Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

24.9.2026

Alustavat hyvän vastauksen piirteet 24.9.2026

Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti tueksi alustavaa arvostelua varten. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastauksia. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät ole osa Ylioppilastutkintolautakunnan yleisissä määräyksissä ja ohjeissa tarkoitettua tietoa siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu yksittäisen kokelaan koesuoritukseen. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät sido Ylioppilastutkintolautakuntaa lopullisen arvostelun perusteiden laadinnassa.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esimerkiksi derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Hakasuluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Jos erikseen ei mainita, niin vastauksen hyväksyttävä tarkkuus on yksi merkitsevä numero enemmän tai vähemmän kuin ohjeeseen kirjattu.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37,5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esimerkiksi laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä yllä olevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
    • Teksti STOP tarkoittaa sitä, että sillä rivillä kerrotaan, minkä ehtojen pitää toteutua, jotta jatkosta saa pisteitä.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esimerkiksi tarkkuus, yksikkö) −1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) −2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) −1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esimerkiksi x =2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä −0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe −1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa −1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esimerkiksi puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. −1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) −1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) −1 p.

A-osa

1. Karhujen huviretki 12 p.

Karhujen huviretkelle osallistui 30 teddykarhua, 16 jääkarhua, 21 pesukarhua, 6 verokarhua ja 2 tiekarhua. Anna vastaukset seuraaviin kysymyksiin pyöristettynä prosenttiyksikön tai karhun tarkkuuteen.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

1.1 Kuinka monta prosenttia osallistujista oli pesukarhuja? 2 p.

  • 28 (2 p.)

1.2 Retken osallistujista 32 % söi retkellä karhunvatukoita. Kuinka moni söi karhunvatukoita? 2 p.

  • 24 (2 p.)

1.3 Kuinka monta prosenttia enemmän jääkarhuja oli kuin verokarhuja? 2 p.

  • 167 (2 p.)

1.4 Kuinka monta prosenttia vähemmän verokarhuja oli kuin jääkarhuja? 2 p.

  • 63 (2 p.)

1.5 Teddykarhuja oli ilmoittautunut alun perin enemmän, mutta 14 % ilmoittautuneista ei saapunut paikalle. Kuinka monta teddykarhua oli ilmoittautunut retkelle? 2 p.

  • 35 (2 p.)

1.6 Karhut ostivat evääksi nallekarkkeja, joiden veroton hinta oli 12 otsoa ja arvonlisäverollinen hinta 15 otsoa. Kuinka suuri on nallekarkkien arvonlisäveroprosentti karhumaailmassa? 2 p.

  • 25 (2 p.)

Tämä tehtävä arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, joten opettaja ei tee alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

2. Derivaattoja ja integraaleja 12 p.

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Kirjoita vastauskenttiin derivaattojen ja integraalifunktioiden oikeat kertoimet, jotka ovat kokonaislukuja. Vastauksissa voi esiintyä myös nollia tai negatiivisia lukuja.

2.1  D(3 x^2 -7 x +4) =a x^2 +b x +c 3 p.

2.1.1 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • 0 (1 p.)
2.1.2 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • 6 (1 p.)
2.1.3 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • -7 (1 p.)

2.2  D(7 sin(3 x)) =d cos x +f sin(3 x) +g cos(3 x) 3 p.

2.2.1 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • 0 (1 p.)
2.2.2 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • 0 (1 p.)
2.2.3 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • 21 (1 p.)

2.3  int (12 x^2 +8 x -4) dx =h x^3 +j x^2 +k x +C 3 p.

2.3.1 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • 4 (1 p.)
2.3.2 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • 4 (1 p.)
2.3.3 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • -4 (1 p.)

2.4  int 12 sin(2 x) dx =p cos(x^2) +q sin(x^2) r cos(2 x) +C 3 p.

2.4.1 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • 0 (1 p.)
2.4.2 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • 0 (1 p.)
2.4.3 Kirjoita oikea kerroin vastauskenttään. 1 p.
  • -6 (1 p.)

Tämä tehtävä arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, joten opettaja ei tee alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

3. Yhtälöitä ja sievennyksiä 12 p.

Kirjoita osatehtävien 3.1 ja 3.2 vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset lukuina ilman välivaiheita ja perusteluja. Tehtävässä ei saa käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria.

3.1 Täydennä virke. 3 p.

  • 7 (3 p.)

3.2 Täydennä virke. 3 p.

  • 2 (3 p.)

Osatehtävät 3.1 ja 3.2 arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, joten opettaja ei tee alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

3.3

Kokonaisluvut a, b, c ja d toteuttavat yhtälön a d -b c =1. Sievennä lauseke

(a c +b d)^2 -(a^2 +b^2) (c^2 +d^2).

Esitä ratkaisusi tiiviisti siten, että se sisältää vain kaksi tai kolme olennaista välivaihetta ja sievennetyn vastauksen. 6 p.

=(a c)^2 +(b d)^2 +2 a c b d -(a^2 c^2 +a^2 d^2 +b^2 c^2 +b^2 d^2) (2 p.)

=-(a d -b c)^2 (2 p.)

=-1. (2 p.)

Ratkaisussa voi olla annettu jotkin muutkin välivaiheet.

4. Paloittelua 12 p.

Pyöreä pizza, jonka halkaisija on 32 cm, on jaettu kahdeksaan yhtäsuureen sektoriin, kuten oheisessa kuvassa. Opiskelija jakaa yhden sektorin suoralla viillolla kahteen pinta-alaltaan yhtäsuureen osaan. Toinen osa on tasakylkinen kolmio, jonka huippukulma on sektorin kärjessä. Määritä kolmion kyljen pituus.

Pizzan kokonaispinta-ala on ~p (32/2)^2 cm^2. [2 p.]

Halutun palan koko on siis 1/16 *~p (32/2)^2 cm^2. (2 p.)

Sektorin keskuskulman koko on 360 ^@ /8 =45 ^@. [1 p.]

Jos kysytty kolmion sivu on r, niin kolmion ala on 1/2 sin(45 ^@) r^2 (=r^2 /(2 sqrt(2)). (3 p.)

Saadaan yhtälö r^2 /(2 sqrt(2)) =1/16 *~p (32/2)^2, (2 p.)

josta ratkaistaan r =4 sqrt(2 ~p sqrt(2)) ~~11,9236 ~~12 cm. (2 p.)

5. Derivoituvuus ja pinta-ala 12 p.

Määritellään funktio f: [0, 2] -> RR asettamalla

f(x) ={sqrt(x), kun 0 <= x <= 1, x /2, kun 1 < x <= 2}.

Onko funktio jatkuva? Onko funktio derivoituva? Määritä funktion kuvaajan ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-ala.

Koska f(1) =sqrt(1), mutta lim_(x -> 1+) f(x) =1/2, funktio ei ole jatkuva pisteessä 1, eli se ei ole jatkuva. (3 p.)

Koska funktio ei ole jatkuva, se ei ole derivoituva. (3 p.)

Määritetään pinta-ala integroimalla. Saadaan int_0^2 f(x) dx =int_0^1 sqrt(x) dx +int_1^2 x/2 dx (1 p.)

=[2/3 x^(3/2)]_0^1 +[x^2 /4]_1^2 (3 p.)

=2/3 +1 -1/4 =17/12. (2 p.)

6. Selittämättömiä laskuja 12 p.

Alisa ja Ben ovat ratkaisseet seuraavan tehtävän:

Korttipakassa on kahdeksan korttia, joista yksi on hertta ja loput pataa. Pakasta nostetaan kerralla kolme korttia. Millä todennäköisyydellä jokin nostetuista korteista on hertta?

Valitettavasti Alisan ja Benin ratkaisut sisältävät pelkän laskun ilman selityksiä.

  1. Alisan ratkaisu: 1/8 +7/8 *1/7 +7/8 *6/7 *1/6 =3/8
    Alisan vastaus on oikein. Ratkaise tehtävä toisella tavalla, joka perustuu johonkin muuhun periaatteeseen ja laskulausekkeeseen. Muista esittää myös ratkaisusi välivaiheet ja selitykset.
  2. Benin ratkaisu: 1 -(1 -1/8)^3 =169/512
    Tämä ei ole oikea ratkaisu alkuperäiseen tehtävään. Muokkaa korttipakkatehtävä sellaiseksi, että Benin laskutapa antaa sille oikean vastauksen. Perustele myös, miksi Benin laskutapa antaa muokatun tehtävän oikean vastauksen.

a. Ratkaistaan komplementin avulla. [1 p.]

Sen todennäköisyys, että ensimmäinen nostettu kortti ei ole hertta, on 7/8. (2 p.)

Sen todennäköisyys, että toinen nostettu kortti ei ole hertta, jos ensimmäinen ei ollut hertta, on 6/7. (1 p.)

Sen todennäköisyys, että kolmas nostettu kortti ei ole hertta, jos kaksi ensimmäistä eivät olleet herttoja, on 5/6. (1 p.)

Todennäköisyys sille, että jokin nostetuista korteista on hertta, on 1 -7/8 *6/7 *5/6 =3/8. (1 p.)

TAI

Kahdeksasta kortista voidaan nostaa kolme korttia ((8), (3)) eri tavalla. (2 p.)

Seitsemästä muusta kortista kuin hertasta voidaan nostaa kaksi korttia ((7), (2)) eri tavalla. (1 p.)

Hertta voidaan nostaa vain yhdellä tavalla. (1 p.)

Kysytty todennäköisyys on siis (((7), (2)) *1) /((8), (3)) =3/8. (2 p.)

b. Benin ratkaisu soveltuisi tehtävään, jossa kortti laitettaisiin noston jälkeen aina takaisin pakkaan ja kysyttäisiin, mikä on todennäköisyys nostaa ainakin yksi hertta, kun tällä tavalla nostetaan kolme kertaa. (3 p.)

Tällöin nimittäin jokaisella nostolla todennäköisyys saada jokin muu kuin hertta olisi 1 -1/8, jolloin todennäköisyys olla saamatta herttaa lainkaan olisi (1 -1/8)^3. Näin ollen todennäköisyys saada hertta ainakin kerran olisi 1 -(1 -1/8)^3. (3 p.)

B1-osa

7. Paisto 12 p.

Joulukinkkua paistetaan uunissa, jonka lämpötila on noin 130 astetta. Kinkku valmistetaan ylikypsäksi, ja sen sisälämpötilan pitää nousta 85 asteeseen. Kinkku laitetaan uuniin kello 12.00. Taulukossa 7.A on esitetty kinkun sisälämpötila, kun kinkkua on paistettu t minuuttia.

  1. Esitä aineisto 7.A graafisesti.
  2. Muodosta aineistolle 7.A lineaarinen regressiomalli ja laske mallin mukainen kinkun sisälämpötila kello 14.58 ja 20.30.
  3. Arvioi muodostetun mallin mielekkyyttä.

a. Aineisto voidaan esittää esimerkiksi viivadiagrammina, jossa x-akselilla on paistamiseen kulunut aika minuutteina ja y-akselilla on lämpötila.
Aineiston perusteella piirretty viivadiagrammi (2 p.)

b. Sovitetaan ohjelmistolla regressiosuora.
Kuvakaappaus ohjelmistolla piirretystä regressiosuorasta (3 p.)

Regressiosuoraksi saadaan y =0,2456 x +15,2756. (1 p.)

Koska klo 14.58 kinkku on ollut uunissa 178 minuuttia, lasketaan sijoittamalla regressiosuoran lausekkeeseen.
Kuvakaappaus sijoituksesta x =178 regressiosuoran yhtälöön

Lämpötilaksi saadaan noin 59 astetta. (1 p.)

Koska klo 20.30 kinkku on ollut uunissa 510 minuuttia, lasketaan sijoittamalla regressiosuoran lausekkeeseen.
Kuvakaappaus sijoituksesta x =510 regressiosuoran yhtälöön

Lämpötilaksi saadaan noin 141 astetta. (1 p.)

c. Malli ei ole mielekäs, sillä 130-asteisessa uunissa kinkun lämpötila ei voi olla yli 140 astetta, joka on reilusti enemmän kuin uunin lämpötila. Noin 140 minuutista ainakin noin 300 minuuttiin asti malli kuitenkin näyttää toimivan kohtuullisesti. (4 p.)

8. Sähköauton hankinta 12 p.

8.1 Selitä lyhyesti, mitä tarkoitetaan sillä, että tulevaisuuden rahamäärä diskontataan sen nykyarvoon. 3 p.

Diskonttauksessa muutetaan tulevaisuuden arvo nykyarvoon esimerkiksi laskemalla, mikä summa pitäisi nyt tallettaa tilille, jotta siellä on jokin tietty määrä rahaa tulevaisuudessa. Tässä tapauksessa siis tulevaisuuden rahamäärästä poistetaan talletuspäivästä kertynyt korko. (3 p.)

8.2

Anne tilaa autoliikkeestä uuden sähköauton, vaikka sen toimitusajaksi ilmoitetaan yksi vuosi. Auton hinta on 26 000 euroa. Anne sopii autoliikkeen kanssa, että auton toimitus tapahtuu täsmälleen yhden vuoden kuluttua ja että kaupassa sovelletaan seuraavia maksuehtoja: sopimushetkellä Anne maksaa 2 000 euron käsirahan, puolen vuoden jälkeen 2 000 euroa ja toimituksen yhteydessä vuoden kuluttua 22 000 euroa.

Auton maksua varten Anne avaa määräaikaistilin, jolla on 2,4 %:n vuotuinen nettokorkokanta ja kuuden kuukauden korkojakso. Kuinka suuri summa Annen täytyy vähintään tallettaa sopimushetkellä tilille, jotta hän voisi maksaa tililtä ensimmäisen maksuerän puolen vuoden kuluttua ja loppusumman vuoden kuluttua? Anne suorittaa maksut tililtä koronmaksun jälkeen. 9 p.

Merkitään euroina talletettua rahasummaa muuttujalla x. (1 p.)

Puolen vuoden korko on 2,4 /2 =1,2 %. [1 p.]

Puolen vuoden kuluttua koron maksun jälkeen tilillä on 1,012 x. [1 p.]

Kun tililtä on maksettu 2000 euroa, on tilillä jäljellä 1,012 x -2000 euroa. [1 p.]

Kun korko on maksettu tilille vuoden jälkeen, on tilillä 1,012 (1,012 x -2000). (2 p.)

Saadaan siis yhtälö 1,012 (1,012 x -2000) =22.000, (2 p.)

josta x ~~23.457,64 euroa. (1 p.)

9. Erimielisyyttä tangentista 12 p.

Derivoituvan funktion f kuvaajan tangentti, joka kulkee pisteen (x_0, f(x_0)) kautta, on määritelmän mukaan suora, jonka yhtälö on

y -f(x_0) =f'(x_0) (x -x_0).

Kaksi opiskelijaa ratkaisi seuraavaa tehtävää:

Tutki, onko suora y =-1 funktion f(x) =2 x^3 -1 kuvaajan tangentti.

Opiskelija A vastasi: Koska suoralla ja funktion f kuvaajalla on vain yksi yhteinen piste, niin suora on kuvaajan tangentti.

Opiskelija B vastasi: Suora ei ole kuvaajan tangentti. Jos kuvaajat piirretään samaan koordinaatistoon, niillä on yksi yhteinen piste, mutta tässä pisteessä suora leikkaa kuvaajan.

  1. Selitä esimerkin ja tangentin määritelmän avulla, miksi opiskelijan A päättely ei ole pätevä.
  2. Onko opiskelija B oikeassa? Perustele vastauksesi käyttämällä tangentin määritelmää.

a. Opiskelijan A päättely ei ole pätevä, sillä esimerkiksi suorilla y =x ja y =-x on tasan yksi yhteinen piste, joka on origo. Kuitenkin määritelmän mukaan origossa suoran y =x tangentti on y -0 =1 (x -0), eli y =x. (4 p.)

b. Opiskelija B ei ole oikeassa, vaan annettu suora on funktion f tangentti. (2 p.)

Suora ja funktio leikkaavat, kun 2 x^3 -1 =-1, eli pisteessä (0, -1). (2 p.)

Tässä pisteessä funktion f tangentin kulmakerroin on f'(0) =2 *3 *0^2 =0, joten tangentin yhtälö on y -(-1) =0 (x -0), josta saadaan tangentiksi y =-1. (4 p.)

10. Palloja avaruudessa 12 p.

Kolmiulotteisen avaruuden R-säteinen pallo on niiden pisteiden (x, y, z) joukko, jotka ovat täsmälleen etäisyydellä R pallon keskipisteestä (x_0, y_0, z_0). Tällaisen pallon yhtälö on muotoa

(x -x_0)^2 +(y -y_0)^2 +(z -z_0)^2 =R^2.

Määritä yhtälö jokaiselle kolmiulotteisen avaruuden pallolle, joka kulkee kaikkien pisteiden (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (0, 0, 1) kautta. Mikä on tällaisen pallon pienin mahdollinen säde?

Jotta annetut pisteet ovat pallolla, tulee yhtälöiden (1 -x_0)^2 +(0 -y_0)^2 +(0 -z_0)^2 =R^2, (0 -x_0)^2 +(1 -y_0)^2 +(0 -z_0)^2 =R^2 ja (0 -x_0)^2 +(0 -y_0)^2 +(1 -z_0)^2 =R^2 toteutua. (2 p.)

Kahden ensimmäisen yhtälön perusteella (1 -x_0)^2 +y_0^2 =x_0^2 +(1 -y_0)^2, eli x_0 =y_0. (2 p.)

Vastaavasti saadaan x_0 =z_0. (1 p.)

Pallon yhtälö on siis muotoa (x -c)^2 +(y -c)^2 +(z -c)^2 =R^2 jollain c. (2 p.)

Koska piste (1, 0, 0) toteuttaa yhtälön, on oltava R^2 =(1 -c)^2 +2 c^2, josta saadaan yhtälöksi (x -c)^2 +(y -c)^2 +(z -c)^2 =(1 -c)^2 +2 c^2. (2 p.)

Pienin säteen arvo saadaan, kun (1 -c)^2 +2 c^2 saavuttaa pienimmän mahdollisen arvon. Jos g(c) =(1 -c)^2 +2 c^2 =3 c^2 -2 c +1, niin g'(c) =6 c -2, jolloin c =1/3. Tämä piste antaa pienimmän mahdollisen arvon, sillä g on ylöspäin aukeava paraabeli. Pienin mahdollinen säde on siis sqrt(2/3). (3 p.)

B2-osa

11. Hassu kello 12 p.

Kelloseppä tekee hassun kellon, jonka tuntiviisari kiertää kellotaulun keskipistettä kuten tavallisesti, mutta minuuttiviisari kiertää kiinnityskohtaansa tuntiviisarin kärjessä, kuten nopeutetussa videossa 11.A. Minuuttiviisarin kiinnityskohdan etäisyys kellon keskipisteestä on 4 ja etäisyys kiinnityskohdasta minuuttiviisarin kärkeen on 1. Kellotaulun keskipiste on sijoitettu koordinaatiston origoon niin, että minuuttiviisarin kärki on pisteessä (0, 5), kun kello on tasan 12. Viisarit pyörivät myötäpäivään kuten tavallisessa kellossa.

  1. Kellosepän lapsi Kaiho lähtee kouluun aamulla kello 8.00⁠–⁠9.00, kun minuuttiviisarin kärki on mahdollisimman kaukana origosta. Mihin aikaan Kaiho lähtee kouluun?
  2. Kaihon pikkusisarus Kuura liimaa väriliidun minuuttiviisarin kärkeen. Tällöin 12 tunnin jälkeen kellotauluun on muodostunut käyrä, joka on esitetty oheisessa kuvassa. Mihin kellonaikoihin käyrä leikkaa y-akselin?

Anna likimääräiset vastaukset minuutin tarkkuudella.

Minuuttiviisarin ja tuntiviisarin parametrisointeja tai osia parametrisoinnista voi hyödyntää sekä vaiheessa a että vaiheessa b. Aloitetaan siis parametrisoinnista.

Parametrisoidaan kellon viisarit käyttäen yksikkönä radiaaneja. Tämän voi tehdä myös asteilla. Olkoon x aika minuutteina vuorokauden alusta lähtien.

Tuntiviisari: (4 cos(~p /2 -2 ~p x /(12 *60)), 4 sin(~p /2 -2 ~p x /(12 *60))) (2 p.)

Minuuttiviisari: (cos(~p /2 -2 ~p x/60), sin(~p /2 -2 ~p x/60)) (1 p.)

Koska minuuttiviisari lähtee tuntiviisarin päästä, viisarien parametrisoinnit lasketaan yhteen: (4 cos(~p /2 -2 ~p x /(12 *60)) +cos(~p /2 -2 ~p x/60), 4 sin(~p /2 -2 ~p x /(12 *60)) +sin(~p /2 -2 ~p x/60)) (2 p.)

a. Minuuttiviisarin kärki on mahdollisimman kaukana origosta, kun tuntiviisari ja minuuttiviisari osoittavat samaan suuntaan. (1 p.)

Kun kello on 8.m, jossa m on minuutit, on minuuttiviisarin suuntakulma 2 ~p m /60 ja tuntiviisarin suuntakulma 4 ~p /3 +2 ~p m /(60 *12). (2 p.)

Saadaan yhtälö 2 ~p m /60 =4 ~p /3 +2 ~p m /(60 *12), josta m =480/11 ~~44, eli kello on 8.44. (1 p.)

b. Huomataan aluksi, että ratkaisuja on neljä. Näin käy kello 12.00 (eli 0.00), 6.00 sekä kahtena muuna ajankohtana. (1 p.)

Hyödynnetään ohjelmiston numeerisen ratkaisemisen komentoa yhtälöön 4 cos(~p /2 -2 ~p x /(12 *60)) +cos(~p /2 -2 ~p x/60) =0. Saadaan arvot x =-381,806 ja x =381,806. Koska 381,806 min ~~6 h 22 min, leikkaa käyrä y-akselin klo 6.22 ja 5.38. (2 p.)

12. Jaollisuus 12 p.

Millä positiivisilla kokonaisluvuilla n luku 2^10^n +1 on jaollinen luvulla 17?

Kun n =1, saadaan 2^10^1 +1 =1025, joka ei ole jaollinen luvulla 17. (1 p.)

Kun n =2, saadaan 2^10^2 +1 =(2^4)^25 +1 =16^25 +1 -= (-1)^25 +1 =0 (mod 17), eli kun n =2, luku 2^10^n +1 on jaollinen luvulla 17. (3 p.)

Koska 2^4 -= -1 (mod 17), niin 2^8 -= 1 (mod 17). (4 p.)

Kun siis n >= 3, saadaan 2^10^n =(2^8)^(5^n *2^(n -3)) +1 -= 1 +1 =2 (mod 17), eli kun n >= 3, luku 2^10^n +1 ei ole jaollinen luvulla 17. (4 p.)

13. Pellin ja Fermat'n yhtälö 12 p.

Kokonaisluvut x ja y muodostavat Pellin ja Fermat'n yhtälön ratkaisun vakiolla 3, jos

x^2 -3 y^2 =1 (*).

Esimerkiksi luvut x =1 ja y =0 toteuttavat yhtälön, mutta tehtävässä on löydettävä ratkaisuja, joissa sekä x että y ovat positiivisia.

  1. Anna esimerkki positiivisista kokonaisluvuista x ja y, jotka toteuttavat yhtälön (*).
  2. Todista Brahmaguptan yhtälö

    (x^2 -3 y^2) (z^2 -3 w^2) =(x z +3 y w)^2 -3 (x w +y z)^2.

  3. Etsi aiemmin löytämäsi ratkaisun ja Brahmaguptan yhtälön avulla yhtälölle (*) toinen ratkaisu.
  4. Osoita, että yhtälöllä (*) on äärettömän monta kokonaislukuratkaisua.

Esimerkiksi luvut x =2 ja y =1 antavat ratkaisun, sillä 2^2 -3 *1^2 =1. (1 p.)

Brahmaguptan yhtälö voidaan todistaa esimerkiksi kertomalla molemmat puolet auki ja toteamalla ne yhtäsuuriksi: (x^2 -3 y^2) (z^2 -3 w^2) =(x z)^2 -3 (y z)^2 -3 (x w)^2 +9 (y w)^2 ja (x z +3 y w)^2 -3 (x q +y z)^2 =(x z)^2 +9 (y w)^2 +6 x y z w -3 (x w)^2 -6 x y z w -3 (y z)^2 =(x z)^2 +9 (y w)^2 -3 (x w)^2 -3 (y z)^2, eli molemmat puolet ovat samat. (2 p.)

Huomataan, että jos (x ,y) ja (z, w) ovat ratkaisuja, niin Brahmaguptan kaavan perusteella myös (x z +3 y w, x w +y z) on ratkaisu, (2 p.)

sillä Brahmaguptan yhtälön vasen puoli on tällöin yksi. (1 p.)

Valitsemalla x =z =2 ja y =w =1, saadaan ratkaisuksi (7, 4). (2 p.)

Hyödynnetään taas Brahmaguptan kaavaa, kuten edellä. Mikäli (x_0, y_0) on jokin jo löydetty ratkaisu ja kaavaan sijoitetaan x =z =x_0 ja y =w =y_0, saadaan ratkaisuksi (x_0^2 +3 y_0^2, 2 x_0 y_0). (2 p.)

Koska x_0^2 +3 y_0^2 > x_0^2 >= x_0, uuden ratkaisun x-koordinaatti on varmasti suurempi kuin edellisen ratkaisun x-koordinaatti. Näin voidaan löytää aina uusi ratkaisu, jonka x-koordinaatti on varmasti aiempaa ratkaisua suurempi, joten voidaan löytää äärettömän paljon ratkaisuja. (2 p.)