Hyvän vastauksen piirteet: FI – Fysiikka

Voimala tuottaa sähköä, kun tuulen nopeus on vähintään 2,1 m/s.

Pisteytys:
On esitetty kuvankaappaus tehtävänannossa olleesta kuvasta ja merkitty siihen, mistä kohdalta kysytty tuulen nopeuden on luettu. (1 p.)

On annettu alarajana vastaus 2,1 m/s tai 2,2 m/s kahden merkitsevän numeron tarkkuudella tai yhden merkitsevän numeron tarkkuudella 2 m/s. (2 p.)

Oikeaksi vastaukseksi hyväksytään myös arvo 3,5 m/s, mikäli vastauksessa perustellaan, että tällä keskinopeudella voimala tuottaa sähköä kaikissa olosuhteissa.

Tyypillisiä virheitä:
On vastattu 2,0 m/s, joka kuvaajan perusteella antaa tehoksi 0 kW.

Voimala tuottaa sähköä suurimmalla teholla tuulen nopeuden ollessa välillä 9 m/s – 15 m/s.

Pisteytys:
On esitetty kuvankaappaus tehtävänannossa olleesta kuvasta ja merkitty siihen oikea nopeusväli tai oikea alaraja. (1 p.)

On annettu alarajana vastaus väliltä 9,0 m/s – 10,4 m/s kokonaislukuna tai yhdellä desimaalilla. (2 p.)

On annettu ylärajana vastaus 14,9 m/s, 15,0 m/s tai 15 m/s, tai todettu, että yläraja on olemassa jollain nopeudella v > 15 m/s. (1 p.)

Tyypillisiä virheitä: Vastattu 8,6 m/s, joka kuvaajan perusteella ei vielä riitä suurimmaksi tehoksi.

Voimalan tehon P vaihteluväliksi luetaan kuvaajasta 700 kW – 900 kW.

Tuotettu energia on E =P t, missä t =40 min, joten energian E vaihteluväli on 470\,\rm{kWh}-600\,\rm{kWh}\ (1,7\,\rm{GJ}-2,2\,\rm{GJ}).

Pisteytys:

On annettu tehon alarajaksi arvo väliltä 600 – 740 kW ja ylärajaksi arvo väliltä 880 – 900 kW. (2 p.)

On näytetty suureyhtälön avulla, miten tehosta saadaan laskettua energia. (1 p.)

On annettu energian alarajaksi arvo väliltä 400 kWh – 493 kWh (1,44 GJ – 1,78 GJ) ja ylärajaksi arvo väliltä 587 kWh – 600 kWh (2,11 GJ – 2,16 GJ). (2 p.) Alarajan voi ilmoittaa yhdestä kolmeen ja ylärajan kahdesta kolmeen merkitsevällä numerolla.

Tyypillisiä virheitä:

• On sisällytetty selvästi harvinaisempia tehoarvoja tyypilliseen vaihteluväliin.

• On luettu vaaka-akselia kohdasta 9 m/s.

Teho muuttuu satunnaisesti seuraavista syistä:

• Tuulen nopeus vaihtelee paikallisesti. (Tuulen nopeus voi olla erisuuruinen roottorin eri kohdissa, ja se, millä tavoin tuulen nopeus poikkeaa konehuoneen katolla mitatusta nopeudesta, vaihtelee koko ajan satunnaisesti.)

• Tuulen suunta vaihtelee hetkellisesti. (Tuulivoimalan suuntaa voidaan kääntää sen mukaan, mistä suunnasta tuulee, mutta hetkellisiin suunnan muutoksiin voimala ei reagoi. Tuulen suunnan vaihtelut 10 minuutin mittausajan sisällä ovat satunnaisia, ja mitä enemmän ja suurempia nämä vaihtelut ovat, sitä vähemmän tehoa saadaan.)

• Tuulen hetkellinen nopeus mitatun 10 min sisällä saattaa poiketa merkittävästi keskiarvosta. Koska teho on verrannollinen nopeuden kolmanteen potenssiin, tehon keskiarvo painottaa tuulen nopeuden hetkellisiä arvoja eri tavalla kuin nopeuden keskiarvo. Tämä voidaan nähdä esimerkiksi vertaamalla tasaista 10 m/s puhaltavaa tuulta ja 5 min nopeudella 8 m/s ja 5 min nopeudella 12 m/s puhaltavaa tuulta; ensimmäinen antaa keskimääräiseksi tehoksi noin 11 kW ja jälkimmäinen noin 9,5 kW.

• Ilman tiheys vaihtelee. (Lämpötilan, ilmanpaineen ja ilmankosteuden muuttuminen. Samalla nopeudella virtaavan tuulen energia muuttuu tiheyden muuttuessa. Lämpötilan tai ilmanpaineen muutokset voivat muuttaa energiatiheyttä ja tehoa jopa 10 %.)

• Lapoihin voi muodostua jäätä. (Jään muodostuminen muuttaa lapojen muotoa, mikä heikentää voimalan tehoa.)

• Lapojen päälle voi tulla vesikerros (Sateen tuoma vesikerros saa lapojen sileän pinnan muuttumaan tuulen kannalta epätasaiseksi, ja tämä vaikuttaa ilmavirtaukseen.)

Tehon muutosta eivät selitä seuraavat syyt:

• Tuulen nopeuden vaihtelu (yleisesti tai mitatun 10 minuutin sisällä), sillä tämä vaihtelu otetaan huomioon tuulen nopeuden keskiarvon mittauksella.

• Lapojen massan kasvaminen jään muodostumisen takia.

• Voimalan kuluminen, rikkoutuminen tai virhetilanteet.

Pisteytys:

Jokaisesta oikeasta syystä annetaan 1 piste. Suluissa olevia tarkennuksia ei tarvita, mutta selitys ei saa olla ristiriidassa niiden kanssa.

Mikäli vastauksessa on annettu useampi kuin kolme syytä, luetaan kolme vähiten pisteitä antavaa.

Tyypillisiä virheitä:

• On ajateltu keskiarvon ottamisen synnyttävän virhettä ja sen kautta vaihtelua tulokseen.

• Vastauksessa tuulen suunnasta ei käy ilmi, että tarkoitetaan tuulen suunnan hetkellisiä vaihteluja, joihin ei voida reagoida kääntämällä voimalaa tuulen suunnan mukaan.

• On vastattu tuulen nopeuden muuttuvan mittausajan kuluessa tai tuulen voivan olla puuskittaista ottamatta kantaa siihen, miten nopeuden keskiarvon laskemisesta huolimatta tehosta tulee erilainen.

• On perusteltu eroja voimalan kulumisella tai hyötysuhteella.

Kapselissa vallitsee dynaaminen tasapaino neste- ja kaasufaasien välillä. Paine on tällöin kylläisen hiilidioksidihöyryn paine kyseisessä lämpötilassa. Paine voidaan lukea faasikaaviosta höyrystymiskäyrältä, neste- ja höyryfaasien rajalta. Paine 22 °C:n lämpötilassa on 60 bar = 6,0 MPa.

Pisteytys:

On viitattu oikeaan käyrään faasikaaviossa sanallisesti tai lisäämällä merkintä kaavioon. (1 p.)

On annettu vastaukseksi 60 bar tai 6,0 MPa yhden tai kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. (2 p.)

Tyypillisiä virheitä:

Luettu logaritmiasteikkoa väärin.

Kun kapseli puhkaistaan, paine sen sisällä laskee pienemmäksi kuin kylläisen höyryn paine. Tällöin nestettä höyrystyy enemmän kuin sitä tiivistyy.

Vaihtoehtoinen selitys: Faasikaavion höyrystymiskäyrältä nähdään, että kun hiilidioksidin paine laskee 6,0 MPa:n alapuolelle, painetta vastaava kiehumispiste laskee huoneenlämpötilan alapuolelle ja neste alkaa kiehua.

Pisteytys:

On kerrottu, että paine laskee, kun kapseli puhkaistaan. (2 p.)

On selitetty lopputila käyttäen käsitteitä kylläisen höyryn paine tai kiehumispisteen laskeminen tai kuvattu lopputilan paine ja lämpötila suhteessa faasikaavioon. (1 p.)

Höyrystyminen vaatii lämpöenergiaa. Videon tilanteessa höyrystyminen tapahtuu niin nopeasti, että lämpöenergiaa ei ehdi siirtyä ympäristöstä kiehuvaan nesteeseen samalla teholla kuin energiaa kuluu nesteen höyrystymiseen. Tällöin suuri osa höyrystymiseen tarvittavasta energiasta on peräisin nesteen sisäenergiasta, mikä ilmenee nesteen lämpötilan ja sen kanssa termisessä kontaktissa olevan kapselin lämpötilan laskuna. (Faasikaaviolla muutosta ei voi perustella, sillä kaavio on voimassa vain tasapainotilassa.)

Pisteytys:

On mainittu, että höyrystyminen vaatii lämpöenergiaa tai että höyrystyminen on endoterminen tapahtuma. (2 p.)

On mainittu, että energia on peräisin hiilidioksidista tai kapselista. (1 p.)

Lopputilanne:

Ideaalikaasun tilanyhtälö: p V =n R T

m =8,0 g T =22,0 ^@C =295,2 K

Normaali-ilmanpaine: p =101.325 Pa

Kaasuvakio: R =8,314510 Pa *m^3 /(mol *K)

Hiilidioksidin moolimassa on

M =M(C) +2 *M(O) =(12,0 +2 *16,0) g/mol =44,0 g/mol

Ideaalikaasun tilanyhtälöstä saadaan tilavuudeksi

V =n R T /p =(m /M) *R T /p =((8,0 g) /(44,0 g/mol)) *(8,314510 Pa *m^3 /(mol *K)) *(295,2 K) /(101.325 Pa) =0,004404 m^3 ≈4,4 L

Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää hiilidioksidin tiheyden taulukkoarvoa 1,97-1,98 kg/m³ lämpötilassa T₀ = 273,15 K ja paineessa p = 1 atm. Tällöin vakiopaineessa ideaalikaasun tilanyhtälöstä saadaan

V /T =V_0 /T_0,

ja tilavuus on

V =m T /(~r T_0) =(8,0 g *295,2 K) /(1,97 kg/m^3 *273,2 K) ~~4,4 L

Pisteytys:

On ratkaistu tehtävä suureyhtälöitä käyttäen ja annettu vastaukseksi 4,4 litraa yhdellä, kahdella tai kolmella merkitsevällä numerolla. (4 p.)

Jos oikean vastauksen sisältävässä ratkaisussa ei ole suureyhtälöitä, vähennetään kaksi pistettä.

Jos vastaus on väärin, moolimassaan perustuvassa ratkaisussa hiilidioksidin oikeasta moolimassasta saa yhden pisteen ja oikeasta tilavuuden lausekkeesta yhden pisteen. Hiilidioksidin tiheyteen perustuvassa ratkaisussa oikeasta tilavuuden lausekkeesta saa kaksi pistettä.

Tyypilliset virheet:

On käytetty massaa ainemäärän asemesta.

On käytetty hiilidioksidin tiheyttä huomioimatta lämpötilan arvoa.

Kiitoradalla liikkuvan lentokoneen kiihtyvyyden pystysuora komponentti on nolla. Kyseisessä suunnassa pätee siis tasapainoehto N +F_nosto -G =0, jossa N on pinnan tukivoima, F_nosto ilman nostovoima ja G painovoima. Koneen nopeuden kasvaessa nostovoima kasvaa ja pinnan tukivoima pienenee. Koneen irtoaminen maasta tapahtuu hetkellä, jolloin N =0. Tästä seuraa, että kyseisellä hetkellä F_nosto =G. Sijoitetaan tähän tehtävänannossa esitetty nostovoiman lauseke ja G =m g, jossa m =68.000 kg ja g =9,81 m/s^2. Näin saadaan

c_nosto A *(1/2) ~r v^2 =m g

jossa c_nosto =1,8 on siipien muotokerroin, A =125 m^2 siipien kokonaispinta-ala, ~r ilman tiheys ja v lentokoneen nopeus irtoamishetkellä. Ratkaistaan koneen nopeuden neliö irtoamishetkellä:

v^2 =2 m g /(c_nosto A ~r)

Koska lentokoneen alkunopeus on nolla ja liike tasaisesti kiihtyvää, on koneen loppunopeus v =a t, jossa a =1,5 m/s^2 on koneen kiihtyvyys ja t kiihdytysaika. Kiihdytysmatka on vastaavasti s =a t^2 /2. Eliminoimalla näistä t ja ratkaisemalla matka saadaan s =v^2 /(2 a). Sijoitetaan tähän edellä johdettu nopeuden neliön lauseke. Kiihdytysmatkaksi saadaan

s =m g /(c_nosto A ~r a).

Pisteytys:

• On todettu pystysuunnassa vallitseva voimatasapaino sanallisesti tai perusteltu pystysuuntaisten voimien keskinäinen riippuvuus Newtonin II lailla. (1 p.)

• On todettu, että tukivoima menee nollaan irtoamishetkellä. (1 p.)

• On esitetty voimatasapaino pystysuunnassa yhtälönä, jossa näkyvät voimien lausekkeet. (2 p.)

• On esitetty tarvittavat kinematiikan yhtälöt. (2 p.)

• On annettu lauseke vaaditussa ja loppuun asti supistetussa muodossa. (2 p.)

Tyypillisiä virheitä:

• On väitetty, että lentokoneen irrotessa kiitoradalta nostavan voiman pitää olla suurempi kuin koneen paino. Koneen irtoamiseen riittää pystysuora tasainen liike ilman kiihtyvyyttä.

• On käytetty vakionopeudella liikkuvan kappaleen kulkemaa matkaa.

• On annettu lopputuloksena supistamaton lauseke.

Helsinki-Vantaan lentoasemalla ilman tiheys on ~r =1,25 kg/m^3, jolloin kiihdytysmatka on s =1581 m ~~1600 m.

Pisteytys: On annettu oikea vastaus kahdesta kolmeen merkitsevän numeron tarkkuudella. (2 p.)

Määritetään ilman tiheys Changdu Bangdan lentoasemalla.

Ideaalikaasun tilanyhtälössä p V =n R T on p =0,60 bar =0,60 *10^5 Pa, V, n ja T =(-10 ^@C +273) K =263 K vastaavasti ilman paine, tilavuus, ainemäärä ja absoluuttinen lämpötila ja R =8,31 J/(mol K) moolinen kaasuvakio. Sijoitetaan tilanyhtälöön n =m_i /M =~r V /M, jossa m_i ja M =29 g/mol =0,029 kg/mol ovat vastaavasti ilman massa ja moolimassa, ja ratkaistaan ilman tiheys: ~r =p M /(R T) =0,7961 kg /m^3. Sijoittamalla tämä edellä johdettuun kiihdytysmatkan lausekkeeseen saadaan s =2483 m ~~2500 m.

Moolimassan voi arvioida ilman koostumuksesta, joka löytyy koejärjestelmän taulukkoaineistoista, tai soveltamalla tietoa M =R T ~r /p dataan, joka löytyy koejärjestelmän taulukkoaineistoista Ilmakehän ominaisuuksia. Vielä yksi tapa arvioida ilman tiheyttä on todeta, että tilanyhtälön perusteella suhde r =~r /~r' =(n /V) /(n' /V') =(p /T) /(p' /T'), jossa pilkulliset suureet vastaavat osatehtävän 4.2 tilannetta, jolloin vastaus on r kertaa osatehtävän 4.2 vastaus.

Pisteytys:

On käytetty ideaalikaasun tilanyhtälöön perustuvaa tapaa ilman tiheyden laskemiseen tai sen arvon korjaamiseen vastaamaan tehtävän olosuhteita. (2 p.)

On annettu ilman tiheyden arvo välillä 0,74 kg/m^3 -0,82 kg/m^3. (2 p.) Tiheyden arvoksi kelpaa taulukkokirjan arvo 4 km korkeudessa tai tiheyden arvon interpolointi taulukkokirjan arvojen avulla lähemmäs oikeaa korkeutta ja ilmanpainetta.

On annettu oikea lopputulos kahdesta kolmeen merkitsevän numeron tarkkuudella välillä 2400 m – 2700 m. (1 p.)

Tyypillisiä virheitä: On käytetty osatehtävässä 4.1 vakionopeudella kuljettua matkaa suureyhtälön johtamisessa ja saatu kaksinkertainen matka. Ratkaisusta voi saada pisteet tilanyhtälön käyttämisesta ja ilman tiheyden arvosta.

Kynnysjännitettä suuremmilla jännitteillä LED johtaa sähköä erittäin hyvin, mutta se kestää vain rajallisen sähkövirran. LEDi ei rajoita sähkövirran kasvua ja ilman vastusta piirissä oleva virta kasvaisi helposti suureksi ja rikkoisi LEDin.

Pisteytys:

On mainittu, että LED ei rajoita virtaa tai että vastus rajoittaa virtaa. (2 p.)

On mainittu, että liian suuren virran kulkiessa LEDin läpi se rikkoutuu. (1 p.)

Tyypillisiä virheitä:

On väitetty, että ilman vastusta syntyy oikosulku.

On väitetty, että vastus rajoittaa jännitettä.

Väitetään LEDin palavan ottamatta kantaa tarkoitetaanko tällä LEDin rikkoutumista vai valon tuottamista.

Kynnysjännitteellä tarkoitetaan LEDissä tapahtuvaa potentiaalihäviötä tilanteessa, jossa LED johtaa sähköä. Tämä potentiaalihäviö riippuu vain vähän LEDin läpi kulkevasta sähkövirrasta ja sitä pidetään usein laskuissa vakiona.

Kirchhoffin jännitelain mukaan virtapiirin mitattu kokonaisjännite on kynnysjännitteen U₀ ja vastuksessa tapahtuvan potentiaalihäviön RI summa

U = U₀ + RI.

Kuvan kuvaajan nousevaan, lineaariseen osaan sovitetun suoran yhtälö on siten

I = (U − U₀)/R.

Jännitehäviö koko piirissä on kynnysjännitteen suuruinen, kun I = 0, eli kynnysjännite voidaan lukea suoralta kohdasta, jossa suora leikkaa U-akselin. Kuvaajan merkintöjen mukaisesti kynnysjännite on noin 1,9 V.

Vaihtoehtoinen vastaus:

Kynnysjännitteellä tarkoitetaan pienintä myötäsuuntaista jännitettä, jolla LED johtaa sähkövirtaa havaittavasti. Piiriin siis syntyy sähkövirta, kun LEDin jännite on vähintään kynnysjännitteen suuruinen.

Tehtävässä mitataan LEDin jännitteen ja vastuksen napajännitteen summaa. Kun kokonaisjännite on kynnysjännitteen suuruinen, havaitaan pieni sähkövirta. Tällöin potentiaalihäviö vastuksessa on hyvin pieni, joten mitattu jännite on lähes yhtä suuri kuin kynnysjännite. Kynnysjännite voidaan siis lukea kohdasta, jossa kuvaaja alkaa nousta.

Kuvaajan merkintöjen mukaisesti kynnysjännite on noin 1,5 V.

Kynnysjännitteen voi määritellä kahdella eri tavalla. Vastauksena voi antaa kumman tahansa.

Pisteytys:

On kerrottu, että kynnysjännite on LEDin jännitehäviö sen johtaessa sähkövirtaa tai virran nousua kuvaavan suoran ja U-akselin leikkauskohta (3 p.) ja annettu kynnysjännitteen arvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella väliltä 1,8 V – 2,0 V. (2 p.)

Vaihtoehtoisesti on kerrottu, että kynnysjännitteen kohdalla, että LEDi alkaa johtaa tai sähkövirta LEDin läpi on nollaa suurempi (3 p.) ja annettu kynnysjännitteen arvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella väliltä 1,4 V – 1,5 V. (2 p.)

Näiden lisäksi on kummallekin kynnysjännitteen arvolle on määritelmiksi hyväksytty väitteet, että LEDi alkaa valaista tai toimia.

Mikäli määritelmä ja lukuarvo ovat ristiriidassa, annetaan pisteet ainoastaan lukuarvosta.

Mikäli kuva puuttuu tai on ristiriidassa joko lukuarvon tai perustelun kanssa, annetaan osatehtävästä korkeintaan 2 pistettä.

Kynnysjännitettä suuremmilla jännitteillä piirin jännitehäviön muutos johtuu ainoastaan piirissä olevasta vastuksesta, joka noudattaa Ohmin lakia. Kuvaajassa tämä vastaa aluetta, jossa sähkövirta kasvaa lineaarisesti jännitteen funktiona.

Sähkövirran yhtälö on

I = (U – U₀)/R = U/R – U₀/R.

Vastuksen resistanssi on siis sovitetun suoran kulmakertoimen käänteisluku. Luetaan arvot kuvaajasta ja lasketaan niiden avulla vastuksen resistanssi:

R = ΔU/ΔI = (2,5 V – 1,9 V)/(12,7 mA – 0,0 mA) = 47,24 Ω ≈ 47 Ω.

Pisteytys:

On käytetty Kirchhoffin jännitelain mukaista yhtälöä virtapiirille tai käytetty lineaarista osaa myötäilevän suoran kulmakerrointa tai käytetty kahta lineaarisella alueella olevaa mittauspistettä. (2 p.)

Annettu oikeana vastauksena yhden tai kahden merkitsevän numeron tarkkuudella arvo 39\ \Omega-\ 60\ \Omega. (3 p.)

Tyypillisiä virheitä:

Laskettu Ohmin lailla vastus käyttäen pelkästään mittauksen viimeistä datapistettä.

Pisteytys:

On esitetty oikea magneettivuontiheyden kuvaaja ajan funktiona. (4 p.)

Kuvaajasta tehdään seuraavat pistevähennykset:

Jos on piirretty pylväsdiagrammi tai yksi tai useampi datapiste puuttuu kuvaajasta, annetaan kuvaajasta nolla pistettä.

Jos on piirretty pelkkä murtoviiva, vähennetään kaksi pistettä.

Jos kuvaajaan on piirretty sovite, vähennetään kaksi pistettä.

Jos yhden tai molempien akseleiden lukuarvot puuttuvat tai ovat väärin, vähennetään yksi piste.

Jos yhden tai molempien akseleiden suureen nimi puuttuu tai ovat väärin, vähennetään yksi piste.

Jos yhden tai molempien akseleiden suureen yksikkö puuttuu tai ovat väärin, vähennetään yksi piste.

Jos akselit on piirretty väärin päin, vähennetään kaksi pistettä.

Auringosta lähteneet varatut hiukkaset muuttivat paikallista magneettikenttää. Muuttuva magneettivuo johdinsilmukan läpi indusoi lähdejännitteen. Lennätin perustuu sähköisiin signaaleihin, jotka kulkevat sähköjohdoissa. Koska lennätinjärjestelmissä oli pitkiä sähköjohtoja, niistä muodostui pinta-alaltaan suuria silmukoita. Siksi johtoihin indusoitui suuria jännitteitä ja sitä kautta suuria virtoja. Osatehtävässä piirretystä kuvaajasta havaitaan, että pystysuora magneettivuon tiheys muuttuu erityisen jyrkästi, kun t = 1150 min. Nimenomaan pystysuora magneettikenttä läpäisee Maan pinnan tasossa olevan johdinsilmukan, joten sen muutos aiheutti induktiojännitteen lennätinjohdoista muodostuviin silmukoihin.

Pisteytys:

On selitetty, että Auringosta tulevat liikkuvat, varatut hiukkaset muuttavat magneettikenttää, magneettivuota tai magneettivuontiheyttä. (2 p.)

On selitetty, että muuttuva magneettikenttä, -vuo tai -vuontiheys aiheuttaa induktiojännitteen tai induktiovirran lennätinjohdinten muodostamassa silmukassa. (2 p.)

On selitetty, että magneettivuontiheyden muutosnopeus on suurin hetkellä 1150 minuuttia. (1 p.)

Tyypillisiä virheitä:

On selitetty, että varatut hiukkaset vuorovaikuttavat sähköisesti lennätinjohtojen tai lennätinsignaalien kanssa.

On selitetty, että roihupurkaukseen liittyvä sähkömagneettinen säteily aiheuttaa häiriöt.

On tunnistettu magneettivuontiheyden arvossa tapahtuva muutos 1150 minuutin kohdalla, mutta ei kytketty siihen muutoksen nopeutta.

Kuvaajan perusteella suurin magneettivuon tiheyden muutosnopeus oli noin hetkellä 1143–1155 minuuttia. Sovitetaan tälle välille suora.

Suorasovitteen perusteella suurin magneettivuon tiheyden muutosnopeus on

dB_z/dt = −9,092 nT/min = −0,15153 nT/s.

Indusoitunut lähdejännite on

e = −dφ/dt = −A dB_z/dt,

jossa A on silmukan pinta-ala.

Koska jännite e = IR ja resistanssi R = ρL, jossa L on johtimen pituus, suurin virta on

I = − (dB_z/dt)·(A/ρL) = 0,26 A.

(Sovitus alueelle 1139–1168 min antaa –7,07 nT/min ja 0,20 A. Suurin kahden pisteen välinen erotus antaa –9,72 nT/min ja 0,28 A.)

Pisteytys:

On näytetty suorasovitus alueelle, jonka alaraja on >1150 min. (2 p.)

Faradayn laki on kytketty magneettivuontiheyden muutokseen. (2 p.)

On annettu vastaukseksi 0,19 A - 0,28 A kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (2 p.)

Tyypillisiä virheitä:

Magneettivuontiheyden muutosnopeus on määritetty tangenttityökalulla.

Aktiivisuuden yhtälö:

A(t) =A_0 e^(-~l t)

Puoliintumisajan t =T_1/2 kohdalla aktiivisuus on A_0 /2 joten

A(T_1/2) =A_0 e^(-~l T_1/2) =A_0 /2

e^(-~l T_1/2) =1/2

-~l T_1/2 =-ln 2

T_1/2 =ln 2 /~l .

Pisteytys:

On esitetty puoliintumisajan sijoitus aktiivisuuden yhtälöön. (2 p.)

On esitetty logaritmin ottaminen ja saatu oikea vastaus. (2 p.)

Tyypillisiä virheitä:

On haettu taulukosta yhteys puoliintumisajan ja hajoamisvakion välille.

On käytetty solveria yhtälön ratkaisemiseen ja jätetty kirjoittamatta yhtälön johtamisen välivaiheita.

Jos alkuperäinen aktiivisuus on A_0, uusi aktiivisuus saadaan yhtälöstä A(T) =A_T =A_0 e^(-~l T), missä T =7,0 d Aktiivisuuksien suhde on R =A_T /A_0 =e^(-~l T) Sijoitetaan ~l =ln 2 /T_1/2 ja otetaan luonnollinen logaritmi, jolloin saadaan ln R =-ln 2 T /T_1/2 Tästä voidaan ratkaista puoliintumisaika:

T_1/2 =-ln 2 T /(ln R) =-ln 2 T /ln(A_T /A_0) [TAI: T_1/2 =+ln 2 T /ln(A_0 /A_T)]

Sijoittamalla lähteen L_A annetut aktiivisuusarvot saadaan T_(1/2, A) ~~215,906 d ~~220 d.

Vastaavasti lähteelle L_B saadaan T_(1/2, B) ~~0,66346 d ~~0,66 d ~~16 h

Pisteytys:

On esitetty ratkaistu suureyhtälö tai suureyhtälöketju puoliintumisajalle. (3 p.)

Näytteen A puoliintumisajaksi on annettu 220 päivää kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (2 p.)

Näytteen B puoliintumisajaksi on annettu 16 tuntia kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (2 p.)

Aktiivisuuden A ja radioaktiivisten ytimien lukumäärän N yhteys on A =~l N =(ln 2 /T_1/2) N. Näin ollen ytimien lukumäärien suhde saadaan aktiivisuuksien suhteesta seuraavasti:

A_A /A_B =(N_A T_(1/2, B)) /(N_B T_(1/2, A)) N_A /N_B =(A_A T_(1/2, A)) /(A_B T_(1/2, B))

Sijoittamalla lukuarvot saadaan ytimien lukumäärien suhde alussa

N_A /N_B =(A_A T_(1/2, A)) /(A_B T_(1/2, B)) =(4,5 MBq *215,906 d) /(4,5 MBq *0,66346 d) ~~330.

Pisteytys:

On annettu ratkaistu suureyhtälö ydinten lukumäärälle tai lukumäärien suhteelle sekä lähtöarvot. (2 p.)

Vastaukseksi on annettu 320-330 tai 0,0030-0,0031 kahden tai kolmen merkitsevät numeron tarkkuudella. (2 p.)

Nestemäinen virtaava laava jäähtyy ensin laavan sulamispisteeseen vapauttaen lämpömäärän Q_1 =c_1 m ~DT_1 minkä jälkeen se jähmettyy ja muuttuu kiinteäksi vapauttaen lämpömäärän Q_2 =s m

Laavasta pois siirtyvä kokonaislämpömäärä on

Q =Q_1 +Q_2 =c_1 m ~DT_1 +s m =2.168.968 kJ

jossa m =~r V =2900 kg on laavan massa, c_1 =1,120 kJ /(kg K) on nestemäisen basaltin ominaislämpökapasiteetti, ~DT_1 =1200 ^@C -984 ^@C =216 ^@C on lämpötilaero ja s =506 kJ/kg on basaltin ominaissulamislämpö.

Lämpömäärä siirtyy johtumalla pois laavasta keskimääräisellä teholla 15 kW, jolloin tehon kaavasta P =Q /t voidaan laskea laavan virtausaika t =Q /P =144.597,87 s Virtausmatka voidaan laskea virtausnopeuden 0,25 m/s avulla: x =v t =v Q /P =(v (c_1 m ~DT_1 + s m)) /P =36.149,47 m ~~36 km.

Pisteytys:

On annettu suureyhtälöt jäähtymisen lämmölle ja jähmettymisen lämmölle ja käytetty niitä oikein. (3 p.)

On ratkaistu suureyhtälö laavan kulkemalle matkalle lämmön avulla. (2 p.)

On annettu oikea lopputulos yhden tai kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. (2 p.)

Tyypillisiä virheitä:

On annettu matkaksi noin 12 km tai 24 km. Ensimmäisessä puuttuu sulamislämpö ja jälkimmäisessä jäähtymislämpö. Pisteitä voi saada vain matkan suureyhtälöstä.

On annettu matkaksi noin 13 km tai 51 km. Ensimmäisessä laskettu jäähtyminen energiaa sitovaksi prosessiksi ja jälkimmäisessä muunnettu lämpötilan muutoksen yksikkö Celscius-asteista Kelvineiksi väärin. Pisteitä voi saada vain matkan suureyhtälöstä.

Laavan korkeimmissa lämpötiloissa lämmönsiirtymistavan A lämpövirran tiheys (y-akselilla) on ympäristöstä riippumatta melkein yhtä suuri kaikissa tilanteissa.

Lämmön siirtyminen säteilemällä on vahvasti riippuvainen lämpötilasta (\sim T^4), jolloin ympäristön paljon matalampi lämpötila ei vaikuta kokonaislämpövirran tiheyteen yhtä paljon kuin laavan tai kiviaineksen korkea lämpötila. Näin ollen lämmönsiirtymistapa A on lämmön siirtyminen säteilyllä.

Laavan lämpötilasta riippumatta lämmönsiirtymistavan B lämpövirran tiheys (x-akselilla) on vahvasti riippuvainen ympäristöstä.

Lämmön siirtyminen kuljettumalla on vahvasti riippuvainen väliaineesta, kun lämpö siirtyy liikkuvan aineen mukana. Tiheämmissä väliaineissa, kuten vedessä, lämpö siirtyy helpommin kuin esimerkiksi ilmakehän kaasuissa. Pienempien taivaankappaleiden pinnoilla, jossa ympäristö on lähes tyhjiö, kuljettuminen on lähes olematonta. Näin ollen lämmönsiirtymistapa B on lämmön siirtyminen kuljettumalla.

Pisteytys:

On tunnistettu A lämpösäteilyksi (1 p.) ja B kuljettumiseksi. (1 p.)

On tunnistettu, että lämpösäteily on yhtä voimakasta kaikissa ympäristöissä (1 p.) ja lämpötilan nouseminen kasvattaa lämpösäteilyn lämpövirtaa. (1 p.)

On tunnistettu, että väliaine vaikuttaa kuljettumiseen (1 p.) ja lämpötilan nouseminen kasvattaa kuljettumisen lämpövirtaa. (1 p.)

Kuvaajan mukaan lämmönsiirtymistavan A lämpövirran tiheys on noin q_s=260\,\rm{kW/m}^2 ja lämmönsiirtymistavan B lämpövirran tiheys on noin q_k=11\,\rm{kW/m}^2.

Tehtävänannossa annetaan johtumisen aiheuttama lämpövirran tiheys, joka on q_j=12\,\rm{kW/m}^2. Kaikkien lämmönsiirtymistapojen yhteenlaskettu lämpövirran tiheys on q=q_j+q_k+q_s=283\,\rm{kW/m}^2\approx 280\,\rm{kW/m}^2.

Lämpövirran tiheys on lämpövirta pinta-alayksikköä kohden. Lämmönsiirtymistapojen lämpömäärien ja lämpövirtojen suhde on näin ollen verrannollinen lämpövirtojen tiheyden suhteeseen eli \frac{Q_j}{Q}\sim\frac{H_j}{H}\sim\frac{q_j}{q}=\frac{12\,\rm{kW/m}^2}{283\,\rm{kW/m}^2}=0,04240\approx 4,2\,\%.

Ainoastaan 4,2 % lämpömäärästä siirtyy johtumalla.

Pisteytys:

On annettu lämpövirran A tiheys, joka on suurempi kuin 200 kW/m² mutta pienempi kuin 300 kW/m². (1 p.)

On annettu lämpövirran B tiheys, joka on suurempi kuin 10 kW/m² mutta pienempi kuin 20 kW/m². (1 p.)

On laskettu kysytty osuus käyttäen kolmea lämpövirtaa ja annettu lopputulos väliltä 3,6 % – 5,4 %. (2 p.)

Tyypillisiä virheitä:

On luettu lämpövirta logaritmiselta asteikolta väärin ja annettu 200 kW/m² tai 10 kW/m².

Lämpö johtuu basaltissa huonosti, joten lämmön siirtyessä tehokkaasti pois laavasta kuljettumalla tai säteilemällä laavan pinta jäähtyy nopeammin kuin laavan sisällä oleva nestemäinen basaltti.

Nopeasti virtaava laava sekoittuu videon perusteella paremmin kuin hitaasti virtaava laava, eli lämpö siirtyy laavan sisällä kuljettumalla, jolloin nopeasti virtaavan laavan pinta pysyy kuumana pidemmän ajan. Hitaasti virtaavan laavan pinnalle syntyy tummia kiinteitä basalttilaattoja, joiden lämpötila on huomattavasti matalampi. Lämpö siirtyy kuljettumalla tai säteilyllä hitaammin pois tästä kylmemmästä pinnasta, joten lopullinen lämpövuo on näin ollen pienempi hitaasti virtaavasta laavasta.

Pisteytys:

On kerrottu, että laavan yläpinnalle muodostuu eristävä kerros (2 p.), joka vähentää lämmön säteilemistä tai kuljettumista. (1p.)

Tyypillisiä virheitä:

On kerrottu laavan alapinnalle muodostuvasta eristävästä kerroksesta.

Spektri 5 sekunnin mittausajalla:

Spektri 100 sekunnin mittausajalla:

Näytteestä lähteneitä ja ympäristöstä tulevia gammafotoneja osuu harvakseltaan ilmaisimeen satunnaisille energioille. Vasta riittävän pitkällä mittausajalla jokaisella energia-alueella havaitaan fotoneita.

Pisteytys:

On esitetty oikea ajatus siitä, että mittausajan kasvaessa ilmaisin havaitsee enemmän gammafotoneja. (2 p.)

On kuvattu radioaktiivisen hajoamisen tai gammafotonin energian satunnaisuutta vastauksen kontekstissa. (1 p.)

Mittausajan on edellisen osatehtävän perusteella oltava riittävän pitkä. Valitaan mittausajaksi t=1000\,\rm{s}. Pelkkää taustasäteilyä mitattaessa havaitaan koko spektrin alueelle osuneen 19 743 gammafotonia. Kun näyte asetetaan ilmaisimen eteen, havaitaan samassa ajassa 25 872 fotonia. Näytteestä tulevia fotoneja oli N_{\rm n\ddot{a}yte}-N_{\rm tausta} = 25872-19743=6129.

Ilmaisimeen osuu sekunnissa näytteestä peräisin olevia gammafotoneja keskimäärin N_{\rm n\ddot{a}yte}/t=6,1\,\rm{kappaletta}.

Pisteytys:

On kerrottu tai näytetty kuvankaappauksella, että käytetty mittausaika on suurempi kuin 10 s. (2 p.)

Taustasäteily on vähennetty. (1 p.)

On käytetty yli 10 s mittausaikaa ja annettu yhdestä kolmeen merkitsevällä numerolla lopputulos välillä 5,9 – 6,4 kappaletta sekunnissa. (2 p.)

Tyypillisiä virheitä:

On mitattu vain yhden sekunnin ajan.

On jätetty taustasäteilyn osuus vähentämättä ja saatu 9 tai noin 25 kappaletta sekunnissa.

Edellisessä osatehtävässä ajassa t=1000\,\rm{s}. havaitaan näytteestä peräisin olevia fotoneja N_1=6184 kappaletta. Asetetaan ilmaisimen ja näytteen väliin 1 mm:n paksuinen lyijylevy. Tällöin näytteen kanssa havaitaan N=21226 fotonia koko spektrin alueella, taustan pysyessä muuttumattomana. Siten lyijylevyn läpi kulki N_2=N-N_{\rm tausta} = 1483 fotonia.

Lyijylevyyn absorboituneiden fotoneiden osuus on (N_1-N_2)/N_1=(6129-1483)/6129\approx 0,\!76.

Pisteytys:

On mainittu mitattu fotonien määrä lyijylevyn kanssa tai näytetty sitä kuvaava kuvankaappaus. (2 p.)

On käytetty yli 10 s mittausaikaa ja annettu absorboituneiden fotonien osuus väliltä 70 % – 80 %. (3 p.) Mikäli vastauksena on annettu lyijylevyn läpäisy ja kerrottu sen suuruudeksi 20 % – 30 %, voi saada kaksi pistettä.

Tyypillinen virhe: Unohdettu vähentää taustasäteilyn osuus ja saatu tulokseksi 18 %.

340–350 keV:n alueella mittausajassa t=1000\,\rm{s} tausta on 352 gammafotonia. Näytteen kanssa havaitaan yhteensä N_a=1863 fotonia. Kun näytteen ja ilmaisimen väliin asetetaan 2,0 mm lyijyä, havaitaan samassa mittausajassa N_b=1123 fotonia. Heikennyslain mukaan intensiteetti vaimenee väliaineessa I=I_0e^{-\mu d}, missä \mu on heikennyskerroin ja d on väliaineen paksuus. Heikennyslaista seuraa, että \mu=-(1/d)\ln(I/I_0) .

Ilman lyijyvaimenninta näytteen gammafotoneita havaitaan N_0=N_a-N_{\rm tausta} = 1511 ja lyijyvaimentimen kanssa N=N_b-N_{\rm tausta} = 771.

Siten heikennyskerroin 344 keV:n gammasäteilylle on \mu=-\frac{1}{2,0\,\rm{mm}}\,\ln(\frac{771}{1511})\approx 0,336 /\rm{mm}.

Pisteytys:

On annettu ratkaistu suureyhtälö heikennyskertoimelle tai esitetty simulaation tulosten perusteella piirretty (x,I) -graafi, jossa näkyy eksponentiaalista riippuvuutta kuvaava sovite. (2 p.)

On kerrottu että intensiteetti ja fotonien lukumäärä ovat suoraan verrannollisia. (2 p.)

On annettu oikea vastaus kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella välillä 310 m^-1 – 370 m^-1. (3 p.)

Tyypillinen virhe: Unohdettu vähentää taustasäteilyn osuus ja saatu tulokseksi 260 m^-1.

Paineen muutosta putken pituuden funktiona esittävässä kuvaajassa mittauspisteet asettuvat hyvin suoralle yhtä pistettä lukuun ottamatta. Tämä on kysytty virheellinen mittauspiste. Muissa mittausaineistoissa ei ole havaittavissa yhtä selviä poikkeamia.

Pisteytys:

On tunnistettu aineisto 11.B. (2 p.)

On esitetty kuvaaja, johon on merkitty virheelliseksi tunnistettu piste. (2 p.)

Jos vastauksessa on esitetty useampia kuin yksi graafi tai graafiin on merkitty useampia kuin yksi piste, arvostellaan huonoin vastaus.

Jos graafisessa esityksessä pisteet on yhdistetty murtoviivalla, mittaustulokset esitetty pylväsdiagrammina tai aineisto akseleilla olevien tietojen puuttumisen vuoksi ei ole tunnistettavissa, voi osatehtävästä saada enintään kaksi pistettä.

Tyypillinen virhe: Annettuun kuvaajaan ei ole merkitty virheellistä pistettä.

Tutkitaan paineen muutokseen vaikuttavien tekijöiden riippuvuuksia piirtämällä kuvaajat kaikista mittausaineistoista.

Graafisista esityksistä voidaan päätellä seuraavat riippuvuudet:

Δp ~ L

Δp ~ v²

Δp ~ 1/D

(T, Δp) -kuvaajassa mittauspisteiden arvot ovat hyvin lähellä toisiaan. Arvojen vähäisen, satunnaiselta vaikuttavan vaihtelun voi tulkita johtuvan mittausten pienistä epätarkkuuksista. Paineen muutos ei siis näiden mittaustulosten perusteella riipu lämpötilasta.

Yhdistetään havaitut paineen alenemaan vaikuttavat tekijät yhdeksi lausekkeeksi, jolloin saadaan riippuvuus Δp ~ v²L/D.

Pisteytys:

Annettu oikea paine-eron riippuvuus pituudesta. (2 p.)

Annettu oikea paine-eron riippuvuus halkaisijasta. (2 p.) Myös riippuvuus Δp ~ D^-0,996 kelpaa.

Annettu oikea paine-eron riippuvuus nopeudesta. (2 p.) Myös riippuvuus Δp ~ Av² + Bv + C kelpaa.

Kerrottu, että paine-ero ei riipu lämpötilasta. (2 p.)

Annettu oikea yhdistetty lauseke. (4 p.)

Graafisia esityksiä ei vaadittu.

Pelkät kuvankaappaukset piirretyistä graafeista eivät riitä, eivät myöskään geneerisessä muodossa y = f(x) annetut sovitteiden lausekkeet.

Jos yhtälöissä paine-eron sijasta on käytetty painetta, vähennetään yksi piste.

Jos merkitään yhtäsuuruusmerkki verrannollisuuden sijaan, vähennetään yksi piste.

Tyypillisiä virheitä: Muodostetaan yhdistetty yhtälö laskemalla termit yhteen.

Tutkitaan osatehtävässä johdetun riippuvuuden yksiköitä. Vasemmalla puolella on paine, jonka yksikkö on pascal. Se on perusyksiköiden avulla lausuttuna N/ m² = (kgm/s²)/m² = kg/(ms²).

Oikealla puolella olevien suureiden yksiköksi saadaan [v]² · [L] / [D] = (m/s)²· m / m = m²/s².

Eri puolien yksiköt eivät vastaa toisiaan, joten osatehtävässä johdetussa riippuvuudessa täytyy olla vielä jokin muu tekijä (tai useamman tekijän tulo), jonka yksikkö on kg/m³, jotta riippuvuuden kummallekin puolelle tulisi sama yksikkö.

Pisteytys:

On esitetty yhtälön oikean ja vasemman puolen yksikkölasku. (2 p.)

On todettu tehdyn dimensioanalyysin perusteella, että yksiköt eivät täsmää. (2 p.)