Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, kort lärokurs

Denna uppgift bedöms centraliserat i nämnden, vilket betyder att läraren inte utför den preliminära bedömningen. Poängen för det centraliserat bedömda svaret uppdateras automatiskt i bedömningstjänsten under censorarbetets gång. Tills svaret i fråga har bedömts märks svaret med ett streck (-) i bedömningstjänsten.

Denna uppgift bedöms centraliserat i nämnden, vilket betyder att läraren inte utför den preliminära bedömningen. Poängen för det centraliserat bedömda svaret uppdateras automatiskt i bedömningstjänsten under censorarbetets gång. Tills svaret i fråga har bedömts märks svaret med ett streck (-) i bedömningstjänsten.

Vi får med rotformeln lösningarna x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot 2\cdot 5}}{2\cdot 2}. (2 p.)

Det här ger två olika stora lösningar då b^2-4\cdot 2\cdot 5=b^2-40>0. (2 p.)

Exempelvis fungerar b=10, eftersom då är 10^2-40=60>0. (1 p.)

Rotformeln för lösning av en andragradsekvation ger exakt en lösning om \sqrt{b^2-4\cdot 2\cdot 5}=\sqrt{b^2-40}=0, (2 p.)

det vill säga vilket som helst av alternativen b=\pm \sqrt{40} går. (2 p.)

Det finns inga lösningar om b^2-40<0. (2 p.)

Detta händer exempelvis då b=0. (1 p.)

Prövningslösning: För ett fungerande värde utdelas 1 poäng då det finns två lösningar eller ingen lösning, och 2 poäng då antalet lösningar är exakt 1. För motiveringarna utdelas 2 poäng för fallet två lösningar, 4 poäng när det inte finns lösningar, och 2 poäng då det finns (exakt) en lösning.

Tornets höjd är 17\mathrm{,}4\cdot 72=1252\mathrm{,}8 meter. [2 p.]

Eftersom ett A4-ark har tjockleken 0\mathrm{,}1 mm, är dess tjocklek i meter 0\mathrm{,}0001. [1 p.]

Arken är därmed \frac{1252\mathrm{,}8}{0\mathrm{,}0001} till antalet. (2 p.)

Eftersom ett ark har massan 5 gram, det vill säga 0\mathrm{,}005 kg, är den sammanlagda massan \frac{1252\mathrm{,}8}{0\mathrm{,}0001}\cdot 0\mathrm{,}005=62\,640\approx 63\,000 kg det vill säga 63 ton. (2 p.)

Eftersom ett A4-ark har arean 21\mathrm{,}0\cdot 29\mathrm{,}7=623\mathrm{,}7 \textrm{cm}^2 (2 p.)

det vill säga 0\mathrm{,}06237 kvadratmeter, (1 p.)

är volymen 0\mathrm{,}06237\cdot 1252\mathrm{,}8\approx 78\mathrm{,}14\approx 78 kubikmeter. (2 p.)

I areaberäkningarna är enheten \textrm{cm}^2.

Den totala arean av rätblockets botten och lock är 1088-960=128, (1 p.)

vilket betyder att lockets area är \frac{128}{2}=64 och lockets sida \sqrt{64}=8\ \textrm{cm}. (2 p.)

Rätblockets höjd är alltså \frac{960}{4\cdot 8}=30\ \textrm{cm}. (2 p.)

Rätblockets volym är 64\cdot 30=1920\ \textrm{cm}^3. (2 p.)

Cylinderns lock har radien \frac{8}{2}=4\ \textrm{cm}, (1 p.)

det vill säga cylinderns volym är 30\cdot 4^2\pi\approx 1507\mathrm{,}964\ \textrm{cm}^3. (2 p.)

Volymen av utrymmet mellan rätblocket och cylindern är alltså 1920-1507\mathrm{,}964\approx 412\ \textrm{cm}^3. (2 p.)

Om vi betecknar stickprovets storlek med bokstaven n, så är \frac{4\mathrm{,}1}{\sqrt{n}}=0\mathrm{,}10, (3 p.)

ur vilket n=\big(\frac{4\mathrm{,}1}{0\mathrm{,}10}\big)^2=1\,681. (En noggrannhet på 2–4 gällande siffror godkänns.) (3 p.)

Eftersom ett 95 procents konfidensintervall motsvarar koefficienten 1\mathrm{,}96, [2 p.]

är det efterfrågade intervallet [503\mathrm{,}2-1\mathrm{,}96\cdot 0\mathrm{,}10; 503\mathrm{,}2+1\mathrm{,}96\cdot 0\mathrm{,}10]=[503\mathrm{,}004; 503\mathrm{,}396]\approx [503{,}00; 503{,}40]. (4 p.)

Om den ursprungliga längden är h, så är längden efter tovningen (1-0\mathrm{,}3)h=0\mathrm{,}7h. [1 p.]

De röda vantarnas ursprungliga längd var \frac{17\mathrm{,}6}{0\mathrm{,}7}\approx 25\mathrm{,}14\approx 25\ \textrm{cm}. (2 p.)

De blå vantarnas ursprungliga längd var \frac{19\mathrm{,}8}{0\mathrm{,}7}\approx 28\mathrm{,}29\approx 28\ \textrm{cm}. (3 p.)

Anta att antalet maskor i den röda vantens första varv är x. Vi bildar förhållandet \frac{36}{28{,}29}=\frac{x}{25{,}14} ELLER \frac{36}{19{,}8}=\frac{x}{17{,}6}, (4 p.)

ur vilket vi får x=(31{,}992\ldots\approx)\ 32 maskor. (2 p.)

Med sätt 1 ackumuleras en ränta på 30 sikel efter den första månaden. (1 p.)

Den första månadens ränta ökade inte alls på antalet hela mina, vilket betyder att det även efter den andra månaden ackumuleras en ränta på 30 sikel. (1 p.)

Efter det här är lånets storlek emellertid 31 mina, vilket betyder att man efter den tredje månaden betalar 31 sikel i ränta. (1 p.)

Vi fortsätter på motsvarande sätt. Efter ett år har en ränta på 2(30+31+32+33+34+35)=390 sikel ackumulerats (det vill säga 6 mina och 30 sikel). (3 p.)

I sätt 2 är det fråga om principen ränta på ränta. Räntefaktorn är 1+\frac{1}{60}=\frac{61}{60}. (2 p.)

Den totala räntan under ett år är alltså \left(\frac{61}{60}\right)^{12}\cdot 30\cdot 60-30\cdot 60 (2 p.)

\approx 395 sikel (det vill säga 6 mina och 35 sikel). (2 p.)

1.

För ett fungerande exempel ges 2 p. och för motiveringarna 4 p. Till exempel:

Vi undersöker polynomfunktionen f(x)=x^2. (2 p.)

Dess derivata är f'(x)=2x, (2 p.)

som får värdet 1 i punkten x=\frac{1}{2} och värdet -1 i punkten x=-\frac{1}{2}. (2 p.)

2.

Vi bildar ett polynom så, att det har ett nollställe x=0. Då är polynomet i formen g(x)=ax(x-1)(x+1)=ax^3-ax. (2 p.)

Polynomets derivata är g'(x)=3ax^2-a och g'(0)=-a. (2 p.)

Nu är g'(0)=100, då a=-100. Ett sådant polynom är alltså exempelvis g(x)=-100x^3+100x. (2 p.)

1.

Eftersom det finns ett Apocalypse-kort i kortleken så kan de sista 11 korten väljas fritt från mängden av de övriga 99 korten. Alternativen är alltså \binom{99}{11}=126\,050\,526\,132\,804 till antalet. (2 p.)

2.

Vid tidpunkten för den första turen har man lyft totalt fyra kort.

Utan America Chavez är antalet möjliga lyft med fyra kort \binom{12}{4} och antalet gynnsamma lyft \binom{11}{3}, eftersom de övriga tre korten kan vara vilka som helst. (2 p.)

Med America Chavez är de motsvarande talen \binom{11}{4} och \binom{10}{3}. (1 p.)

Sannolikheten utan America Chavez är \frac{\binom{11}{3}}{\binom{12}{4}}=\frac{1}{3}\approx 33\mathrm{,}3\ \% och med America Chavez \frac{\binom{10}{3}}{\binom{11}{4}}=\frac{4}{11}\approx 36\mathrm{,}4\ \%. (1 p.)

3.

Utan America Chavez kan man även lyfta Odin-kortet på den sjätte turen, det vill säga man har nio lyft till sitt förfogande. Sannolikheten är alltså \frac{\binom{11}{8}}{\binom{12}{9}}=\frac34 =75\ \%. (3 p.)

Med America Chavez kan Odin lyftas senast på den femte turen, det vill säga man har åtta lyft till sitt förfogande. Sannolikheten är alltså \frac{\binom{10}{7}}{\binom{11}{8}}=\frac{8}{11}\approx 72\mathrm{,}7\ \%. (2 p.)

Det lönar sig inte att välja America Chavez till kortleken. (1 p.)

4.

Spelaren har 8 lyft till sitt förfogande. Antalet gynnsamma lyft med åtta kort är utan America Chavez \binom{10}{6} och med America Chavez \binom{9}{6}, eftersom det finns sex kort som kan vara vilka som helst och de kan väljas från en mängd med 10 kort (utan America Chavez) eller 9 kort (med America Chavez). (2+2 p.)

Eftersom antalet lyft med alla åtta kort är \binom{12}{8} utan America Chavez och \binom{11}{8} med America Chavez, är sannolikheten utan America Chavez \frac{\binom{10}{6}}{\binom{12}{8}}=\frac{14}{33}\approx 42\mathrm{,}4 % och med America Chavez \frac{\binom{9}{6}}{\binom{11}{8}}=\frac{28}{55}\approx 50\mathrm{,}9 %, det vill säga det lönar sig att välja America Chavez till kortleken. (2 p.)

1.

Skatt betalas på 40\,000-17\,500=22\,500 pund, (2 p.)

det vill säga man ska betala 22\,500\cdot 0\mathrm{,}28=6\,300 pund i skatt. (2 p.)

2.

Då helhetsinkomsten är 0–17 500 pund är den beskattningsbara inkomsten 0–5 000 pund och man betalar inte skatt. Då helhetsinkomsten är 17 500–50 000 pund är den beskattningsbara inkomsten 5 000–37 500 pund. Skatten vid den nedre gränsen är 0 pund. För den överstigande delen betalas 28 % i skatt. (1 p.)

Då helhetsinkomsten är 50 000–60 000 pund är den beskattningsbara inkomsten 37 500–47 500 pund. Då är skatten vid den nedre gränsen 0\mathrm{,}28\cdot (37\,500-5\,000)=9\,100 pund. För den överstigande delen är skatteprocenten 42. (2 p.)

Då helhetsinkomsten är 60 000–80 000 pund är den beskattningsbara inkomsten 47 500–67 500. Nu är skatten vid den nedre gränsen 0\mathrm{,}42\cdot (47\,500-37\,500)+9\,100=13\,300 pund. För den överstigande delen är skatteprocenten 57. (2 p.)

Då helhetsinkomsten är 80 000–100 000 pund är den beskattningsbara inkomsten 67 500–87 500. Nu är skatten vid den nedre gränsen 0\mathrm{,}57\cdot (67\,500-47\,500)+13\,300=24\,700 pund. För den överstigande delen är skatteprocenten 42. (2 p.)

Utgående från talen i det föregående får vi följande tabell:

(1 p.)

Procenttalen kan avvika lite i svaren, eftersom grafen inte är så noggrann.

3.

För meningsfulla observationer 2 p./observation. Exempelvis följande svar ger 6 poäng:

Enligt grafen belatalas skatt redan på inkomster under 17 500 pund. I inkomstintervallet 50 000–100 000 bestäms skatten i flera olika bitar och inte sammanhängande. Exempelvis vid 60 000 pund borde kurvan förändras. Den gula, det vill säga den ljusare kurvan, borde brytas vid 50 000 pund, men den bryts lite tidigare än så. (6 p.)