Beskrivningar av goda svar: SV – Matematik, lång lärokurs

Denna uppgift bedöms centraliserat i nämnden, vilket betyder att läraren inte utför den preliminära bedömningen. Poängen för det centraliserat bedömda svaret uppdateras automatiskt i bedömningstjänsten under censorarbetets gång. Tills svaret i fråga har bedömts märks svaret med ett streck (-) i bedömningstjänsten.

Denna uppgift bedöms centraliserat i nämnden, vilket betyder att läraren inte utför den preliminära bedömningen. Poängen för det centraliserat bedömda svaret uppdateras automatiskt i bedömningstjänsten under censorarbetets gång. Tills svaret i fråga har bedömts märks svaret med ett streck (-) i bedömningstjänsten.

Uppgifter 3.1 och 3.2 bedöms centraliserat i nämnden, vilket betyder att läraren inte utför den preliminära bedömningen. Poängen för det centraliserat bedömda svaret uppdateras automatiskt i bedömningstjänsten under censorarbetets gång. Tills svaret i fråga har bedömts märks svaret med ett streck (-) i bedömningstjänsten.

Pizzans totala area är \pi\left(\frac{32}{2}\right)^2\ \textrm{cm}^2. [2 p.]

Arean på den bit man vill ha är alltså \frac{1}{16}\cdot \pi\left(\frac{32}{2}\right)^2\ \textrm{cm}^2. (2 p.)

Storleken på sektorns mittpunktsvinkel är \frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}. [1 p.]

Om den efterfrågade triangelns sida är r, så är triangelns area \frac{1}{2}\sin(45^{\circ})r^2(=\frac{r^2}{2\sqrt{2}}). (3 p.)

Vi får ekvationen \frac{r^2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{16}\cdot \pi\left(\frac{32}{2}\right)^2, (2 p.)

ur vilken vi löser ut r= 4\sqrt{2\pi\sqrt{2}} \approx 11{,}9236\approx 12\ \textrm{cm}. (2 p.)

Eftersom f(1)=\sqrt{1}, men \lim_{x\rightarrow 1+}f(x)=\frac{1}{2}, är funktionen inte kontinuerlig i punkten 1, vilket betyder att den inte är kontinuerlig. (3 p.)

Eftersom funktionen inte är kontinuerlig, så är den inte deriverbar. (3 p.)

Vi bestämmer arean genom att integrera. Vi får \int_0^2 f(x)\, dx=\int_0^1 \sqrt{x}\, dx+\int_1^2 \frac{x}{2}\, dx (1 p.)

=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^1+\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^2 (3 p.)

=\frac{2}{3}+1-\frac{1}{4}=\frac{17}{12}. (2 p.)

a. Vi löser uppgiften med hjälp av komplementregeln. [1 p.]

Sannolikheten för att det första kortet inte är hjärter är \frac{7}{8}. (2 p.)

Sannolikheten för att det andra kortet som dras inte är hjärter, om det första kortet inte var hjärter, är \frac{6}{7}. (1 p.)

Sannolikheten för att det tredje kortet som dras inte är hjärter, om de två första korten inte var hjärter, är \frac{5}{6}. (1 p.)

Sannolikheten för att något av de dragna korten är hjärter är 1-\frac{7}{8}\cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6}=\frac{3}{8}. (1 p.)

ELLER

Man kan dra tre kort ur en kortlek med åtta kort på \binom{8}{3} olika sätt. (2 p.)

Man kan dra två kort av de övriga sju korten som inte är hjärterkort på \binom{7}{2} olika sätt. (1 p.)

Hjärterkortet kan bara dras på ett sätt. (1 p.)

Den efterfrågade sannolikheten är alltså \frac{\binom{7}{2}\cdot 1}{\binom{8}{3}} = \frac{3}{8}. (2 p.)

b. Bens lösning passar till en uppgift där man drar ett kort i taget och alltid sätter tillbaka kortet i kortleken, och man frågar vilken sannolikheten är för att man ska dra åtminstone ett hjärterkort, då man på det här sättet drar ett kort tre gånger. (3 p.)

Då skulle nämligen sannolikheten för att man vid varje drag får något annat än hjärter vara 1-\frac{1}{8}, vilket betyder att sannolikheten för att inte få ett enda hjärter vore \left(1-\frac{1}{8}\right)^3. Därmed skulle sannolikheten för att få åtminstone ett hjärterkort vara 1-\left(1-\frac{1}{8}\right)^3. (3 p.)

a. Materialet kan exempelvis presenteras som ett linjediagram, där x-axeln är den tid som gått åt till stekningen i minuter och y-axeln är temperaturen.
Ett ritat linjediagram utgående från materialet. (2 p.)

b. Vi anpassar en regressionslinje med programvara.
En skärmdump av en regressionslinje som är ritad med programvara. (3 p.)

Vi får y=0\mathrm{,}2456x+15\mathrm{,}2756 som regressionslinje. (1 p.)

Eftersom skinkan har varit i ugnen 178 minuter kl. 14.58, beräknar vi temperaturen genom insättning i regressionslinjens uttryck.
En skärmdump av insättningen av x=178 i regressionslinjens ekvation.

Vi får en temperatur på cirka 59 grader. (1 p.)

Eftersom skinkan har varit i ugnen 510 minuter kl. 20.30, beräknar vi temperaturen genom insättning i regressionslinjens uttryck.
En skärmdump av insättningen av x=510 i regressionslinjens ekvation.

Vi får en temperatur på cirka 141 grader. (1 p.)

c. Modellen är inte ändamålsenlig eftersom skinkans temperatur i en 130-gradig ugn inte kan överstiga 140 grader, som är rejält högre än ugnens temperatur. Från cirka 140 minuter till åtminstone 300 minuter ser modellen ut att fungera måttligt bra. (4 p.)

a. Studerande A:s slutledning är inte giltig eftersom linjerna y=x och y=-x har exakt en gemensam punkt, som är origo. Enligt definitionen är tangenten i origo till linjen y=x emellertid y-0=1(x-0), det vill säga y=x. (4 p.)

b. Studerande B har inte rätt eftersom den givna linjen är tangent till funktionen f. (2 p.)

Linjen och funktionsgrafen skär varandra då 2x^3-1=-1, det vill säga i punkten (0,-1). (2 p.)

Vi får riktningskoefficienten för tangenten till funktionen f i den här punkten enligt f'(0)=2\cdot 3\cdot 0^2=0, vilket betyder att tangentens ekvation är y-(-1)=0(x-0), av vilket vi får linjen y=-1 som tangent. (4 p.)

För att de givna punkterna ska ligga på klotet måste ekvationerna (1-x_0)^2+(0-y_0)^2+(0-z_0)^2=R^2, (0-x_0)^2+(1-y_0)^2+(0-z_0)^2=R^2 och (0-x_0)^2+(0-y_0)^2+(1-z_0)^2=R^2 uppfyllas. (2 p.)

Utgående från de två första ekvationerna gäller (1-x_0)^2+y_0^2=x_0^2+(1-y_0)^2, det vill säga x_0=y_0. (2 p.)

På motsvarande sätt får vi att x_0=z_0. (1 p.)

Klotets ekvation har alltså formen (x-c)^2+(y-c)^2+(z-c)^2=R^2 för något värde på c. (2 p.)

Eftersom punkten (1,0,0) uppfyller ekvationen så måste det gälla att R^2=(1-c)^2+2c^2, av vilket vi får ekvationen (x-c)^2+(y-c)^2+(z-c)^2=(1-c)^2+2c^2. (2 p.)

Vi får det minsta värdet på radien då (1-c)^2+2c^2 får sitt minsta möjliga värde. Om g(c)=(1-c)^2+2c^2=3c^2-2c+1, så är g'(c)=6c-2, varvid c=\frac{1}{3}. Den här punkten ger det minsta möjliga värdet, eftersom g är en uppåtvänd parabel. Den minsta möjliga radien är alltså \sqrt{\frac{2}{3}}. (3 p.)

Vi kan använda en parametrisering av minutvisaren och timvisaren eller delar av en parametrisering i både skede a och skede b. Vi utgår alltså från en parametrisering.

Vi parametriserar klockans visare genom att använda enheten radianer. Det här kan också göras i grader. Anta att x är tiden i minuter från dygnets början.

Timvisaren: \left(4\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\pi \frac{x}{12\cdot 60}\right), 4\sin \left(\frac{\pi}{2}-2\pi \frac{x}{12\cdot 60}\right)\right) (2 p.)

Minutvisaren: \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\pi \frac{x}{60}\right), \sin \left(\frac{\pi}{2}-2\pi \frac{x}{60}\right)\right) (1 p.)

Eftersom minutvisaren vrider sig runt timvisarens spets adderar vi visarnas parametriseringar: \left(4\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\pi \frac{x}{12\cdot 60}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\pi \frac{x}{60}\right), 4\sin \left(\frac{\pi}{2}-2\pi \frac{x}{12\cdot 60}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-2\pi \frac{x}{60}\right)\right) (2 p.)

a. Minutvisarens spets är så långt från origo som möjligt då timvisaren och minutvisaren pekar i samma riktning. (1 p.)

Då klockan är 8.m, där m är minuter, är minutvisarens riktningsvinkel \frac{2\pi m}{60} och timvisarens riktningsvinkel \frac{4\pi}{3}+\frac{2\pi m}{60\cdot 12}. (2 p.)

Vi får ekvationen \frac{2\pi m}{60}=\frac{4\pi}{3}+\frac{2\pi m}{60\cdot 12}, vilket ger m=\frac{480}{11}\approx 44, det vill säga klockan är 8.44. (1 p.)

b. Vi observerar till en början att det finns fyra lösningar. Det sker klockan 12.00 (det vill säga 0.00), 6.00 och vid två andra tidpunkter. (1 p.)

Vi utnyttjar ett kommando för numerisk lösning av ekvationen 4\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\pi \frac{x}{12\cdot 60}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\pi \frac{x}{60}\right)=0. Vi får värdena x=-381\mathrm{,}806 och x=381\mathrm{,}806. Eftersom 381\mathrm{,}806\approx 6\, \mathrm{h}\, 22\, \mathrm{min}, skär kurvan y-axeln klockan 6.22 och 5.38. (2 p.)

Då n=1 får vi 2^{10^1}+1=1025, som inte är delbart med 17. (1 p.)

Då n=2 får vi 2^{10^2}+1=\left(2^{4}\right)^{25}+1=16^{25}+1\equiv (-1)^{25}+1=0\pmod{17}, det vill säga då n=2, är talet 2^{10^n}+1 delbart med 17. (3 p.)

Eftersom 2^4\equiv -1\pmod{17} är 2^8\equiv 1\pmod{17}. (4 p.)

Då n\geq 3 får vi alltså 2^{10^n}=\left(2^8\right)^{5^n\cdot 2^{n-3}}+1\equiv 1+1=2\pmod{17}, det vill säga då n\geq 3, är talet 2^{10^n}+1 inte delbart med 17. (4 p.)

Exempelvis talen x=2 och y=1 ger en lösning eftersom 2^2-3\cdot 1^2=1. (1 p.)

Brahmaguptas ekvation kan exempelvis bevisas genom att vi avlägsnar parenteser i båda leden och konstaterar att de är lika stora: (x^2-3y^2)(z^2-3w^2)=(xz)^2-3(yz)^2-3(xw)^2+9(yw)^2 och (xz+3yw)^2-3(xq+yz)^2=(xz)^2+9(yw)^2+6xyzw-3(xw)^2 -6xyzw-3(yz)^2=(xz)^2+9(yw)^2-3(xw)^2-3(yz)^2, det vill säga båda leden är lika. (2 p.)

Vi observerar att om (x, y) och (z, w) är lösningar, så är utgående från Brahmaguptas formel också (xz+3yw,xw+yz) en lösning, (2 p.)

därför att vänstra ledet i Brahmaguptas ekvation då är ett. (1 p.)

Genom att välja x=z=2 och y=w=1 får vi lösningen (7, 4). (2 p.)

Vi använder åter Brahmaguptas formel som ovan. Om (x_0,y_0) är en redan hittad lösning och vi i formeln sätter in x=z=x_0 och y=w=y_0, så får vi lösningen (x_0^2+3y_0^2,2x_0y_0). (2 p.)

Eftersom x_0^2+3y_0^2>x_0^2\geq x_0, är den nya lösningens x-koordinat säkert större än den föregående lösningens x-koordinat. På det här sättet kan vi alltid hitta en ny lösning, vars x-koordinat säkert är större än den tidigare lösningens x-koordinat, vilket betyder att vi kan hitta oändligt många lösningar. (2 p.)