Beskrivningar av goda svar: SV – Fysik

Beräkningen av medelvärdet för bollarnas studshöjder har visats. (2 p.)

Graf (5 p.)

De undersökta bollarna är fortfarande speldugliga då medelvärdet för deras studshöjder är 1,35 m. När vi gör en linjär anpassning till de sista 6 mätpunkterna kan vi konstatera (med ögonmått, programvara eller algebraiskt) att medelvärdet för bollarnas studshöjder underskrider 135 cm ungefär vid tidpunkten 83 d.

Godtagbara påverkande faktorer är

• underlaget som bollen släpps på
• temperaturen
• luftfuktigheten
• lufttrycket.

Som påverkande faktorer godkänns inte det att mätutrustningen eller -metoden ska vara densamma, mycket noggrann eller av en viss typ. Inte heller någon extern störning som introduceras i systemet, och vars borttagning löser problemet (exempelvis antagandet att det är vindstilla eller att underlaget är horisontellt) är ett godtagbart svar. (4 p.)

Krafterna som påverkar plankan är plankans tyngd \vec{G}_\rm{A}, snörenas spännkrafter \vec{T}_\rm{1} och \vec{T}_\rm{2} samt viktens stödkraft \vec{N}_\rm{A}.

Krafterna som påverkar vikten är viktens tyngd \vec{G}_\rm{B}, vartdera snöres spännkraft \vec{T}_\rm{3} och \vec{T}_\rm{4} samt plankans stödkraft \vec{N}_\rm{B}.

På grund av symmetrin är spännkrafterna som verkar på plankan i kraftfigurerna i deluppgifterna 4.1 och 4.2 lika stora till absolutbeloppet, och på grund av snörenas kraftöverförande effekt är spännkrafterna i vartdera snörets båda ändar lika stora till absolutbeloppet. På så sätt får vi för krafterna ritade i kraftfigurerna i deluppgifterna 4.1 och 4.2 ||\vec{T}_1||=||\vec{T}_2||=||\vec{T}_3||=||\vec{T}_4||=T.

Enligt lagen om kraft och motkraft är stödkraften med vilken plankan påverkar vikten och stödkraften med vilken vikten påverkar plankan till absolutbeloppet lika stora, alltså ||vec N_A|| =||vec N_B|| =N

Då vikten är i jämvikt med hänsyn till de krafter som verkar på den gäller G_B -N -2 T =0 och för viktens tyngd gäller G_B =m g Då plankan är i jämvikt med hänsyn till de krafter som verkar på den gäller G_A +N -2 T =0 och för plankans tyngd gäller G_A =M g. (3 p.)

Ur den senare jämviktsekvationen kan vi lösa ut spännkraften då stödkraften är vid gränsvärdet N =0 Som spännkraft får vi T =M g /2.

Ur den första jämviktsekvationen löser vi ut viktens massa vid gränsen där stödkraften försvinner. Massan är m =2 T /g sin(~%) =M sin(~%) ~~2,8 kg. (4 p.)

Med mekaniska vågors interferens avses två eller flera vågors samverkan. Vågornas samverkan är summan av vågorna.

Med mekaniska vågors diffraktion avses förändringen i vågrörelsens riktning orsakad av ett hinder.

När vågorna når den smala öppningen fungerar öppningen som en källa till nya sfäriska vågor. De här vågorna sliter stranden till formen av en halvcirkel. (3 p.) Man kan även se på situationen som diffraktion där en smal öppning ändrar vågornas riktning.

Mönstret som vågorna bildar mellan vågbrytaren och piren uppstår på följande sätt:

• Vågfronterna som kommer från havet genomgår diffraktion vid vågbrytarens ände i riktning mot piren. (2 p.)
• Vågorna som genomgått diffraktion reflekteras från piren. (2 p.)
• De reflekterade vågorna interfererar med vågorna som genomgått diffraktion. (2 p.)

Det elektriska fältet accelererar xenonjonerna på ett sådant sätt att den elektriska potentialenergin omvandlas till jonernas rörelseenergi (2 p.) q U =1/2 m_Xe v^2 (1 p.)

Jonernas hastighet är alltså

v =sqrt((2 q U) /m_Xe) =sqrt((2 *1,602176620 *10^(-19) C *1300 V) /(131,293 u)) =43.711,56806 m/s ~~44.000 m/s (2 p.)

Enligt Newtons II lag är dragkraften lika stor som förändringshastigheten för xenonjonernas rörelsemängd F =~Dp /~Dt.

Eftersom all joner accelereras från vila till samma hastighet beror förändringen i rörelsemängden av de accelererade jonernas massa \Delta p=m\Delta v, altså då \Delta t=1\,\rm{s}, så är m =(F ~Dt) /(~Dv) =(92 mN *1 s) /(43711,56806 m/s) =0,002104706010 g ~~2,1 mg.

(5 p.)

Under en sekund avlägsnar sig N =m/m_Xe =0,002104706010 g /131,293 u =9,653848423 *10^18 stycken joner. De avlägsnade jonerna orsakar den elektriska strömmen I =q N /(~Dt) varvid motorns elektriska effekt är P =U I =U q N/(~Dt) =1300 V *1,602176620 *10^(-19) C *(9,653848423 *10^18) /(1 s) =2010,732130 W ~~2,0 kW

(5 p.)

I lösningen är det viktigt att observera att en sekund inte är ett mätresultat, utan en del av de använda enheterna. I uttrycket ”en sekund” är talet ett ett heltal och därmed oändligt noggrant.

Effekten vid överföring av elektrisk energi är P =U I , ur vilket vi får kraftledningens elektriska ström I =P /U =400 MW /400 kV =1000 A

(4 p.)

Den magnetiska flödestätheten som uppstår från en rak ledare är B =~m_0 /(2 ~p) *I /r där r är avståndet från ledaren. Då den magnetiska flödestätheten motsvarar gränsvärdet 0,4 ~mT får vi som avstånd PUUTTUU

(5 p.)

Eftersom de elektriska strömmarna har motsatta riktningar i ledningsparet skapar de magnetiska fält med motsatta riktningar. Då avståndet mellan ledningarna är d, är den magnetiska flödestätheten skapad av ledningsparet i ledningarnas plan PUUTTUU

(4 p.)

Genom att lösa ut avståndet få vi PUUTTUU

(2 p.)

Genom att välja ett negativt förtecken för kvadratroten få vi r =-32,638584 m vilket motsvarar den symmetriska punkten på andra sidan ledningarna.

Uppgiften kan även direkt lösas numeriskt genom att sätta uttrycket för den magnetiska flödestätheten lika stort som gränsvärdet.

Enligt material 8.A. är den enda naturligt förekommande isotopen av guld ^197Au, alltså är reaktionsformeln ^197Au +n -> ^198Au. Den efterfrågade isotopen X är ^198Au.

Antalet radioaktiva guldkärnor i provet följer uttrycket N(t) =N_0 e^(-~l t) , där N_0 är de aktiva kärnornas antal då neutronbestrålningen tar slut och ~l är sönderfallskonstanten. Under tidsintervallet som börjar vid tidpunkten t och slutar vid t +~t är antalet sönderfall som sker i provet N(t) -N(t +~t) . Antalet fotoner som detektorn registrerar är ~DN =p *(N(t) -N(t +~t)) =p N_0 (1 -e^(-~l ~t) e^(-~l t)

(3 p.)

De registrerade fotonernas antal minskar exponentiellt som funktion av starttiden t . Genom att anpassa en exponentialfunktion till mätresultaten får vi för sönderfallskonstanten värdet ~l =0,010266 1/h och för halveringstiden T_(1/2) =(ln 2) /~l =67,5190 h ~~67,5 h =2,81 d

(3 p.)

I anpassningen får koefficienten för exponentialfunktionen värdet p N_0 (1 -e^(-~l ~t) =6597,777 , alltså är antalet radioaktiva guldkärnor som finns i provet då bestrålningen tar slut N_0 =6597,777 /(p (1 -e^(-~l ~t)) =1,8426 *10^8 ~~1,8 *10^8

Korrekta svar är: (för ett av dem 3 p.)

• Gammafotonera som uppstår i provet färdas i slumpmässiga riktningar och endast en del av dem rör sig i riktning mot detektorn.
• Gammastrålning växelverkar svagt med materian och endast en del av fotonerna som träffar detektorn växelverkar med den så att de kan registreras.

Daggpunkten betyder temperaturen där luftens relativa fuktighet är 100\,\%. Enligt material 9.B är den mättade vattenångans tryck p_m = 3{,}17~{\rm kPa} då temperaturen är 25\,^\circ{\rm C} . Då den relativa fuktigheten är ~f =75 % , är vattenångans tryck p_v = \frac{\phi}{100}\cdot p_m = 2{,}38~{\rm kPa} . Från grafen märker vi att när temperaturen sjunker kommer den mättade vattenångans tryck att vara av den här storleken då temperaturen är 20{,}3\,^\circ{\rm C} . (4 p.)

Vi antar att gasmolekylerna beter sig som en ideal gas. Enligt tillståndsekvationen för en ideal gas har en gas med volymen V och temperaturen T en massa på m =(p V M) /(R T) , där M är gasens molmassa. Vattenångans tryck är p_v = \frac{\phi}{100}\cdot p_m , alltså är mängden vattenånga i en kubikmeter utomhusluft m = \frac{\phi}{100}\frac{p_m V M}{RT} = 17{,}263~{\rm g}\approx 17{,}3~{\rm g}

I lösningen är det viktigt att observera att en kubikmeter inte är ett mätresultat, utan en del av de använda enheterna. I uttrycket ”en kubikmeter luft” är talet ett ett heltal och därmed oändligt noggrant.

Enligt tillståndsekvationen för en ideal gas är substansmängderna för torr luft och vattenånga i utomhusluften n_{torr} = \frac{p_{torr}V}{RT} och n_v =(p_v V) /(R T) , där p_v är vattenångans tryck, p_{torr} = p_0 – p_v är den torra luftens tryck och p_0 är normalt tryck. Den torra luftens substansmängd i volymen V är konstant vid nerkylning, trots att en del av vattenångan kondenserar. Substansmängden för vattenångan i nerkyld luft kan uttryckas med hjälp av den torra luftens substansmängd n_v = n_{torr} \frac{p_v}{p_{torr}} = n_{torr}\frac{p_v}{p_0-p_v}.

(4 p.)

I utomhusluften är vattenångans tryck p_v = (\phi/100)p_{m,25} . I en kubikmeter utomhusluft är den torra luftens substansmängd n_{torr} = \frac{p_{torr} V}{RT} = \frac{(p_0-(\phi/100)p_{m,25})V}{RT}.

Den nerkylda luftens temperatur är lägre än utomhusluftens daggpunkt, alltså är luftens relativa fuktighet 100 % efter nerkylningen och den återstående delen av utomhusluftens vattenånga har kondenserat. Vattenångans tryck i den nerkylda luften är då p_v = p_{m,11} = 1{,}32~{\rm kPa} . Den ursprungliga substansmängden av den torra luftens molekyler finns kvar i den nerkylda luftvolymen, alltså är substansmängden för vattenångan i en kubikmeter nerkyld luft n_v = n_{torr}\frac{p_{m,11}}{p_0 – p_{m,11}}. Då substansmängden för den torra luften sätts in i uttrycket får vi massan för vattenångan i den nerkylda luften som m_v = n_vM_v =M_v \frac{(p_0-(\phi/100)p_{m,25})V}{RT}\frac{p_{m,11}}{p_0-p_{m,11}}= 9{,}483~{\rm g}

Enligt deluppgift 9.2 fanns det 17,263 g vattenånga i en kubikmeter utomhusluft. Därmed kondenseras vattenmängden ~Dm =17,264 g -9,483 g =7,780 g ~~7,8 g.

(4 p.)

Enligt deluppgift 9.3 kondenseras per volymenhet vattenmängden ~Dm /~DV =7,780 g/m^3 . Då volymen V av utomhusluft kyls ner är det kondenserade vattnets massa m =(~Dm /~DV) V . Energi överförs med effekten P =E /t =(h (~Dm /~DV) V) /t =(2840 kJ/kg *7,780 g/m^3 *1 m^3) /(60 s) =289,416 W ~~290 W

När vagnen placeras på skenorna bildar framhjulen och framaxeln tillsammans med skenorna en sluten strömkrets.

I början är vagnens hastighet noll, vilket innebär att ingen del av strömkretsen rör sig i det magnetiska fältet. Således induceras ingen källspänning i kretsen. Följaktligen uppstår ingen elektrisk ström i kretsen och ingen magnetisk kraft påverkar framaxeln. Vagnens initiala acceleration orsakas av tyngdkraftskomponenten i skenornas riktning. Vagnen börjar röra sig och dess hastighet ökar.

(2 p.)

När vagnen rör sig i magnetfältet induceras i framaxeln en källspänning som orsakar en elektrisk ström i strömkretsen. Enligt Lenz lag påverkas då framaxeln av en magnetisk kraft som är riktad mot rörelsen. När hastigheten ökar så ökar källspänningen, den elektriska strömmen och den magnetiska kraften. Därmed minskar både den totala kraften som påverkar vagnen och accelerationen. (4 p.)

(4 p.)

När vagnens hastighet har vuxit och blivit tillräckligt stor är krafterna som påverkar vagnen i jämvikt och vagnen rör sig med en konstant hastighet.

(2 p.)

Den magnetiska flödestätheten är B=0,35\,\rm{T}, skenornas lutningsvinkel är ~a =10 ^@ avståndet mellan skenorna är L = 320 mm, vagnens massa är m = 520 g, vagnens hastighet är v = 2,5 m/s och tyngdaccelerationen är g =9,81 m/s^2

I framaxeln induceras spänningen E =L v B

(2 p.)

Vagnens tyngdkraft är G =m g På framaxeln verkar en magnetisk kraft F_B =I L B där I är den elektriska strömmen i kretsen. Vagnens acceleration är nu noll, alltså ger Newtons II lag i skenornas riktning G sin(~a) -F_B =0

(2 p.)

Då uttrycken för tyngdkraften och den magnetiska kraften substitueras in och vi löser ut den elektriska strömmen får vi I =(m g sin(~a)) /(L B)

Enligt Ohms lag är motståndets resistans R =E /I Genom att substituera in uttrycken för källspänningen och den elektriska strömmen får vi R =(L^2 B^2 v) /(m g sin(~a)) =0,0354 ~J ~~35 m~J

(4 p.)

Deluppgiften kan även lösas genom att beräkna delresultaten E =0,28 V och I =7,909 A

Den elektriska effekten som förbrukas i motståndet är P =I^2 R =2,214 W då värdet för den elektriska strömmen som bestämdes i den föregående deluppgiften används. Energin som förbrukats i motståndet är Q =1,0 J och det motsvarande tidsintervallet är ~Dt =Q /P =0,4517 s ~~0,45 s
Alternativ metod: Vagnens lodräta förflyttning är ~Dh =-~Ds sin(~a) där ~Ds är vagnens förflyttning. Förändringen i potentialenergi är ~DE_p =m g ~Dh =-m g ~Ds sin(~a) Enligt energiprincipen är Q =~DE_p alltså är ~DE_p =-Q Då det här substitueras in i den tidigare ekvationen och vi löser ut förflyttningen får vi ~Ds =Q /(m g sin(~a)) =1,129 m Längden av tidsintervallet är alltså ~Dt =~Ds /v =0,4516 m ~~0,45 s

(4 p.)

Stolens kraftfigur, där \bar T är spännkraften, \bar G är tyngden, \bar N är stödkraften och \bar F_\mu är friktionskraften.

Stolen är stillastående, så enligt Newtons II lag är sum (vec F) =0 Enligt krafterna från föregående deluppgift: vec T +vec G +vec N +vec F_~m =0

Vilofriktionskoefficienten mellan stolen och terrassen är ~m och ~% är vinkeln mellan tråden och den lodräta riktningen. När stolen precis börjar röra på sig är friktionskraften F_~m =~m N

Jämviktsekvationen kan delas in i komponenter: x-riktningen: T sin(~%) -F_~m =0 , där F_~m =~m N y-riktningen: G -T cos(~%) =N , där G =m g Ur jämviktsekvationen i x-riktningen följer T sin(~%) -~m N =0 alltså glider stolen då T sin(~%) >= ~m N

(5 p.)

Genom att kombinera ekvationerna får vi: T sin(~%) >= ~m (G -T cos(~%) =0 varvid T (sin(~%) +~m cos(~%) >= ~m m g Stolen glider då T >= (~m m g) /(sin(~%) +~m cos(~%)) =(0,37 *4,6 kg *9,81 m/s^2) /(sin(27 ^@) +0,37 *cos(27 ^@)) =21,305870 N ~~21 N

(2 p.)

Tråden går av då spännkraften som draken orsakar överskrider den största kraften som tråden klarar av utan att brista, alltså T =~s A =~s ~p r^2 =~s ~p (d /2)^2 där ~s är trådens brottgräns, A är trådens tvärsnittsyta och d är trådens diameter.

(2 p.)

Spännkraften kan beräknas med hjälp av förändringen i luftflödets riktning i en situation där luftflödet träffar draken och fortsätter med samma fart i en riktning som avviker med ~a =23 ^@ från den ursprungliga. Efter förändringen i riktningen kan luftflödets hastighet, vec v'_0 i enlighet med bilden delas in i komponenter enligt den ursprungliga riktningen, vec v_0 , och riktningen för förändringen, vec v_t .

Enligt impulsprincipen är I =~Dp --> F_t ~Dt =~Dm v_t där komponenten av hastigheten i trådens riktning enligt bilden är v_t =2 v_0 sin(~a /2) och den nödvändiga kraften är F_t =T =~s ~p (d /2)^2. Vindens ursprungshastighet är v_0 och vinkeln för förändringen i vindens riktning är ~a =23 ^@

Vi betraktar ett luftelement med volymen ~DV och massan ~Dm =~r ~DV Under tiden ~Dt färdas luftelementet en sträcka ~Dx =v_0 ~Dt varvid luftelementet som ändrar flödesriktning vid draken har massan ~Dm =~r ~DV =~r A ~Dx =~r A v_0 ~Dt , där ~r är luftens densitet.

(5 p.)

Genom att kombinera får vi F_t ~Dt =~s ~p (d /2)^2 ~Dt =~r A v_0 ~Dt *2 v_0 sin(~a /2) ur vilket vi får vindens hastighet v_0 =sqrt((~s ~p (d /2)^2) /(~r A *2 sin(~a /2))) =sqrt((470 N/mm^2 *~p *(0,35 mm /2)^2) /(1,3 kg/m^3 *0,19 m^2 *2 *sin(23 ^@ /2))) =21,64584 m/s ~~22 m/s

(2 p.)