 1. (6 p.)
  2. Luvut x =-1 ja x =1 ovat erään kolmannen asteen polynomifunktion nollakohtia. Onko mahdollista, että tämän funktion derivaatta saa arvon 100 kohdassa x =0? (6 p.)

1.

Annettu jokin vähintään 2. asteen polynomifunktio. (Esimerkiksip(x) =x^2 tai x^2.) (1 p.)

Derivoitu annettu polynomi. (Esimerkiksip'(x) =2 x) [1 p.]

Tutkittu ehtoa p'(x) =1 + todennettu ratkaisun olemassaolo. (1+1 p.)

Tutkittu ehtoa p'(x) =-1 + todennettu ratkaisun olemassaolo. (1+1 p.)

(p'(1/2) =1 ja p'(-1/2) =-1 TAI Merkitty kohdat perustellusti derivaattafunktion kuvaajaan.).

Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Polynomi esitetty yhtälönä, esimerkiksi x^2 -x =1: ensimmäiseltä riviltä -1 p.

Polynomi saa olla tulomuodossa, ei tarvitse sieventää. (-0 p.)

Annettu vähintään 1. astetta oleva p'(x) ilman polynomin p(x) lauseketta (0+0+1+1). (max 2 p.)

Derivaattafunktion kuvaaja. (+0 p.)

Derivoitu hiukan väärin, mutta derivaatta vähintään 1. astetta. max (1+0+2+2) (max 5 p.)

TAI (graafinen ratkaisu)

Piirretty jonkin vähintään 2. asteen polynomifunktion kuvaaja ja polynomin lauseke on näkyvissä. (Esimerkiksi p(x) =x^2.) (1 p.)

riippumaton Tutkittu kuvaajaa graafisesti ja mainittu derivaatan ja tangentin kulmakertoimen välinen yhteys. (Voi olla myös osatehtävässä 9.2.) (1 p.)

Kuvaajalla on kaksi tangentinnäköistä suoraa, joiden kulmakertoimet ovat silmämääräisesti 1 ja -1 (1+1 p.)

Kulmakerroin on -1 ja komento (1 p.) + kulmakerroin on 1 ja komento (1 p.). (1+1 p.)

2.

Kolmannen asteen polynomifunktion lauseke on muotoa f(x) =a x^3 +b x^2 +c x +d (jolloin derivaattafunktion lauseke on f'(x) =3 a x^2 +2 b x +c.) TAI muu vastaava esitys kuten f(x) =a x (x -1) (x +1). (1 p.)

Muodostettu yhtälö f'(0) =100 ja saatu c =100. (1+1 p.)

riippumaton Muodostettu yhtälöt f(1) =f(-1) =0 annetulle polynomille. (1 p.)

Saatu a =-100 ja b =-d (lukuarvot käyvät). (1 p.)

Todettu perustellusti, että on mahdollista. (1 p.)

Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Yleinen ratkaisu on muotoa f(x) =-100 x^3 +b x^2 +100 x -b.

TAI (esimerkkifunktio)

Annettu kolmannen asteen polynomi. (Esimerkiksi f(x) =-100 x^3 +100 x.) (1 p.)

Annettu polynomi toteuttaa tehtävän ehdot, ja oikea vastaus "on mahdollista". (1 p.)

HUOM! Riveiltä 3 ja 4 voi saada pisteitä vaikka polynomi ei täyttäisi tehtävän ehtoja, mutta polynomin tulee olla 3. asteen polynomifunktio.

Todennettu nollakohdat x =1 ja x =-1 (2 p.)

ja ehto f'(0) =100. (2 p.)

Tähän ratkaisuun liittyvät erillisohjeet

Pelkkä oikea polynomi kuten -100 x^3 +100 x ja oikea vastaus "on mahdollista". (1+1+0+0) (2 p.)

Hahmoteltu oikeanmuotoinen kuvaaja 3. asteen polynomifunktiolle, jonka nollakohdat ovat -1ja 1, ja kuvaaja on lähes pystysuora origossa. (kvantti) (2 p.)

Polynomin aste on !=3. (0 p.)

Alkupiste: "Polynomin täytyy nousta jyrkästi kohdassa x =0." (1 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Perustelut voi tehdä graafisesti, jos komennot näkyvissä.

Annetut funktiot eivät ole polynomeja. (0 p.)

Annettu kaksi esimerkkiä: arvostelu huonomman mukaan.

10. Snap 18 p.

Marvel Snap -tietokonepelissä on saatavilla satoja eri kortteja, joista pelaaja valitsee peliin haluamansa 12 eri kortin pakan. Pelaaja sekoittaa pakan ja nostaa ennen ensimmäistä vuoroaan omasta pakastaan kolme päällimmäistä korttia. Pelin aikana pelaaja nostaa jokaisella vuorolla aina yhden kortin omasta pakastaan. Hän voi pelata tämän kortin sillä tai myöhemmillä vuoroilla. Pelissä on tärkeää, että pelaajalla on nostettuna pelitilanteeseen sopivat kortit.

1. Eräs sadan erilaisen kortin kokoelma sisältää yhden Apocalypse-kortin. Kuinka monta erilaista Apocalypse-kortin sisältävää 12 kortin pakkaa näistä korteista voidaan muodostaa? (2 p.)

Jos pelaajan pakassa on America Chavez -kortti, niin se asetetaan pakan pohjalle ja nostetaan automaattisesti kuudennen vuoron korttina. Tämä vaikuttaa muiden korttien nostotodennäköisyyksiin, kuten videolla 10.A pohditaan. Vertaillaan kahta pakkaa, joista toisessa on America Chavez ja toisessa ei. Kummassakaan pakassa ei ole muita kortteja, jotka voisi nostaa vain tietyllä vuorolla.

2. Selitä, miten lasketaan videolla 10.B esiintyvät Korg-kortin nostotodennäköisyydet näillä kahdella eri pakkavaihtoehdolla. (4 p.)

3. Odin-kortti on pakassa, ja se halutaan nostaa viimeistään kuudennella vuorolla. Määritä tämän tapahtuman todennäköisyys kummallakin eri pakkavaihtoehdolla. Kannattaako America Chavez valita pakkaan vai ei? (6 p.)

4. Oletetaan, että halutaan nostaa tietyt kaksi korttia viimeistään viidennellä vuorolla. Määritä tämän tapahtuman todennäköisyys kummallakin eri pakkavaihtoehdolla. Kannattaako America Chavez valita pakkaan vai ei? (6 p.)

1.

riippumaton Vaihtoehtoja on ((99), (11)) (=126.050.526.132.804). (1 p.)

riippumaton Perustelu: Pakassa on Apocalypse, joten loput 11 korttia voidaan valita vapaasti muiden 99 kortin joukosta. (1 p.)


TAI (tulkittu pakka järjestetyksi)

riippumaton Vaihtoehtoja on 12 *99 *98 *... *89 (=60.378.403.698.454.928.486.400) . (1 p.)

riippumaton Perustelu: (Pakka tulkitaan järjestetyksi.) Apocalypsella on 12 mahdollista paikkaa. Muiden paikkojen täytölle on 99 *98 *... *89 vaihtoehtoa. (1 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

99 *98 *... *89 =5.031.533.641.537.910.707.200 + ''muiden korttien järjestys''. (1 p.)

2.

Ilman America Chavezia todennäköisyys on 4/12 (=1/3) ~~33,3 %, koska Korgilla on 12 mahdollista paikkaa pakassa. Niistä 4 on suotuisia. (lasku + perustelu) (1+1 p.)

America Chavezin kanssa todennäköisyys on 4/11 ~~36,4 %,

koska Korgilla on 11 mahdollista paikkaa pakassa. Niistä 4 on suotuisia. (lasku + perustelu) (1+1 p.)

TAI binomikertoimilla

Ensimmäiseen vuoroon mennessä on nostettu yhteensä neljä korttia.

Ilman America Chavezia todennäköisyys on ((11), (3)) /((12), (4)) =1/3 ~~33,3 %, koska mahdollisia neljän kortin nostoja on ((12), (4)) ja suotuisia nostoja ((11), (3)), sillä muut kolme korttia voivat olla mitä tahansa. (todennäköisyys + perustelu) (1+1 p.)

America Chavezin kanssa todennäköisyys on ((10), (3)) /((11), (4)) =4/11 ~~36,4 %, koska mahdollisia neljän kortin nostoja on ((11), (4)) ja suotuisia nostoja ((10), (3)). (todennäköisyys + perustelu) (1+1 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Videon referointi. (+0 p.)

Prosenttiluvut 33,3 % ja 36,4 % puuttuvat: yhteensä (-1 p.)

3.

Idea: Ilman America Chavezia käytettävissä on yhdeksän nostoa, America Chavezin kanssa kahdeksan. (1 p.)

Ilman America Chavezia todennäköisyys on 9/12 (=3/4 =75 %), koska

Odinilla on 12 mahdollista paikkaa pakassa. Niistä 9 on suotuisia.(todennäköisyys + perustelu) (1+1 p.)

America Chavezin kanssa Odinilla on 11 mahdollista paikkaa pakassa. Niistä 8 on suotuisia. Todennäköisyys on siis 8/11 (~~72,7 %). (todennäköisyys + perustelu) (1+1 p.)

Oikealla logiikalla muodostettuja todennäköisyyksiä vertaamalla päätellään, että America Chavezia ei kannata valita pakkaan. (1 p.)

TAI binomikertoimilla

Idea: Ilman America Chavezia käytettävissä on yhdeksän nostoa, America Chavezin kanssa kahdeksan. (1 p.)

Todennäköisyys ilman America Chavezia on siis ((11), (8)) /((12), (9)) (=3/4 =75 %),

koska yhdeksän kortin nostoja on ((12), (9)) ja suotuisia on ((11), (8)). (todennäköisyys + perustelu) (1+1 p.)

America Chavezin kanssa todennäköisyys on siis ((10), (7)) /((11), (8)) (=8/11 ~~72,7 %),

koska kahdeksan kortin nostoja on ((11), (8)) ja suotuisia on ((10), (7)). (todennäköisyys + perustelu) (1+1 p.)

Oikealla logiikalla muodostettuja todennäköisyyksiä vertaamalla päätellään, että America Chavezia ei kannata valita pakkaan. (1 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Unohdettu kolme ensimmäistä korttia (0+2+2+1) (max 5 p.)

4.

Selvitetään todennäköisyys, että halutut kortit ovat kahdeksan päällimmäisen joukossa. (1 p.)

Ilman America Chavezia ensimmäisellä kortilla on 12 mahdollista paikkaa ja America Chavezin kanssa

11 mahdollista paikkaa. Näistä 8 on suotuisia.

Ilman America Chavezia toisella kortilla on 11 mahdollista paikkaa ja AC:n kanssa

10 mahdollista paikkaa. Näistä 7 on suotuisia. (2 p.)

Todennäköisyys ilman America Chavezia on siis 8/12 *7/11 (=14/33 ~~42,4 %) America Chavezin kanssa se on 8/11 *7/10 (=28/55 ~~50,9 %). (2 p.)

Oikealla logiikalla muodostettuja todennäköisyyksiä vertaamalla päätellään, että America Chavez kannattaa valita pakkaan. (1 p.)

TAI binomikertoimilla

Selvitetään todennäköisyys, että halutut kortit ovat kahdeksan ensimmäisenä nostetun kortin joukossa. (1 p.)

Käytettävissä on 8 nostoa.

Suotuisia kahdeksan kortin nostoja on ilman America Chavezia ((10), (6)) ja America Chavezin kanssa ((9), (6)), sillä on kuusi korttia, jotka voivat olla mitä tahansa, ja ne voidaan valita 10 (ilman America Chavezia) tai 9 (America Chavezin kanssa) kortin joukosta. Kaikkien kahdeksan kortin nostojen lukumäärä on ((12), (8)) ilman America Chavezia ja ((11), (8)) America Chavezin kanssa. (2 p.)

Todennäköisyys ilman America Chavezia on siis ((10), (6)) /((12), (8)) (=14/33 ~~42,4 %) ja America Chavezin kanssa ((9), (6)) /((11), (8)) (=28/55 ~~50,9 %). (2 p.)

Oikealla logiikalla muodostettuja todennäköisyyksiä vertaamalla päätellään, että America Chavez kannattaa valita pakkaan. (1 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Unohdettu kolme ensimmäistä korttia (0+2+2+1) (max 5 p.)

Toisen kortin todennäköisyys on sama kuin ensimmäisen. (1+1+1+0) (max 3 p.)

Tähän tehtävään liittyvät erillisohjeet

Saman luvun selityksen puutteesta vähennys vain kerran koko tehtävästä (esimerkiksi nimittäjä 12 tai 11).

Tehtävä on ratkaistavissa myös esimerkiksi binomikertoimilla tarkastellen nostettavien korttien kombinaatioita.

Koska videolla oli hieman huteraa termien ''prosentti'' ja ''prosenttiyksikkö'' käyttö, ei vähennystä näiden termien sekoittamisesta ratkaisussa. (-0 p.)

11. Verotuksen progressiivisuus 18 p.

Englannin verotusjärjestelmässä marginaaliveroprosentti muuttuu hyppäyksittäin, kun kokonaistulo ylittää 17 500, 50 000, 60 000, 80 000, 100 000 ja 125 000 puntaa. Hyppäysten välissä se on vakio.

Tarvittavat käsitteet on määritelty tekstissä 11.A.

  1. Marginaaliveroprosentti tulovälillä 17 500–50 000 on 28 % ja sitä pienemmistä tuloista 0 %. Kuinka monta puntaa veroja on maksettava, jos kokonaistulot ovat 40 000 puntaa? (4 p.)
  2. Suomessa ansiotuloveron määrä on yleensä ilmaistu taulukkomuodossa verotettavan tulon mukaan. Tekstissä 11.A on esimerkki vuoden 2025 tilanteesta. Tee kuvan 11.B marginaaliveroprosenttikäyrän (punainen eli tummempi käyrä) perusteella vastaava taulukko, joka kuvaa verotusta Englannissa 100 000 punnan kokonaistuloon saakka, olettaen, että verotettava tulo on 12 500 puntaa pienempi kuin kokonaistulo. Selitä myös sanallisesti, miten olet laskenut taulukkosi luvut. (8 p.)
  3. Kuvaan 11.B on lisäksi hahmoteltu kokonaisveroprosenttia (keltainen eli vaaleampi käyrä), joka ei kuitenkaan täysin vastaa marginaaliveroprosenttikäyrää. Mitä virheitä kokonaisveroprosenttikäyrän piirtämisessä on tehty? (6 p.)

1.

Veroja maksetaan 40.000 -17.500 =22.500 (punnasta), (2 p.)

eli veroja on maksettava 22.500 *0,28 =6300 (puntaa). (2 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Tapaus 0,28 *40.000 =11.200 (puntaa). (0+1) (1 p.)

Pelkkä lasku (40.000 -17.500) *0,28 =6300. (4 p.)

Pelkkä lasku 0,28 *22.500 =6300. (3 p.)

Laskettu Suomen taulukolla ja saatu 7207,93 (+ pyöristys) (1 p.)

2. Saadaan taulukko:

KokonaistuloVerotettava tuloVero alarajallaVeroprosentti ylimenevästä osasta
0 - 17 500 0 - 5 000 00
17 500 - 50 000 5 000 - 37 500 028
50 000 - 60 000 37 500 - 47 500 9 100 42
60 000 - 80 000 47 500 - 67 500 13 300 57
80 000 - 100 000 67 500 - 87 500 24 700 42

Taulukon sarakkeista pisteitä seuraavasti:

Kokonaistulosarake oikein TAI Verotettavan tulon sarake oikein. (1 p.)

Prosenttisarake oikein (28 % tarkka, toiset välillä 41 - 45 % ja 55 - 59 %). (1 p.)

Vero alarajalla -sarake:

Alaraja 50 000 punnan kohdalla oikein omalla edellisen välin prosentilla (9 100). (1 p.)

Jälkimmäiset oikein omilla prosenteilla (13 300 ja 24 700). (2 p.)

Vero alarajalla -sarakkeen perusteluista pisteitä seuraavasti:

Laskutapa arvolle 9 100 käy ilmi. (1 p.)

Laskutapa arvolle 13 300 TAI 24 700 käy ilmi. (1 p.)

Ainakin yksi näistä avattu sanallisesti. (1 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

Sarakkeiden otsikko puuttuu tai otsikoitu väärin. 1. riviltä 0 p. (max 7 p.)

Riittää, että taulukosta löytyy joko kokonaistulo tai verotettava tulo.

Riviä 0 - 17 500 ei ole tai rivi 100 000 - 125 000 on mukana taulukossa. (-0 p.)

Tarkastelut voi tehdä joko kokonaistuloa tai verotettavaa tuloa käyttäen.

3.

Kokonaisverokäyrä taittuu jossain kohdassa liian aikaisin. [1 p.]

Ero nollasta tulisi tapahtua vasta kohdassa 17 500 puntaa TAI Kokonaisveroaste alkaa nousta aikaisemmin TAI marginaaliveron erotessa nollasta TAI toinen taite tulisi olla vasta 50 000 punnan kohdalla. (2 p.)

Taitekohta tai taitekohtia puuttuu. (1 p.)

Taite puuttuu 60 000 punnan TAI 80 000 punnan kohdalta. (2 p.)

Tähän osatehtävään liittyvät erillisohjeet

"Käyrät eivät ala samasta kohdasta". TAI ''Kokonaisverokäyrä alkaa 0 punnan vasemmalta puolelta.'' (+0 p.)

Joukossa yksi tai useampi selvästi virheellinen väittämä suhteessa kysymykseen. (-1 p.)

Virheellisiä väittämiä ovat esimerkiksi:

  • Kokonaisverokäyrän tulisi olla jollakin (muulla kuin 1.) välillä vakio TAI lineaarinen.

  • Kokonaisverokäyrän pitäisi nousta marginaaliverokäyrän tasolle.

  • Kokonaisverokäyrän tulisi olla jossakin kohdassa laskeva.

  • Marginaaliveron laskukohdat eivät näy kokonaisveroasteessa.

Esimerkiksi seuraava vastaus antaa 6 pistettä:
Kuvaajan mukaan veroja maksetaan jo alle 17 500 punnan tuloista. Tulovälillä 50 000 ⁠-⁠ 100 000 verotus määräytyy useassa palassa, ei yhtenäisesti, joten 60 000 punnan ja 80 000 punnan kohdalla käyrän pitäisi muuttua. Lisäksi 50 000 punnan kohdalla keltaisen/vaaleamman käyrän pitäisi taittua. (6 p.)