Hyvän vastauksen piirteet: FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

24.9.2026

Alustavat hyvän vastauksen piirteet 24.9.2026

Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti tueksi alustavaa arvostelua varten. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastauksia. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät ole osa Ylioppilastutkintolautakunnan yleisissä määräyksissä ja ohjeissa tarkoitettua tietoa siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu yksittäisen kokelaan koesuoritukseen. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät sido Ylioppilastutkintolautakuntaa lopullisen arvostelun perusteiden laadinnassa.

Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.

Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

Miten pisteytysohjeita luetaan

  • Ohjeen rakenne
    • Ohjeessa riviksi kutsutaan kokonaisuutta, joka päättyy pistemäärään.
    • Rivin useat pisteet on erotettu /-merkillä. Epäselvissä tapauksissa on suluissa eritelty, mistä osasta saa mitäkin pisteitä.
    • Erittelyä ei ole, jos rivillä on saman verran laskuja kuin pisteitä, tällöin yksi piste laskua kohden.
    • Jos rivillä on yksi lasku ja siihen liittyvä sanallinen perustelu, niin puolet pisteistä (pyöristettynä ylös) saa laskusta ja loput perusteluista.
    • Jos rivillä on vain yksi lasku tai kaava ja useampi piste, saa osapisteet riittävän hyvästä yrittämisestä (esimerkiksi derivaatan laskeminen osittain oikein).
    • Rivillä suluissa oleva lasku tai perustelu on lisätietoa, eikä sitä vaadita pisteiden saamiseen.
    • Hakasuluissa olevat pisteet saa joko täyttämällä sen rivin ehdon tai seuraavalta riviltä, jos seuraava rivi on kunnossa, eikä käy eksplisiittisesti ilmi, että edellinen rivi on tehty väärin.
  • Jos erikseen ei mainita, niin vastauksen hyväksyttävä tarkkuus on yksi merkitsevä numero enemmän tai vähemmän kuin ohjeeseen kirjattu.
  • Yleensä laskuvirhe vähentää pisteitä siitä rivistä, johon se kohdistuu, mutta myöhempien rivien pisteet voi saada, jos tekee laskut/päättelyt oikein omille luvuille. Poikkeukset on merkitty tekstillä täsmälleen. Nämä pisteet saa vain, jos tämä askel ja myös edeltävät askeleet on oikein suoritettu. Huomaa, että teksti täsmälleen tarkoittaa sitä, että kaikkien niiden rivien, jotka eivät ole riippumattomia, täytyy olla perusteluineen kunnossa. (Tällöin ratkaisussa on ekvivalenttia muotoilua vaille ohjeeseen merkitty luku/lauseke/tms.) Tämä ei vaikuta pyöristysten pisteyttämiseen. Jos esimerkiksi vastausrivillä lukee täsmälleen 37, niin myös 37,5 ja 40 kelpaavat. Tekstillä melko täsmälleen merkitseminen tarkoittaa sitä, että luvut ja laskut pitää olla kunnossa, mutta perusteluissa ja selityksissä voi olla puutteita.
  • Rivien riippuvuus toisistaan
    • Yleensä pisteytys on kirjoitettu ratkaisun matemaattisen etenemisen mukaisesti ja (täysiä) pisteitä annetaan vain perustelluista askeleista. Jos rivit ovat ilmeisen riippumattomia toisistaan (esimerkiksi laskettu eri funktioiden derivaatat), niin pisteet annetaan suoritusjärjestyksestä riippumatta ilman eri merkintää.
    • Jos vastaus on kirjoitettu ennen perusteluja, tarkoittaa se, että pelkästä (oikeasta) vastauksesta saa jo pisteitä.
    • Merkintä yllä olevista riveistä riippumaton piste tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit edellyttävät tätä riviä normaaliin tapaan.
    • Merkintä riippumaton tarkoittaa, että rivin pisteet voi antaa edellä olevista riveistä riippumattomasti; seuraavat rivit eivät edellytä tätä riviä.
    • Merkintä Johtopäätöksenä: korostaa, että kyseiset pisteet saa vain, jos aiemmat perustelut ovat kunnossa.
    • Teksti STOP tarkoittaa sitä, että sillä rivillä kerrotaan, minkä ehtojen pitää toteutua, jotta jatkosta saa pisteitä.
  • Terminologiaa
    • "Vastaus riittää" tarkoittaa, että oikeasta vastauksesta annetaan pisteet myös ilman perusteluja. Jos vastaus on väärin, voi pisteitä saada normaalien periaatteiden mukaisesti perustelujen perusteella.
    • "Alkupisteitä" tarkoittaa, että tästä voi antaa rivin pisteet, jos ei muualta saa pistettä. Tätä pistettä ei siis voi yhdistää muihin pisteisiin.
    • "maxN" tarkoittaa, että tämän tyyppisestä ratkaisusta annetaan N pistettä, mikäli siinä ei ole muita virheitä.
    • "Vastaus vain likiarvona" tarkoittaa, että ratkaisussa ei ilmene lainkaan vastauksen tarkkaa arvoa.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta ansaittuja pisteitä ei voi menettää.

  • Vastaus oikein, muttei pyydetyssä muodossa (esimerkiksi tarkkuus, yksikkö) −1 p.
  • Vastaus sieventämättä loppuun asti sievennystehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) −2 p.
  • Vastaus sieventämättä muussa tehtävässä (esimerkiksi e^1, ln(e) tai 4^0) −1 p.
  • Ilmeiset näppäilyvirheet esityksessä (esimerkiksi x =2, y04), tai näppäilyvirheet, jotka korjataan heti seuraavalla rivillä −0 p.
  • Vastauksessa kopiointivirhe −1 p.
  • Välipyöristyksessä ei yhtä enemmän merkitseviä numeroita kuin vastauksessa −1 p.

Seuraavat vähennykset ovat tehtäväkohtaiseen pisteohjeeseen toissijaisia. Yhteen tehtävään voi soveltaa useaa vähennystä, mutta kutakin korkeintaan kerran.

  • Matemaattisesti puutteellinen merkintä (esimerkiksi puuttuvat sulut, mutta laskettu oikein; =-merkin ketjutus, m^2 ilman m). Huom.! Tilanteesta riippuen epästandardi merkintä voidaan hyväksyä selitettynä. −1 p.
  • Ratkaisusta puuttuu oleellisia selityksiä (lukija joutuu arvaamaan, mitä ratkaisussa esiintyvät luvut tarkoittavat) TAI perustelut ja johtopäätökset on esitetty täysin irrallisina (lukija joutuu yhdistelemään eri puolilla ratkaisua olevia lauseita) −1 p.
  • Ratkaisussa merkittävästi ylimääräistä tekstiä/laskuja (lukija joutuu päättelemään, miten annetuista tiedoista muodostuu ratkaisu) −1 p.

A-osa

1. Karhujen huviretki 12 p.

Karhujen huviretkelle osallistui 30 teddykarhua, 16 jääkarhua, 21 pesukarhua, 6 verokarhua ja 2 tiekarhua. Anna vastaukset seuraaviin kysymyksiin pyöristettynä prosenttiyksikön tai karhun tarkkuuteen.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

1.1 Kuinka monta prosenttia osallistujista oli pesukarhuja? 2 p.

  • 28 (2 p.)

1.2 Retken osallistujista 32 % söi retkellä karhunvatukoita. Kuinka moni söi karhunvatukoita? 2 p.

  • 24 (2 p.)

1.3 Kuinka monta prosenttia enemmän jääkarhuja oli kuin verokarhuja? 2 p.

  • 167 (2 p.)

1.4 Kuinka monta prosenttia vähemmän verokarhuja oli kuin jääkarhuja? 2 p.

  • 63 (2 p.)

1.5 Teddykarhuja oli ilmoittautunut alun perin enemmän, mutta 14 % ilmoittautuneista ei saapunut paikalle. Kuinka monta teddykarhua oli ilmoittautunut retkelle? 2 p.

  • 35 (2 p.)

1.6 Karhut ostivat evääksi nallekarkkeja, joiden veroton hinta oli 12 otsoa ja arvonlisäverollinen hinta 15 otsoa. Kuinka suuri on nallekarkkien arvonlisäveroprosentti karhumaailmassa? 2 p.

  • 25 (2 p.)

Tämä tehtävä arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, joten opettaja ei tee alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

2. Erilaisia yhtälöitä 12 p.

2.1 Ratkaise yhtälö x^2 =8. 4 p.

x =+-sqrt(8) TAI +-2 sqrt(2). (neliöjuurta käytetty oikein 2 p. + oikeat ratkaisut 2 p.) (4 p.)

2.2 Ratkaise yhtälö x (x +1) =2 x. 4 p.

Mikäli x =0, yhtälö toteutuu. (1 p.)

Jos x !=0, saadaan x +1 =2, joten x =1. (3 p.)

TAI

x^2 -x =0, (1 p.)

josta tulon nollasäännöllä tai toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan x =0 tai x =1. (3 p.)

2.3 Ratkaise yhtälö (4^x)^2 *4^(6 x) *4^3 =4^12. 4 p.

Yhtälö muuttuu muotoon 4^(2 x +6 x +3) =4^12, (2 p.)

joten 2 x +6 x +3 =12 (eli 8 x =9). (1 p.)

Ratkaisuksi saadaan x =9/8. (1 p.)

3. Kuntoportaat 12 p.

Pietarsaari rakennutti entiselle kaatopaikalle kuntoportaat. Kuvassa 3.A on tarvittavat tiedot portaista.

  1. Määritä kuntoportaiden kaltevuuskulma asteen tarkkuudella.
  2. Kuinka suuri on kuntoportaiden keskimääräinen etenemä, eli kahden peräkkäisen askelman etureunojen välinen vaakasuora etäisyys? Anna vastaus senttimetrin tarkkuudella.
  3. Kuinka suuri korkeusero olisi vaadittu 120 askelman kuntoportaisiin, joissa askelman korkeus olisi sama kuin toteutuneissa portaissa? Anna vastaus 0,1 metrin tarkkuudella.

Mielekäs (lähes) oikea (trigonometrinen) yhtälö tai lauseke vaiheeseen a tai b. [1 p.]

Alkuperäinen kaltevuuskulma ~a toteuttaa yhtälön sin ~a =18,35 /53. (1 p.)

Kulman suuruus on siis ~a ~~20,26 ^@ ~~20 ^@. (2 p.)

Yhden portaan korkeus on 18,35 /93, joten etenemä on 18,35 /(93 tan ~a) ~~0,53 m =53 cm. TAI yhtä porrasta vastaava pituus on 53/93, joten etenemä on 53/93 *cos ~a ~~0,53 m =53 cm. TAI Pythagoraan lauseella koko portaiden syvyys on sqrt(53^2 -18,35^2), joten yhden portaan etenemä on sqrt(53^2 -18,35^2) /93 ~~0,53 m =53 cm. (4 p.)

120 askelman portaiden korkeus saadaan verrannolla: 120/93 *18,35 ~~23,7 m. Korkeuden voi laskea myös hyödyntäen a-vaiheessa laskettua kulmaa. (4 p.)

Tehtävässä hyväksytään luku 92 luvun 93 tilalla (tulkittu esimerkiksi, että ylätasoa ei huomioida).

4. Neljä pientä laskua 12 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset lukuina ilman välivaiheita ja perusteluja. Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kukin vastaus on yksi luku.

4.1 Lukujen 8, z ja 6 keskiarvo on 10. Määritä luku z. 3 p.

  • 16 (3 p.)

4.2 Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 70 ja kolmas jäsen 55. Mikä on jonon neljäs jäsen? 3 p.

  • 47,5 (3 p.)

4.3 Joel Dickerin kirjaa "Totuus Harry Quebertin tapauksesta" myydään pokkarina hintaan 8,40 euroa. Mikä on kirjan veroton hinta, kun arvonlisävero on 14 %? Anna vastaus sentin tarkkuudella. 3 p.

  • 7,37 (3 p.)

4.4 Hyllyllä on yhdenmuotoisia suihkugeelipulloja kahta eri kokoa: 100 ml ja 285 ml. Pienemmän pullon pohjan halkaisija on 4,8 cm. Mikä on isomman pullon pohjan halkaisija? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. 3 p.

  • 6,8 (3 p.)

Tämä tehtävä arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, joten opettaja ei tee alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

5. Eksponentiaalisesti kasvava vaikeus 12 p.

Monissa peleissä tiettyyn tasoon vaadittava kokonaispistemäärä noudattaa jossain määrin eksponentiaalista mallia A *B^m, jossa m >= 2 on taso, jolle noustaan. Aloittaessaan pelin pelaaja on tasolla 1. Eräässä pelissä pääseminen tasolle 25 edellyttää 710.000 kokonaispisteen keräämistä ja pääseminen tasolle 26 vaatii vielä 190.000 pistettä lisää. Arvioi mallin avulla, kuinka monta lisäpistettä tarvitaan nousuun tasolta 42 tasolle 43.

Vakiot A ja B toteuttavat yhtälöt A B^25 =710.000 ja A B^26 =710.000 +190.000. (2+2 p.)

Siispä B =900.000/710.000 =90/71. (2 p.)

Nyt A =710.000 /(90/71)^25. (2 p.)

Tällöin tasojen 43 ja 42 erotus on A B^43 -A B^42 ~~11.000.000 pistettä. (4 p.)

6. Normaalijakautuneet omenat 12 p.

Normaalijakaumalla voidaan arvioida hedelmien painoa, vaikka se ei ole täysin normaalijakautunut. Tutkimuksessa erään otoksen omenoiden painojen keskiarvo oli 159,3 grammaa ja keskihajonta 5,3 grammaa. Arvioi normaalijakauman avulla, millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu omena painaa vähintään 170,0 grammaa.

Normeerataan paino: (170,0 -159,3) /5,3 ~~2,01887 ~~2,02 (osoittaja 2 p. nimittäjä 2 p. vastaus 2 p.). (6 p.)

Tätä vastaa todennäköisyys 0,9783. (3 p.)

Todennäköisyys, että omena painaa vähintään 170,0 grammaa, on siis 1 -0,9783 ~~0,022 eli 2,2 prosenttia. (3 p.)

B-osa

7. Kalapasta yhdelle 12 p.

Pastassa on 69,5 % hiilihydraatteja ja 14,5 % proteiinia. Kalasäilykkeessä on 1,6 % hiilihydraatteja ja 19,5 % proteiinia. Pastasta ja kalasäilykkeestä tehdään annos, johon halutaan 70 grammaa hiilihydraatteja ja 24 grammaa proteiinia. Kuinka monta grammaa pastaa ja kuinka monta grammaa kalaa tarvitaan, jotta tämä toteutuu?

Olkoon pastan määrä x ja kalasäilykkeen määrä y. (1 p.)

Yhtälöparin idea [1 p.]

Hiilihydraattien määrälle saadaan yhtälö 0,695 x +0,016 y =70. (3 p.)

Proteiinin määrälle saadaan yhtälö 0,145 x +0,195 y =24. (3 p.)

Yhtälöparin likimääräinen ratkaisu on x ~~100 ja y ~~49, joten pastaa tarvitaan 100 grammaa ja kalasäilykettä 49 grammaa. (perustelu + vastaukset ja pyöristys) (2+2 p.)

8. Talletusennätys 12 p.

Tekstissä 8.A on tietoa siitä, miten suomalaisten ennätyssuuret talletukset vuoden 2025 kesäkuun lopussa olivat jakautuneet kolmeen eri talletustyyppiin: yön yli -talletukset (esimerkiksi käyttötilit), määräaikaistalletukset ja sijoitustalletukset.

  1. Piirrä ympyräkaavio, josta näkyy, miten talletukset olivat jakautuneet prosentuaalisesti yllä mainittuihin kolmeen eri talletustyyppiin kesäkuun 2025 lopussa.
  2. Arvioi kaikkien määräaikaistalletusten arvoa kuukautta aikaisemmin eli vuoden 2025 toukokuun lopussa käyttämällä tekstissä 8.A annettuja tietoja.
  3. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että kaikilla määräaikaistalletuksilla oli sama kahden kalenterivuoden määräaika ja määräaikaistalletusten kokonaismäärä oli ensimmäisen vuoden alussa 13,6 miljardia euroa. Ensimmäisenä vuonna määräaikaistalletusten vuosikorkokanta oli 3,17 % ja toisena vuonna 2,30 %. Kuinka paljon näistä talletuksista saatiin nettokorkoa yhteensä näiden kahden vuoden aikana, kun lähdevero on 30 %? Anna vastaus miljoonan euron tarkkuudella.

Prosentuaaliset osuudet on laskettu jakamalla talletustyypin rahamäärä kokonaisrahamäärällä. Luvut näkyvät desimaalimuodoissa kuvakaappauksessa. Yön yli -talletusten osuus oli noin 61\, \%, määräaikaisten noin 13\, \% ja sijoitusten noin 26\, \%.
Kuvassa on eri talletustyyppien osuudet. (3 p.)

Arvioidaan toukokuun 2025 määräaikaistalletusten määrää hyödyntämällä tietoa 10,1 prosentin vuosikasvuvauhdista. Tällöin kuukauden kasvuvauhti on ollut noin 10,1 /12 prosenttia, eli toukokuun lopussa talletusten määrä oli 15,4 /(1 +(10,1 /(12 *100))) ~~15,3 miljardia euroa. TAI Tällöin kuukauden kasvukerroin on ollut noin \sqrt[12]{1,101}, eli toukokuun lopussa talletusten määrä oli \frac{15,4}{\sqrt[12]{1,101}} \approx 15{,}3 miljardia euroa. (3 p.)

Lähdeveron vaikutus voidaan laskea suoraan huomioimalla se korkoprosenteissa. Tällöin ensimmäisen vuoden tuotto on 0,7 *3,17 % ja toisen vuoden tuotto 0,7 *2,30 %. (2 p.)

Siten kahden vuoden jälkeen määräaikaistalletusten arvo on (1 +(0,7 *3,17) /100) (1 +(0,7 *2,30) /100) *13,6 *10^9 euroa. (3 p.)

Kahden vuoden jälkeisen arvon ja alkuperäisen arvon erotuksena saadaan noin 526 miljoonaa euroa. (1 p.)

Lähdevero huomioimatta, kolmelta viimeiseltä riviltä 0+2+1.

9. Tukirakenne 12 p.

Rautalangasta rakennetaan tukirakenne suorakulmaisen särmiön muotoiseen kankaiseen laatikkoon siten, että kaikki 12 särmää vahvistetaan rautalangalla. Rautalankaa on käytettävissä 2,0 metriä ja laatikon pohjan pidemmän sivun pituus on kolminkertainen pohjan lyhyemmän sivun pituuteen verrattuna. Mikä on laatikon suurin mahdollinen tilavuus?

Laatikon korkeus on h ja pohjan sivujen pituudet ovat s ja 3 s. (1 p.)

Nyt 4 s +4 *3 s +4 h =2,0, joten h =1/2 -4 s. (1 p.)

Laatikon tilavuus on siis s *3 s *(1/2 -4 s) (=3/2 s^2 -12 s^3). (2 p.)

Derivoidaan tämä lauseke. Saadaan derivaataksi 3 s -36 s^2. (2 p.)

Derivaatan nollakohdat ovat s =0 ja s =1/12. (2 p.)

Kun s =0, tilavuus on nolla. Osoitetaan testipisteillä, että s =1/12 antaa maksimin. Kun s =1/36, niin 3 *1/36 -36 *(1/36)^2 =1/18 > 0, ja kun s =1, niin 3 *1 -36 *1^2 =-33 < 0. Maksimi saavutetaan siis kohdassa s =1/12. (2 p.)

Koska nyt 3 s =3/12 ja h =2/12, suurin tilavuus on 1/12 *2/12 *3/12 =1/288 ~~0,0035 m^3 =3,5 litraa. (2 p.)

10. Koivuvanerin valmistaminen 18 p.

Vanerin valmistukseen tarvittavaa ohutta viilua sorvataan koivutukista videon 10.A ja kuvan 10.B esittämällä tavalla. Alkukäsittelyn jälkeen tukki on tasapaksu ja sen pituus on 1,2 metriä ja halkaisija 25 cm. Viilun paksuus on 1,4 mm.

10.1 Viilun sorvaus täytyy lopettaa, kun tukin halkaisija on 5,0 cm, jotta tukki ei mene poikki. Kuinka monta prosenttia alkukäsitellyn koivutukin tilavuudesta jää käyttämättä viilun valmistukseen? Laske myös tilavuuksia tarkastelemalla, mikä on tukista sorvatun viilun pituus. 12 p.

Ytimen läpileikkauksen pinta-ala on (5/2)^2 ~p neliösenttimetriä ja tukin läpileikkauksen pinta-ala (25/2)^2 ~p neliösenttimetriä. (2 p.)

Pinta-aloja vertaamalla saadaan, että hukkaan menee ((5/2)^2 ~p) /((25/2)^2 ~p) =4 prosenttia. TAI Tilavuuksia vertaamalla saadaan, että hukkaan menee ((5/2)^2 ~p *120) /((25/2)^2 ~p *120) =4 prosenttia. (2 p.)

Tukista saadaan siis hyötykäyttöön puuta (1 -0,04) (25/2)^2 *~p *120 kuutiosenttimetriä. (4 p.)

Koska viilun leveys on 120 cm ja paksuus 0,14 cm, viilun pituus on ((1 -0,04) (25/2)^2 ~p *120) /(120 *0,14) ~~3366 ~~3400 cm, eli 34 metriä. (4 p.)

Puutavarakauppa Venlan vanerissa myydään 9,0 mm paksuja vanerilevyjä, joiden koko on 1,2 m x 1,2 m. Ne valmistetaan liimaamalla viisi 1,4 millimetrin paksuista viilua päällekkäin. Päällekkäisten viilujen välissä on ohut liimakerros.

Kirjoita osatehtävien 10.2–10.3 vastauskenttiin pelkät vastaukset ilman välivaiheita ja perusteluja. Näissä osatehtävissä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kukin vastaus on yksi luku.

10.2 Mikä on yhden liimakerroksen keskimääräinen paksuus tällaisessa vanerilevyssä? 3 p.

  • 0,5 (3 p.)

10.3 Kuinka moneen kokonaiseen vanerilevyyn riittää 25 metriä pitkä ja 1,2 metriä leveä viilu? 3 p.

  • 4 (3 p.)

Osatehtävät 10.2 ja 10.3 arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, joten opettaja ei tee alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

11. Jääkiekkotilastoja 18 p.

Taulukossa 11.A on esitetty jääkiekon SM-liigassa kaudella 2024–2025 pelatun 95 ensimmäisen ottelun maalimäärät ja jäähyminuutit. Vastaa osatehtäviin 11.1–11.5 taulukon 11.A perusteella.

Kirjoita osatehtävien 11.1–11.5 vastauskenttiin pelkät vastaukset ilman välivaiheita ja perusteluja. Näissä osatehtävissä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kukin vastaus on yksi luku.

11.1 Määritä maalimäärän moodi. 1 p.

  • 5 (1 p.)

11.2 Määritä maalimäärän mediaani. 1 p.

  • 5 (1 p.)

11.3 Määritä maalimäärän keskiarvo. 1 p.

  • 5,84 (1 p.)

11.4 Määritä maalimäärän vaihteluvälin pituus. 1 p.

  • 11 (1 p.)

11.5 Määritä jäähyminuuttien x ja maalimäärän y välistä yhteyttä kuvaavan regressiosuoran yhtälön y = ax + b kertoimet a ja b. 2 p.

11.5.1 1 p.

  • 0,0101 (1 p.)

11.5.2 1 p.

  • 5,6437 (1 p.)

Osatehtävät 11.1–11.5 arvostellaan lautakunnassa keskitetysti, joten opettaja ei tee alustavaa arvostelua. Keskitetysti arvosteltavan vastauksen pisteet päivittyvät arvostelupalveluun lopullisen arvostelun edetessä. Vastauksen kohdalla näkyy arvostelupalvelussa viiva (-), kunnes kyseinen vastaus on arvosteltu.

11.6 Piirrä kuva, jossa on aineistosta 11.A muodostettu hajontakuvio ja osatehtävässä 11.5 saatu regressiosuora. Määritä ottelussa tehtyjen maalien ja ottelun jäähyminuuttien välinen korrelaatiokerroin. Arvioi tehtyjen maalien ja jäähyminuuttien välistä riippuvuutta ja selitä, miten tämä näkyy piirretyssä kuvassa. 6 p.

Oheisessa kuviossa on hajontakuvio ja regressiosuora, joka on saatu lineaarisen regression työkaluilla.
Kuvassa on hajontakuvio ja regressiosuora. Lisäksi siinä näkyy regressiosuoran yhtälö. (3 p.)

Esimerkiksi taulukkolaskentaohjelman CORREL-komennolla tai vastaavalla saadaan maalimäärän ja jäähyminuuttien väliseksi korrelaatiokertoimeksi 0,08. (1 p.)

Erityistä lineaarista riippuvuutta ei siis ole. Tämä näkyy kuvassa pisteiden hajaantumisena niin, että samalla jäähyminuuttimäärällä on paljon vaihtelua maalien määrässä ja vastaavasti samalla maalimäärällä on paljon vaihtelua jäähyminuuttien määrässä. Tämä näkyy myös siten, että regressiosuora on lähes vaakasuora. (2 p.)

11.7 Laadi pylväsdiagrammi, jossa näkyy kunkin maalimäärän suhteellinen frekvenssi. 6 p.

Maalimäärän vaihteluväliä määritettäessä huomattiin, että maalimäärä on aina ollut vähintään 2 ja korkeintaan 13. Tehdään ensin frekvenssitaulukko eri maalimääristä hyödyntäen COUNTIF-komentoa tai vastaavaa. Tämän jälkeen jaetaan frekvenssit otteluiden kokonaismäärällä 95 jolloin saadaan suhteelliset frekvenssit. (2 p.)

Tämän jälkeen saadaan seuraava kuvaaja:
Kuvassa on kuvaaja suhteellisista frekvensseistä. (4 p.)