Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, kort lärokurs

oberoende Enligt lösningsformeln är lösningarna till ekvationen x =(-b +-sqrt(b^2 -4 *2 *5)) /(2 *2) (b som en variabel, värdena av a och c insatta i uttrycket) ELLER ekvationens diskriminant är b^2-4\cdot 2\cdot 5=b^2-40 (b som en variabel, värdena av a och c insatta i uttrycket) ELLER funnit talet \sqrt{40} ELLER 6{,}3245\ldots (minst 3 decimaler) (2 p.)

STOPP Om diskriminanten inte innehåller termen b^2 (som variabel eller insatt) ELLER diskriminanten innehåller variabeln x, inga poäng i fortsättningen från förklaringar som grundar sig på determinanten.

oberoende Givit ett exempel på ett tal b för vilket det finns två lösningar, och det framgår att detta exempel ges som svar för detta fall (|b| > 6{,}3245\ldots) (1 p.)

Förklarat att det i detta fall finns två lösningar (till exempel satt in värdet av b i diskriminanten och visat att denna är positiv, eller skärmdump av programvara eller satt in värdet av b i ekvationen och löst ekvationen med lösningsformeln) ELLER konstaterat att det finns två lösningar då b^2-40 > 0. (2 p.)

oberoende Givit ett exempel på ett tal b för vilket det inte finns lösningar, och det framgår att detta exempel ges som svar för detta fall (|b| <6{,}3245\ldots) (1 p.)

Förklarat att det i detta fall inte finns lösningar (till exempel satt in värdet av b i diskriminanten och visat att denna är negativ, eller satt in värdet av b i ekvationen och löst ekvationen med lösningsformeln) ELLER konstaterat att det inte finns lösningar då b^2-40 < 0. (2 p.)

oberoende Givit exempel på ett tal b för vilket det finns precis en lösning, och det framgår att detta exempel ges som svar för detta fall (b=\pm \sqrt{40} ELLER b=\sqrt{40} ELLER b=-\sqrt{40}). (2 p.)

Förklarat att det i detta fall finns exakt en lösning (till exempel satt in värdet av b i diskriminanten och visat att denna är noll, eller satt in värdet av b i ekvationen och löst ekvationen med lösningsformeln) ELLER konstaterat att det finns exakt en lösning då b^2-40=0. (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Avrundningar:

• Om, i fallet med endast en lösning, värdet av b bara givits som ett decimaltal, 0 p. från rad 6 (max 2+1+2+1+2+0+1) (max 9 p.)

• Om det syns att b=\sqrt{40} eller att kvadratroten har beräknats ut ekvationen b^2=40, så ges 2 p. från rad 6 även om värdet av b sedan avrundats. (max 12 p.)

• Om, i fallet med endast en lösning, förklaringen gjorts med ett närmevärde med minst tre decimaler, 1 p. från rad 7 (max 2+1+2+1+2+2+1) (max 11 p.)

På grund av räknefel blir diskriminanten alltid positiv. (1+1+2+0+2+0+2) (max 8 p.)

Det räcker att b framgår av ekvationen eller polynomet. Om polynomet inte heller syns (b insatt direkt i lösningsformeln eller diskriminanten), 0 p. för exempelvärdet ifråga, förklaringspoäng kan ges.

Inget konkret värde på givet i fallen med två eller inga lösningar, utan som svar angivit alla värden på b som uppfyller villkoret, till exempel -\sqrt{40}<b<\sqrt{40}. (+0 p.)

Räknaren ger svaret undefined eller dylikt, och tolkat detta som förklaring för ''inga lösningar''. (+0 p.)

Höjden av pappershögen är 17,4 *72 =1252,8 (meter). [2 p.]

Arkets tjocklek och högens höjd i samma enhet (till exempel tjocklek 0,0001. meter). [1 p.]

Det finns alltså 1252,8 /0,0001 pappersark. (2 p.)

Massan av ett ark är 5 gram, det vill säga 0,005 kg ELLER i slutet omvandlat massan till enheten kg eller ton. [1 p.]

Den totala massan är 1252,8 /0,0001 *0,005 =62.640 ~~63.000 (1 p.)

\approx 63\,000 kg ELLER 63 ton (någon av dessa enheter). (1 p.)

Arkets sidlängder i meter ELLER i slutet omvandlat volymen till kubikmeter. (1 p.)

Använt formeln för area eller volym med sidlängderna insatta. (1 p.)

Pappershögens volym är 0\mathrm{,}21\cdot 0{,}297 \cdot 1252\mathrm{,}8 (= 78\mathrm{,}137136) (1 p.)

\approx 78 (kubikmeter, endast denna enhet). (1 p.)

Särskilda anvisingar för denna uppgift

Typfel: A4-arken staplade på högkant (2+1+2+1+1+0+1+1+1+0) (max 10 p.)

Typfel: Använt stadiontornets höjd istället för pappershögens höjd (0+1+2+1+1+1+1+1+1+1) (max 10 p.)

Enhetsomvandling saknas eller felaktig: från omvandlingens rad -1 p. ja vastauksesta -1 p. (max 10 p.)

Rad 3: Division genom att testa (1 p.)

Den totala arean av rätblockets lock och botten är 1088-960=128\ (\mathrm{cm}^2), (1 p.)

så locket har area \frac{128}{2}=64\ (\mathrm{cm}^2) (1 p.) och sidlängd \sqrt{64}=8\ (\mathrm{cm}) (1 p.). (2 p.)

Höjden av rätblocket är alltså \frac{960}{4\cdot8}=30\ (\mathrm{cm}). (2 p.)

Volymen av rätblocket är 64\cdot30=1920\ (\mathrm{cm}^3). (2 p.)

Radien av cylinderlocket är (\frac{8}{2}=)\ 4\ (\mathrm{cm}). (1 p.)

Den egna radien och höjden insatt i formeln för cylinderns volym (konstant \times hr^2 1 p., \pi hr^2 1 p. ELLER beräknat arean av bascirkeln (1 p.) och multiplicerat med höjden (1 p.)). (2 p.)

Utrymmet mellan rätblocket och cylinderna har volym 1920-1507\mathrm{{,}}964 ganska exakt \approx410\ \mathrm{cm}^3 (differensen uppställd enligt rätt princip 1 p., svar och enhet 1 p.). (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna lösning

Tolkat att 1088 är cylinderns totala area och att 960 är mantelytans area. (1+1+1+2+1+2+(1+0)) (max 9 p.)

ELLER

Formulerat ekvationer för rätblockets höjd och baskvadratens sidlängd (till exempel 4sh=960 och 4sh+2s^2=1088). (1+1 p.)

Löst de obekanta s=8 och h=30 (första 2 p., andra 1 p.). (3 p)

Beräknat rätblockets volym med formeln hs^2 med de egna värdena för höjden och sidlängden. (2 p.)

Cylinderbasens radie r=s/2 med den egna sidlängden. (1 p.)

Den egna radien och höjden insatt i formeln för cylinderns volym (konstant \times hr^2 1 p., \pi hr^2 1 p. ELLER beräknat arean av bascirkeln (1 p.) och multiplicerat med höjden (1 p.)). (2 p.)

Differensen uppställd enligt rätt princip (1 p.) och svar och enhet ganska exakt \approx410\ \mathrm{cm}^3 (1 p.). (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna lösning

Tolkat att 1088 är cylinderns totala area och att 960 är mantelytans area. (0+3+2+1+2+(1+0)) (max 9 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Rätt värden för höjden och sidlängden uppstår ur ingenting (0+0+0+2+1+2+1/0+0+2+1+2+(1+0)) (max 6 p.)

Fel enhet i räkningarna. (-1 p.)

Fel enhet i mellanleden. (-0 p.)

Rätt princip i sista raden förutsätter att dimensionerna är i ordning (exempelvis "längd=area/4"\ är inte rätt princip).

Det gäller att \frac{4\mathrm{{,}}1}{\sqrt{n}}=0\mathrm{{,}}10, där n är stickprovsstorleken. [Ekvation på rätt form med något värde insatt 1 p. Värdet 4{,}1 korrekt insatt 1 p. och 0{,}10 korrekt insatt 1 p. i en ekvation på rätt form.] (3 p.)

Därför gäller \sqrt{n}=\frac{4\mathrm{{,}}1}{0\mathrm{{,}}10} (1 p.)

så n=\big(\frac{4\mathrm{,}1}{0\mathrm{,}10}\big)^2= ganska exakt {1\,681}\ (\approx 1700). (Endast 2–4 siffrors noggrannhet godkänns. Kvadrering 1 p. + rätt resultat 1 p.) (2 p.)

poäng oberoende av de ovanstående raderna Eftersom 95\, \% konfidensintervall svarar mot koefficienten 1\mathrm{{,}}96, [1 p.]

är det efterfrågade intervallet [503\mathrm{{,}}2-1\mathrm{{,}}96\cdot0\mathrm{{,}}10;503\mathrm{{,}}2+1\mathrm{{,}}96\cdot0\mathrm{{,}}10]

(Korrekt insättning: 503\mathrm{{,}}2 (1 p.) + 1\mathrm{{,}}96 (1 p.) + 0\mathrm{{,}}10 eller \frac{4{,}1}{\sqrt{n}} med den egna stickprovsstorleken (n\in\mathbb{N}_{\ge2} ger 2 p., n=1 eller n\ge1 och n\not\in\mathbb{Z} ger 1 p.)) (4 p.)

=[503\mathrm{{,}}004;503\mathrm{{,}}396]\approx[503{,}00;503{,}40] eller 503{,}00-503{,}40 (eller annan tydlig framställning) Endast 4 eller 5 siffrors noggrannhet godkänns. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Eget medelvärde använt när intervallet beräknats. (3+1+2+1+(0+1+2)+0) (max 10 p.)

Bara beräknat ena gränsen. (3+1+2+1+2+0) (max 9 p.)

n uppstår ur ingenting men verifieras med beräkningar \frac{4\mathrm{{,}}1}{\sqrt{1681}}=0\mathrm{{,}}10. (3+0+1+1+4+1) (max 10 p.)

Rätt eller fel n uppstår ur ingenting och verifieras inte men används. (0+0+0+1+(1+1+1)+1) (max 5 p.)

Observera: Poäng från sista raden fås för eget intervall, om föregående rad beräknats korrekt och medelvärdet 503{,}2 tillhör intervallet.

Om den ursprungliga längden var h, så är längden efter tovning (1-0\mathrm{{,}}3)h=0\mathrm{{,}}7h (exempelvis 0{,}7\cdot h=17{,}6 eller 0{,}7\cdot h=19{,}8). (2 p.)

Den ursprungliga längden för de röda vantarna är alltså \frac{17\mathrm{{,}}6}{0\mathrm{{,}}7}\approx25\mathrm{{,}}14\approx25{,}1\, \mathrm{cm}. (2 p.)

Den ursprungliga längden för de blåa vantarna är alltså \frac{19\mathrm{{,}}8}{0\mathrm{{,}}7}\approx28\mathrm{{,}}29\approx28{,}3\, \mathrm{cm}. (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna del av lösningen

• Enheterna fel/saknas i svaret. (-1 p.)

• Svarsnoggrannhet 2 eller 3 gällande siffror.

• Fel noggrannhet i svaret (totalt avdrag från svarsraderna) (-1 p.)

• Istället för division verifierat med multiplikation. (2+1+1) (max 4 p.)

Ställt upp en korrekt jämförelsetabell. [1 p.]

(Låt x vara antalet maskor i den röda vantens första varv.)

Ställt upp proportionalitetsekvationen \frac{36}{28{,}28...}=\frac{x}{25{,}14...}

ELLER \frac{36}{19{,}8}=\frac{x}{17{,}6} ELLER räknat ut genom en följd av formler ELLER i en sammansatt formel. (3 p.)

(Som lösning får vi) 32 maskor. (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna del av lösningen

• Felaktiga proportionaliteter, men använt talen från frågeställningen eller från de egna beräkningarna i första delen. (1+0+0) (1 p.)
• Proportionalitetsekvationen kan lösas genom test.
• Rätt svar inte avrundat till heltalet 32. (-1 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Fel koefficient <1, rätt beräkningsprincip (till exempel \frac{17{,}6}{0{,}3}) (0+2+2+1+3+2) (max 10 p.)

Fel koefficient >1, rätt beräkningsprincip (till exempel \frac{17{,}6}{1{,}3}) (0+1+1+1+3+2) (max 8 p.)

Fel princip i procenträkningen (till exempel 1{,}3\cdot17{,}6) (0+0+0+1+3+2) (max 6 p.)

Den första månaden ackumuleras 30 siklar ränta (eller 30,5 minor kapital) + samma den andra månaden (eller 31 minor kapital). (1+1 p.)

När månadsräntan bestämts, noterat att lånets värde uppgår till 31 minor. [1 p.]

Tredje månadens ränta: 31 siklar ELLER total summa 31 minor och 31 siklar. (1 p.)

Månadsräntan är korrekt till slutet av den tionde månaden, till exempel 2(30+31+32+33+34+35) ELLER efter den tionde månaden är den totala summan 35 minor och 20 siklar. (1 p.)

Årsräntan är 390 siklar eller 6 minor och 30 siklar eller 6,5 minor. (Noggrannhet 2–4 gällande siffror) (1 p.)

Sätt 1: Särskilda anvisningar

Beräkningarna är enkla, så de korrekta värdena behöver inte förklaras.

Konstant ränta 30 siklar/månad (och svar 360 siklar eller 6 minor) ([1+1]+0+0+0+0). (max 2 p.)

Månadsräntan beräknad enligt fel princip (till exempel fel ränteprocent) men beaktat antalet hela minor korrekt. ((0+0)+1+1+1+1). (max 4 p.)

Indexfel (2+1+1+1+0) (max 5 p.)

Månatlig amortering av lånet. (1+0+0+0+0) (max 1 p.)

Endast svar (0 p.).

Sätt 2

Löst med formeln för ränta på ränta.

Räntekoefficienten är 1+1/60(=61/60\approx1{,}01667). (2 p.)

Total summa efter ett år: \big(\frac{61}{60}\big)^{12} \cdot 30 \cdot 60 (siklar) ELLER \big(\frac{61}{60}\big)^{12} \cdot 30 (minor). (2 p.)

Beräknat räntans andel av summan genom att subtrahera 30 minor från den totala skulden. (1 p.)

På ett år ackumuleras 395 siklar (eller 6 minor och 35 siklar) ELLER 394 siklar (eller 6 minor och 34 siklar) och förklaring till avrundningen. (Svar med antal minor på decimalform, till exempel 6{,}58, godkänns inte.) (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna lösning

Fel räntekoefficient (till exempel \frac{1}{60} eller 1+(1-\frac{60}{61})\approx1{,}01639 ) (0+2+1+1). (max 4 p.)

Använt rätt räntekoefficient i annuitetsformeln. (2+0+0+0) (max 2 p.)

Beräknat 30\cdot q^{12} utan värde på q. (0+2+0+0) (max 2 p.)

ELLER Tabellösning.

Andra månadens ränta 30{,}5 siklar/0{,}51 minor ELLER total skuld: 31{,}01 minor. (1 p.)

Tredje månadens ränta korrekt (31{,}01 siklar eller 0{,}52 minor) ELLER den totala skulden korrekt (1891{,}51 siklar eller 31{,}53 minor). (1 p.)

Tionde månadens ränta korrekt (34{,}81 siklar eller 0{,}58 minor) ELLER den totala skulden korrekt (2123{,}53 siklar eller 35{,}39 minor). (1 p.)

På ett år ackumuleras 395 siklar (eller 6 minor och 35 siklar) ELLER 394 siklar (eller 6 minor och 34 siklar) och förklaring till avrundningen. (Svar med antal minor på decimalform, till exempel 6{,}58.) (1 p.)

Rätt beräkningsformler synliga eller en iteration förklarad. (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna lösning

Endast rätt tabell där svaret framgår (1+1+1+1+0). (max 4 p.)

Månatlig amortering av lånet (1+0+0+0+0). (max 1 p.)

Typiska anledningar att i denna uppgift ge allmänt avdrag för bristande förklaringar:
-Kolumnerna har inga namn och deras innehåll framgår inte på annat sätt.
-Månatliga räntorna/summorna avrundade till hela siklar utan förklaring.

Indexfel (1+1+1+0+2) (max 5 p.)

Sätt 2: Särskilda anvisningar

Svarets noggrannhet 3–4 gällande siffror.

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Svaret kan även ges i en massaenhet av silver.

De olika sätten bedöms enligt den tolkning som ger bättre slutpoäng.

Samma felaktiga räntesats i båda tolkningarna: poängavdrag bara en gång. (max 10 p.)

1.

Givit en polynomfunktion av grad minst 2. (Till exempel \ p(x)=x^2 eller x^2.) (1 p.)

Deriverat det givna polynomet (Till exempel \ p'(x)=2x) [1 p.]

Studerat villkoret p'(x)=1\ \ + noterat att en lösning existerar. (1+1 p.)

Studerat villkoret p'(x)=-1\ + noterat att en lösning existerar. (1+1 p.)

(p'(1/2)=1 och p'(-1/2)=-1 ELLER Markerat punkterna i grafen till derivatafunktionen med förklaring.).

Särskilda anvisningar för denna lösningen

Polynomet presenterat som en ekvation, till exempel x^2-x=1: från första raden -1 p.

Polynomet får ges på produktform, behöver inte förenklas. (-0 p.)

Givit en derivata p'(x) av grad minst ett utan formel för polynomet p(x) (0+0+1+1). (max 2 p.)

Derivaatanfunktionens graf. (+0 p.)

Deriverat något fel, men derivatan har grad minst 1. max (1+0+2+2) (max 5 p.)

ELLER (grafisk lösning)

Ritat grafen av någon polynomfunktion av grad minst 2, och uttrycket för polynomet är synligt. (Till exempel p(x)=x^2.) (1 p.)

oberoende Studerat grafen grafiskt och nämnt sambandet mellan derivatan och tangentens riktningskoefficient. (Kan även framgå i deluppgift 9.2.) (1 p.)

Grafen har två linjer som liknar tangenter, vars riktningskoefficienter ser ut att vara 1 och -1. (1+1 p.)

Riktningskoefficienten är -1 och kommando (1 p.) + riktningskoefficienten är 1 och kommando (1 p.). (1+1 p.)

2.

Uttrycket för en tredjegrads polynomfunktion har formen f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (varvid uttrycket för derivatafunktionen är f'(x)=3ax^2+2bx+c.) ELLER annan motsvarande representation såsom f(x)=ax(x-1)(x+1). (1 p.)

Ställt upp ekvationen f'(0)=100 och fått c=100. (1+1 p.)

oberoende Ställt upp ekvationerna f(1)=f(-1)=0 för det givna polynomet. (1 p.)

Fått a=-100 och b=-d (numeriska värden godkänns). (1 p.)

Noterat med noggrann förklaring, att det är möjligt. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna lösningen

Den allmänna lösningen har formen f(x)=-100x^3+bx^2+100x-b.

ELLER (exempelfunktion)

Givit ett tredjegradspolynom. (Till exempel f(x)=-100x^3+100x.) (1 p.)

Det givna polynomet uppfyller villkoren i uppgiften, och svaret är "det är möjligt". (1 p.)

OBS! Poäng kan fås från rad 3 och 4 även om polynomet inte uppfyller villkoren i uppgiften, men polynomet måste vara ett tredjegradspolynom.

Bekräftat nollpunkterna x=1 och x=-1 (2 p.)

samt villkoret f'(0)=100. (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna lösningen

Endast rätt polynom, såsom -100x^3+100x, och rätt svar "det är möjligt". (1+1+0+0) (2 p.)

Skissat en graf av en tredjegrads polynomfunktion med korrekt form och nollställen i -1 och 1, och denna graf är nästan lodrät då x=0. (kvantti) (2 p.)

Polynomet har grad \ne3. (0 p.)

Startpoäng: "Polynomet måste stiga brant i x=0." (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgift

Förklaringarna kan göras grafiskt, om kommandona är synliga.

De givna funktionerna är inte polynom. (0 p.)

Givit två exempel: bedömning enligt det sämre exemplet.

1.

oberoende Det finns \binom{99}{11}\ (=126\,050\,526\,132\,804) olika möjligheter. (1 p.)

oberoende Förklaring: Kortleken innehåller Apocalypse, så de 11 övriga korten i leken kan väljas fritt bland de 99 övriga korten i samlingen. (1 p.)

ELLER (tolkat en kortlek som en ordnad följd av kort)

oberoende Det finns 12\cdot99\cdot98\cdots89\ (=60\,378\,403\,698\,454\,928\,486\,400) olika möjligheter. (1 p.)

oberoende Förklaring: (En kortlek tolkas som en följd av kort.) Apocalypse kan förekomma på 12 olika ställen i leken. De övriga korten i följden kan väljas på 99\cdot98\cdots89 olika sätt. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgiften

99\cdot98\cdots89=5\,031\,533\,641\,537\,910\,707\,200 + ''ordning av de övriga korten''. (1 p.)

2.

Utan America Chavez är sannolikheten \frac{4}{12}\ (=\frac{1}{3})\approx33\mathrm{{,}}3\, \%, ty Korg kan vara på 12 möjliga positioner i leken. Av dessa är 4 utfall gynnsamma. (uträkning + förklaring) (1+1 p.)

Med America Chavez är sannolikheten \frac{4}{11}\approx36\mathrm{{,}}4\, \%,

to Korg kan vara på 11 möjliga positioner i leken. Av dessa är 4 utfall gynnsamma. (uträkning + förklaring) (1+1 p.)

ELLER med binomialkoefficienter

Efter den första omgången har man dragit fyra kort.

Utan America Chavez är sannolikheten \frac{\binom{11}{3}}{\binom{12}{4}}=\frac{1}{3}\approx33\mathrm{{,}}3\, \%, ty det finns \binom{12}{4} möjliga och \binom{11}{3}, gynnsamma dragningar av fyra kort, eftersom de tre övriga korten kan vara vad som helst. (sannolikhet + förklaring) (1+1 p.)

Med America Chavez är sannolikheten \frac{\binom{10}{3}}{\binom{11}{4}}=\frac{4}{11}\approx36\mathrm{{,}}4\, \%, ty det finns \binom{11}{4} möjliga och \binom{10}{3} gynnsamma dragningar av fyra kort (sannolikhet + förklaring) (1+1 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgiften

Referens till videon. (+0 p.)

Procenttalen 33\mathrm{{,}}3\, \% och 36\mathrm{{,}}4\, \% saknas: sammanlagt (-1 p.)

3.

Idé: Utan America Chavez plockar man nio slumpmässiga kort, med America Chavez plockar man åtta. (1 p.)

Utan America Chavez är sannolikheten \frac{9}{12}\ (=\frac{3}{4}=75\, \%), ty Odin kan vara på 12 möjliga positioner. Av dessa är 9 gynnsamma. (sannolikhet + förklaring) (1+1 p.)

Med America Chavez kan Odin kan vara på 11 möjliga positioner. Av dessa är 8 gynnsamma. Sannolikheten är därför \frac{8}{11}\ (\approx72\mathrm{{,}}7\, \%). (sannolikhet + förklaring) (1+1 p.)

Genom att jämföra sannolikheter som tagits fram med korrekt logik ser man, att det inte lönar sig att ta med America Chavez i kortleken. (1 p.)

ELLER med binomialkoefficienter

Idé: Utan America Chavez plockas nio kort, med America Chavez plockas åtta kort. (1 p.)

Sannolikheten utan America Chavez är därför \frac{\binom{11}{8}}{\binom{12}{9}}\ (=\frac{3}{4}=75\, \%), ty det finns \binom{12}{9} ja kombinationer av nio kort, varav \binom{11}{8} är gynnsamma. (sannolikhet + förklaring) (1+1 p.)

Sannolikheten med America Chavez är därför \frac{\binom{10}{7}}{\binom{11}{8}}\ (=\frac{8}{11}\approx72\mathrm{{,}}7\, \%), ty det finns \binom{11}{8} kombinationer av åtta kort, varav \binom{10}{7} är gynnsamma. (sannolikhet + förklaring) (1+1 p.)

Genom att jämföra sannolikheter som tagits fram med korrekt logik ser man, att det inte lönar sig att ta med America Chavez i kortleken. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgiften

Glömt de tre första korten (0+2+2+1) (max 5 p.)

4.

Man studerar sannolikheten för att de önskade korten är bland de åtta översta korten i leken. (1 p.)

Utan America Chavez har det första kortet 12 möjliga positioner och med America Chavez har det

11 möjliga positioner. Av dessa är 8 gynnsamma.

Utan America Chavez har det andra kortet 11 möjliga positioner och med America Chavez har det

10 möjliga positioner. Av dessa är 7 gynnsamma. (2 p.)

Sannolikheten utan America Chavez är därför \frac{8}{12}\cdot\frac{7}{11}\ (=\frac{14}{33}\approx42\mathrm{{,}}4\, \%) Sannolikheten med America Chavez är \frac{8}{11}\cdot\frac{7}{10}\ (=\frac{28}{55}\approx50\mathrm{{,}}9\, \%). (2 p.)

Genom att jämföra sannolikheter som tagits fram med korrekt logik ser man, att det lönar sig att ta med America Chavez i kortleken. (1 p.)

ELLER med binomialkoefficienter

Man studerar sannolikheten för att de önskade korten är bland de åtta översta korten i leken. (1 p.)

8 lyfter är till hands.

Antalet gynnsamma kombinationer av åtta kort är utan America Chavez \binom{10}{6} och med America Chavez \binom{9}{6}, ty det finns sex kort som kan vara vad som helst, och dessa kan väljas från en mängd med 10 (utan America Chavez) eller 9 (med America Chavez) kort. Det totala antalet kombinationer av åtta kort är utan America Chavez \binom{12}{8} och med America Chavez \binom{11}{8}. (2 p.)

Sannolikheten utan America Chavez är alltså \frac{\binom{10}{6}}{\binom{12}{8}}\ (=\frac{14}{33}\approx42\mathrm{{,}}4\, \%) och med America Chavez är sannolikheten \frac{\binom{9}{6}}{\binom{11}{8}}\ (=\frac{28}{55}\approx50\mathrm{{,}}9\, \%). (2 p.)

Genom att jämföra sannolikheter som tagits fram med korrekt logik ser man, att det lönar sig att ta med America Chavez i kortleken. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgiften

Glömt de tre första korten (0+2+2+1) (max 5 p.)

Sannolikheten för det andra kortet är samma som för det första kortet. (1+1+1+0) (max 3 p.)

Särskilda anvisningar för denna uppgiften

För brister i förklaringen av samma tal vid flera punkter i lösningen, ges bara avdrag en gång (till exempel nämnaren 12 eller 11).

Uppgiften kan även lösas till exempel genom att med binomialkoefficienter studera antalet kombinationer av plockade kort.

Eftersom videon använder termerna ''procent'' och ''procentenheter'' på ett otydligt sätt, ges inga avdrag för att sammanblanda dessa termer i lösningen. (-0 p.)

1.

Skatt betalas från 40 000–17 500 = 22 500 (pund), (2 p.)

så skatten som ska betalas är 22\ 500\cdot0\mathrm{{,}}28=6\ 300 (pund). (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgiften

\ 0\mathrm{{,}}28\cdot40\ 000=11\ 200 (pund). (0+1) (1 p.)

Endast räkningar (40\ 000-17\ 500)\cdot0\mathrm{{,}}28=6\ 300. (4 p.)

Endast räkningar 0{,}28\cdot22\ 500=6\ 300. (3 p.)

Räknat med den finska tabellen och fått 7207,93 (+ avrundning) (1 p.)

2. Man får tabellen:

Poäng för kolumnerna i tabellen enligt följande:

Kolumnen för total inkomst korrekt ELLER Kolumnen för beskattningsbar inkomst korrekt. (1 p.)

Procentkolumnen korrekt (28 % exakt, de övriga inom intervallen 41 % - 45 % och 55 % - 59 %). (1 p.)

Kolumnen för skatt vid nedre gränsen:

Skatten vid 50\,000 inkomst korrekt med den egna procentsatsen på det föregående intervallet (9\,100). (1 p.)

Skatten vid de högre gränserna korrekta med de egna procentsatserna (13\,300 och 24\,700). (2 p.)

Poäng för förklaringar av kolumnen för skatt vid nedre gränsen enligt följande:

Beräkningen av värdet 9\,100 framgår. (1 p.)

Beräkningen av värdet 13\,300 ELLER 24\,700 framgår. (1 p.)

Minst en av dessa beräkningar förklarad i ord. (1 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgiften

Rubrik för kolumnerna saknas eller felaktiga. Från första raden 0 p. (max 7 p.)

Det räcker att tabellen innehåller antingen total inkomst eller beskattningsbar inkomst.

Raden 0–17 500 saknas eller raden 100 000–125 000 ingår. (-0 p.)

Undersökningen kan utgå antingen från totala inkomsten eller från den beskattningsbara inkomsten.

3.

Kurvan för total skatt bryts för tidigt vid någon punkt. [1 p.]

Kurvan borde skilja sig från noll först i punkten 17 500 pund ELLER då marginalskatten skiljer sig från noll ELLER Den totala skatten börjar stiga tidigare ELLER den andra brytpunkten borde vara först vid punkten 50 000 pund. (2 p.)

En eller flera brytpunkter saknas. (1 p.)

Brytpunkt saknas vid 60 000 pund ELLER 80 000 pund. (2 p.)

Särskilda anvisningar för denna deluppgiften

"Kurvorna börjar inte i samma punkt". ELLER ''Kurvan för total skatt börjar till vänster om 0 pund''. (+0 p.)

Ett eller flera felaktiga påståenden i förhållande till frågan. (-1 p.)

Felaktiga påståenden är till exempel:

- Den totala skatten borde vara konstant på något intervall (utom det första) ELLER linjär.

- Kurvan för den totala skatten borde växa till samma nivå som kurvan för marginalskatten.

- Kurvan för den totala skatten borde i någon punkt vara avtagande.

- Punkterna där marginalskatten sjunker syns inte på den totala skatten.

Följande är ett exempel på ett svar som ger 6 poäng:
Enligt grafen betalar man skatt redan för mindre är 17 500 punds inkomst. För inkomster i intervallet 50 000–100 000 är skattesatsen olika i olika delar, inte samma överallt, så i punkterna 60 000 pund och 80 000 pund borde kurvan ändras. Dessutom borde den gula/ljusare kurvan brytas i punkten 50 000 pund. (6 p.)